Площадь PRO » Статьи

теорема площади треугольника равна половине

Обновлено Просмотров 881
Содержание
  1. Площадь треугольника — определение и вычисление с примерами решения
  2. Теорема (формула площади треугольника)
  3. Площадь треугольника онлайн
  4. Площадь треугольника по основанию и высоте
  5. Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними
  6. Площадь треугольника по стороне и прилежащим двум углам
  7. Площадь треугольника по трем сторонам. Формула Герона
  8. Площадь треугольника по трем сторонам и радусу описанной окружности
  9. Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных
  10. Если треугольник прямоугольный
  11. Если он равнобедренный
  12. Если он равносторонний
  13. Если известна сторона и высота
  14. Если известны две стороны и градус угла между ними
  15. Если известны длины трех сторон
  16. Если известны три стороны и радиус описанной окружности
  17. Если известны три стороны и радиус вписанной окружности
  18. 🎦 Видео

Видео:100. Теорема о площади треугольникаСкачать

100. Теорема о площади треугольника

Площадь треугольника — определение и вычисление с примерами решения

Площадь треугольника:

Теорема (о площади треугольника). Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, к ней проведенную.

Доказательство:

Пусть теорема площади треугольника равна половине

теорема площади треугольника равна половине

теорема площади треугольника равна половине

1) Проведем через вершину теорема площади треугольника равна половинепрямую, параллельную теорема площади треугольника равна половинеа через вершину теорема площади треугольника равна половине— прямую, параллельную теорема площади треугольника равна половинеПолучим параллелограмм теорема площади треугольника равна половине

2) теорема площади треугольника равна половине(по трем сторонам). Поэтому

теорема площади треугольника равна половинеоткуда теорема площади треугольника равна половине

3) Так как теорема площади треугольника равна половинето теорема площади треугольника равна половине

В общем виде формулу площади теорема площади треугольника равна половинетреугольника можно записать так:

теорема площади треугольника равна половине

где теорема площади треугольника равна половине— сторона треугольника, теорема площади треугольника равна половине— высота, проведенная к ней.

Следствие 1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

Следствие 2. Если сторона одного треугольника равна стороне другого треугольника, то площади таких треугольников относятся как их высоты, проведенные к этим сторонам.

Следствие 3. Если высота одного треугольника равна высоте другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как стороны, к которым проведены эти высоты.

Пример:

Докажите, что если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, образующих этот угол.

теорема площади треугольника равна половине

Доказательство:

Рассмотрим теорема площади треугольника равна половинеи теорема площади треугольника равна половинеу которых теорема площади треугольника равна половинеПроведем высоты теорема площади треугольника равна половинеи теорема площади треугольника равна половине(рис. 238).

теорема площади треугольника равна половине

2) теорема площади треугольника равна половине(по острому углу), поэтому теорема площади треугольника равна половине

3) Имеем: теорема площади треугольника равна половине

Пример:

Найдите площадь равностороннего треугольника, сторона которого равна теорема площади треугольника равна половине

Решение:

Пусть теорема площади треугольника равна половине— равносторонний со стороной теорема площади треугольника равна половинеТогда теорема площади треугольника равна половинеВ равностороннем треугольнике теорема площади треугольника равна половинегде теорема площади треугольника равна половине— медиана. Но теорема площади треугольника равна половине(§ 18, задача 4), поэтому теорема площади треугольника равна половине

Следовательно, теорема площади треугольника равна половине

Ответ. теорема площади треугольника равна половине

Пример:

Стороны треугольника равны 8 см, 15 см и ^ 17 см. Найдите высоту треугольника, проведенную к его наибольшей стороне.

Решение:

Так как теорема площади треугольника равна половине(т. е. 289 = 289), то по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник является прямоугольным. Прямой угол является противолежащим к стороне, равной 17 см.

Пусть на рис. 239 изображен прямоугольный треугольник, у которого теорема площади треугольника равна половинесм -гипотенуза, теорема площади треугольника равна половинеи теорема площади треугольника равна половинесм — катеты, теорема площади треугольника равна половине— высота. Найдем теорема площади треугольника равна половине

теорема площади треугольника равна половине

Площадь этого треугольника можно найти

по формулам: теорема площади треугольника равна половинеили теорема площади треугольника равна половине

Тогда теорема площади треугольника равна половинето есть теорема площади треугольника равна половинеоткуда теорема площади треугольника равна половине

Таким образом, имеем: теорема площади треугольника равна половине(см).

Ответ. теорема площади треугольника равна половинесм.

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№14 - Теорема о площади треугольника.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№14 - Теорема о площади треугольника.)

Теорема (формула площади треугольника)

Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

теорема площади треугольника равна половине

где теорема площади треугольника равна половине — сторона треугольника, теорема площади треугольника равна половине — проведенная к ней высота.

Пусть теорема площади треугольника равна половине— высота треугольника теорема площади треугольника равна половине(рис. 148). Докажем, что теорема площади треугольника равна половине

теорема площади треугольника равна половине

Проведем через вершины теорема площади треугольника равна половинепрямые, параллельные сторонам треугольника, и обозначим точку их пересечения теорема площади треугольника равна половинеТаким образом, мы «достроили» треугольник теорема площади треугольника равна половинедо параллелограмма теорема площади треугольника равна половинев котором отрезок теорема площади треугольника равна половинетакже является высотой, проведенной к стороне теорема площади треугольника равна половине

По формуле площади параллелограмма теорема площади треугольника равна половинеТреугольники теорема площади треугольника равна половинеравны по трем сторонам (у них сторона теорема площади треугольника равна половинеобщая, теорема площади треугольника равна половинекак противолежащие стороны параллелограмма). Эти треугольники имеют равные площади. Тогда площадь треугольника теорема площади треугольника равна половинесоставляет половину площади параллелограмма теорема площади треугольника равна половинечто и требовалось доказать.

Следствие 1

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

теорема площади треугольника равна половине

где теорема площади треугольника равна половине— катеты прямоугольного треугольника.

Действительно, в прямоугольном треугольнике высота, проведенная к катету, совпадает с другим катетом.

Следствие 2

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

теорема площади треугольника равна половине

где теорема площади треугольника равна половине — диагонали ромба.

Действительно, диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника с катетами теорема площади треугольника равна половине(рис. 149). Используя следствие 1, имеем:

теорема площади треугольника равна половине

теорема площади треугольника равна половине

Следствие 3

Площадь равностороннего треугольника со стороной теорема площади треугольника равна половиневычисляется по формуле

теорема площади треугольника равна половине

Обоснуйте это следствие самостоятельно.

Опорная задача

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Докажите.

Решение:

Пусть теорема площади треугольника равна половине— медиана треугольника теорема площади треугольника равна половине(рис. 150).

теорема площади треугольника равна половине

Проведем высоту теорема площади треугольника равна половинетреугольника теорема площади треугольника равна половинеЭтот отрезок является одновременно высотой треугольника теорема площади треугольника равна половинепроведенной к стороне теорема площади треугольника равна половинеи высотой треугольника теорема площади треугольника равна половинепроведенной к стороне теорема площади треугольника равна половинеУчитывая равенство отрезков теорема площади треугольника равна половинеимеем:

теорема площади треугольника равна половине

Эта задача имеет интересные обобщения: если высоты двух треугольников равны, то отношение площадей этих треугольников равно отношению их оснований; если основания двух треугольников равны, то отношение площадей этих треугольников равно отношению их высот.

Докажите эти утверждения самостоятельно.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Соотношения между сторонами и углами произвольного треугольника
  • Окружность и круг
  • Описанные и вписанные окружности
  • Плоские и пространственные фигуры
  • Взаимное расположения прямых на плоскости
  • Треугольник
  • Решение треугольников
  • Треугольники и окружность

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать

9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольника

Площадь треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти площадь треугольника. Для нахождения площади треугольника введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.

Видео:Геометрия Доказательство Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон и синусаСкачать

Геометрия Доказательство Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон и синуса

Площадь треугольника по основанию и высоте

Любой из сторон треугольника можно называть основанием треугольника. Если основание выбрана, то под словом «высота» понимают высоту треугольника, проведенную к основанию (Рис.1):

теорема площади треугольника равна половине

Теорема 1. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Доказательство. Пусть AC основание треугольника ABC (Рис.2).

теорема площади треугольника равна половине

Проведем высоту BH. Обозначим через S площадь треугольника. Докажем, что

( small S= frac cdot AC cdot BH. )

Из вершины B проведем прямую, параллельную стороне AC, а из C − прямую, параллельную стороне AB. Поскольку ( small AC || BD ) и ( small AB || CD ), то ABDC является параллелограммой и, следовательно, ( small AC = BD ), ( small AB = CD . ) Тогда треугольники ABC и BCD равны по трем сторонам (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников). Так как площадь параллелограмма ABDC равна ( small S_=AC cdot BH, ) то площадь треугольника ABC (и BCD)равна половине площади параллелограмма:

теорема площади треугольника равна половинетеорема площади треугольника равна половине

Следствие 1. Если высоты треугольников равны, то их площади относятся как основания.

теорема площади треугольника равна половине,
теорема площади треугольника равна половине,

Обозначим через k отношение

( small k= frac . )
теорема площади треугольника равна половине.

То есть отношение площадей треугольников с равными высотами равно отношению их оснований.теорема площади треугольника равна половине

Следствие 2. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Действительно. Поскольку в прямоугольном треугольнике катеты перпендикулярны друг другу, то один из них можно определить как основание, а другой − как высоту. Тогда по теореме 1, площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.теорема площади треугольника равна половине

Видео:Теорема о площади треугольника.Скачать

Теорема о площади треугольника.

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними

Теорема 2. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Доказательство. Обозначим через S площадь треугольника ABC и пусть a=BC, b=AC (Рис.3). Докажем, что

теорема площади треугольника равна половине.
теорема площади треугольника равна половине

Площадь данного треугольника можно вычислить по формуле, полученной выше (теорема 1):

теорема площади треугольника равна половине,(1)

где h − высота треугольника.

теорема площади треугольника равна половине,
теорема площади треугольника равна половине(2)

Подставляя (2) в (1), получим:

теорема площади треугольника равна половине
теорема площади треугольника равна половинетеорема площади треугольника равна половине(3)

Видео:Теорема о площади треугольника по двум сторонам и углу между ними. Доказательство. Геометрия 9 классСкачать

Теорема о площади треугольника по двум сторонам и углу между ними. Доказательство. Геометрия 9 класс

Площадь треугольника по стороне и прилежащим двум углам

Пусть известна сторона треугольника и две прилежащие углы (Рис.4).

теорема площади треугольника равна половине

Найдем формулу площади этого треугольника. Обозначим через S площадь треугольника. Если у треугольника известны два угла, то можно найти и третий угол:

теорема площади треугольника равна половине(4)

Найдем сторону b используя теорему синусов:

теорема площади треугольника равна половине,
теорема площади треугольника равна половине.(5)

В предыдующем параграфе мы вывели площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними. Подставляя (4) и (5) в (3), получим:

теорема площади треугольника равна половинетеорема площади треугольника равна половинетеорема площади треугольника равна половине.
теорема площади треугольника равна половине.(6)

Видео:Геометрия 9 класс : Теорема о площади треугольникаСкачать

Геометрия 9 класс : Теорема о площади треугольника

Площадь треугольника по трем сторонам. Формула Герона

Для нахождения площади треугольника по трем сторонам используют формулу Герона:

теорема площади треугольника равна половине,(7)

где a, b, c − стороны треугольника, а p − полупериод треугольника:

теорема площади треугольника равна половине.
теорема площади треугольника равна половине

Доказательство формулы Герона. На рисунке 5 треугольник ABC имеет стороны a=BC, b=AC, c=AB. Проведем высоту h=AH. Обозначим x=CH. Тогда BH=a−x. Применим теорему Пифагора для треугольников AHC и AHB:

теорема площади треугольника равна половине(8)
теорема площади треугольника равна половине(9)

Из (8) и (9) следует:

теорема площади треугольника равна половине

Откуда находим x:

теорема площади треугольника равна половине,
теорема площади треугольника равна половине(10)

Подставляя (10) в (8) найдем h:

теорема площади треугольника равна половинетеорема площади треугольника равна половине(11)

Тогда площадь треугольника равна:

теорема площади треугольника равна половинетеорема площади треугольника равна половине(12)

Преобразовав (12) получим формулу (7):

теорема площади треугольника равна половинетеорема площади треугольника равна половинетеорема площади треугольника равна половинетеорема площади треугольника равна половинетеорема площади треугольника равна половинетеорема площади треугольника равна половинетеорема площади треугольника равна половинетеорема площади треугольника равна половинетеорема площади треугольника равна половинетеорема площади треугольника равна половине.теорема площади треугольника равна половине

Видео:Теорема о площади треугольника | Геометрия 7-9 класс #95 | ИнфоурокСкачать

Теорема о площади треугольника | Геометрия 7-9 класс #95 | Инфоурок

Площадь треугольника по трем сторонам и радусу описанной окружности

Пусть известны все три стороны треугольника и радиус описанной окружности (Рис.6). Докажем, что площадь треугольника равна: ( small S=frac. )

Видео:9 класс. Геометрия. Теорема о площади треугольника.Скачать

9 класс. Геометрия. Теорема о площади треугольника.

Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных

Зависит от того, какой треугольник.

теорема площади треугольника равна половине

Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.

Видео:Почему площадь треугольника равна половине произведения основания на высотуСкачать

Почему площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту

Если треугольник прямоугольный

То есть один из его углов равен 90 градусам.

Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.

теорема площади треугольника равна половине

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№10 - Площадь треугольника.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№10 - Площадь треугольника.)

Если он равнобедренный

То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.

теорема площади треугольника равна половине

Видео:8 класс, 14 урок, Площадь треугольникаСкачать

8 класс, 14 урок, Площадь треугольника

Если он равносторонний

То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:

  1. Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
  2. Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
  3. Поделите все на 4.

теорема площади треугольника равна половине

Видео:11 класс, 47 урок, Формулы площади треугольникаСкачать

11 класс, 47 урок, Формулы площади треугольника

Если известна сторона и высота

Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.

теорема площади треугольника равна половине

Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.

Видео:Геометрия 8 Площадь треугольникаСкачать

Геометрия 8 Площадь треугольника

Если известны две стороны и градус угла между ними

Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:

теорема площади треугольника равна половине

Видео:Теорема о площади треугольника через основание и высоту.Скачать

Теорема о площади треугольника через основание и высоту.

Если известны длины трех сторон

  1. Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
  2. Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
  3. Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
  4. Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
  5. Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
  6. Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
  7. Найдите квадратный корень.

теорема площади треугольника равна половине

Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.

Видео:Теорема о площади треугольникаСкачать

Теорема о площади треугольника

Если известны три стороны и радиус описанной окружности

Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.

теорема площади треугольника равна половине

Видео:👉 ФОРМУЛА ГЕРОНА. Площадь треугольника #shortsСкачать

👉 ФОРМУЛА ГЕРОНА. Площадь треугольника #shorts

Если известны три стороны и радиус вписанной окружности

Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.

Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.

теорема площади треугольника равна половине

Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.

🎦 Видео

Геометрия Площадь треугольника равна половине произведения его стороны и проведенной к ней высотыСкачать

Геометрия Площадь треугольника равна половине произведения его стороны и проведенной к ней высоты

Запомни: все формулы для площади треугольникаСкачать

Запомни: все формулы для площади треугольника

ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА формула 9 класс геометрия АтанасянСкачать

ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА формула 9 класс геометрия Атанасян
Поделиться или сохранить к себе: