Площадь PRO » Статьи

теорема синусов отношение площадей

Обновлено
Содержание
  1. Теорема синусов
  2. Доказательство теоремы синусов
  3. Доказательство следствия из теоремы синусов
  4. Теорема о вписанном в окружность угле
  5. Примеры решения задач
  6. Запоминаем
  7. Теорема о площади треугольника, теоремы синусов и косинусов
  8. Теорема о площади треугольника
  9. Теорема синусов
  10. Теорема косинусов
  11. Готовые работы на аналогичную тему
  12. Пример задачи на использование данных теорем
  13. Геометрия. 9 класс
  14. НАШИ ПАРТНЁРЫ
  15. 🔍 Видео

Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

Теорема синусов

теорема синусов отношение площадей

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:9 класс, 13 урок, Теорема синусовСкачать

9 класс, 13 урок, Теорема синусов

Доказательство теоремы синусов

Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

теорема синусов отношение площадей

Формула теоремы синусов:

теорема синусов отношение площадей

Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

теорема синусов отношение площадей

Из этой формулы мы получаем два соотношения:


    теорема синусов отношение площадей

теорема синусов отношение площадей
На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:
теорема синусов отношение площадей

  • теорема синусов отношение площадей
    bc sinα = ca sinβ
    теорема синусов отношение площадей

    • Из этих двух соотношений получаем:

    теорема синусов отношение площадей

    Теорема синусов для треугольника доказана.

    Эта теорема пригодится, чтобы найти:

    • Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
    • Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

    Видео:Теорема синусов – просто и красиво // Vital MathСкачать

    Теорема синусов – просто и красиво // Vital Math

    Доказательство следствия из теоремы синусов

    У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

    теорема синусов отношение площадей

    теорема синусов отношение площадей

    где R — радиус описанной около треугольника окружности.

    Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

    теорема синусов отношение площадей

    Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

    теорема синусов отношение площадей

    Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

    Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

    1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

    теорема синусов отношение площадей

    Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

    Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

    Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

    BA1 = 2R, где R — радиус окружности

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

    Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

    Следовательно, ∠А1 = 180° — α.

    теорема синусов отношение площадей

    Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

    теорема синусов отношение площадей

    Также известно, что sin(180° — α) = sinα.

    В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

    α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Часто используемые тупые углы:

    • sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
    • sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
    • sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.

    3. Угол ∠А = 90°.

    теорема синусов отношение площадей

    В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

    теорема синусов отношение площадей

    Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

    Видео:ВСЁ ПРО ТЕОРЕМУ СИНУСОВ. ВАЖНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ ЕГЭ ПО ПРОФИЛЮСкачать

    ВСЁ ПРО ТЕОРЕМУ СИНУСОВ. ВАЖНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ ЕГЭ ПО ПРОФИЛЮ

    Теорема о вписанном в окружность угле

    Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.

    Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.

    Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

    теорема синусов отношение площадей

    ∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.

    Формула теоремы о вписанном угле:

    теорема синусов отношение площадей

    Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

    теорема синусов отношение площадей

    ∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).

    Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

    теорема синусов отношение площадей

    На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.

    Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.

    теорема синусов отношение площадей

    ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.

    теорема синусов отношение площадей

    Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:

    теорема синусов отношение площадей

    Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.

    Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.

    Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

    Следовательно: α + γ = 180°.

    Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.

    Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:

    sinγ = sin(180° — α)

    Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα

    Видео:Теоремы синусов и косинусов | Ботай со мной #029 | Борис ТрушинСкачать

    Теоремы синусов и косинусов | Ботай со мной #029 | Борис Трушин

    Примеры решения задач

    Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

    Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

      Согласно теореме о сумме углов треугольника:

    ∠B = 180° — 45° — 15° = 120°

  • Сторону AC найдем по теореме синусов:
    теорема синусов отношение площадей

    • Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

    В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:

    теорема синусов отношение площадей

    теорема синусов отношение площадей

    Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.

    Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

    Видео:Теорема СинусовСкачать

    Теорема Синусов

    Запоминаем

    Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

    >
    теорема синусов отношение площадей

    Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

    Видео:Решение задачи с применением теоремы синусовСкачать

    Решение задачи с применением теоремы синусов

    Теорема о площади треугольника, теоремы синусов и косинусов

    Вы будете перенаправлены на Автор24

    Видео:Теорема синусов с доказательствомСкачать

    Теорема синусов с доказательством

    Теорема о площади треугольника

    Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между этими сторонами.

    Доказательство.

    Пусть нам дан произвольный треугольник $ABC$. Обозначим длины сторон этого треугольника как $BC=a$, $AC=b$. Введем декартову систему координат, так, что точка $C=(0,0)$, точка $B$ лежит на правой полуоси $Ox$, а точка $A$ лежит в первой координатной четверти. Проведем высоту $h$ из точки $A$ (рис. 1).

    теорема синусов отношение площадей

    Рисунок 1. Иллюстрация теоремы 1

    В этой системе координат, получаем, что

    Высота $h$ равняется ординате точки $A$, следовательно

    Видео:Тригономерия 7. Теорема синусовСкачать

    Тригономерия 7. Теорема синусов

    Теорема синусов

    Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

    Доказательство.

    Пусть нам дан произвольный треугольник $ABC$. Обозначим длины сторон этого треугольника как $BC=a$, $AC=b,$ $AC=c$ (рис. 2).

    теорема синусов отношение площадей

    По теореме 1, имеем

    Приравнивая их попарно, и получим, что

    Видео:Теорема СинусовСкачать

    Теорема Синусов

    Теорема косинусов

    Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между этими сторонами.

    Готовые работы на аналогичную тему

    Доказательство.

    Пусть нам дан произвольный треугольник $ABC$. Обозначим длины его сторон как $BC=a$, $AC=b,$ $AB=c$. Введем декартову систему координат, так, что точка $A=(0,0)$, точка $B$ лежит на положительной полуоси $Ox$, а точка $C$ лежит в первой координатной четверти (рис. 3).

    теорема синусов отношение площадей

    В этой системе координат, получаем, что

    Найдем длину стороны $BC$ по формуле расстояния между точками

    Видео:Атака на ЕГЭ Если забыл теорему синусов Задача про радиусСкачать

    Атака на ЕГЭ Если забыл теорему синусов Задача про радиус

    Пример задачи на использование данных теорем

    Доказать, что диаметр описанной окружности произвольного треугольника равен отношению любой стороны треугольника к синусу противолежащего этой стороне угла.

    Решение.

    Пусть нам дан произвольный треугольник $ABC$. $R$ — радиус описанной окружности. Проведем диаметр $BD$ (Рис. 4).

    теорема синусов отношение площадей

    Так как сторона $BD$ треугольника $DCB$ лежит на диаметре вписанной окружности, то он прямоугольный, следовательно, $sinD=frac=frac$.То есть

    ч. т. д.

    Найти третью сторону треугольника, если две его стороны равны 5 и 7, соответственно, а угол между ними равен $^0.$

    Решение.

    Обозначим искомую сторону через $a$. Используя теорему 3, получим

    Ответ: $sqrt$.

    Получи деньги за свои студенческие работы

    Курсовые, рефераты или другие работы

    Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 11 04 2021

    Видео:Теорема синусовСкачать

    Теорема синусов

    Геометрия. 9 класс

    Докажем, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
    Выразим площадь треугольника ABC через стороны и синусы углов.

    S = 1/2 b c sin⁡A, (1)
    S = 1/2 a с sin B. (2)
    S = 1/2 a b sin C. (3)
    Приравняем первое и второе равенства:
    1/2 b c sin⁡A = 1/2 a c sin B
    Умножим обе части получившего равенства на два и разделим на с:
    1/2 b c sin⁡A = 1/2 a c sinB | ∙2
    b c sin⁡A = a c sinB | :c
    b sin⁡A = a sinB
    Из полученного равенства составим пропорцию – равенство отношений сторон треугольника к синусам противолежащих углов: b/sinB = a/sinA
    Приравняем второе и третье равенства и проведём аналогичные преобразования:
    1/2 a c sinB = 1/2 a b sinC | ∙2
    a c sinB = a b sinC | :a
    c sinB = b sinC
    c/sinC = b/sinB (5)
    Из четвёртого и пятого равенств получаем, что отношения длины стороны к синусу противолежащего угла равны: c/sinC = b/sinB = a/sinA
    Около треугольника опишем окружность и выясним, как связаны отношения стороны к синусу противолежащего угла с радиусом описанной окружности.
    Центр окружности, описанной около треугольника может быть расположен на стороне треугольника, внутри треугольника и вне треугольника.
    Если центр описанной окружности расположен на стороне треугольника, то этот треугольник прямоугольный.

    Запишем для этого треугольника теорему синусов: c/sinC = b/sinB = a/sinА
    Так как гипотенуза треугольника является диаметром окружности, а синус девяноста градусов равен единице, то отношения стороны треугольника к синусу противолежащего угла равны диаметру описанной окружности:
    c/sinC = b/sinB = a/sinА = 2R/(sin90°) = 2R
    Для двух других случаев.

    Видео:ЛУЧШЕЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы СинусовСкачать

    ЛУЧШЕЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы Синусов

    НАШИ ПАРТНЁРЫ

    теорема синусов отношение площадей теорема синусов отношение площадей теорема синусов отношение площадей теорема синусов отношение площадей теорема синусов отношение площадей теорема синусов отношение площадей

    © Государственная образовательная платформа «Российская электронная школа»

    🔍 Видео

    9 класс. Геометрия. Теорема синусов.Скачать

    9 класс. Геометрия. Теорема синусов.

    ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

    ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

    Как работает теорема синусов (bezbotvy)Скачать

    Как работает теорема синусов (bezbotvy)

    Теорема синусов (видео 1) | Тригонометрические функции | ГеометрияСкачать

    Теорема синусов (видео 1) | Тригонометрические функции | Геометрия

    96 Теорема синусовСкачать

    96 Теорема синусов

    Подготовка к ОГЭ. Теорема синусов. Доказательство.Скачать

    Подготовка к ОГЭ. Теорема синусов. Доказательство.

    Занятие 8. Теорема синусов и косинусов. Планиметрия для ЕГЭ и ОГЭСкачать

    Занятие 8. Теорема синусов и косинусов. Планиметрия для ЕГЭ и ОГЭ
    Поделиться или сохранить к себе: