Площадь треугольника кроме половины произведения высоты на основания, можно также найти и другим способом. Мало кто знает, но через синусы углов можно найти обычно не только стороны, но и площадь любого треугольника!
Площадь треугольника выраженная без синуса численно равна половине произведения двух сторон друг на друга на синус угла между ними.
Площадь треугольника через синус ищется тольков том случае, если по другой формуле площадь треугольника найти нельзя.
Теорема
( S = frac2 * BC * AC * sin angle BCA )
Площадь произвольного треугольника равна полусумме произведения двух любых сторон треугольника друг на друга, и на синус угла между этими сторонами.
Формула
[ S = frac2 * a * b * sin α ]
Где a, b — две стороны треугольника, синус α — синус угла α.
Пример
Для примера, возьмем треугольник omk, изображенный на рисунке 1, со сторонами om, mk, ok. Известно, что mk равен 6, ok равен 8, синус угла okm равен 1/4.
Нужно найти площадь треугольника omk.
Дано:△omk, mk = 6, ok = 8, sin okm = 1/4.
Найти:S △omk — ?
Решение:
1) ( S = frac2*a*b*sin α ) ( implies ) ( S = frac2*mk*ok*sin okm )
Докажем, что площадь произвольного треугольника равна полусумме произведения двух любых сторон друг на друга, и на синус угла между этими сторонами.
Чтобы вам наглядно было видно, как мы доказываем, используем один из известнейших треугольников — египетский треугольник. Высота в египетском треугольнике равна длине одного из катетов. Построим прямоугольный треугольник, изображенный на рисунке 2, со сторонами 3,4,5 с одним из углов 90 градусов.
Первым делом найдем площадь обычной формулой, затем с помощью синуса. Площадь равна половине основания на высоту — ½3*4 = 6. Теперь найдем с помощью синуса: ½3*4*sin90 = 6 * 1 = 6. Как видим, полученные значения площадей сходятся, соответственно через синус можно найти площадь треугольника ч.т.д.
Теперь, чтобы найти площадь треугольника нам не нужно знать основание и высоту, можно знать только две стороны и синус угла между ними.
Видео:Решение задачи с применением теоремы синусовСкачать
Заключение
В заключение, можно сказать, что площадь треугольника можно найти разными способами. Например, в прямоугольном треугольнике площадь рассчитать легче чем в любом другом треугольнике, так как высота уже известна. Именно поэтому, в школьном курсе, отчасти так подробно изучаются прямоугольные треугольники. В Древнем Египте были распространены прямоугольные треугольники со сторонами 3,4,5; 6,8,10; 5,12,13. Длины этих прямоугольных треугольников треугольников целые, что значительно, упрощало разного рода вычисления.
Формулу площади треугольника делает универсальной то, что она может применена к абсолютно любым треугольникам. Главное, чтобы были известные две стороны, и угол или синус угла между ними.
Формула площади треугольника через синус — универсальна, поэтому может быть применена к любым видам треугольников.
Видео:Геометрия 9 класс (Урок№14 - Теорема о площади треугольника.)Скачать
Теорема синусов
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart. Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:
Формула теоремы синусов:
Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.
Из этой формулы мы получаем два соотношения:
На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:
bc sinα = ca sinβ
Из этих двух соотношений получаем:
Теорема синусов для треугольника доказана.
Эта теорема пригодится, чтобы найти:
Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.
Видео:Геометрия. Теорема синусов и косинусов. Площадь треугольника.Скачать
Доказательство следствия из теоремы синусов
У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.
где R — радиус описанной около треугольника окружности.
Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:
Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:
Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.
Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.
1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.
Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.
Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.
Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.
BA1 = 2R, где R — радиус окружности
Следовательно: R = α/2 sinα
Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.
2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.
Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.
Следовательно, ∠А1 = 180° — α.
Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:
Также известно, что sin(180° — α) = sinα.
В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:
α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα
Следовательно: R = α/2 sinα
Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.
Часто используемые тупые углы:
sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.
3. Угол ∠А = 90°.
В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.
Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.
Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.
Видео:9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать
Теорема о вписанном в окружность угле
Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.
Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.
Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.
Формула теоремы о вписанном угле:
Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле
Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).
Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:
На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.
Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле
Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.
Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле
Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:
Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.
Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.
Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.
Следовательно: α + γ = 180°.
Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.
Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле
Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:
sinγ = sin(180° — α)
Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα
Видео:Что такое теорема синусов? Геометрия для начинающих.Скачать
Примеры решения задач
Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.
Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.
Согласно теореме о сумме углов треугольника:
∠B = 180° — 45° — 15° = 120°
Сторону AC найдем по теореме синусов:
Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.
В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:
Первый способ. Чтобы найти площадь треугольника, надо найти полупроизведение двух его сторон на синус угла между ними (рис. 1). То есть если известны длины двух сторон треугольника $ABC$, которые равны $a$ и $b$, а также угол $alpha$ между этими сторонами, то искомая площадь:
Второй способ. Чтобы найти площадь треугольника, нужно сторону умножить на высоту, проведенную к этой стороне (рис. 2), и полученное произведение поделить на два. То есть если сторона треугольника $ABC$ равна $a$, а длина высоты, проведенной к этой стороне — $h_$, то имеет место формула:
Третий способ. Чтобы найти площадь треугольника $ABC$, если известны длины всех его трех сторон $a$, $b$ и $c$, нужно воспользоваться формулой Герона:
Четвертый способ. Чтобы найти площадь треугольника $ABC$, нужно радиус $r$ вписанной в этот треугольник окружности умножить на полупериметр $p$ треугольника:
Пятый способ. Чтобы найти площадь треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, нужно произведение этих сторон поделить на четыре радиуса $R$, описанной около треугольника окружности:
Задание. Найти площадь треугольника $ABC$, если известны длины двух его сторон 3 см и 5 см соответственно, а также угол между этими сторонами, который равен $30^$.
Решение. Искомая площадь равна полупроизведению сторон на синус угла между ними, то есть
$begin mathrm_=& frac a b sin alpha=frac cdot 3 cdot 5 cdot sin 30^= &=frac cdot frac=fracleft(mathrm^right) end$
Ответ. $mathrm_=frac$ (см )
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Задание. Чему равна высота треугольника $ABC$, проведенная к стороне длины 2 см, если площадь этого треугольника равна 6 см ?
Решение. Так как площадь треугольника в два раза меньше произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне:
то отсюда получаем, что искомая высота
Ответ. $h_=6$ (см)
Читать дальше: как найти площадь прямоугольного треугольника.
Как найти площадь треугольника с прямыми углами при условии, что длина его катета составляет 5 сантиметров, а гипотенузы – 13 сантиметров?
Длина катета (а) = 5 см.
Длина гипотенузы (с) = 13 см.
Используя теорему Пифагора, определим длину второго катета:
в² = с² -а² = 169 — 25 = 144
Рассчитать площадь прямоугольного треугольника можно по формуле:
S = 0,5ав = 0,5*5*12 = 30
Ответ: S прямоугольного треугольника равна 30 кв.см.
Как найти площадь треугольника?
Для того чтобы вычислить площадь (S) треугольника, следует произвести умножение длины его основания (а) на длину высоты к основанию (h), а затем разделить полученное число пополам:
Как найти площадь треугольника при условии, что длина каждой его стороны является известной величиной?
Если длина каждой стороны треугольника известна, то вычислить его площадь (S) можно, используя формулу Герона:
S= √ (p * (p — a)*(p — b)*(p — c))
a,b,c – длина каждой из трех сторон;
р – полупериметр треугольника, который равен сумме длин всех сторон, разделенной на 2.
Как найти площадь треугольника, зная 3 точки: А(1;8), В(7;8) и С(6;6)?
По условию задачи известны 3 точки, являющиеся вершинами треугольника АВС, площадь (S) которого нужно вычислить. Это точки А(1;8), В(7;8) и С(6;6).
Две из трех известных точек расположены на прямой, которая параллельна оси Х, ввиду того что координаты Ya и Yb одинаковы. Это точки А и В. Это означает, что высота треугольника (h), которая опущена на сторону АВ из вершины С (6;6), является числом, полученным в результате вычитания из координаты Ya или Yb координаты Yc:
Для того чтобы определить длину стороны АВ, нужно от координаты Xb вычесть координату Xa:
Теперь можно вычислить площадь треугольника (S):
(1/2)*AB*h = (1/2)*6*2 =6 ед.
Ответ: S = 6 ед.кв.
Как найти площадь треугольника через синус при условии, что известны две стороны а = 3 и b = 4, а также угол γ= 30°?
Формула расчета площади треугольника (S) через синус применима в случае, когда известны длины 2-х его сторон и угол, образованный между ними. При этом следует воспользоваться таблицей синусов, согласно которой синус угла в 30° = 0,5.
Ответ: S треугольника = 3 см.кв.
Как найти площадь треугольника через синус, если известно, что длина одной его стороны равна 12, другой – 16, а синус угла между ними – ¼?
Зная длины двух сторон треугольника и синус угла между ними, можно рассчитать его площадь. Она будет равна ½ произведений длин его сторон, умноженной на значение синуса угла между ними:
Ответ: S треугольника = 24 см.кв.
Как найти площадь треугольника АВС, а также вычислить синус его угла А, зная, что AC=BC=5;AB=6?
Площадь треугольника АВС можно рассчитать, воспользовавшись формулой Герона:
Найти синус угла А можно по следующей формуле:
S=12 * АВ * АС * sin∠A
12 * 6 * 5 * sin∠A = 1215 * sin∠A = 12
Как найти площадь треугольника через синус, если длина одной стороны равна 5 см, другой – 12 см, а синус угла, образованного между ними равен 0,2?
Для того чтобы вычислить площадь треугольника (S), зная параметры, указанные в задаче, следует воспользоваться нижеприведенной формулой:
S= (a b sinα)/2 = (5·12·0,2)/2 =6
Ответ: S треугольника = 6 см.кв.
Как найти синус угла С в треугольнике АВС, если известно, что АВ=ВС=1 и АС=2?
Для начала нужно убедиться в том, что заданная фигура с параметрами АВ=ВС=1, АС=2 действительно представляет собой треугольник.
Длины двух сторон треугольника в сумме не могут быть равны или меньше длине его третьей стороны. В данном случае:
1+1=2, то есть АВ+ВС=АС
Следует помнить, что говорить о фигуре как о треугольнике можно только в том случае, когда сумма длин двух любых его сторон больше длины третьей стороны.
Ответ: при заданных параметрах треугольника нет, и вычислить синус угла в данном случае невозможно.
Как найти синус наибольшего внутреннего угла треугольника АВС, если известно, что AB=13, BC=14, AC=15?
Сторона треугольника, которая имеет наибольшую длину, является противоположной его наибольшему углу. В данном случае сторона АС имеет наибольшую длину (15 см), это значит, что наибольшим углом является угол В.
Перейдем к построению треугольника.
Нужно провести к стороне ВС высоту АН. Синусом наибольшего угла В является отношение АН:АВ. Теперь можно вычислить высоту из площади треугольника, рассчитанной по формуле Герона и равной 84 см:
Ответ: sin B = 0,923.
Чему равна площадь треугольника, если две сходственные стороны подобного ему треугольника, площадь которого 32 см.кв., равны 5 см и 10 см?
В условии говорится о том, что треугольники являются подобными. Также приведены длины двух сходственных сторон. Эти данные можно использовать, для того чтобы вычислить коэффициент подобия:
Известно, что квадрат коэффициента подобия равен отношению площадей двух треугольников, являющихся подобными. Это означает, что в заданном случае площадь второго треугольника в четыре раза превышает площадь первого из них. Зная это, можно найти площадь первого треугольника следующим образом:
Ответ: Площадь первого треугольника – 8 см.кв.
Чему равна площадь треугольника АВС, если он является прямоугольным, и известно, что катеты равны 2,5 см и 4 см?
Произведение катетов прямоугольного треугольника, разделенное на два, равно его площади. Для того чтобы дать ответ на поставленный вопрос, нужно перемножить катеты (2,5*4=10) и разделить полученное число на 2 (10/2=5).
Ответ: Площадь прямоугольного треугольника равна 5 см.кв.
Чему равна площадь треугольника, образовавшегося в результате разделения на два треугольника квадрата, сторона которого равна 4 см?
Для начала нужно рассчитать площадь квадрата:
Теперь можно вычислить площадь одного из получившихся в результате треугольников:
Ответ: Площадь треугольника равна 8 см.кв.
Дано: два подобных треугольника, длины двух сходственных сторон которых равны 3 см и 9 см Площадь одного из треугольников – 9 см.кв. Чему равна площадь другого треугольника?
Квадраты сходственных сторон двух подобных треугольников относятся как их площади. Это значит, что:
где х – это площадь треугольника, которую нужно вычислить.
Ответ: Площадь треугольника – 81 см.кв.
Известна площадь треугольника (208 см), основание которого было разбито высотой на два отрезка длиной 22 см и 10 см. Чему равна площадь треугольника, являющегося меньшим из двух образовавшихся?
Сначала нужно найти длину всего основания:
Теперь можно вычислить площадь меньшего из двух треугольников:
208 / 32 * 10 = 65 см.кв.
Ответ: Площадь меньшего треугольника составляет 65 см.кв.
Чему равна площадь треугольника через синус, если две его стороны имеют длины 3 см и 8 см, а угол между ними равен 120?
Для того чтобы рассчитать площадь треугольника, нужно найти полупроизведение двух его сторон на синус угла, образованного между ними:
Какова формула расчета площади треугольника?
Площадь треугольника можно найти, если разделить на два число, полученное в результате умножения высоты (h), опущенной на его основание, на длину самого основания (а):
Как вычислить площадь треугольника по формуле 3-го класса?
В случае треугольника с прямыми углами, его площадь вычисляется по формуле:
где а и b – это стороны, которые прилегают к прямому углу.
Во всех остальных случаях рассчитать площадь треугольника можно следующим образом:
Какую формулу нужно использовать, чтобы вычислить площадь треугольника, зная 2 его стороны и угол, образованный между ними?
Для вычисления площади треугольника по длинам двух его сторон и находящемуся между ними углу, нужно пользоваться формулой:
Возможно ли доказать, что по формуле S= 1/2 Pr можно вычислить площадь треугольника?
— О – центр вписанной окружности, точка пересечения биссектрис;
— Н – точка касания окружности на АВ;
Нужно провести ОА, ОВ, ОС, а также перпендикулярные радиусы в точки касания — ОН, ОК, ОМ, ОН=ОК=ОМ=радиус=r. Площадь треугольника АВО будет равна:
Площадь ВОС рассчитывается так:
Площадь заданного треугольника АВС можно найти следующим образом:
S АВС = S АОВ + S ВОС + S АОС = 1/2АВ*ОН+1/2ВС*ОК+1/2АС*ОМ.
Тогда S АВС = 1/2*r*(АВ+ВС+АС).
Но АВ+ВС+АС= периметр Р, что означает, что
Как вычислить площадь треугольника при помощи формулы Герона, если дано, что его стороны равны 6 см, 8 см и 10 см?
Сначала следует произвести расчет полупериметра (р):
Далее, используя формулу Герона, можно найти площадь треугольника (S):
Каким образом можно доказать тот факт, что радиус окружности, которая описана вокруг треугольника, вычисляется по формуле R=a*b*c/4S, где а,b, с – это стороны треугольника, S — его площадь?
Высота к стороне треугольника находится по формуле b*sin(C). Отсюда можно найти его площадь S = a*b*sin(C)/2. При этом следует принимать во внимание теорему синусов, согласно которой c = 2*R*sin(C); или sin(C) = c/(2*R). Тогда площадь S = a*b*c/4R. Именно это требовалось доказать.
Что представляет собой формула расчета площади треугольника ROF, в случае если R(0;5),О(0;0),F(2;0)?
Полагаясь на координаты, можно утверждать, что точка R лежит на оси Y и находится на расстоянии в пять единиц от начала отсчета. При этом точка F находится на оси X, на расстоянии двух единиц от начала отсчета. Заданный треугольник является прямоугольным. RO равна 5 единицам длины, FO – двум единицам длины. В этом случае площадь треугольника ROF равна:
S =RO*FO/2=5*2/2=5(единиц длины)².
Как вычислить площадь треугольника, использовав формулу Герона?
Формула Герона, предназначенная для вычисления площади треугольника, выгладит так:
где а,b, с – это стороны треугольника,
р – полупериметр, рассчитываемый как Р/2.
Какова формула, по которой можно вычислить площадь треугольника, зная три стороны и радиус описанной окружности?
Если известны длины трех сторон треугольника (а,b, с), а также радиус описанной окружности (R), то можно рассчитать площадь треугольника (S) по следующей формуле:
Как можно найти длину одной стороны треугольника b, используя формулу расчета его площади S=abc/4R?
В случае необходимости выразить длину одной из сторон треугольника b из формулы расчета его площади S=abc/4R, нужно произвести умножение всего выражения на 4R:
После этого нужно произвести деление всего на ac:
Можно ли привести доказательство того, что радиус вписанной в треугольник окружности (r), рассчитывается по формуле r =2S/a+b+c, в которой а,b, с – это стороны треугольника, S – его площадь?
В случае соединения вершин треугольника с центром окружности, вписанной в него, в результате произойдет его деление на 3 треугольника. Радиус в точке касания будет выступать в роли высоты в каждом из них. Из этого вытекает формула:
где р – полупериметр.
Возможно ли из формулы S=aha/2, используемой для вычисления площади треугольника, выразить и вычислить одну из его сторон а, при условии, что площадь равна 21 см, а высота ha – 7 см?
Ответ на поставленный вопрос выглядит следующим образом:
Ответ: Длина стороны а равна 6 см.
Какую формулу нахождения площади треугольника следует применять, когда известно, что три катета равны 3 см, 5 см и 4 см?
Формула S=12 bа для прямоугольного треугольника с двумя катетами (а и b) и гипотенузой с. В представленной задаче а=3 см, b=4 см, с=5 см. Согласно таблице Пифагора с²=а²+в². В нашем случае 5²=3²+4², 25=9+16) и S=12*3*4=6 cм. кв.
Какова формула нахождения площади треугольника, длины трех сторон которого равны 16 см, 24 см и 32 см?
Площадь треугольника можно рассчитать, применяя формулу Герона:
в которой р обозначает полупериметр, вычисляемый как сумма длин всех сторон треугольника, разделенная на 2: р=(16+24+32)/2=36.
В формуле стороны треугольника обозначены как a, b, c.
S=√36*20*12*4 = 48√15 cм.кв.
S = a*b*c/(4R) – это формула нахождения площади треугольника. В ней a, b и с – это его стороны, а R – это радиус окружности, которая описана вокруг данного треугольника. Каким образом можно использовать данную формулу, чтобы найти площадь треугольника, если а = 11, b = 13, с = 20 и R = 65/6?
Сначала нужно перемножить длины всех сторон треугольника:
a*b*с = 11*13*20 = 2860.
Четыре радиуса окружности равны:
Из этого следует, что площадь треугольника будет равна:
S = 2860/(130/3) = 8580/130 = 66 см. кв.
Каковы формулы нахождения площади треугольника?
Существует несколько формул, которыми можно пользоваться для вычисления площади треугольника:
1. S = 1/2*bh, в которой b – это основание фигуры, а h – проведенная к нему высота.
2. S = 1/2*ahₐ, где а обозначает длину стороны треугольника, а hₐ — проведенная к этой стороне высота.
3. Формула Герона: S = √(р * (р-а)(p-b)(p-c) ), в которой стороны треугольника обозначены как а,b, с. Полупериметр (Р/2) обозначен как р.
4. S=р*r, или полупериметр*радиус вписанной окружности.
5. S= 1/2*ab*sinα, где a и b – это стороны треугольника, α – угол, образованный между ними.
6. S = (a*b*c) / 4R, в которой радиус описанной окружности обозначен R, а стороны треугольника — а,b,с.
Прямоугольник, периметр которого равен 40 см, вписан в треугольник со сторонами 20 см, 34 см и 42 см таким образом, что одна из его сторон лежит на стороне треугольника, являющейся наибольшей. Чему равны стороны треугольника?
Площадь треугольника можно вычислить по формуле Герона:
S = √(р * (р-а)(p-b)(p-c)) = √ (48*(48-20)*(48-34)*(48-42)) = 336 см. кв.
Отсюда следует, что высота, проведенная к стороне 42 рассчитывается так:
Верхняя сторона прямоугольника отсекает подобный треугольник (x — сторона II основанию 42, y — сторона II высоте H = 16), из чего следует очевидная пропорция (16 — y)/16 = x/42, согласно которой отношение высот равно отношению оснований. По условию x + y = 20. Решив данную систему двумя уравнениями с двумя неизвестными, получаем следующее:
х = 84/13; y = 176/13.
Длина большей стороны треугольника равна 16 см. Число 0,4 является разностью длин двух других его сторон. Чему равны стороны треугольника при условии, что его периметр равен 0,38 м?
Схема решения задачи:
а (большая сторона треугольника) = 16 см.
b-с = 0,4 см., b = 0,4+с.
Периметр (Р) = 38 см.
с = 21,6/2 = 10,8 см.
b = 10,8+0,4 = 11,2 см.
Каким способом можно доказать то, что два треугольника с равными сторонами равны между собой при условии, что стороны одного из них равны стороне другого?
Для равносторонних треугольников характерно равенство длин всех трех сторон. Если одна его сторона равна а, то и обе другие тоже будут равны а. Если же все стороны треугольников равны, то это равенство соблюдается по 3 признаку.
Длины двух сторон треугольника с периметром 19 см равны 6 см и 4 см. Чему равна третья сторона данного треугольника?
Известно, что периметр треугольника является суммой длин всех его сторон и рассчитывается по формуле:
В данном случае:
Ответ: Длина третьей стороны треугольника – 9 см.
Наименьшая сторона треугольника имеет длину 5 см. Чему равны другие стороны этого треугольника при условии, что стороны треугольника, являющегося подобным ему, равны 8 см, 2 см и 9 см?
Сначала необходимо вычислить коэффициент подобия двух этих треугольников. Он равен отношению сходственных сторон:
Теперь нужно рассчитать длины других сторон первого из треугольников. Одна из них, которая является сходственной стороне второго из треугольников длиной 8 см, рассчитывается следующим образом:
Еще одна сторона первого треугольника, сходственная стороне другого из них, которая имеет длину 9 см, вычисляется так:
9*к = 9*5/2 = 22,5 см.
Три стороны треугольника имеют длины 8 см, 24 см и 22 см. Произведение длин всех трех сторон подобного треугольника равно 66. Чему равны стороны подобного треугольника?
Следует найти отношение этих сторон:
Отношение всех сторон подобного треугольника будет таким же.
Одну из сторон подобного треугольника обозначим 4х, вторую сторону – 12х, а третью – 11х. В результате получается следующее уравнение:
x = корень 3-ей степени из 0,125 = 0,5.
Первая сторона треугольника = 4х = 4*0,5 = 2 см.
Вторая сторона треугольника = 12х = 12*0,5 = 6 см.
Третья сторона треугольника = 11х = 11*0,5 = 5,5 см.
Проверка: 2*6*5,5 = 66 см.
Две стороны треугольника имеют длины 6 см и 8 см. Его медиана, которая проведена к третьей из сторон, равна √46 см. Чему равна третья сторона треугольника?
Имеется треугольник АВС, в котором АВ = 6 см, ВС = 8 см, ВD – медиана на АС = √46 см (2*АВ в квадрате+2*ВС в квадрате-АС в квадрате). √46 см. = ½*√(2*36+2*64-АС в квадрате), каждую часть возводим в квадрат, 4*46=72+128-АС в квадрате, АС в квадрате=16, АС=4.
Ответ: Длина третьей стороны треугольника равна 4 см.
Две из трех сторон треугольника равны 1 см и 3 см. Чему равна третья сторона этого же треугольника?
Если предположить, что третья сторона треугольника равна 1 см, то в этом случае не получится соблюсти неравенство 1 см+1 см = 2 см. В этом случае 3 см больше 2 см, а должно быть меньше. Если длина неизвестной стороны равна 2 см, то неравенство снова не соблюдается: 2 см+1 см = 3, тогда 3 см =3 см, чего тоже не может быть ввиду того, что одна из сторон треугольника обязательно должна быть меньше суммы двух других его сторон. Если принять длину третьей стороны равной 3 см, то получается 1 см+3 см = 4 см, 3 Ответ: Третья сторона треугольника равна 3 см.
Как узнать площадь треугольника, являющегося прямоугольным?
Для того чтобы рассчитать площадь треугольника (S) с прямыми углами, следует воспользоваться приведенной ниже формулой:
где a и b – катеты.
Как узнать площадь треугольника с прямыми углами, катеты которого равны 5 см и 4 см?
Площадь треугольника с прямыми углами равна ½ от произведения его катетов:
S = (5*4)/2=20/2=10 см. кв.
Как узнать площадь треугольника, используя измерения и вычисления?
Для того чтобы получить возможность вычислить площадь треугольника, необходимо произвести замеры его основания (а) и высоты (h). Тогда площадь может быть рассчитана по следующей формуле:
Видео:Занятие 8. Теорема синусов и косинусов. Планиметрия для ЕГЭ и ОГЭСкачать
Площадь треугольника онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти площадь треугольника. Для нахождения площади треугольника введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.
Любой из сторон треугольника можно называть основанием треугольника. Если основание выбрана, то под словом «высота» понимают высоту треугольника, проведенную к основанию (Рис.1):
Теорема 1. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.
Доказательство. Пусть AC основание треугольника ABC (Рис.2).
Проведем высоту BH. Обозначим через S площадь треугольника. Докажем, что
Из вершины B проведем прямую, параллельную стороне AC, а из C − прямую, параллельную стороне AB. Поскольку ( small AC || BD ) и ( small AB || CD ), то ABDC является параллелограммой и, следовательно, ( small AC = BD ), ( small AB = CD . ) Тогда треугольники ABC и BCD равны по трем сторонам (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников). Так как площадь параллелограмма ABDC равна ( small S_=AC cdot BH, ) то площадь треугольника ABC (и BCD)равна половине площади параллелограмма:
Следствие 1. Если высоты треугольников равны, то их площади относятся как основания.
Доказательство. Пусть площадь треугольников ABC и ABC равны:
где AC и AC основания треугольников ABC и ABC , соответственно, а h их высоты.
Обозначим через k отношение
То есть отношение площадей треугольников с равными высотами равно отношению их оснований.
Следствие 2. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Действительно. Поскольку в прямоугольном треугольнике катеты перпендикулярны друг другу, то один из них можно определить как основание, а другой − как высоту. Тогда по теореме 1, площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Видео:Как найти гипотенузу в прямоугольном треугольнике, минуя теорему Пифагора?Скачать
Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними
Теорема 2. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.
Доказательство. Обозначим через S площадь треугольника ABC и пусть a=BCb=AC (Рис.3). Докажем, что
Площадь данного треугольника можно вычислить по формуле, полученной выше (теорема 1):
Площадь треугольника по стороне и прилежащим двум углам
Пусть известна сторона треугольника и две прилежащие углы (Рис.4).
Найдем формулу площади этого треугольника. Обозначим через S площадь треугольника. Если у треугольника известны два угла, то можно найти и третий угол:
Найдем сторону b используя теорему синусов:
В предыдующем параграфе мы вывели площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними. Подставляя (4) и (5) в (3), получим:
Площадь треугольника по трем сторонам. Формула Герона
Для нахождения площади треугольника по трем сторонам используют формулу Герона:
где a, b, c − стороны треугольника, а p − полупериод треугольника:
Доказательство формулы Герона. На рисунке 5 треугольник ABC имеет стороны a=BCb=ACc=AB. Проведем высоту h=AH. Обозначим x=CH. Тогда BH=a−x. Применим теорему Пифагора для треугольников AHC и AHB
Из (8) и (9) следует:
Откуда находим x
Подставляя (10) в (8) найдем h
Тогда площадь треугольника равна:
Преобразовав (12) получим формулу (7):
Площадь треугольника по трем сторонам и радусу описанной окружности
Пусть известны все три стороны треугольника и радиус описанной окружности (Рис.6). Докажем, что площадь треугольника равна: ( small S=frac. )
