умножение площади на длину

Видео:Как найти периметр данной фигуры? Решение за одну минуту!Скачать

Как рассчитать площадь стен: методы и примеры

Если вам пришлось задуматься о том, как рассчитать площадь стен в своей квартире или в доме, то, скорее всего, вы затеяли ремонт. А значит, придется высчитать площадь помещения, в котором будут производиться отделочные работы. Делается это, в основном, для того, чтобы подсчитать расход отделочного материала на определенный объем работ. Все измерения могут значительно упростить наличие технического паспорта помещения, но по разным причинам его может просто не оказаться на руках. К тому же, иногда размеры, указанные в документе, могут не совпадать с реальными.

Видео:Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?Скачать

Инструменты для замера

Для того чтобы рассчитать площадь стен в комнате, понадобятся знания, полученные когда-то на уроках в начальной школе, и подготовить самые обыкновенные инструменты:

• Лист бумаги, для того чтобы схематично нарисовать расположение всех стен, ниш, дверей и окон в комнате или в квартире.

• Карандаш или ручка.
• Рулетка. Удобнее использовать лазерную версию, но если такой нет, то подойдет и обычный механический измеритель.
• Строительный шнур или любая нить, для измерения радиуса, если комната имеет округлую форму.
• Калькулятор понадобится, чтобы упростить процесс подсчета.

Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Основные величины

Как рассчитать площадь стены в квадратных метрах? Все просто. Для этого все измерения нужно производить в метрах, потому что это основная мера площади, используемая в отделочных работах. Конечно, можно все замерить и в сантиметрах, но это будет крайне неудобно из-за слишком длинных чисел. К тому же, при покупке материала все равно придется переводить все измерения в квадратные метры.

При подсчете любых площадей используют следующие показатели:

• h – высота стен. Для более точных измерений (если требуется), рекомендуется измерить высоту в нескольких местах, а затем найти среднюю.
• L – длина стены. Для удобства измерения проводят посередине стены, но для более точных расчетов, замеряют низ, середину и верх стены, складывают и делят на три. Получается средняя длина.
• P – периметр. Сумма длин всех стен комнаты.
• S – площадь. Измеряется в квадратных метрах.
• π – число пи, которое равно 3.14 (округлено).
• R – радиус. Нужен для вычисления площади в круглых комнатах или в помещениях с закругленными элементами.

Видео:Урок. Как найти ширину прямоугольника, по его площади и длине. Математика 2 класс. #учусьсамСкачать

Площадь стен прямоугольной комнаты

Пожалуй, самый легкий вариант для измерений. Для этого понадобится всего две величины:

• Высота и длина. Для площади одной стены S =h × L.
• Высота и периметр. Для измерения площади всех стен S = h × P.

Пример. Для комнаты с длиной стен L₁ =3.58 м и L₂ =2.46 м при высоте h =2.52 м, периметр будет равен

Эта формула работает при одинаковых противоположных стенах, если все стены различаются по длине, то P =L₁ +L₂ +L₃ +L₄.

Соответственно, площадь всех стен будет равна:

S =h ×P =12.08×2.46 =30.4416 м².

А как рассчитать площадь стены в квадратных помещениях? Точно так же: умножаем высоту на длину комнаты и получаем площадь одной стены:

Так как комната квадратная, для того чтобы найти площадь всех стен нужно площадь одной стены умножить на четыре:

Видео:Как различать периметр и площадь?Скачать

Расчет комнаты с круглыми элементами

Для комнат, имеющих круглую форму или элементы полукруга, расчет слегка усложнится, и будет проводиться по немного другой схеме:

• Для полностью круглых комнат формула подсчета будет такой.

Сначала находим периметр комнаты

P = 2 π R или P = π D, где:

А для того чтобы рассчитать площадь стен, нужно периметр умножить на высоту помещения S =P ×h.

• Для комнат, имеющих круглые элементы, нужно схематично отсечь закругленную часть, получив тем самым две фигуры. Затем вычислить площадь каждого элемента и сложить их. В итоге получим общую площадь всех стен в комнате.

Пример. Параметры комнаты: L₁ =3.4 м, L₂ =4.1 м, h =2.52 м и R =1.54 м. Порядок расчета будет такой:

Периметр первой фигуры будет равен:

P₁ =π R =3.14×1.54 =4.8356 м.

Периметр второго элемента:

P₂ = (L₁ +L₂) ×2 = (3.4+4.1) ×2 =15 м, а площадь будет равна:

Общая площадь стен в помещении:

Видео:Площадь круга. Математика 6 класс.Скачать

Расчет площади комнаты неправильной формы

Довольно часто встречаются комнаты, квартиры и дома со стенами нестандартной формы. Это могут быть всевозможные выступы, ниши и колоны или стены, создающие своим построением различные фигуры.

Как рассчитать площадь стен в этой ситуации? Да все также, несмотря на нестандартные формы, подход к подсчету их площади вполне обычный.

• Сначала необходимо схематично разделить помещение так, чтобы получились различные геометрические фигуры. Вычисляем площадь каждой из них, а затем складываем, получив тем самым общую площадь.
• Еще один способ, чтобы рассчитать площадь, но он не всегда удобен, из-за нагромождения мебели к примеру. Заключается в том, что нужно пройти рулеткой по всем стенам (любых форм) вкруговую. То есть, начав измерять с одного угла к нему и вернуться. Получив общий периметр, умножаем его на высоту и находим сразу общую площадь комнаты.
• Еще один тип стен неправильной формы – мансарда. В данной ситуации стена схематично разделяется на четырехугольник и треугольник. В зависимости от того какой треугольник получился (прямоугольный, равнобедренный или равносторонний) для вычисления площади применяются различные формулы.

К примеру, для прямоугольного треугольника:

a и b – стороны образующие прямой угол.

Или можно воспользоваться формулой Герона:

a b c – стороны треугольника, а p – полупериметр a+b+c ÷2, которая позволяет вычислить площадь треугольника по трем сторонам.

А как рассчитать площадь стен дома или квартиры? Ответ даже легче, чем вопрос. Находим площадь каждой комнаты отдельно и их сумма будет являться площадью квартиры или дома.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Векторное произведение.Скачать

Вычитаем окна и двери

Если мы хотим рассчитать площадь стен правильно, то невозможно обойтись без этого действия. Окна и двери, вернее их размер дают большую погрешность в подсчетах, если не вычесть их площадь. Расчет площади оконных и дверных проемов не отличается от вычисления площади стен и выглядит примерно так:

• нужно умножить высоту и ширину оконного или дверного проема, получив тем самым площадь.
• затем сложить площади всех проемов и вычесть полученный результат из площади комнаты.
• полученный ответ и будет наиболее точным.

Пример. В комнате площадью 43,8 м² имеются оконный проем размером 2,1 на 1,45 м и дверной проем размером 0,9 на 2,07. Путем вычисления получаем площадь окна, равную 3,045 м² и площадь двери – 1,863 м². Сложив результаты, получаем общую площадь имеющихся проемов равную 4,908 м². Теперь вычитаем эти цифры от площади комнаты и получаем более точный результат:

S =43,8-4,908 =38,892 м², где:

S – это площадь всех стен без окон и дверей.

Видео:Периметр прямоугольника. Как найти периметр прямоугольника?Скачать

В заключение

Более точные измерения помогут вам:

• составить смету расходов для предстоящего ремонта;
• закупить необходимое количество отделочных материалов;
• избежать лишних затрат, покупая материала больше чем нужно;
• подсчитать предстоящие расходы за работы, которые будут проводиться наемными специалистами.

Видео:ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ и ПЛОЩАДЬ КРУГА 9 класс геометрия АтанасянСкачать

этап. Упражнения на площадь.

— А теперь, ребята, давайте поработаем индивидуально. Перед каждым из вас на парте лежит листочек с заданием. Ваша задача самостоятельно ознакомиться с заданием и через 5 минут устно ответить на вопросы. Время пошло, готовьтесь.

— Ну что? Время подходит к концу. Все готовы? (Да)

— Маша, можешь назвать фигуры с одинаковой площадью. (Треугольники)

— Как ты это узнала? (Наложила фигуры друг на друга) Кто согласен с Машей, поднимите руку.

-Петя, найдите самую маленькую фигуру. (Круг. При наложении она оказалась внутри квадрата) Кто согласен с Петей? Поднимите руку.

— Молодцы, вы справились с заданиями!

— Теперь, когда мы познакомились со всеми приёмами сравнения, предлагаю открыть наши учебники на странице 57 и выполнить упражнение 1.

Маша, пожалуйста, прочитай задание вслух. (На рисунке изображены фигуры, которые при наложении не совпадут. Докажи, что их площади не равны)

— Спасибо, Маша. Итак, давайте все вместе подумаем и ответим на этот вопрос? (Нужно посчитать квадраты, из которых состоят фигуры, и сравнить их количество. В каждой фигуре по 4 квадрата, значит фигуры имеют одинаковую площадь)

— Совершенно верно! Вы большие молодцы!

Вопрос 3. Составьте или подберите из учебников упражнения, подводящие учащихся к введению единой единицы измерения площади — квадратного сантиметра. Сделайте необходимую наглядность (для одного ученика).

Детям сообщается, что для измерения площади используется единица, которая называется кв.см. Затем ученики чертят в тетради квадрат со стороной 1 см и называют его квадратным сантиметром. Площадь этого квадрата принимают за единицу измерения площади. Вводится правило записи и чтения. 5 кв.см. – 5 см 2 – 5 квадратных сантиметров. После введения понятия проводится его закрепление.

В разных учебниках приведены следующие упражнения:

Вопрос 4. Опишите методику работы с палеткой. Какие упражнения и в какой последовательности вы должны предложить учащимся, чтобы сформировать у них умение вычислять площадь любой фигуры с помощью палетки. Изготовьте палетку.

Для определения площади фигур, имеющих форму, отличную от прямоугольника, используется палетка. (Палетка— это прозрачная пленка, расчерченная на см 2 ). До введения палетки можно провести практическую работу по определению площади прямоугольников, начерченных на миллиметровой бумаге. Учитель обращает внимание детей на то, что одни неполные квадраты можно «сложить» с другими так, что они образуют квадратный сантиметр. Учащиеся убеждаются в возможности замены неполных квадратов полными: число полных квадратов составляет примерно половину числа неполных.

1. Разместить палетку поверх фигуры так, чтобы в ней поместилось максимальное количество целых клеточек – кв. см.

2. Отдельно пересчитать количество полностью заполненных фигурой клеток и тех, которые заняты только частично.

3. Умножить количество неполных клеток на 2 и сложить результат с количеством целых клеток.

4. Полученный результат и будет показывать, сколько квадратных сантиметров содержится в данной фигуре, т.е. ее площадь.

Детям необходимо объяснить, что измерение площади произвольной фигуры при помощи палетки дает приближенные результаты.

После такой подготовительной работы можно предложить учащимся сделать альбом различных плоских геометрических фигур (на стандартные листы формата А5 наклеиваются плоские фигуры различной формы – многоугольники, ограниченные кривыми линиями, вырезанные из цветной бумаги) и определить площадь каждой из них.

Если потом учащиеся, сидящие за одной партой, поменяются своими альбомами и измерят площади фигур в альбомах друг друга, то можно сравнить полученные каждым учеником при измерении площади одной и той же фигуры результаты. Дальше проанализировать с учениками, почему полученные результаты могут быть разными. Причины различия в результатах могут быть не только в ошибке в подсчете клеточек, но и просто в другом расположении палетки, что ошибкой не является.

Обязательно практиковать определение площади плоских фигур, начерченных как на линованной, так и нелинованной бумаге.

Вопрос 5.Составьте беседу, подводящую учащихся к выводу о правиле вычисления площади прямоугольника.

(У детей на партах, в конвертах, лежат прямоугольники)

— Ребята, сегодня мы с вами будем учиться вычислять площадь прямоугольника. Возьмите на партах конверты и откройте их. Посмотрите, перед вами прямоугольник. Кто скажет, что нам нужно сделать, чтобы вычислить его площадь? (Его нужно разбить на квадратные сантиметры)

-Совершенно верно! Давайте сделаем это.

— Молодцы! Теперь нам осталось посчитать квадратные сантиметры. Мы видим, что прямоугольник разбит на квадраты, которые можно посчитать и по строкам, и по столбцам, (двумя способами). Давайте начнём со столбцов. Сколько их? Ваня? (8)

-Все согласны с Ваней? Хорошо. А кто скажет, по сколько квадратов в каждом столбце? Маша? (По 3)

-Правильно. Как мы сосчитаем все квадраты? (3 берем по 8, получается 24)

— У всех так получилось? Хорошо. Ребята, А что такое 3 в прямоугольнике? (Это ширина)

— Хорошо! А что такое 8? (Это длина)

— Совершенно верно! Значит, чтобы найти площадь прямоугольника, нужно …?(Длину умножить на ширину)

— Совершенно верно! Это правило нахождения площади прямоугольника. Еще, по-другому говорят так: числа 3 и 8 – это числовые значения длин сторон прямоугольника, а чтобы найти площадь прямоугольника нужно длину одной стороны умножить на длину другой (второй) стороны.

— Хорошо, давайте попробуем решить эту задачу другим способом. Сколько строк в этом прямоугольнике? Петя? (3)

— Верно. А по сколько в каждой строке квадратов? (По 8)

—Совершенно верно! Кто найдет площадь прямоугольника? Миша?(8 берем по 3, получается 24)

— Правильно! А кто по-другому ответит на этот вопрос? Как мы нашли площадь прямоугольника? (Мы длину умножили на ширину)

— Верно! Мы увидели, что площадь прямоугольника мы можем вычислять двумя способами: 3*8=24; 8*3=24, но правило нахождение площади у нас одно, давайте хором его произнесем: чтобы вычислить площадь прямоугольника, нужно длину умножить на ширину (написано на экране).

Ребята, мы выявили правило нахождения площади прямоугольника, теперь нам не нужно использовать мерки или палетку, все стало гораздо проще!

Вопрос 6.Составьте беседу об истории возникновения единиц измерения площади фигуры.

—Сегодня мы будем учиться измерять площади фигур. Но, прежде чем мы начнем это делать, нам нужно узнать в каких единицах измерения вычисляется площадь. Внимание на экран! (Учитель рассказывает и идёт презентация)

— Сейчас, за единицу измерения площадь принято брать площадь квадрата, сторона которого 1 см, — это единица площади – квадратный сантиметр.

— Слова «квадратный сантиметр» при числах записывают вот так: см 2

— Давайте посмотрим на прямоугольник АВСД и посчитаем, сколько квадратных сантиметров в нём поместилось? (7) А это значит, что площадь данного прямоугольника равна? (7 квадратных сантиметров).

В 4 классе составляют сводную таблицу мер площади.

Также надо познакомить детей саром и гектаром!

Вопрос 7.Выпишите из учебников математики задания на сложение и вычитание площадей, на умножение и деление площади на число.

Моро М. И. УМК «Школа России»

Истомина Н. Б. УМК «Гармония»

Чекин А. Л. УМК «Перспективная начальная школа»

Демидова, Козлова, Тонких УМК «Школа 2100»

Петерсон Л. Г. УМК «Перспектива»

АргинскаяР.И. «Система развивающего обучения Л.В.Занкова»

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Периметр, площадь и объём

Видео:Как найти длину прямоугольника, если известны площадь и ширинаСкачать

Периметр геометрической фигуры

Периметр геометрической фигуры — это сумма всех её сторон. Чтобы вычислить периметр, нужно измерить каждую сторону и сложить результаты измерений.

Вычислим периметр следующей фигуры:

Это прямоугольник. Детальнее мы поговорим об этой фигуре позже. Сейчас просто вычислим периметр этого прямоугольника. Длина его равна 9 см, а ширина 4 см.

У прямоугольника противоположные стороны равны. Это видно на рисунке. Если длина равна 9 см, а ширина равна 4 см, то противоположные стороны будут равны 9 см и 4 см соответственно:

Найдём периметр. Для этого сложим все стороны. Складывать их можно в любом порядке, поскольку от перестановки мест слагаемых сумма не меняется. Периметр часто обозначается заглавной латинской буквой P (англ. perimeters ). Тогда получим:

P = 9 см + 4 см + 9 см + 4 см = 26 см.

Поскольку у прямоугольника противоположные стороны равны, нахождение периметра записывают короче — складывают длину и ширину, и умножают её на 2, что будет означать «повторить длину и ширину два раза»

P = 2 × (9 + 4) = 18 + 8 = 26 см.

Квадрат это тот же прямоугольник, но у которого все стороны равны. Например, найдём периметр квадрата со стороной 5 см. Фразу «со стороной 5 см» нужно понимать как «длина каждой стороны квадрата равна 5 см»

Чтобы вычислить периметр, сложим все стороны:

P = 5 см + 5 см + 5 см + 5 см = 20 см

Но поскольку все стороны равны, вычисление периметра можно записать в виде произведения. Сторона квадрата равна 5 см, и таких сторон 4. Тогда эту сторону, равную 5 см нужно повторить 4 раза

P = 5 см × 4 = 20 см

Видео:Геометрическая интерпретация формулы сокращённого умножения квадрат разности.Скачать

Площадь геометрической фигуры

Площадь геометрической фигуры — это число, которое характеризует размер данной фигуры.

Следует уточнить, что речь в данном случае идёт о площади на плоскости. Плоскостью в геометрии называют любую плоскую поверхность, например: лист бумаги, земельный участок, поверхность стола.

Площадь измеряется в квадратных единицах. Под квадратными единицами подразумевают квадраты, стороны которых равны единице. Например, 1 квадратный сантиметр, 1 квадратный метр или 1 квадратный километр.

Измерить площадь какой-нибудь фигуры означает выяснить сколько квадратных единиц содержится в данной фигуре.

Например, площадь следующего прямоугольника равна трём квадратным сантиметрам:

Это потому что в данном прямоугольнике содержится три квадрата, каждый из которых имеет сторону, равную одному сантиметру:

Справа представлен квадрат со стороной 1 см (он в данном случае является квадратной единицей). Если посмотреть сколько раз этот квадрат входит в прямоугольник, представленный слева, то обнаружим, что он входит в него три раза.

Следующий прямоугольник имеет площадь, равную шести квадратным сантиметрам:

Это потому что в данном прямоугольнике содержится шесть квадратов, каждый из которых имеет сторону, равную одному сантиметру:

Допустим, потребовалось измерить площадь следующей комнаты:

Определимся в каких квадратах будем измерять площадь. В данном случае площадь удобно измерить в квадратных метрах:

Итак, наша задача состоит в том, чтобы определить сколько таких квадратов со стороной 1 м содержится в исходной комнате. Заполним этим квадратом всю комнату:

Видим, что квадратный метр содержится в комнате 12 раз. Значит, площадь комнаты составляет 12 квадратных метров.

Видео:Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shortsСкачать

Площадь прямоугольника

В предыдущем примере мы вычислили площадь комнаты, последовательно проверив сколько раз в ней содержится квадрат, сторона которого равна одному метру. Площадь составила 12 квадратных метров.

Комната представляла собой прямоугольник. Площадь прямоугольника можно вычислить перемножив его длину и ширину.

Чтобы вычислить площадь прямоугольника, нужно перемножить его длину и ширину.

Вернёмся к предыдущему примеру. Допустим, мы измерили длину комнаты рулеткой и оказалось, что длина составила 4 метра:

Теперь измерим ширину. Пусть она составила 3 метра:

Умножим длину (4 м) на ширину (3 м).

Как и в прошлый раз получаем двенадцать квадратных метров. Это объясняется тем, что измерив длину, мы тем самым узнаём сколько раз можно уложить в эту длину квадрат со стороной, равной одному метру. Уложим четыре квадрата в эту длину:

Затем мы определяем сколько раз можно повторить эту длину с уложенными квадратами. Это мы узнаём, измерив ширину прямоугольника:

Видео:Как найти площадь треугольника без формулы?Скачать

Площадь квадрата

Квадрат это тот же прямоугольник, но у которого все стороны равны. Например, на следующем рисунке представлен квадрат со стороной 3 см. Фраза «квадрат со стороной 3 см» означает, что все стороны равны 3 см

Площадь квадрата вычисляется таким же образом, как и площадь прямоугольника — длину умножают на ширину.

Вычислим площадь квадрата со стороной 3 см. Умножим длину 3 см на ширину 3 см

В данном случае требовалось узнать сколько квадратов со стороной 1 см содержится в исходном квадрате. В исходном квадрате содержится девять квадратов со стороной 1 см. Действительно, так оно и есть. Квадрат со стороной 1 см, входит в исходный квадрат девять раз:

Умножив длину на ширину, мы получили выражение 3 × 3 , а это есть произведение двух одинаковых множителей, каждый из которых равен 3. Иными словами выражение 3 × 3 представляет собой вторую степень числа 3. А значит процесс вычисления площади квадрата можно записать в виде степени 3 2 .

Поэтому вторую степень числа называют квадратом числа. При вычислении второй степени числа a , человек тем самым находит площадь квадрата со стороной a . Операцию возведения числа во вторую степень по другому называют возведением в квадрат.

Видео:№ 5.6. Периметр и площадь квадрата (дополнение)Скачать

Обозначения

Площадь обозначается заглавной латинской буквой S (англ. Square — квадрат). Тогда площадь квадрата со стороной a см будет вычисляться по следующему правилу

где a — длина стороны квадрата. Вторая степень указывает на то, что происходит перемножение двух одинаковых сомножителей, а именно длины и ширины. Ранее было сказано, что у квадрата все стороны равны, а значит равны длина и ширина квадрата, выраженные через букву a .

Если задача состоит в том, чтобы определить сколько квадратов стороной 1 см содержится в исходном квадрате, то в качестве единиц измерения площади нужно указывать см 2 . Это обозначение заменяет словосочетание «квадратный сантиметр» .

Например, вычислим площадь квадрат со стороной 2 см.

Значит, квадрат со стороной 2 см, имеет площадь, равную четырём квадратным сантиметрам:

Если задача состоит в том, чтобы определить сколько квадратов со стороной 1 м содержится в исходном квадрате, то в качестве единиц измерения нужно указывать м 2 . Это обозначение заменяет словосочетание «квадратный метр» .

Вычислим площадь квадрата со стороной 3 метра

Значит, квадрат со стороной 3 м, имеет площадь равную девяти квадратным метрам:

Аналогичные обозначения используются при вычислении площади прямоугольника. Но длина и ширина прямоугольника могут быть разными, поэтому они обозначаются через разные буквы, например a и b . Тогда площадь прямоугольника, длиной a и шириной b вычисляется по следующему правилу:

Как и в случае с квадратом, единицами измерения площади прямоугольника могут быть см 2 , м 2 , км 2 . Эти обозначения заменяют словосочетания «квадратный сантиметр», «квадратный метр», «квадратный километр» соответственно.

Например, вычислим площадь прямоугольника, длиной 6 см и шириной 3 см

Значит, прямоугольник длиной 6 см и шириной 3 см имеет площадь, равную восемнадцати квадратным сантиметрам:

В качестве единицы измерения допускается использовать словосочетание «квадратных единиц» . Например, запись S = 3 кв.ед означает, что площадь квадрата или прямоугольника равна трём квадратам, каждый из которых имеет единичную сторону ( 1 см, 1 м или 1 км ).

Видео:Длина окружности. Площадь круга, 6 классСкачать

Перевод единиц измерения площади

Единицы измерения площади можно переводить из одной единицы измерения в другую. Рассмотрим несколько примеров:

Пример 1. Выразить 1 квадратный метр в квадратных сантиметрах.

1 квадратный метр это квадрат со стороной 1 м. То есть все четыре стороны имеют длину, равную одному метру.

Но 1 м = 100 см . Тогда все четыре стороны тоже имеют длину, равную 100 см

Вычислим новую площадь этого квадрата. Умножим длину 100 см на ширину 100 см или возведём в квадрат число 100

S = 100 2 = 10 000 см 2

Получается, что на один квадратный метр приходится десять тысяч квадратных сантиметров.

1 м 2 = 10 000 см 2

Это позволяет в будущем умножить любое количество квадратных метров на 10 000 и получить площадь, выраженную в квадратных сантиметрах.

Чтобы перевести квадратные метры в квадратные сантиметры, нужно количество квадратных метров умножить на 10 000.

А чтобы перевести квадратные сантиметры в квадратные метры, нужно наоборот количество квадратных сантиметров разделить на 10 000 .

Например, переведём 100 000 см 2 в квадратные метры. Рассуждать в этом случае можно так: « если 10 000 см 2 это один квадратный метр, то сколько раз 100 000 см 2 будут содержать по 10 000 см 2 »

100 000 см 2 : 10 000 см 2 = 10 м 2

Другие единицы измерения можно переводить таким же образом. Например, переведём 2 км 2 в квадратные метры.

Один квадратный километр это квадрат со стороной 1 км . То есть все четыре стороны имеют длину, равную одному километру. Но 1 км = 1000 м . Значит, все четыре стороны квадрата также равны 1000 м . Найдём новую площадь квадрата, выраженную в квадратных метрах. Для этого умножим длину 1000 м на ширину 1000 м или возведём в квадрат число 1000

S = 1000 2 = 1 000 000 м 2

Получается, что на один квадратный километр приходится один миллион квадратных метров:

1 км 2 = 1 000 000 м 2

Это позволяет в будущем умножить любое количество квадратных километров на 1 000 000 и получить площадь, выраженную в квадратных метрах.

Чтобы перевести квадратные километры в квадратные метры, нужно количество квадратных километров умножить на 1 000 000.

Итак, вернёмся к нашей задаче. Требовалось перевести 2 км 2 в квадратные метры. Умножим 2 км 2 на 1 000 000

2 км 2 × 1 000 000 = 2 000 000 м 2

А чтобы перевести квадратные метры в квадратные километры, нужно наоборот количество квадратных метров разделить на 1 000 000 .

Например, переведём 3 500 000 м 2 в квадратные километры. Рассуждать в этом случае можно так: « если 1 000 000 м 2 это один квадратный километр, то сколько раз 3 500 000 м 2 будут содержать по 1 000 000 м 2 »

3 500 000 м 2 : 1 000 000 м 2 = 3,5 км 2

Пример 2. Выразить 7 м 2 в квадратных сантиметрах.

Умножим 7 м 2 на 10 000

7 м 2 = 7 м 2 × 10 000 = 70 000 см 2

Пример 3. Выразить 5 м 2 13 см 2 в квадратных сантиметрах.

5 м 2 13 см 2 = 5 м 2 × 10 000 + 13 см 2 = 50 013 см 2

Пример 4. Выразить 550 000 см 2 в квадратных метрах.

Узнаем сколько раз 550 000 см 2 содержит по 10 000 см 2 . Для этого разделим 550 000 см 2 на 10 000 см 2

550 000 см 2 : 10 000 см 2 = 55 м 2

Пример 5. Выразить 7 км 2 в квадратных метрах.

Умножим 7 км 2 на 1 000 000

7 км 2 × 1 000 000 = 7 000 000 м 2

Пример 6. Выразить 8 500 000 м 2 в квадратных километрах.

Узнаем сколько раз 8 500 000 м 2 содержит по 1 000 000 м 2 . Для этого разделим 8 500 000 м 2 на 1 000 000 м 2

8 500 000 м 2 × 1 000 000 м 2 = 8,5 км 2

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Единицы измерения площади земельных участков

Площади небольших земельных участков удобно измерять в квадратных метрах.

Площади более крупных земельных участков измеряются в арах и гектарах.

Ар (сокращённо: a) — это площадь равная ста квадратным метрам ( 100 м 2 ). В виду частого распространения такой площади ( 100 м 2 ) она стала использоваться, как отдельная единица измерения.

Например, если сказано что площадь какого-нибудь поля составляет 3 а, то нужно понимать, что это три квадрата площадью 100 м 2 каждый, то есть:

3 а = 100 м 2 × 3 = 300 м 2

В народе ар часто называют соткой, поскольку ар равен квадрату, площадью 100 м 2 . Примеры:

1 сотка = 100 м 2

2 сотки = 200 м 2

10 соток = 1000 м 2

Гектар (сокращенно: га) — это площадь, равная 10 000 м 2 . Например, если сказано что площадь какого-нибудь леса составляет 20 гектаров, то нужно понимать, что это двадцать квадратов площадью 10 000 м 2 каждый, то есть:

20 га = 10 000 м 2 × 20 = 200 000 м 2

Видео:Площадь квадрата. Как найти площадь квадрата?Скачать

Прямоугольный параллелепипед и куб

Прямоугольный параллелепипед — это геометрическая фигура, состоящая из грáней, рёбер и вершин. На рисунке показан прямоугольный параллелепипед:

Желтым цветом показаны грáни параллелепипеда, чёрным цветом — рёбра, красным — вершины.

Прямоугольный параллелепипед обладает длиной, шириной и высотой. На рисунке показано где длина, ширина и высота:

Параллелепипед, у которого длина, ширина и высота равны между собой, называется кубом. На рисунке показан куб:

Видео:Математика 3 класс (Урок№22 - Площадь прямоугольника.)Скачать

Объём геометрической фигуры

Объём геометрической фигуры — это число, которое характеризует вместимость данной фигуры.

Объём измеряется в кубических единицах. Под кубическими единицами подразумевают кубы длиной 1, шириной 1 и высотой 1. Например, 1 кубический сантиметр или 1 кубический метр.

Измерить объём какой-нибудь фигуры означает выяснить сколько кубических единиц вмещается в данную фигуру.

Например, объём следующего прямоугольного параллелепипеда равен двенадцати кубическим сантиметрам:

Это потому что в данный параллелепипед вмещается двенадцать кубов длиной 1 см, шириной 1 см и высотой 1 см:

Объём обозначается заглавной латинской буквой V. Одна из единиц измерения объема это кубический сантиметр (см 3 ). Тогда объём V рассмотренного нами параллелепипеда равен 12 см 3

V = 12 см 3

Объём любого параллелепипеда вычисляют следующим образом: перемножают его длину, ширину и высоту .

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.

V = abc

где, a — длина, b — ширина, c — высота

Так, в предыдущем примере мы визуально определили, что объём параллелепипеда равен 12 см 3 . Но можно измерить длину, ширину и высоту данного параллелепипеда и перемножить результаты измерений. Мы получим тот же результат

Объём куба вычисляется таким же образом, как и объём прямоугольного параллелепипеда — перемножают длину, ширину и высоту.

Например, вычислим объём куба, длина которого 3 см. У куба длина, ширина и высота равны между собой. Если длина равна 3 см, то равны этим же трём сантиметрам ширина и высота куба:

Перемножаем длину, ширину, высоту и получаем объём, равный двадцати семи кубическим сантиметрам:

V = 3 × 3 × 3 = 27 см³

Действительно, в исходный куб вмещается 27 кубиков длиной 1 см

При вычислении объёма данного куба мы перемножили длину, ширину и высоту. Получилось произведение 3 × 3 × 3. Это есть произведение трёх сомножителей, каждый из которых равен 3. Иными словами, произведение 3 × 3 × 3 является третьей степенью числа 3 и может быть записано в виде 3 3 .

V = 3 3 = 27 см 3

Поэтому третью степень числа называют кубом числа. При вычислении третьей степени числа a , человек тем самым находит объём куба, длиной a . Операцию возведения числа в третью степень по другому называют возведением в куб.

Таким образом, объём куба вычисляется по следующему правилу:

Где a — длина куба.

Кубический дециметр. Кубический метр

Не все объекты нашего мира удобно измерять в кубических сантиметрах. Например, объём комнаты или дома удобнее измерять в кубических метрах ( м 3 ). А объём бака, аквариума или холодильника удобнее измерять в кубических дециметрах ( дм 3 ).

Другое название одного кубического дециметра – один литр.

1 дм 3 = 1 литр

Видео:Площадь параллелограмма, построенного на данных векторахСкачать

Перевод единиц измерения объёма

Единицы измерения объёма можно переводить из одной единицы измерения в другую. Рассмотрим несколько примеров:

Пример 1. Выразить 1 кубический метр в кубических сантиметрах.

Один кубический метр это куб со стороной 1 м. Длина, ширина и высота этого куба равны одному метру.

Но 1 м = 100 см . Значит, длина, ширина и высота тоже равны 100 см

Вычислим новый объём куба, выраженный в кубических сантиметрах. Для этого перемножим его длину, ширину и высоту. Либо возведём число 100 в куб:

V = 100 3 = 1 000 000 см 3

Получается, что на один кубический метр приходится один миллион кубических сантиметров:

1 м 3 = 1 000 000 см 3

Это позволяет в будущем умножить любое количество кубических метров на 1 000 000 и получить объём, выраженный в кубических сантиметрах.

Чтобы перевести кубические метры в кубические сантиметры, нужно количество кубических метров умножить на 1 000 000.

А чтобы перевести кубические сантиметры в кубические метры, нужно наоборот количество кубических сантиметров разделить на 1 000 000 .

Например, переведём 300 000 000 см 3 в кубические метры. Рассуждать в этом случае можно так: « если 1 000 000 см 3 это один кубический метр, то сколько раз 300 000 000 см 3 будут содержать по 1 000 000 см 3 »

300 000 000 см 3 : 1 000 000 см 3 = 300 м 3

Пример 2. Выразить 3 м 3 в кубических сантиметрах.

Умножим 3 м 3 на 1 000 000

3 м 3 × 1 000 000 = 3 000 000 см 3

Пример 3. Выразить 60 000 000 см 3 в кубических метрах.

Узнаем сколько раз 60 000 000 см 3 содержит по 1 000 000 см 3 . Для этого разделим 60 000 000 см 3 на 1 000 000 см 3

60 000 000 см 3 : 1 000 000 см 3 = 60 м 3

Вместимость бака, банки или канистры измеряют в литрах. Литр это тоже единица измерения объема. Один литр равен одному кубическому дециметру.

1 литр = 1 дм 3

Например, если вместимость банки составляет 1 литр, это значит что объём этой банки составляет 1 дм 3 . При решении некоторых задач может быть полезным умение переводить литры в кубические дециметры и наоборот. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Перевести 5 литров в кубические дециметры.

Чтобы перевести 5 литров в кубические дециметры, достаточно умножить 5 на 1

Пример 2. Перевести 6000 литров в кубические метры.

Шесть тысяч литров это шесть тысяч кубических дециметров:

6000 л × 1 = 6000 дм 3

Теперь переведём эти 6000 дм 3 в кубические метры.

Длина, ширина и высота одного кубического метра равны 10 дм

Если вычислить объём этого куба в дециметрах, то получим 1 000 дм 3

V = 10 3 = 1000 дм 3

Получается, что одна тысяча кубических дециметров соответствует одному кубическому метру. А чтобы определить сколько кубических метров соответствуют шести тысячамл кубических дециметров, нужно узнать сколько раз 6 000 дм 3 содержит по 1 000 дм 3

6 000 дм 3 : 1 000 дм 3 = 6 м 3

Значит, 6000 л = 6 м 3 .

Таблица квадратов

В жизни часто приходиться находить площади различных квадратов. Для этого каждый раз требуется возводить исходное число во вторую степень.

Квадраты первых 99 натуральных чисел уже вычислены и занесены в специальную таблицу, называемую таблицей квадратов.

Первая строка данной таблицы (цифры от 0 до 9) это единицы исходного числа, а первый столбец (цифры от 1 до 9) это десятки исходного числа.

Например, найдём квадрат числа 24 по данной таблице. Число 24 состоит из цифр 2 и 4. Точнее, число 24 состоит из двух десятков и четырёх единиц.

Итак, выбираем цифру 2 в первом столбце таблицы (столбце десятков), а цифру 4 выбираем в первой строке (строке единиц). Затем, двигаясь вправо от цифры 2 и вниз от цифры 4, найдём точку пересечения. В результате окажемся на позиции, где располагается число 576. Значит, квадрат числа 24 есть число 576

24 2 = 576

Таблица кубов

Как и в ситуации с квадратами, кубы первых 99 натуральных чисел уже вычислены и занесены в таблицу, называемую таблицей кубов.

Куб числа по таблице определяется таким же образом, как и квадрат числа. Например, найдём куб числа 35. Это число состоит из цифр 3 и 5. Выбираем цифру 3 в первом столбце таблицы (столбце десятков), а цифру 5 выбираем в первой строке (строке единиц). Двигаясь вправо от цифры 3 и вниз от цифры 5, найдём точку пересечения. В результате окажемся на позиции, где располагается число 42875. Значит, куб числа 35 есть число 42875.

35 3 = 42875

Задания для самостоятельного решения

Решение

a = 6, b = 2
P = 2(6 + 2) = 12 + 4 = 16 см

Ответ: периметр прямоугольника равен 16 см.

Решение

Ответ: площадь равна 12 см 2 .

Решение

Ответ: ширина прямоугольника составляет 2 см.

Решение

S = a 2
a = 8
S = 8 2 = 64 см 2
Ответ: площадь квадрата со стороной 8 см равна 64 см 2

Решение

Ответ: объем прямоугольного параллелепипеда, длина которого 6 см, ширина 4 см, высота 3 см равен 72 см 3

Решение

Ответ: высота прямоугольного параллелепипеда равна 4 см.

Решение

Число 4 отражает площадь, засеянную пшеницей. А число 5 отражает площадь, засеянную льном.
Сказано что площади, засеянные пшеницей и льном пропорциональны этим числам.

Проще говоря, во сколько раз изменяются числа 4 или 5, во сколько же раз изменится и площадь, которая засеяна пшеницей или льном. Льном засеяно 15 га. То есть число 5, которое отражает площадь, засеянную льном, изменилось в 3 раза.

Тогда число 4, которое отражает площадь засеянную пшеницей, нужно увеличить в три раза

Ответ: пшеницей засеяно 12 га.

Решение

a = 42 м
b = м
c = 42 × 0,1 = 4,2 м

Определим объем зернохранилища:

V = abc = 42 × 30 × 4,2 = 5292 м 3

Определите сколько тонн зерна вмещает зернохранилище:

5292 × 740 = 3916080 кг

Переведём килограммы в тонны:

Ответ: зернохранилище вмещает 3916,08 тонн зерна.

Решение

Определим сколько литров в минуту вливается через вторую трубу:

25 л/мин × 0,75 = 18,75 л/мин

Определим сколько литров в минуту вливается в бассейн через обе трубы:

25 л/мин + 18,75 л/мин = 43,75 л/мин

Определим сколько литров воды будет залито в бассейн за 13 ч 32 мин

43,75 × 13 ч 32 мин = 43,75 × 812 мин = 35 525 л

1 л = 1 дм 3

35 525 л = 35 525 дм 3

Переведём кубические дециметры в кубические метры. Это позволит вычислит объем бассейна:

35 525 дм 3 : 1000 дм 3 = 35,525 м 3

Зная объём бассейна можно вычислить высоту бассейна. Подставим в буквенное уравнение V=abc имеющиеся у нас значения. Тогда получим:

Ответ: высота (глубина) бассейна составляет 1,75 м.

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

9 thoughts on “Периметр, площадь и объём”

Ура. Вы снова в деле. Всегда будем рады новым урокам.

Благодарю. Все четко, последовательно, без воды. Пожалуйста не останавливайтесь! Желаю успехов в ваших проектах.

Продовжуйте працювати! Спасибі, що ви випукаєте нові уроки. Чекаю на нові уроки із захопленням.

Продовжуйте працювати! Спасибі, що ви випукаєте нові уроки, я чекаю на них із захопленням.