Видео:Найдем площадь и центр тяжести через двойной интегралСкачать

Статические моменты и координаты центра тяжести

Видео:Определение центра тяжести сложной фигуры. СопроматСкачать

Вычисление статических моментов и координат центра тяжести кривой

а) Пусть материальная точка массы отстоит от оси на расстоянии . Статическим моментом этой точки относительно оси называют число . Статическим моментом системы материальных точек , расположенных по одну сторону от оси , массы которых равны , а расстояния от оси равны называют число

Если же эти точки расположены по разные стороны от оси, то для точек, находящихся по одну сторону оси, расстояния берутся положительными, а для точек по другую сторону от оси — отрицательными.

Поэтому если точки расположены на координатной плоскости,

где — статический момент относительно оси и — относительно оси .

б) Рассмотрим теперь случай, когда масса равномерно распределена по некоторой кривой или по некоторой области . Будем считать, что плотность распределения равна единице. Тогда масса дуги численно равна ее длине, а масса области — ее площади.

Начнем со случая кривой линии , задаваемой уравнением , причем предположим, что функция непрерывна и неотрицательна.

Как обычно, разобьем отрезок на части точками и обозначим через и наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке , Этому разбиению соответствует разбиение дуги на части (рис. 60). Из физических соображений ясно, что статический момент части относительно оси абсцисс заключен между и , где —длина этой части, (напомним, что мы положили линейную плотность дуги равной единице). Таким образом,

Так как на отрезке выполняется неравенство

то в тех же границах, что и , заключен интеграл . Значит,

Этот интеграл обозначают также следующим образом: или .

Физики обычно заменяют проведенное рассуждение более коротким. Они берут «бесконечно малый участок дуги» . Его статический момент равен . А статический момент всей дуги равен сумме элементарных статических моментов, т. е. . Преимуществом этого вывода является его наглядность. Однако в нем не определено, что такое «бесконечно малый участок дуги», или как еще говорят, «элемент дуги». При уточнении этого понятия мы вновь приходим к более длинному выводу, изложенному ранее. В дальнейшем для краткости изложения мы будем использовать принятый в физике метод рассуждений. С его помощью сразу выводим, что

Как формула (1), так и формула (2) верны и в случае, когда кривая пересекает оси координат.

в) Введем понятие центра тяжести.

Определение. Центром тяжести тела называется такая точка , что если в ней сосредоточить всю его массу, то статический момент этой точки относительно любой оси будет равен статическому моменту всего тела относительно той же оси.

Обозначим через и расстояния центра тяжести кривой от осей ординат и абсцисс.

Тогда, пользуясь определением центра тяжести кривой, получим:

Разрешая полученные равенства относительно и , найдем координаты центра тяжести плоской кривой

Замечание. Если кривая расположена симметрично относительно некоторой прямой, то центр тяжести такой кривой находится на этой прямой.

Это замечание позволяет в некоторых случаях упростить нахождение координат центра тяжести плоской кривой.

Пример 1. Найти статический момент полуокружности относительно диаметра.

Решение. Выберем систему координат так, чтобы центр окружности совпал с началом координат, а диаметр, относительно которого мы ищем статический момент, совпал с осью . Тогда статический момент полуокружности относительно диаметра выразится формулой

В выбранной системе координат уравнение полуокружности запишется так: . Тогда

Пример 2. Найдем центр тяжести четверти окружности , расположенной в первом квадранте.

Решение. Данная кривая расположена симметрично относительна биссектрисы первого координатного угла, следовательно, центр тяжести этой кривой лежит на биссектрисе, а потому . Достаточно найти только .

Вычисление проще провести, перейдя к параметрическим уравнениям окружности. Так как ее радиус равен двум, то для четверти окружности имеем:

Отсюда находим, что и

Поскольку длина четверти данной окружности равна , то

Видео:Видеоурок 3. Определение центра тяжести.Скачать

Вычисление статических моментов и координат центров тяжести плоских фигур

Найдем статический момент прямоугольника со сторонами и относительно стороны . Разобьем этот прямоугольник на элементарные прямоугольники, имеющие стороны и (рис. 61). Масса элементарного прямоугольника равна его площади (напомним, что по предположению плотность распределения массы равна единице). Поэтому элементарный статический момент равен , а статический момент всего прямоугольника равен

Теперь уже легко найти статический момент криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой , где — непрерывная и неотрицательная функция на отрезке , снизу осью абсцисс, а с боков прямыми .

Разобьем криволинейную трапецию на элементарные прямоугольники, основание каждого из которых равно и высота . Статический момент такого прямоугольника относительно оси абсцисс по формуле (1) равен , а потому статический момент всей криволинейной трапеции равен . В случае, когда не выполняется предположение о неотрицательности функции , эту формулу надо заменить такой:

(части фигуры, расположенные ниже оси абсцисс, дают отрицательный вклад в ).

Поскольку по предположению плотность равна единице, то масса криволинейной трапеции равна ее площади, т. е. интегралу , а потому ордината центра тяжести этой трапеции выражается формулой

Нетрудно найти и статический момент криволинейной трапеции относительно оси ординат. Для этого достаточно заметить, что расстояние элементарного прямоугольника от этой оси равно . Поэтому его статический момент равен , а статический момент всей трапеции выражается формулой

Пример 3. Найти статический момент (относительно оси ) фигуры, ограниченной осью абсцисс и одной аркой циклоиды:

Решение. Так как параметр одной арки циклоиды изменяется от до , то

Пример 4. Найти центр тяжести фигуры, ограниченной осью и одной полуволной синусоиды .

Решение. Так как фигура под полуволной синусоиды расположена симметрично относительно прямой , то центр тяжести лежит на этой прямой и, следовательно, . Ордината центра тяжести находится по формуле .

Итак, центр тяжести данной фигуры находится в точке .

Пример 5. Найти центр тяжести фигуры, ограниченной осью абсцисс и одной аркой циклоиды .

Решение. Данная фигура расположена симметрично относительно прямой , следовательно, центр тяжести ее находится на этой прямой, и потому . Найдем по формуле .

Площадь данной фигуры была вычислена раньше, она равна . Следовательно,

Центр тяжести данной фигуры находится в точке .

Теоретическая механика:
Центр тяжести

Смотрите также решения задач по нахождению центра тяжести в онлайн решебниках Яблонского (С.8) и Мещерского (§ 9).

Центр тяжести – точка, через которую проходит линия действия равнодействующей элементарных сил тяжести. Он обладает свойством центра параллельных сил (Е. М. Никитин, § 42). Поэтому формулы для определения положения центра тяжести различных тел имеют вид:
x_c = (∑ G_ix_i) / ∑ G_i;
(1) y_c = (∑ G_iy_i) / ∑ G_i;
z_c = (∑ G_iz_i) / ∑ G_i.

Если тело, центр тяжести которого нужно определить, можно отождествить с фигурой, составленной из линий (например, замкнутый или незамкнутый контур, изготовленный из проволоки, как на рис. 173), то вес G_i каждого отрезка l_i можно представить в виде произведения
G_i = l_id,
где d – постоянный для всей фигуры вес единицы длины материала.

После подстановки в формулы (1) вместо G_i их значений l_id постоянный множитель d в каждом слагаемом числителя и знаменателя можно вынести за скобки (за знак суммы) и сократить. Таким образом, формулы для определения координат центра тяжести фигуры, составленной из отрезков линий , примут вид:
x_c = (∑ l_ix_i) / ∑ l_i;
(2) y_c = (∑ l_iy_i) / ∑ l_i;
z_c = (∑ l_iz_i) / ∑ l_i.

Если тело имеет вид фигуры, составленной из расположенных различным образом плоскостей или кривых поверхностей (рис. 174), то вес каждой плоскости (поверхности) можно представить так:
G_i = F_ip,
где F_i – площади каждой поверхности, а p – вес единицы площади фигуры.

После подстановки этого значения G_i в формулы (1) получаем формулы координат центра тяжести фигуры, составленной из площадей :
x_c = (∑ F_ix_i) / ∑ F_i;
(3) y_c = (∑ F_iy_i) / ∑ F_i;
z_c = (∑ F_iz_i) / ∑ F_i.

Если же однородное тело можно разделить на простые части определенной геометрической формы (рис. 175), то вес каждой части
G_i = V_iγ,
где V_i – объем каждой части, а γ – вес единицы объема тела.

После подстановки значений G_i в формулы (1) получаем формулы для определения координат центра тяжести тела, составленного из однородных объемов :
x_c = (∑ V_ix_i) / ∑ V_i;
(4) y_c = (∑ V_iy_i) / ∑ V_i;
z_c = (∑ V_iz_i) / ∑ V_i.

При решении некоторых задач на определение положения центра тяжести тел иногда необходимо знать, где расположен центр тяжести дуги окружности, кругового сектора или треугольника.

Если известен радиус дуги r и центральный угол 2α, стягиваемый дугой и выраженный в радианах, то положение центра тяжести C (рис. 176, а) относительно центра дуги O определится формулой:
(5) x_c = (r sin α)/α.

Если же задана хорда AB=b дуги, то в формуле (5) можно произвести замену
sin α = b/(2r)
и тогда
(5а) x_c = b/(2α).

В частном случае для полуокружности обе формулы примут вид (рис. 176, б):
(5б) x_c = OC = 2r/π = d/π.

Положение центра тяжести кругового сектора, если задан его радиус r (рис. 176, в), определяется при помощи формулы:
(6) x_c = (2r sin α)/(3α).

Если же задана хорда сектора, то:
(6а) x_c = b/(3α).

В частном случае для полукруга обе последние формулы примут вид (рис. 176, г)
(6б) x_c = OC = 4r/(3π) = 2d/(3π).

Центр тяжести площади любого треугольника расположен от любой стороны на расстоянии, равном одной трети соответствующей высоты.

У прямоугольного треугольника центр тяжести находится на пересечении перпендикуляров, восставленных к катетам из точек, расположенных на расстоянии одной трети длины катетов, считая от вершины прямого угла (рис. 177).

При решении задач на определение положения центра тяжести любого однородного тела, составленного либо из тонких стержней (линий), либо из пластинок (площадей), либо из объемов, целесообразно придерживаться следующего порядка:

1) выполнить рисунок тела, положение центра тяжести которого нужно определить. Так как все размеры тела обычно известны, при этом следует соблюдать масштаб;

2) разбить тело на составные части (отрезки линий или площади, или объемы), положение центров тяжести которых определяется исходя из размеров тела;

3) определить или длины, или площади, или объемы составных частей;

4) выбрать расположение осей координат;

5) определить координаты центров тяжести составных частей;

6) найденные значения длин или площадей, или объемов отдельных частей, а также координат их центров тяжести подставить в соответствующие формулы и вычислить координаты центра тяжести всего тела;

7) по найденным координатам указать на рисунке положение центра тяжести тела.

Видео:Определение центра тяжести плоской фигуры. Подробное объяснение. Сопромат для чайниковСкачать

§ 23. Определение положения центра тяжести тела, составленного из тонких однородных стержней

Видео:Центр тяжести. ЭкспериментСкачать

§ 24. Определение положения центра тяжести фигур, составленных из пластинок

В последней задаче, а также в задачах, приведенных в предыдущем параграфе, расчленение фигур на составные части не вызывает особых затруднений. Но иногда фигура имеет такой вид, который позволяет разделить ее на составные части несколькими способами, например тонкую пластинку прямоугольной формы с треугольным вырезом (рис. 183). При определении положения центра тяжести такой пластинки ее площадь можно разделить на четыре прямоугольника (1, 2, 3 и 4) и один прямоугольный треугольник 5 – несколькими способами. Два варианта показаны на рис. 183, а и б.

Наиболее рациональным является тот способ деления фигуры на составные части, при котором образуется наименьшее их число. Если в фигуре есть вырезы, то их можно также включать в число составных частей фигуры, но площадь вырезанной части считать отрицательной. Поэтому такое деление получило название способа отрицательных площадей.

Пластинка на рис. 183, в делится при помощи этого способа всего на две части: прямоугольник 1 с площадью всей пластинки, как будто она целая, и треугольник 2 с площадью, которую считаем отрицательной.

Видео:Как найти центр тяжести любой фигуры?Скачать

§ 25. Определение положения центра тяжести сечений, составленных из профилей стандартного проката

При решении задач, приведенных в этом параграфе, нужно пользоваться таблицами из ГОСТа на прокатную сталь: ГОСТ 8509–57, ГОСТ 8510–57, ГОСТ 8239–56, ГОСТ 8240–56.

Эти таблицы для каждого профиля содержат их размеры и площадь, а для уголков и швеллера, кроме того, – координаты центров тяжести.

Видео:Найдите центр тяжестиСкачать

§ 26. Определение положения центра тяжести тела, составленного из частей, имеющих простую геометрическую форму

Чтобы решать задачи на определение положения центра тяжести тела, составленного из частей, имеющих простую геометрическую форму, необходимо иметь навыки определения координат центра тяжести фигур, составленных из линий или площадей.

Видео:Центр тяжести фигуры. Способ 1Скачать

Тема 1.5. Центр тяжести тела

§1. Центр тяжести однородного тела.

Рассмотрим твердое тело весом P и объемом V в системе координат Oxyz , где оси x и y связаны с поверхностью земли, а ось z направлена в зенит.

Если разбить тело на элементарные части объемом ∆V_i , то на каждую его часть будет действовать сила притяжения ∆P_i, направленная к центру Земли. Предположим, что размеры тела значительно меньше размеров Земли, тогда систему сил, приложенных к элементарным частям тела можно считать не сходящейся, а параллельной (рис.1), и к ней применимы все выводы предыдущей главы.

Рис.1. Параллельная система сил

Центром тяжести твердого тела называется центр параллельных сил тяжести элементарных частей этого тела.

При определении центра тяжести полезны несколько теорем.

1) Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести его находится в этой

2) Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.

3) Если однородное тело имеет центр симметрии, то центр тя­жести тела находится в этой точке.

§2. Способы определения координат центра тяжести.

1. Симметрия. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии (рис.2), то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.

Рис.2. Центр тяжести тел, имеющих ось симметрии

2. Разбиение. Тело разбивается на конечное число частей (рис.3), для каждой из которых положение центра тяжести и площадь известны.

Рис.3. Центр тяжести сплошной

сложной геометрической фигуры

— центр тяжести и площадь первой фигуры;

— центр тяжести и площадь второй фигуры;

— координата центра тяжести сплошной сложной геометрической фигуры по оси x;

— координата центра тяжести сплошной сложной геометрической фигуры по оси y;

3. Метод отрицательных площадей. Частный случай способа разбиения (рис.4). Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Тело в виде пластинки с вырезом представляют комбинацией сплошной пластинки (без выреза) с площадью S₁ и площади вырезанной части S₂ .

Рис.4. Центр тяжести сложной геометрической фигуры,

— центр тяжести и площадь первой фигуры;

— центр тяжести и площадь второй фигуры;

— координата центра тяжести сложной геометрической фигуры по оси x;

— координата центра тяжести сложной геометрической фигуры по оси y;

§3. Координаты центра тяжести некоторых простых фигур.

1. Центр тяжести тре­угольника. Центр тяжести треугольника лежит в точке пересечения его медиан (рис.5). Координаты центра тяжести треугольника представляют собой среднее арифметическое из координат его вершин: x_c =1/3(x₁+x₂+x₃) ; y_c =1/3(y₁+y₂+y₃).

Рис.5. Центр тяжести треугольника

2. Центр тяжести прямоугольника. Центр тяжести прямоугольника лежит в точке пересечения его диагоналей (рис.6). Координаты центра тяжести прямоугольника рассчитываются по формулам: x_c =b/2 ; y_c =h/2.

Рис. 6. Центр тяжести треугольника

3. Центр тяжести полукруга. Центр тяжести полукруга лежит на оси симметрии (рис.7). Координаты центра тяжести полукруга рассчитываются по формулам: x_c =D/2 ; y_c =4R/3π.

Рис. 7. Центр тяжести полукруга

4. Центр тяжести круга. Центр тяжести круга лежит в центре (рис.8). Координаты центра тяжести круга рассчитываются по формулам: x_c =R ; y_c =R.

Рис. 8. Центр тяжести круга

Вопросы для самопроверки:

— Что называется центром параллельных сил?

— Что называется центром тяжести тела?

— Почему силы притяжения Земле, действующие на точку тела, можно принять за систему параллельных сил?

— Запишите формулу для определения положения центра тяжести неоднородных и однородных тел, формулу для определения положения центра тяжести плоских сечений?

— Запишите формулу для определения положения центра тяжести простых геометрических фигур: прямоугольника, квадрата, трапеции и половины круга?

— Как используются свойства симметрии при определении центров тяжести тел?

— В чем состоит сущность способа отрицательных площадей?

— Каким графическим построением можно найти центр тяжести треугольника?

— Запишите формулу, определяющую центр тяжести треугольника.

📺 Видео

Определение центра тяжестиСкачать

Определение центра тяжести сложных сечений. Фигуры из ГОСТ.Скачать

Определение центра тяжести плоской фигурыСкачать

Центр тяжестиСкачать

Определение координат центра тяжести сложной фигуры (плоского сечения)Скачать

Центр тяжести трапецииСкачать

Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатахСкачать

Центр тяжести фигуры. Способ 2.Скачать

Определение центра тяжести и статистического момента плоской фигурыСкачать

Урок 79. Центр масс тела и методы определения его положенияСкачать

Практическая №5 Определение центра тяжести сложной фигурыСкачать

Определение центра тяжести сложной фигуры. Сопромат.Скачать