центр тяжести площадей сложных фигур (4 видео)

Содержание

Лабораторная работа по технической механике на тему: «Определение координат центра тяжести плоской фигуры методом подвешивания»
Определение положения центра тяжести фигур и тел сложной формы
Определение положения центра тяжести фигур и тел сложной формы
Аналитический способ
Экспериментальный способ
Пример задачи:
Пример задачи:
Пример задачи:
Пример задачи:
Центр тяжести тела — формулы и примеры нахождения
Общие сведения
Поиск центра тяжести
Пример задания
Простая задачка
📹 Видео

Видео:Определение центра тяжести сложных сечений. Фигуры из ГОСТ.Скачать

Лабораторная работа по технической механике на тему: «Определение координат центра тяжести плоской фигуры методом подвешивания»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Лабораторная работа №1

Тема: Определение центра тяжести плоских фигур методом подвешивания.

Цель работы: Выполнение расчета координат центра тяжести простых и сложных плоских фигур аналитически и определение центра тяжести сложной фигуры методом подвешивания.

Сила, с которой тела притягиваются к Земле, называется силой тяжести.

Сила тяжести — равнодействующая сил притяжения к Земле, она распределена по всему объему тела. Силы притяжения, приложенные к частицам твердого тела, образуют систему сил, линии действия которых сходятся в центре Земли. Поскольку радиус Земли значительно больше размеров любого земного тела, силы притяжения можно считать параллельными.

Центром тяжести тела называется центр параллельных сил тяжести всех элементарных частиц тела.

Любое тело состоит из большого количества элементарных частиц.

Центр тяжести есть геометрическая точка, которая может лежать вне тела (кольцо, цилиндр с отверстием).

Координаты центра тяжести тела находят по тем же формулам, что и координаты центра параллельных сил.

Очень часто приходится определять центры тяжести геометрических плоских фигур сложной формы. Координаты центра тяжести вычисляются по формулам: ; .

где Аi – площадь простой фигуры (элементарной площади);

Хi. Yi – координаты центра тяжести элементарной площади.

Для вычисления координат центра тяжести геометрических плоских фигур используются следующие методы:

1. Метод симметрии:

если однородное тело имеет ось симметрии , то центр тяжести лежит на оси симметрии;
если однородное тело имеет две оси симметрии , то центр тяжести лежит в точке их пересечения;
центр тяжести однородного тела вращения лежит на оси вращения.

2. Метод разделения: сложные сечения разделяем на минимальное количество простых частей, положение центров тяжести которых, легко определить;

3. Метод отрицательных площадей: полости (отверстия) рассматриваются как часть сечения с отрицательной площадью.

Методика решения задач по аналитическому определению координат центра тяжести площади.

Для решения задач плоской системы параллельных сил и определения координат центра тяжести плоской фигуры сложной конфигурации применяем следующую методику:

1. Сложную фигуру разбиваем на элементарные площади.

2. В каждой элементарной площади определяем центр тяжести

3. Выбираем оси координат

4. Относительно этих осей координат определяем координаты центра тяжести каждой элементарной площади

5. Составив уравнения, решаем задачу по определению центра тяжести сложной фигуры.

6. При решении задач необходимо помнить, если фигура имеет вырез, то в уравнениях для X_c Y_c А _x А _y площадь выреза ставится со знаком «минус»

Сведения о координатах центра тяжести простейших фигур

Прямоугольник. Так как прямоугольник имеет две оси симметрии , то его центр тяжести находится на пересечении осей симметрии, т.е. в точке пересечения диагоналей прямоугольника. A = b × h .

Треугольник. Центр тяжести лежит в точке пересечения его медиан. Из геометрии известно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в отношении 1:2 от основания. А= b × h /2.

Круг. Так как круг имеет две оси симметрии, то его центр тяжести находится на пересечении осей симметрии. А= p d 2 /4 .

Полукруг. Полукруг имеет одну ось симметрии, его центр тяжести лежит на этой оси. Другая координата центра тяжести вычисляется по формуле: .

Равнобедренный треугольник. Центр тяжести лежит на оси симметрии, которой является высота треугольника. В равнобедренном треугольнике медиана совпадает с высотой h треугольника. А=а × h /2.

Методика опытного определения координат центра тяжести способом подвешивания .

Установка для опытного определения координат центра тяжести способом подвешивания состоит из вертикальной стойки 1 (рисунок 1), к которой прикреплена игла 2.

Плоская фигура 3 изготовлена из картона, в котором легко проколоть отверстие. Отверстия А и В прокалываются в произвольно расположенных точках (лучше на наиболее удаленном расстоянии друг от друга).

Плоская фигура подвешивается на иглу сначала в точке А, а потом в точке В. При помощи отвеса 4, закрепленного на той же игле, на фигуре прочерчивают карандашом вертикальную линию, соответствующую нити отвеса.

Центр тяжести С фигуры будет находиться в точке пересечения вертикальных линий, нанесенных при подвешивании фигуры в точках А и В.

Рисунок 1. Установка для опытного определения координат центра тяжести способом подвешивания

Пример. Определить положение центра тяжести фигуры, представленной на рисунке 2.

Рисунок 2. Сложная плоская фигура

1. Выбираем оси координат, так чтобы ось 0х прошла по крайнему нижнему габаритному размеру, а ось 0у – по крайнему левому габаритному размеру.

2. Разбиваем сложную фигуру на минимальное количество простых фигур:

1) прямоугольник 20х10;

2) треугольник 15х10;

3. Вычисляем площадь каждой простой фигуры, её координаты центра тяжести. Результаты вычислений заносим в таблицу 1.

Видео:Центр тяжести. ЭкспериментСкачать

Определение положения центра тяжести фигур и тел сложной формы

Аналитический способ

Для определения положения центра тяжести фигур и тел сложной геометрической формы их мысленно разбивают на такие части простейшей формы (если, конечно, это возможно), для которых положения центров тяжести известны. Затем определяют положение центра тяжести всей фигуры или тела по формулам § 39, понимая в этих формулах под и объемы, площади и длины частей, на которые разбито данное тело, фигура или линия, а под и — координаты центров тяжести этих частей.

Если рассматриваемые фигуры или тела неоднородны, то, разделив их па однородные части, умножают входящие в формулы (43), (44) и (47) объемы, площади и длины этих частей на соответствующий каждой части удельный вес. Если в данном теле или фигуре имеются полости или отверстия, то для определения центра тяжести такого тела или фигуры пользуются теми же приемами и формулами, считая при этом объемы и площади вырезанных частей отрицательными.

В тех случаях, когда данное тело нельзя разбить на такие части, для которых было бы известно положение их центров тяжести, для вычисления координат центра тяжести тела приходится пользоваться методами интегрального исчисления.

Экспериментальный способ

Для определения центра тяжести неоднородных тел сложной формы существуют различные экспериментальные методы. Рассмотрим на примерах два из них.

I. Метод взвешивания. Для определения положения центра тяжести шатун (рис. 93) подвешиваем в точке и опираем точкой на платформу десятичных весов, так чтобы он занял горизонтальное положение. Сила давления шатуна на платформу, найденная путем взвешивания, оказалась равной по модулю . К находящемуся в равновесии шатуну приложены силы: сила тяжести шатуна, проходящая через его центр тяжести, вертикальная реакция платформы, проходящая через точку и равная по модулю силе давления шатуна на платформу, и сила натяжения нити .

Зная вес шатуна и расстояние между его точками и , теперь нетрудно найти и расстояние от точки до центра тяжести шатуна. Одним из уравнений равновесия шатуна будет:

Метод подвешивания. Тело подвешивают на нити за какую-либо его точку (рис. 94, а) к неподвижной точке . После того как тело придет в равновесие, проводят вертикальную линию , составляющую продолжение направления нити . При равновесии центр тяжести тела должен находиться на одной

вертикали с неподвижной точкой и, следовательно, будет лежать на линии . Вновь подвесив тело к другой его точке (рис. 94,6), мы точно так же найдем, что его центр тяжести лежит на линии , являющейся продолжением направления нити . Точка пересечения линий и и будет являться центром тяжести тела. Способ подвешивания удобен для определения положения центра тяжести тонких пластинок.

Пример задачи:

Найти статические моменты относительно координатных осей площади листа и координаты его центра тяжести. Размеры листа (в сантиметрах) указаны на рис. 95.

Решение:

Разобьем данную площадь на три прямоугольника. Центр тяжести каждого из прямоугольников лежит на пересечении его диагоналей. Координаты этих центров, так же как и площади прямоугольников, легко определяются из чертежа.

По формулам (45) находим статические моменты площади данной фигуры

Определяем теперь по формулам (46) координаты центра тяжести площади фигуры:

Пример задачи:

Найти центр тяжести площади кругового сегмента радиуса , если (рис. 96).

Решение:

Искомый центр тяжести лежит на оси симметрии, проходящей через центр круга и середину дуги . Направим вдоль прямой ось . Начало координат возьмем в точке Будем рассматривать круговой сегмент как состоящий из двух фигуp: кругового сектора и треугольника , причем вторую площадь надо считать отрицательной.

Площадь кругового сектора

Абсцисса его центра тяжести

По формуле (44) определяем абсциссу центра тяжести данного кругового сегмента:

Пример задачи:

Тело состоит из деревянного цилиндра II, радиус которого высота и двух скрепленных с ним стальных шаров I и III с радиусами и (рис. 97). Определить положение центра тяжести этого тела, если удельный вес дерева и удельный вес стали .

Решение:

Искомый центр тяжести лежит на оси симметрии, проходящей через центры шаров и . Начало координат возьмем в центре большого шара и ось симметрии примем за ось . Разобьем тело на три части и составим для них таблицу объемов и координат (абсцисс) центров тяжести.

Для определения абсциссы центра тяжести всего неоднородного тела воспользуемся формулой (42):

Пример задачи:

Определить статические моменты относительно координатных осей и положение центра тяжести сечения (рис. 98, я), составленного из равнобокого уголка 100 X 100 X 10, швеллера №24 и полосы 190 X 10.

Решение:

Из таблиц нормального сортамента для прокатной стали ‘) выпишем следующие данные:

I. Равнобокий уголок (рис. 98,6), ГОСТ 8509-57. Профиль № 10. Ширина полки Толщина полки . Площадь поперечного сечения Расстояние центра тяжести от оснований полки .

II. Швеллер (рис. 98, в), ГОСТ 8509-57. Профиль № 24. Высота стенки Ширина полки Толщина стенки Площадь поперечного сечения . Расстояние центра тяжести от наружного края вертикальной стенки . (Швеллер имеет горизонтальную ось симметрии и, следовательно, его центр тяжести лежит на этой оси.)

III. Полосовая сталь, ГОСТ 103-57. Сечение — прямоугольник. Ширина полосы 190 мм. Толщина 10 мм. Площадь поперечного сечения

Нумеруем отдельные части сечения и на основании записанных выше данных проставляем соответствующие размеры (в см) на рис. 98, а. Оси координат выбираем так, как указано на этом рисунке.

Статический момент сечения относительно оси :

Координаты центра тяжести сечения:

Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:

Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

Видео:Определение центра тяжести сложной фигуры. СопроматСкачать

Центр тяжести тела — формулы и примеры нахождения

Видео:Определение координат центра тяжести сложной фигуры (плоского сечения)Скачать

Общие сведения

Пусть имеется физическое тело, на которое не оказывается влияние, то есть другие объекты не действуют или их силы воздействия скомпенсированы. Рассматриваемое тело будет находиться в состоянии прямолинейного движения или покоя. Для удобства можно принять, что объект неподвижен, например, пусть это будет лодка на поверхности воды.

Если к плавательному средству приложить силу, смещённую к началу лодки F1, судно начнёт поворачиваться в сторону направления воздействия. Если ее переместить в горизонтальной плоскости в другой конец судна, лодка начнёт также поворачиваться, но направление вращения изменится. Отсюда можно сделать вывод, что существует такая точка приложения силы, точнее, линия, при воздействии на которую лодка не изменит своего положения, то есть плавательное средство начнёт двигаться ускоренно поступательно. Допустим, это будет сила F3.

Логично, что можно подобрать и другую силу, вызывающую поступательное прямолинейное перемещение, например, F4.

При этом точку воздействия можно перемещать по линии её направления, так как, согласно правилу, величина действия при этом не изменяется. В итоге получится точка, где пересекутся приложенные силы F3 и F4. Таких моментов можно приложить сколько угодно, при этом они все соединятся в одном месте. Точку пересечения линий действия сил, которые вызывают ускоренное поступательное движение тела, называют центром масс.

На лодку действует ещё одна сила — притяжения. На самом деле она воздействует на каждую частичку объекта, поэтому на тело одновременно оказывает влияние огромное количество моментов. Это множество и принято заменять их равнодействующей — то есть силой, приложенной к центру тяжести. В физике параметр обозначают как mg. Другими словами, это точка приложения равнодействующих сил тяжести.

Существует взаимосвязь между массой и тяжестью. Если тело разбить на кусочки и бросить их, скорость падения будет для всех тел одинаковой, так как ускорение не зависит от массы. При этом падающий объект движется поступательно.

А значит, приложенная сила проходит через центр масс, то есть через центр тяжести, поэтому несмотря на разный принцип определения этих точек, их положение совпадает.

Видео:Видеоурок 3. Определение центра тяжести.Скачать

Поиск центра тяжести

Чтобы определить центр тяжести для тела сложной формы, его нужно разделить на простые фигуры и определить точки равновесия для каждой из них. Для простых геометрических объектов используют симметрию. Например, в шаре параметр располагается в центре, в однородном цилиндре — в точке на середине оси. Частным случаем разбиения фигуры при определении является метод отрицательных площадей. Его применяют к телам, которые имеют вырезы, и при этом площадь удалённой части известна.

Вот формулы для вычисления центра в некоторых фигурах:

В треугольнике: x = (1/3) * (x1 + x2 + x3); y = (1/3) * (y1 + y2 + y3). Физически центр находится в точке пересечения медиан и представляет собой среднее арифметическое из координат вершин.
В прямоугольнике: x = b/2; y = h/2. Центр равновесия располагается в точке пересечения диагональных прямых.
В полукруге: x =D/2; y = 4R/3π. Искомая точка лежит на оси симметрии.
В круге: x = R; y = R. Точка тяжести находится в центре фигуры.

Стоит отметить, что центр тяжести объёмных тел может находиться и вне фигуры, например, как у кольца. Вообще же для трёхмерного пространства, как учат на уроках физики в 7 классе, центр тяжести тела вычисляют по формулам: x = (ΣΔ m * x) / m; y = (ΣΔ m * y) / m; z = (ΣΔ m * z) / m, где: m — масса тела, x, y, z — координаты искомой точки в пространстве. Уравнение можно переписать и в векторной форме: r = (1 / m) Σm * r, где r — радиус вектор.

Существует и ряд теорем, благодаря которым можно определить точку массы в теле:

При рассмотрении однородного тела, имеющего плоскость симметрии, центр массы будет находиться в этой плоскости.
Если однородное тело обладает осью симметрии, центр располагается на ней.
Центр симметрии однородной фигуры совпадает с центром массы.
Центр масс симметричных фигур находится в их геометрическом центре.

Точку равновесия фигуры можно находить и через объём: R = (1 / V) * ∫ ∫ ∫rdV. Для плоских объектов используется формула R = (1 / S) * ∫ ∫ ∫rdS, а однородной линии R = (1 / L) * ∫ ∫ ∫rdL. Стоит отметить, что понятие точки тяжести применимо только к твёрдым объектам. Если это не так, использование понятия не имеет смысла.

Видео:Как найти центр тяжести любой фигуры?Скачать

Пример задания

Теоретический материал лучше всего усваивается на практических заданиях. Не исключение и понятие о центре тяжести. Тема несложная, но при нахождении параметра желательно фигуру изобразить на рисунке.

Наиболее часто ученикам преподаватель предлагает решить задачу о нахождении центра масс сложного тела, но при этом достаточно симметричного. Например, пусть имеется диск из однородной пластины, в котором вырезан кусок треугольной формы. Необходимо найти центр равновесия оставшегося объекта.

Если нарисовать условие задачи, станет понятно, что треугольник прямоугольный, а центр масс находится на горизонтальной прямой, проходящей через середину диска. Пусть это будет ось x. Чтобы решить задачу, нужно разбить сложную фигуру на несколько частей, в каждой из которых можно найти искомую точку.

Симметрично удалённому треугольнику можно выделить аналогичную часть. В итоге останется круг с вырезанным внутри квадратом. Точка масс диска находится в центре. Для удобства её можно обозначить как x1. Вторая фигура — это треугольник. Точка равновесия у него находится на пересечении медиан. То есть на 1/3 высоты. Обозначить точку можно как x2.

Если масса треугольника равна М2, а круга М1, искомую координату можно определить по формуле: x = (m1x1 + m2x2) / m1 + m2. Далее, нужно найти, чему равняется сторона вырезанного треугольника. Из рисунка можно понять, что это расстояние будет r * √2, где r — радиус диска.

Теперь можно найти, чему будут равны x1 и x2. x1 будет равняться нулю, так как эту точку можно принять за начало координат. x2 же будет равняться 1/3 длины медианы. Высота фигуры совпадает с радиусом диска, значит: x2 = R/3.

В таких задачах самое сложное — это найти массы. Первую можно определить исходя из того, что она будет равняться массе диска минус значение квадрата. Так как фигура однородная, масса прямо пропорциональна площади. Тогда для первого участка m1 = σ * S = σ * (Sкруга — Sквадрата) = σ * (pR2 — 2R2) = σR2 * (p — 2), где: σ — поверхностная площадь. Соответственно, m2 = σ * Sтреугольника = σ * R2. Все найденные величины нужно подставить в формулу и найти ответ: x = ((r * σ * R 2 /3)) / (σ * R2 * (p — 2) + σ * R2) = (r / 3 (p — 1)). Это и будет искомая координата.

Видео:Определение центра тяжести сложной фигуры. Сопромат.Скачать

Простая задачка

Пусть имеются 2 шара. Они расположены так, что соприкасаются друг с другом. Сделаны тела из одного материала, но при этом радиусы у них отличаются вдвое. Значение первого равняется r = 20 см, а второго 40, то есть 2r. Найти, где находится точка равновесия такого объекта. Такого рода задачи обычно любят демонстрировать на презентациях, касающихся темы. Задача простая, но между тем помогает понять принцип нахождения центра равновесия.

Итак, при решении нужно будет воспользоваться формулой: x = (m1x1 + m2x2) / m1 + m2. Так как по условию радиусы шаров отличаются вдвое, их массы будут отличаться в 8 раз. Объём всегда пропорционален кубу линейных размеров.

Массу первого шара можно обозначить как m, а второго — 8m. Начало координат для удобства лучше поместить в центр меньшей фигуры. В результате середина большого шара будет иметь координату 3r. Значит, искомая координата равняется: x = ((m* 0 + 8m * 3r)) / (m + 8m) = (8 * 3r) / 9 = 8r/3.