Площадь PRO » Статьи

теорема площади треугольника теорема синусов

Обновлено
Содержание
  1. Теорема о площади треугольника, теоремы синусов и косинусов
  2. Теорема о площади треугольника
  3. Теорема синусов
  4. Теорема косинусов
  5. Готовые работы на аналогичную тему
  6. Пример задачи на использование данных теорем
  7. Площадь треугольника через синус
  8. Определение
  9. Введение
  10. Теорема
  11. Формула
  12. Пример
  13. Доказательство
  14. Заключение
  15. Теория и практика по треугольникам (Часть Ⅱ)
  16. Площадь произвольного треугольника
  17. Тригонометрия в прямоугольных треугольниках
  18. Теорема синусов и теорема косинусов
  19. Что нужно знать:
  20. 💥 Видео

Видео:9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать

9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольника

Теорема о площади треугольника, теоремы синусов и косинусов

Вы будете перенаправлены на Автор24

Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

Теорема о площади треугольника

Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между этими сторонами.

Доказательство.

Пусть нам дан произвольный треугольник $ABC$. Обозначим длины сторон этого треугольника как $BC=a$, $AC=b$. Введем декартову систему координат, так, что точка $C=(0,0)$, точка $B$ лежит на правой полуоси $Ox$, а точка $A$ лежит в первой координатной четверти. Проведем высоту $h$ из точки $A$ (рис. 1).

теорема площади треугольника теорема синусов

Рисунок 1. Иллюстрация теоремы 1

В этой системе координат, получаем, что

Высота $h$ равняется ординате точки $A$, следовательно

Видео:100. Теорема о площади треугольникаСкачать

100. Теорема о площади треугольника

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Доказательство.

Пусть нам дан произвольный треугольник $ABC$. Обозначим длины сторон этого треугольника как $BC=a$, $AC=b,$ $AC=c$ (рис. 2).

теорема площади треугольника теорема синусов

По теореме 1, имеем

Приравнивая их попарно, и получим, что

Видео:Теорема синусов и теорема косинусовСкачать

Теорема синусов и теорема косинусов

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между этими сторонами.

Готовые работы на аналогичную тему

Доказательство.

Пусть нам дан произвольный треугольник $ABC$. Обозначим длины его сторон как $BC=a$, $AC=b,$ $AB=c$. Введем декартову систему координат, так, что точка $A=(0,0)$, точка $B$ лежит на положительной полуоси $Ox$, а точка $C$ лежит в первой координатной четверти (рис. 3).

теорема площади треугольника теорема синусов

В этой системе координат, получаем, что

Найдем длину стороны $BC$ по формуле расстояния между точками

Видео:Теорема синусов – просто и красиво // Vital MathСкачать

Теорема синусов – просто и красиво // Vital Math

Пример задачи на использование данных теорем

Доказать, что диаметр описанной окружности произвольного треугольника равен отношению любой стороны треугольника к синусу противолежащего этой стороне угла.

Решение.

Пусть нам дан произвольный треугольник $ABC$. $R$ — радиус описанной окружности. Проведем диаметр $BD$ (Рис. 4).

теорема площади треугольника теорема синусов

Так как сторона $BD$ треугольника $DCB$ лежит на диаметре вписанной окружности, то он прямоугольный, следовательно, $sinD=frac=frac$.То есть

ч. т. д.

Найти третью сторону треугольника, если две его стороны равны 5 и 7, соответственно, а угол между ними равен $^0.$

Решение.

Обозначим искомую сторону через $a$. Используя теорему 3, получим

Ответ: $sqrt$.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 11 04 2021

Видео:Геометрия 9 класс : Теорема о площади треугольникаСкачать

Геометрия 9 класс : Теорема о площади треугольника

Площадь треугольника через синус

теорема площади треугольника теорема синусов

Видео:9 класс, 13 урок, Теорема синусовСкачать

9 класс, 13 урок, Теорема синусов

Определение

Площадь треугольника через синус — это площадь треугольника,
выраженная через две любые стороны треугольника и синус угла между ними.

Синус угла — это число, которое используется для нахождения
разных величин в треугольниках, его можно найти в специальных таблицах.

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№14 - Теорема о площади треугольника.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№14 - Теорема о площади треугольника.)

Введение

Площадь треугольника кроме половины произведения высоты
на основания, можно также найти и другим способом.
Мало кто знает, но через синусы углов можно найти обычно
не только стороны, но и площадь любого треугольника!

Площадь треугольника выраженная без синуса численно равна
половине произведения двух сторон друг на друга
на синус угла между ними.

Площадь треугольника через синус ищется только в том случае,
если по другой формуле площадь треугольника найти нельзя.

Теорема

теорема площади треугольника теорема синусов

( S = frac2 * BC * AC * sin angle BCA ) ​

Площадь произвольного треугольника равна полусумме
произведения двух любых сторон треугольника друг на друга,
и на синус угла между этими сторонами.

Формула

[ S = frac2 * a * b * sin α ]

Где a, b — две стороны треугольника, синус α — синус угла α.

Пример

теорема площади треугольника теорема синусов

Для примера, возьмем треугольник omk, изображенный на рисунке 1, со сторонами om, mk, ok.
Известно, что mk равен 6, ok равен 8, синус угла okm равен 1/4.

Нужно найти площадь треугольника omk.

Дано: △omk, mk = 6, ok = 8, sin okm = 1/4.

Найти: S △omk — ?

Решение:

1) ​ ( S = frac2*a*b*sin α ) ​​ ( implies ) ​ ( S = frac2*mk*ok*sin okm ) ​

2) S = 1/2 * 6 * 8 * 1/4 = 1/2 * 6 * 8 * 0.25 = 1/2 * 48 * 0.25 = 1/2 * 12 = 6

Ответ: Площадь треугольника omk равна 6.

Доказательство

Докажем, что площадь произвольного треугольника
равна полусумме произведения двух любых сторон
друг на друга, и на синус угла между этими сторонами.

Чтобы вам наглядно было видно, как мы доказываем,
используем один из известнейших треугольников — египетский треугольник.
Высота в египетском треугольнике равна длине одного из катетов.
Построим прямоугольный треугольник, изображенный на рисунке 2,
со сторонами 3,4,5 с одним из углов 90 градусов.

теорема площади треугольника теорема синусов

Первым делом найдем площадь обычной формулой,
затем с помощью синуса. Площадь равна половине
основания на высоту — ½3*4 = 6. Теперь найдем с
помощью синуса: ½3*4*sin90 = 6 * 1 = 6. Как видим,
полученные значения площадей сходятся, соответственно
через синус можно найти площадь треугольника ч.т.д.

Теперь, чтобы найти площадь треугольника нам не нужно
знать основание и высоту, можно знать только
две стороны и синус угла между ними.

Видео:✓ Новая формула площади треугольника | Ботай со мной #108 | Борис ТрушинСкачать

✓ Новая формула площади треугольника | Ботай со мной #108 | Борис Трушин

Заключение

В заключение, можно сказать, что площадь
треугольника можно найти разными способами.
Например, в прямоугольном треугольнике площадь
рассчитать легче чем в любом другом треугольнике,
так как высота уже известна. Именно поэтому,
в школьном курсе, отчасти так подробно изучаются
прямоугольные треугольники. В Древнем Египте были
распространены прямоугольные треугольники со
сторонами 3,4,5; 6,8,10; 5,12,13. Длины этих прямоугольных
треугольников треугольников целые, что значительно,
упрощало разного рода вычисления.

Формулу площади треугольника делает универсальной то,
что она может применена к абсолютно любым треугольникам.
Главное, чтобы были известные две стороны,
и угол или синус угла между ними.

Формула площади треугольника через синус — универсальна,
поэтому может быть применена к любым видам треугольников.

Видео:Решение задачи с применением теоремы синусовСкачать

Решение задачи с применением теоремы синусов

Теория и практика по треугольникам (Часть Ⅱ)

теорема площади треугольника теорема синусовПлощадь треугольников.

Тригонометрия в прямоугольных треугольниках.

Что такое синус/косинус.

Таблицы Брадиса. Как пользоваться.

Теорема синусов и косинусов.

Геометрия — это искусство хорошо рассуждать на плохо выполненных чертежах.

С основными свойствами разобрались, теперь рассмотрим формулы и их приминение.

Площадь произвольного треугольника

теорема площади треугольника теорема синусов

Нет, это не кривая пентаграмма, нужны на этом рисунке только обозначения. Рассмотрим формулы школьной программы.

теорема площади треугольника теорема синусовВысоту умножаем на ту сторону, на которую приходит высота:
теорема площади треугольника теорема синусовВ эту формулу подставляем угол между сторонами a и b:

теорема площади треугольника теорема синусовУдобно использовать эту формулу, когда известны все стороны треугольника, p — полупериметр (половина суммы длин всех сторон):

теорема площади треугольника теорема синусовДанная формула отлично помогает найти радиус вписанной окружности для любого треугольника, если известна площадь:

теорема площади треугольника теорема синусовА эта формула помогает найти радиус описанной окружности для любого треугольника:

теорема площади треугольника теорема синусовА зачем такое количество формул? К каждой задаче будут предоставлять разное дано, удобно знать и применять все формулы, чтобы максимально быстро решать задачи.

Полезные формулы для прямоугольного и равностороннего треугольника:

теорема площади треугольника теорема синусовВ данном случае получается, что один катет «b» — высота треугольника, а катет «а» — основание.

теорема площади треугольника теорема синусовЭту формулу можно вывести большим количеством способов, самый простой через формулу №2

Задача №1. Дано на рисунке:

теорема площади треугольника теорема синусовОттолкнемся от вопроса: нужно найти площадь. Помимо 5 формул для произвольного треугольника, нам подойдет формула нахождения площади через полупроизведение катетов.

Вариантов здесь много (можно через т. Пифагора), но самый быстрый — найти ∠А = 180°− 90° − 60° = 30°, тогда площадь найдем по (2) формуле: S = ½absinα

теорема площади треугольника теорема синусовОтвет: 60

Задача №2. Дано на рисунке:

теорема площади треугольника теорема синусовСнова оттолкнемся от вопроса: нужно найти площадь. Дан обычный треугольник, значит, наш выбор ограничен первыми 5−ью формулами. В первой нужна высота, во второй угол, а в третьей полупериметр, но мы же знаем все стороны! Для начала найдем периметр и полупериметр:

теорема площади треугольника теорема синусовТеперь можно подставить все числа в формулу площади:

теорема площади треугольника теорема синусов

Главное — правильно определиться с формулой.

Задача №3. Дано на рисунке:

теорема площади треугольника теорема синусов

В ΔABH: ∠A = 180°− 90° − 45° = 45°, значит, ∠A = ∠B => BH = AH = 12.

Тогда площадь можно найти по формуле (1) S=½bh. Высота AH = 12, основание AC = 16+12 = 28. => S = ½×12×28 = 168

Задача №4. Дано на рисунке:

теорема площади треугольника теорема синусовОттолкнемся от отношения, которое нам дано. Мы знаем, что сумма данных углов равна 90°, если ∠ACM = х и ∠ВCM = 2х, тогда 2х+х = 90°

∠ACM = х = 30° => ∠ВCM = 60°. А что у нас равно 4-ем? Да, медиана! А медиана, проведенная из прямого угла, равна половине гипотенузы (2−ое свойство). Тогда отметим равные углы:

теорема площади треугольника теорема синусовВ ΔBCM получается ∠ВCM = ∠СВM = 60°, тогда ∠СМВ = 60° и ΔBCM — правильный:

теорема площади треугольника теорема синусовПлощадь найдем по (2) формуле: S = ½absinα:

теорема площади треугольника теорема синусов

Задача №5. Дано на рисунке:

В дано есть только стороны, а найти нужно угол. Как это сделать? Вот стороны 14,2 и 7,1 во сколько раз отличаются? Да, в 2 раза, а значит угол ∠BAL = 30° (против угла в 30° лежит катет, который в два раза меньше гипотенузы).

теорема площади треугольника теорема синусов

Значит, ∠A = 60° => ∠ACB = 180° − 90° − 60° = 30°, а ∠ACB — смежный с ∠ACV => ∠ACV = 180° − 30° = 150°.

Что касается LC: внимательно рассмотрим ΔALC, можно даже лупой воспользоваться. Что видишь? ∠LAC = ∠ACL = 30° => ΔALC — равнобедренный, LC = AL = 14,2.

Ответ: 14,2 и 150°

Тригонометрия в прямоугольных треугольниках

В прямоугольном треугольнике три стороны: 2 катета и гипотенуза.

Катеты меньшие стороны треугольника. Гипотенуза большая сторона, которая лежит напротив угла в 90°.

Относительно угла α:

теорема площади треугольника теорема синусов

Катет, который составляет угол, называют прилежащим. Катет, который находится напротив угла, называют противолежащим. Логично? Замечательно!

Тригонометрические функции (синус, косинус. ) задают связь между углом и длинами сторон.

теорема площади треугольника теорема синусов

Но хорошо бы знать какие-то значения тригонометрических функций при определенных углах. Все значения вместе образуют таблицу Брадиса. С ее помощью можно вычислить почти любое значение тригонометрической функции при заданом угле. Но как с ней работать?

Найдем sin(10°) . Для этого выберем столбец sin и в нем найдем 10°. Ближайшее значение — это то, что нам нужно — 0,1736.

теорема площади треугольника теорема синусовА что за столбец 0′; 6′; 12′ и т.д. Это минуты! Не те, которых мы ждем в конце урока, а градусные минуты.

Из общего: и те, и другие минуты измеряются в промежутке от 0 до 60.

Градусные минуты делят один градус на 60 минут (1°=60′), нужны они для большей точности задания угла.

p.s. Есть еще и градусные секунды, и в одной градусной минуте 60 градусных секунд, знакомо? 1° = 60′ = 3600».

Семь десятых градуса нужно перевести в минуты. Можно через пропорцию:

теорема площади треугольника теорема синусов

Теперь в таблице нужно найти 77°42′ для косинуса. Для синуса минуты прописаны, а для косинуса нет. Но мы же люди не гордые, сами напишем, но в обратном порядке. На пересечении 77° и 42′ получаем наше значение:

теорема площади треугольника теорема синусов

Но чтобы не загромождать таблицу 0, его в начале пишут только в первых строчках, поэтому ответ cos(77,7°) = 0,213.

В задачах же таким обилием углов похвастаться нельзя, достаточно знать значения для 30°; 45°; 60°; 90°.

теорема площади треугольника теорема синусов

Искусство решать геометрические задачи чем-то напоминает трюки иллюзионистов — иногда,

даже зная решение задачи, трудно понять, как можно было до него додуматься.

Задача №6. Дано на рисунке:

теорема площади треугольника теорема синусов

В этой задаче известен противолежащий катет относительно угла в 45°, а найти нужно гипотенузу. Смотрим, где у нас есть противполежащий катет и гипотенуза? Это синус!

Смотрим в таблице, чему равен синус 45°, и подставляем в отношение:

теорема площади треугольника теорема синусов

Задача №7. Дано на рисунке:

теорема площади треугольника теорема синусов

Мы разобрались с тригонометрическими функциями в прямоугольных треугольниках, значит, и в этой задаче нужно перейти к прямоугольному треугольнику.

В ΔLTK — равнобедренный : ∠L = ∠LKT = (180° − 120°)/2 = 30°

Отлично, в прямоугольном ΔLVK: ∠L = 30° и известна гипотенуза, а нам нужно найти противолежащий катет, чем воспользуемся? Опять синусом!

теорема площади треугольника теорема синусов

Теорема синусов и теорема косинусов

Сразу возникает вопрос, а теорема тангенсов тоже есть? Конечно, есть, но она очень редко используется.

теорема площади треугольника теорема синусов

Для любого треугольника можно записать такое соотношение, это будет теорема синусов:

теорема площади треугольника теорема синусов

Запомни, что сторона относится к синусу противолежащего угла.

Следствие из теорма синусов гласит, что любое соотношение равно двум радиусам описанной окружности:

теорема площади треугольника теорема синусов

Для любого треугольника можно записать такое соотношение, это будет теорема косинусов:

теорема площади треугольника теорема синусов

А что будет, если α = 90°, а cos(90) = 0? Получится:

теорема площади треугольника теорема синусов

Теорема Пифагора, вот так просто можно запомнить теорему косинусов. Начать как теорему Пифагора, а затем вычесть удвоенное произведение на косинус угла между ними.

Можно записать и для других сторон в этом же треугольнике:

теорема площади треугольника теорема синусов

Задача №8. Дано на рисунке:

теорема площади треугольника теорема синусов

Запишем теорему синусов для двух отношений:

теорема площади треугольника теорема синусов

Выразим отсюда KT:

теорема площади треугольника теорема синусов

∠K = 180° − 60° − 45° = 75°. Чтобы найти синус угла 75°, советую посмотреть эту статью, нужно воспользовать формулой суммы синусов:

теорема площади треугольника теорема синусов

Тогда представим 75° в виде двух табличных значений:

теорема площади треугольника теорема синусов

Аналогично выразим LT:

теорема площади треугольника теорема синусов

Ответ: 16,3 и 22,3

Задача №9. Дано на рисунке:

теорема площади треугольника теорема синусов

Найти нужно x и y. Запишем теорему косинусов для этого треугольника:

теорема площади треугольника теорема синусов

Икс выразим через игрек:

теорема площади треугольника теорема синусов

Отлично, поздравляю тебя с Elementary по геометрии!

Что нужно знать:

  1. Вертикальные, смежные, соответственные, накрест лежащие углы.
  2. Равенство и подобие треугольников.
  3. Что такое медиана, биссектриса, высота.
  4. Свойства треугольников.
  5. Площадь треугольников.
  6. Синус/косинус в треугольнике.
  7. Теорему синусов и косинусов.

💥 Видео

Теоремы синусов и косинусов | Ботай со мной #029 | Борис ТрушинСкачать

Теоремы синусов и косинусов | Ботай со мной #029 | Борис Трушин

Теорема о площади треугольника. 9 классСкачать

Теорема о площади треугольника. 9 класс

Теорема о площади треугольника | Геометрия 7-9 класс #95 | ИнфоурокСкачать

Теорема о площади треугольника | Геометрия 7-9 класс #95 | Инфоурок

Теорема синусов с доказательствомСкачать

Теорема синусов с доказательством

Геометрия 9 класс (Урок№15 - Теорема синусов.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№15 - Теорема синусов.)

Геометрия. Теорема синусов и косинусов. Площадь треугольника.Скачать

Геометрия. Теорема синусов и косинусов. Площадь треугольника.

ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА формула 9 класс геометрия АтанасянСкачать

ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА формула 9 класс геометрия Атанасян

Теорема о площади треугольника.Скачать

Теорема о площади треугольника.

8 класс, 14 урок, Площадь треугольникаСкачать

8 класс, 14 урок, Площадь треугольника

Геометрия 9 класс 12-13 неделя Площадь треугольника. Теорема синусовСкачать

Геометрия 9 класс 12-13 неделя Площадь треугольника. Теорема синусов
Поделиться или сохранить к себе: