теорема площадь параллелограмма через синус (2 видео)

Содержание

Площадь параллелограмма
Площади фигур. Площадь параллелограмма.
Площадь параллелограмма — определение и вычисление с примерами решения
Площадь параллелограмма
🌟 Видео

Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма можно найти по стороне и проведённой к этой стороне высоте, по двум сторонам и углу, по диагоналям и углу между ними.

I. Площадь параллелограмма по стороне и высоте

Площадь параллелограмма равна произведению стороны параллелограмма на высоту, проведённую к этой стороне.

Формула для нахождения площади параллелограмма через сторону и высоту:

Например,площадь параллелограмма ABCD через высоту можно найти по одной из формул:

II. Площадь параллелограмма по сторонам и углу

Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними.

Формула для нахождения площади параллелограмма через стороны и угол:

Например, площадь параллелограмма ABCD

По свойствам параллелограмма, противоположные углы параллелограмма равны:

Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180º, то есть,

А так как синус тупого угла равен синусу смежного ему угла, то

Таким образом, площадь параллелограмма можно найти как произведение его двух любых не смежных сторон на синус любого угла.

III. Площадь параллелограмма по диагоналям

Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Формула площади параллелограмма через диагонали:

Например, площадь параллелограмма ABCD

то в качестве угла между диагоналями можно брать любой угол — как острый, так и тупой (прямой — в ромбе и квадрате).

Видео:9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать

Площади фигур. Площадь параллелограмма.

Площадь плоской фигуры — аддитивная числовая характеристика фигуры, полностью принадлежащей

одной плоскости. Если фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, то площадь

будет равна числу этих квадратов.

Параллелограмм это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и

лежат на параллельных прямых.

Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей умноженному на синус

Воспользуйтесь нашим калькулятором для расчета площади параллелограмма.

Для расчета площади других фигур воспользуйтесь этим калькулятором: площади фигур.

Формулы для определения площади параллелограмма:

1. Площадь параллелограмма по длине стороны и высоте.

Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону

2. Площадь параллелограмма по двум сторонам и углу между ними.

Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.

3. Площадь параллелограмма по двум диагоналям и углу между ними.

где S — Площадь параллелограмма,

a, b — длины сторон параллелограмма,

h — длина высоты параллелограмма,

d₁, d₂ — длины диагоналей параллелограмма,

α — угол между сторонами параллелограмма,

Видео:8 класс, 13 урок, Площадь параллелограммаСкачать

Площадь параллелограмма — определение и вычисление с примерами решения

Теорема (о площади параллелограмма). Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Доказательство:

Пусть

1) Проведем высоту к прямой, содержащей сторону параллелограмма.

2) (как соответственные углы при параллельных прямых и и секущей Поэтому (по гипотенузе и острому углу).

3) Параллелограмм состоит из трапеции и треугольника а прямоугольник — из трапеции и треугольника Так как треугольники и равны, то равны и их площади, а потому равными будут площади параллелограмма и прямоугольника

4) Но и поэтому Следовательно,

Заметим, что если основание высоты — точка -совпадает с точкой или лежит на продолжении стороны то доказательство теоремы будет аналогичным.

В общем виде формулу площади параллелограмма можно записать так:

где — сторона параллелограмма, — высота, к ней проведенная.

Пример:

Докажите, что высоты ромба, проведенные из одной вершины, равны.

Доказательство:

Пусть — данный ромб, и — его высоты (рис. 232).

Ромб является параллелограммом, поэтому Но а значит

Пример:

Периметр параллелограмма равен 36 см, а его высоты — 4 см и 5 см. Найдите площадь параллелограмма.

Решение:

1) Пусть — данный параллелограмм, и — его высоты (рис. 232),

2) По условию поэтому

3) Пусть см, тогда см.

4) Так как по формуле площади параллелограмма или имеем уравнение: То есть откуда (см).

5) Тогда

Ответ. 40

Видео:Все формулы площади параллелограмма 🔥 #умскул_профильнаяматематика #никитасалливан #егэпрофильСкачать

Площадь параллелограмма

С помощью формулы площади прямоугольника можно доказать формулу площади произвольного параллелограмма.

Теорема (формула площади параллелограмма)

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

где — сторона параллелограмма, — проведенная к ней высота.

Пусть — данный параллелограмм, не являющийся прямоугольником (рис. 145, а). Проведем его высоты и докажем, что Четырехугольник является прямоугольной трапецией, площадь которой можно вычислить двумя способами — как сумму площадей параллелограмма и треугольника или как сумму площадей прямоугольника и треугольника Треугольники равны по гипотенузе и катету как противолежащие стороны параллелограмма, как расстояния между параллельными прямыми). Следовательно, эти треугольники имеют равные площади. Тогда площади параллелограмма и прямоугольника также равны, т.е. Случаи, когда точка не является внутренней точкой отрезка (рис. 145, б, в), рассмотрите самостоятельно.

Пример:

Площадь параллелограмма равна а длины его высот — 3 см и 4 см. Найдите периметр параллелограмма.

Решение:

Пусть дан параллелограмм с площадью и высотами (рис. 146).

Поскольку

Следовательно, периметр параллелограмма равен

Ответ: 42 см.

Решая приведенную задачу, можно заметить интересную закономерность: чем больше сторона параллелограмма, тем меньше проведенная к ней высота.

Рекомендую подробно изучить предметы:

Геометрия
Аналитическая геометрия
Начертательная геометрия

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

Прямоугольник и его свойства
Ромб и его свойства, определение и примеры
Квадрат и его свойства
Трапеция и ее свойства
Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°
Четырехугольник и его элементы
Четырехугольники и окружность
Параллелограмм, его свойства и признаки

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.