Площадь PRO » Статьи

теорема об площади трапеции

Обновлено
Площадь трапеции

Для вычисления площади произвольного многоугольника его разбивают на треугольники и находят площадь каждого из них. Площадь данного многоугольника равна сумме площадей этих треугольников.

теорема об площади трапеции

Условимся называть высотой трапеции перпендикуляр, который проведен из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание.

Содержание
  1. Теорема
  2. Доказательство
  3. Глоссарий. Алгебра и геометрия
  4. Доказательство.
  5. Трапеция
  6. Площадь трапеции

Теорема

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту

Доказательство

Дано: ABCD — трапеция, BH и DH1 — высоты, S — площадь

Доказать: S = теорема об площади трапеции(AD + BC) теорема об площади трапецииВН

Доказательство:

теорема об площади трапеции

Диагональ BD разделяет трапецию на два треугольника ABD и BCD, поэтому S = SABD + SBCD. Примем отрезки AD и ВН за основание и высоту треугольника ABD, а отрезки BC и DH1 за основание и высоту треугольника BCD. Тогда

SABD = теорема об площади трапецииAD теорема об площади трапецииBH, SBCD = теорема об площади трапецииBC теорема об площади трапецииDH1.

Так как DH1 = BH, то SBCD = теорема об площади трапецииBC теорема об площади трапецииBH.

S = теорема об площади трапецииAD теорема об площади трапецииBH + теорема об площади трапецииBC теорема об площади трапецииBH = теорема об площади трапеции(AD + BC) теорема об площади трапецииBH.

Теорема доказана.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Глоссарий. Алгебра и геометрия

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту:

S = ((AD + BC) / 2) · BH,

где высота трапеции — это перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание.

Доказательство.

теорема об площади трапеции

Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями AD и BC, высотой BH и площадью S.

Докажем, что S = ((AD + BC) / 2) · BH.
Диагональ BD разделяет трапецию на два треугольника ABD и BCD, поэтому S = SABD + SBCD. Примем отрезки AD и BH за основание и высоту треугольника ABD, а отрезки BC и DH1 за основание и высоту треугольника BCD. Тогда

Так как DH1 = BH, то SBCD = BC · BH / 2.
Таким образом,

S = AD · BH / 2 + BC · BH = ((AD + BC) / 2) · BH.

Так же площадь трапеции можно найти с помощью следующих формул:

  1. S = mh, где m — средняя линия, h — высота трапеции.
  2. Если трапеция равнобедренная, то S = 4r 2 / sinα, где r — радиус вписанной окружности, α — угол при основании.
  3. теорема об площади трапеции,
    где a, b — основания, c и d — боковые стороны трапеции.

Трапеция

Трапеция — это выпуклый четырёхугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны друг другу, а две другие не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а две другие — боковыми сторонами или боками.

Отрезок, перпендикулярный основаниям трапеции, называется высотой. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией.

теорема об площади трапеции

Трапеция может быть равнобедренной или прямоугольной. Равнобедренная (или равнобокая) трапеция — это трапеция, у которой боковые стороны равны. Прямоугольная трапеция — это трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.

теорема об площади трапеции

Площадь трапеции

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

Формула площади трапеции:

S =a + bh,
2

где S — это площадь трапеции, a и b — основания трапеции, h — высота трапеции.

Доказательство. Разделим трапецию на два треугольника, проведя диагональ BD. Получилось два треугольника ΔABD и ΔBCD, имеющих одинаковую высоту — h и основания a и b:

теорема об площади трапеции

Площади этих треугольников будут вычисляться по следующим формулам:

S1 =1ah, S2 =1bh.
22

Площадь трапеции будет равна сумме площадей треугольников, из которых она состоит, следовательно:

Поделиться или сохранить к себе: