свойство медиан и площади

Видео:Все свойства медианы в одной задаче.Скачать

Все свойства медианы в одной задаче.

Определение и свойства медианы треугольника

В данной статье мы рассмотрим определение медианы треугольника, перечислим ее свойства, а также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.

Видео:Задача найти площади треугольников при пересечении медианСкачать

Задача найти площади треугольников при пересечении медиан

Определение медианы треугольника

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, расположенной напротив данной вершины.

свойство медиан и площади

Основание медианы – точка пересечения медианы со стороной треугольника, другими словами, середина этой стороны (точка F).

Видео:8. Медиана треугольника и её свойства.Скачать

8. Медиана треугольника и её свойства.

Свойства медианы

Свойство 1 (основное)

Т.к. в треугольнике три вершины и три стороны, то и медиан, соответственно, тоже три. Все они пересекаются в одной точке (O), которая называется центроидом или центром тяжести треугольника.

свойство медиан и площади

В точке пересечения медиан каждая из них делится в отношении 2:1, считая от вершины. Т.е.:

Свойство 2

Медиана делит треугольник на 2 равновеликих (равных по площади) треугольника.

свойство медиан и площади

Свойство 3

Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

свойство медиан и площади

Свойство 4

Наименьшая медиана соответствует большей стороне треугольника, и наоборот.

свойство медиан и площади

  • AC – самая длинная сторона, следовательно, медиана BF – самая короткая.
  • AB – самая короткая сторона, следовательно, медиана CD – самая длинная.

Свойство 5

Допустим, известны все стороны треугольника (примем их за a, b и c).

свойство медиан и площади

Длину медианы ma, проведенную к стороне a, можно найти по формуле:

свойство медиан и площади

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Примеры задач

Задание 1
Площадь одной из фигур, образованной в результате пересечения трех медиан в треугольнике, равняется 5 см 2 . Найдите площадь треугольника.

Решение
Согласно свойству 3, рассмотренному выше, в результате пересечения трех медиан образуются 6 треугольников, равных по площади. Следовательно:
S = 5 см 2 ⋅ 6 = 30 см 2 .

Задание 2
Стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см. Найдите медиану, проведенную к стороне с длиной 6 см.

Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в свойстве 5:

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 8 класс. Свойство медиан треугольникаСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс. Свойство медиан треугольника

Медиана треугольника

Определение . Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис 1).

свойство медиан и площади

Поскольку в каждом треугольнике имеется три вершины, то в каждом треугольнике можно провести три медианы.

На рисунке 1 медианой является отрезок BD .

Утверждение 1 . Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади ( равновеликих треугольника).

Доказательство . Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE (рис. 2),

свойство медиан и площади

и заметим, что (см. раздел нашего справочника «Площадь треугольника»)

свойство медиан и площади

свойство медиан и площади

Поскольку отрезок BD является медианой, то

свойство медиан и площади

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Точка пересечения двух любых медиан треугольника делит каждую из этих медиан в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Доказательство . Рассмотрим две любых медианы треугольника, например, медианы AD и CE , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 3).

свойство медиан и площади

Обозначим середины отрезков AO и CO буквами F и G соответственно (рис. 4).

свойство медиан и площади

Теперь рассмотрим четырёхугольник FEDG (рис. 5).

свойство медиан и площади

Сторона ED этого четырёхугольника является средней линией в треугольнике ABC . Следовательно,

свойство медиан и площади

Сторона FG четырёхугольника FEDG является средней линией в треугольнике AOC . Следовательно,

свойство медиан и площади

свойство медиан и площади

Отсюда вытекает, что точка O делит каждую из медиан AD и CE в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Следствие . Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим медиану AD треугольника ABC и точку O , которая делит эту медиану в отношении 2 : 1 , считая от вершины A (рис.7).

свойство медиан и площади

Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, является единственной, то и другие медианы треугольника будут проходить через эту точку, что и требовалось доказать.

Определение . Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника.

Утверждение 3 . Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников (рис. 8).

свойство медиан и площади

Доказательство . Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC , равна свойство медиан и площадиплощади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF (рис. 9).

Видео:Свойство медианы в прямоугольном треугольнике #shortsСкачать

Свойство медианы в прямоугольном треугольнике #shorts

Элементы треугольника. Медиана

Видео:Урок 33. Свойство медиан треугольника (8 класс)Скачать

Урок 33.  Свойство медиан треугольника (8 класс)

Определение

Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны

свойство медиан и площади

Видео:Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. 8 класс.

Свойства

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины . Эта точка называется центром тяжести треугольника.

свойство медиан и площади

2. Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади (равновеликих треугольника)

свойство медиан и площади

3. Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников

свойство медиан и площади

4. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы

свойство медиан и площади

5. Длина медианы треугольника вычисляется по формуле:

свойство медиан и площади, где где свойство медиан и площади— медиана к стороне свойство медиан и площади; свойство медиан и площади— стороны треугольника

6. Длина стороны треугольника через медианы вычисляется по формуле:

свойство медиан и площади, где свойство медиан и площади– медианы к соответствующим сторонам треугольника, свойство медиан и площади— стороны треугольника.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

🎦 Видео

Точка пересечения медиан в треугольникеСкачать

Точка пересечения медиан в треугольнике

Медиана. Свойства медианы любого треугольника.Скачать

Медиана.  Свойства медианы любого треугольника.

Медианы | Свойства медиан | Точка пересечения медиан на прямой ЭйлераСкачать

Медианы | Свойства медиан | Точка пересечения медиан на прямой Эйлера

Свойство биссектрисы треугольника с доказательствомСкачать

Свойство биссектрисы треугольника с доказательством

ОГЭ Задание 24 Свойство медианСкачать

ОГЭ Задание 24 Свойство медиан

Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты? | Ботай со мной #031 | Борис ТрушинСкачать

Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты?  | Ботай со мной #031 | Борис Трушин

Свойство медиан треугольника. Конкурентность медиан треугольника.Скачать

Свойство медиан треугольника. Конкурентность медиан треугольника.

Главные свойства медианыСкачать

Главные свойства медианы

Медиана. Свойство медианы для площади треугольника.Скачать

Медиана.  Свойство медианы для площади треугольника.

ЕГЭ база #15 / Треугольники и их элементы / Площадь треугольника / Свойства медиан / решу егэСкачать

ЕГЭ база #15 / Треугольники и их элементы / Площадь треугольника / Свойства медиан / решу егэ

Секретное свойство медианыСкачать

Секретное свойство медианы

СЛОЖНЫЙ НОМЕР 17 ИЗ ОГЭ. Свойство медианы и площади #огэ #огэ2024 #геометрия #площадьСкачать

СЛОЖНЫЙ НОМЕР 17 ИЗ ОГЭ. Свойство медианы и площади #огэ #огэ2024 #геометрия #площадь
Поделиться или сохранить к себе: