треугольник площадь треугольника следствия

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника — определение и вычисление с примерами решения

Площадь треугольника:

Теорема (о площади треугольника). Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, к ней проведенную.

Доказательство:

Пусть

1) Проведем через вершину прямую, параллельную а через вершину — прямую, параллельную Получим параллелограмм

2) (по трем сторонам). Поэтому

откуда

3) Так как то

В общем виде формулу площади треугольника можно записать так:

где — сторона треугольника, — высота, проведенная к ней.

Следствие 1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

Следствие 2. Если сторона одного треугольника равна стороне другого треугольника, то площади таких треугольников относятся как их высоты, проведенные к этим сторонам.

Следствие 3. Если высота одного треугольника равна высоте другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как стороны, к которым проведены эти высоты.

Пример:

Докажите, что если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, образующих этот угол.

Доказательство:

Рассмотрим и у которых Проведем высоты и (рис. 238).

2) (по острому углу), поэтому

3) Имеем:

Пример:

Найдите площадь равностороннего треугольника, сторона которого равна

Решение:

Пусть — равносторонний со стороной Тогда В равностороннем треугольнике где — медиана. Но (§ 18, задача 4), поэтому

Следовательно,

Ответ.

Пример:

Стороны треугольника равны 8 см, 15 см и ^ 17 см. Найдите высоту треугольника, проведенную к его наибольшей стороне.

Решение:

Так как (т. е. 289 = 289), то по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник является прямоугольным. Прямой угол является противолежащим к стороне, равной 17 см.

Пусть на рис. 239 изображен прямоугольный треугольник, у которого см -гипотенуза, и см — катеты, — высота. Найдем

Площадь этого треугольника можно найти

по формулам: или

Тогда то есть откуда

Таким образом, имеем: (см).

Ответ. см.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№10 - Площадь треугольника.)Скачать

Теорема (формула площади треугольника)

Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

где — сторона треугольника, — проведенная к ней высота.

Пусть — высота треугольника (рис. 148). Докажем, что

Проведем через вершины прямые, параллельные сторонам треугольника, и обозначим точку их пересечения Таким образом, мы «достроили» треугольник до параллелограмма в котором отрезок также является высотой, проведенной к стороне

По формуле площади параллелограмма Треугольники равны по трем сторонам (у них сторона общая, как противолежащие стороны параллелограмма). Эти треугольники имеют равные площади. Тогда площадь треугольника составляет половину площади параллелограмма что и требовалось доказать.

Следствие 1

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

где — катеты прямоугольного треугольника.

Действительно, в прямоугольном треугольнике высота, проведенная к катету, совпадает с другим катетом.

Следствие 2

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

где — диагонали ромба.

Действительно, диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника с катетами (рис. 149). Используя следствие 1, имеем:

Следствие 3

Площадь равностороннего треугольника со стороной вычисляется по формуле

Обоснуйте это следствие самостоятельно.

Опорная задача

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Докажите.

Решение:

Пусть — медиана треугольника (рис. 150).

Проведем высоту треугольника Этот отрезок является одновременно высотой треугольника проведенной к стороне и высотой треугольника проведенной к стороне Учитывая равенство отрезков имеем:

Эта задача имеет интересные обобщения: если высоты двух треугольников равны, то отношение площадей этих треугольников равно отношению их оснований; если основания двух треугольников равны, то отношение площадей этих треугольников равно отношению их высот.

Докажите эти утверждения самостоятельно.

• Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
• Окружность и круг
• Описанные и вписанные окружности
• Плоские и пространственные фигуры
• Взаимное расположения прямых на плоскости
• Треугольник
• Решение треугольников
• Треугольники и окружность

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:8 класс, 14 урок, Площадь треугольникаСкачать

8 класс. Геометрия. Площадь. Площадь треугольника и трапеции.

8 класс. Геометрия. Площадь. Площадь треугольника и трапеции.

• Оглавление
• Занятия
• Обсуждение
• О курсе

Вопросы

Задай свой вопрос по этому материалу!

Поделись с друзьями

Комментарии преподавателя

Видео:Как найти площадь треугольника без формулы?Скачать

Формула для площади треугольника и следствия из неё

На данном уроке мы докажем формулу для площади треугольника и решим несколько задач на её применение.

Будем называть сторону – основанием, тогда – высота, опущенная к этой стороне (см. Рис. 1).

Рис. 1. Высота и основание

Видео:Как найти площадь треугольника? #треугольник #математика #егэ #shorts #подготовкакегэ #огэ #площадьСкачать

Теорема о свойстве медианы треугольника

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

В формульном виде: .

Доказательство:

Рис. 2. Иллюстрация к теореме

Достроим треугольник до параллелограмма – см. Рис. 2.

(по трём сторонам: – общая, , – как противоположные стороны параллелограмма).

Из равенства треугольников следует равенство их площадей: . Получаем: . Воспользовавшись формулой для площади параллелограмма: .

Сформулируем несколько следствий из данной теоремы.

Следствие 1

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов (см. Рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к следствию 1

.

Следствие 2

Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания (см. Рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к следствию 2

.

Теорема 2

Медиана треугольника разбивает его на два равновеликих треугольника (см. Рис. 5).

Доказательство:

Рис. 5. Иллюстрация к теореме

Пусть – треугольник, – медиана, – высота. Для треугольников – также является высотой. Запишем формулу для площади каждого из этих треугольников: , . Так как ( – медиана), то: . Значит, эти треугольники являются равновеликими.

Видео:Площадь треугольника, следствиеСкачать

Формула для площади ромба

Теорема 3

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей (см. Рис. 6).

В виде формулы: .

Доказательство:

Рис. 6. Иллюстрация к теореме

(по 3 сторонам: – общая, – свойства ромба). Из равенства треугольников следует равенство их площадей. Значит: . Но формулу для площади треугольника мы уже знаем: (т. к. , поэтому – высота треугольника ). Получаем следующее равенство: ( – свойство диагоналей ромба).

Видео:9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать

Свойство треугольников с равными углами

Теорема 4

Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

В виде формулы: .

Доказательство:

Рис. 7. Иллюстрация к теореме

Совместим треугольники так, чтобы вершина совпала с вершиной , сторона лежала на прямой , а сторона лежала на прямой .

Рис. 8. Иллюстрация к теореме

Рассмотрим отношение площадей треугольников и . Эти треугольники имеют общую высоту, проведённую из вершины , поэтому, по следствию 2 из теоремы 1, их площади относятся как основания, то есть: .

Из аналогичных соображений: . Перемножив эти два равенства, получим: .

Видео:Найдите площадь треугольника на рисунке ★ Два способа решенияСкачать

Задачи на площадь треугольника и следствия из неё

Теперь решим несколько задач, используя доказанные формулы и свойства.

Задача 1

Площадь прямоугольного треугольника равна . Найдите катеты этого треугольника, если известно, что один из них составляет другого.

Решение

Пусть один из катетов равен , а второй – . Тогда площадь треугольника можно вычислить по формуле: . Но, по условию: . Подставив это выражение, получаем: . Откуда: .

Ответ: .

Задача 2

В треугольнике точка лежит на стороне , точка лежит на стороне . Кроме того: , , . Чему равна площадь треугольника (Рис. 9)?

Решение:

Рис. 9. Иллюстрация к задаче

Воспользуемся теоремой 4 для треугольников и ( – общий угол этих треугольников). Из этой теоремы следует, что: . Значит: .

Ответ: .

На этом уроке мы рассмотрели понятия площадей треугольника и ромба, вывели из них некоторые следствия. На следующем уроке мы научимся вычислять площадь трапеции.

Видео:Отношение площадей треугольников с равным угломСкачать

Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных

Зависит от того, какой треугольник.

Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№14 - Теорема о площади треугольника.)Скачать

Если треугольник прямоугольный

То есть один из его углов равен 90 градусам.

Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.

Видео:Площадь по теореме Герона #математика #площадь #треугольник #герона #егэ #огэ #найтиплощадь #теоремаСкачать

Если он равнобедренный

То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.

Видео:Геометрия 8 Площадь треугольникаСкачать

Если он равносторонний

То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:

1. Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
2. Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
3. Поделите все на 4.

Видео:Площади треугольников с равным углом.Скачать

Если известна сторона и высота

Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.

Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.

Видео:Площадь прямоугольного треугольника. Как найти площадь прямоугольного треугольника?Скачать

Если известны две стороны и градус угла между ними

Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:

Видео:Как найти площадь треугольникаСкачать

Если известны длины трех сторон

1. Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
2. Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
3. Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
4. Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
5. Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
6. Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
7. Найдите квадратный корень.

Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.

Видео:Геометрия 8. Урок 14 - Площадь треугольников. Формулы и задачи.Скачать

Если известны три стороны и радиус описанной окружности

Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.

Видео:ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА формула 9 класс геометрия АтанасянСкачать

Если известны три стороны и радиус вписанной окружности

Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.

Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.

Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.

🎥 Видео

Площадь равностороннего треугольника #егэ #математика #геометрия #треугольникСкачать

Формулы равностороннего треугольника #shortsСкачать

8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольниковСкачать