свойства площадей всех фигур

Видео:Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

Все формулы по геометрии. Площади фигур

Чтобы решить задачи по геометрии, надо знать формулы — такие, как площадь треугольника или площадь параллелограмма — а также простые приёмы, о которых мы расскажем.

Для начала выучим формулы площадей фигур. Мы специально собрали их в удобную таблицу. Распечатайте, выучите и применяйте!

Конечно, не все формулы по геометрии есть в нашей таблице. Например, для решения задач по геометрии и стереометрии во второй части профильного ЕГЭ по математике применяются и другие формулы площади треугольника. О них мы обязательно расскажем.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ.

1. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным . Высоты этих треугольников равны и . Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: .

2. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: .

3. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса , длина дуги которого равна .

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна , так как . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как ), а длина дуги данного сектора равна , следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в раз меньше, чем полный круг (то есть градусов). Значит, и площадь сектора будет в раз меньше, чем площадь всего круга.

Читайте также о задачах на тему «Координаты и векторы». Для их решения вспомните, что такое абсцисса точки (это ее координата по ) и что такое ордината (координата по ). Пригодятся также такие понятия, как координаты вектора и длина вектора (она находится по теореме Пифагора), синус и косинус угла, угловой коэффициент прямой, уравнение прямой, а также сумма, разность и скалярное произведение векторов, угол между векторами.

Видео:Свойства площадейСкачать

Площади фигур

Площадь фигуры — это аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов.

Содержание:

Понятие площади

Площадь — это тоже величина. Каждой плоской геометрической фигуре соответствует своя площадь. У пространственных фигур тоже есть соответствующая им площадь, называемая площадью поверхности.

Площадь фигур мы будем обозначать буквой S. Запись читается как «площадь фигуры F».

Определение. Измерить площадь фигуры — это значит сравнить ее с площадью некоторой фигуры, принятой за единицу измерения площади.

Измерить площадь фигуры в Древней Греции означало построить квадрат, площадь которого равна площади данной фигуры. С тех пор всякое вычисление площади принято называть квадратурой.

Если за единицу длины принимается 1 мм, то единицей площади является 1 (квадратный миллиметр); при единице длины 1 см единицей площади является 1 (квадратный сантиметр). Если единицей измерения длины является 1 м, ему соответствует единица площади 1 (квадратный метр).

Любую площадь S можно выразить через единицу измерения площади в виде , где k — числовой множитель, который показывает, сколько раз единичный квадрат укладывается в данной фигуре.

Пусть, например, за единицу измерения площади принят квадратный сантиметр (т. е. ). Тогда запись означает, что площадь фигуры равна , т. е. в данной фигуре квадрат со стороной 1 см укладывается 15 раз.

Можно сфорулировать свойства измерения площади.

1. Всякий многоугольник F имеет площадь . Площадь является величиной, численное значение которой неотрицательно, т. е. для любой фигуры F.

Площадь фигуры зависит только от ее размеров и формы и не зависит от места расположения фигуры в пространстве. Это формулируется так.

2. Если две фигуры равны, то равны и их площади.

Пусть дана фигура F, которая является объединением двух фигур , причем эти фигуры пересекаются не более чем по конечному числу отрезков и точек. Тогда

Есть случаи, когда фигура является объединением двух других фигур, но данное равенство не выполняется. На рисунке 2.138 изображены два треугольника Фигура R — их объединение. В этом случае (при сложении площадь ромбовидной области в центре рисунка войдет в сумму дважды).

Еще одно свойство площади формулируется следующим образом.

3. За единицу измерения площади принимают площадь квадрата, сторона которого равна единице измерения длины отрезка.

Для фигуры, разбитой на части, справедливо следующее свойство.

4. Если фигура разбита на части, то площадь фигуры равна сумме площадей частей фигуры.

Свойство измерения площади квадрата.

5. Площадь квадрата со стороной равна .

В геометрии различают фигуры равные и равновеликие.

Определение. Две фигуры называются равновеликими, если они имеют одинаковую площадь.

Площади прямоугольника и прямоугольного треугольника

Теорема 33. Площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту.

где — стороны прямоугольника.

Проведя диагональ АС прямоугольника ABCD (рис. 2.139), можно легко доказать, что она разбивает этот прямоугольник на два равных треугольника ABC и CDA, а тогда нетрудно доказать теорему 34.

Теорема 34. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов (рис. 2.140):

где — катеты прямоугольного треугольника.

Площади треугольников

Теорема 35. Площадь треугольника равна половине произведения основания и высоты.

На рисунке 2.141 изображен треугольник ABC.

Есть еще одна формула для вычисления площади треугольника через его стороны. Эта формула носит имя древнегреческого математика Герона Александрийского (около I в.). Кроме этой формулы, есть еще так называемые ге-роновы треугольники — это треугольники, у которых целочисленные стороны и их площадь тоже есть целое число (примерами таких треугольников могут быть треугольники со сторонами 13, 14, 15 или 51, 52, 53).

Теорема 36 (формула Герона). Площадь треугольника равна

где — стороны треугольника, а р — его полупериметр, .

Существует формула площади треугольника, которая использует понятие синуса угла.

Теорема 37. Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними

где — стороны ААВС, а — угол между этими сторонами.

Площади четырехугольников и многоугольников

Для вывода формулы площади параллелограмма определим высоту параллелограмма.

Определение. Высотой параллелограмма называют отрезок перпендикуляра, проведенного из любой точки какой-нибудь стороны параллелограмма к прямой, содержащей противоположную сторону.

Высотой параллелограмма можно считать также и длину этого перпендикуляра. У параллелограмма две пары противоположных параллельных сторон и соответственно две высоты.

На рисунке 2.142 изображен параллелограмм ABCD, — его высоты. Заметим, что основания высот параллелограмма могут попасть и на продолжение одной из сторон (рис. 2.143).

Теорема 38. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны и проведенной к ней высоты.

ABCD — параллелограмм, AD = ВС = , AM = CN = h (рис. 2.144).

Для вывода формулы площади еще одного четырехугольника — трапеции определяется понятие высоты трапеции.

Определение. Высотой трапеции называют отрезок перпендикуляра, проведенного из какой-либо точки основания трапеции к прямой, содержащей другое основание.

Высотой можно также считать длину этого перпендикуляра. На рисунке 2.145 ВМ — высота трапеции ABCD.

Теорема 39. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований и высоты, т. е. если и — основания трапеции, h — высота и S — площадь трапеции, то

Чтобы вычислить площадь произвольного многоугольника, можно разбить его на треугольники, не имеющие общих внутренних точек, и найти сумму их площадей.

Такое разбиение выпуклого многоугольника можно осуществить, проведя, например, диагонали из одной его вершины (рис. 2.146). Иногда удобно пользоваться другими разбиениями (рис. 2.147, 2.148).

Пример:

Через середину основания треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Докажите, что полученный таким образом четырехугольник — параллелограмм и что его площадь равна половине площади треугольника.

Решение:

Из условия задачи имеем:

1.

2. AD = DC. (рис. 2.149)

3. DE || ВС, DF || АВ.

4. Надо доказать, что BEDF — параллелограмм и что

5. Так как DE || ВС и DF || АВ, то BEDF — параллелограмм (2, определение параллелограмма).

Нужно установить связь между площадью параллелограмма и треугольника. Для этого удобно параллелограмм разбить на треугольники.

6. Соединим точки В и D и рассмотрим полученные треугольники (построение) (рис. 2.150).

7. равны (BD — общая сторона, и , как углы внутренние накрест лежащие при параллельных прямых (1, 2, 3, признак равенства треугольников по сторонам и двум прилежащим углам).

8. Эти треугольники и равновелики.

9. Треугольники BFD и CFD также равновелики между собой (хотя в общем случае они не равны), так как BF = FC (DF — средняя линия), т. е. основания их равны и они имеют одинаковую высоту, так как вершина D у них общая.

10. Аналогично равновелики между собой и

11. следовательно, площади и параллелограмма BEDF можно записать так: а (8, 10, свойства площадей).

12. (11).

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Как найти площадь фигуры

О чем эта статья:

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Обозначение площади

Площадь — это одна из характеристик замкнутой геометрической фигуры, которая дает нам информацию о ее размере. S (square) — знак площади.

Если параметры фигуры переданы в разных единицах измерения длины, мы не сможем решить ни одну задачу. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

Популярные единицы измерения площади:

• квадратный миллиметр (мм 2 );
• квадратный сантиметр (см 2 );
• квадратный дециметр (дм 2 );
• квадратный метр (м 2 );
• квадратный километр (км 2 );
• гектар (га).

Круг — это множество точек на плоскости, ограниченных окружностью, удаленных от центра на равном радиусу расстоянии. Радиусом принято называть отрезок, соединяющий центр с любой точкой окружности.

S = π × r 2 , где r — это радиус, π — это константа, которая равна отношению длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.

S = &pi × d 2 : 4;, где d — это диаметр.

S = L 2 ​ : (4 × π), где L — это длина окружности.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Видео:Запомни: все формулы для площади треугольникаСкачать

Треугольник

Треугольник — это геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, соединенных тремя отрезками. Эти три точки принято называть вершинами, а отрезки — сторонами. Рассчитать площадь треугольника можно несколькими способами по исходными данным, давайте их рассмотрим.

1. Если известна сторона и высота.

S = 0,5 × a × h, где a — длина основания, h — высота, проведенная к основанию.

Основание может быть расположено иначе, например так:

При тупом угле высоту можно отразить на продолжение основания:

При прямом угле основанием и высотой будут его катеты:

2. Если известны две стороны и синус угла.

S = 0,5 × a × b * sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними.

3. Если есть радиус описанной окружности.

S = (a × b × с) : (4 × R), где a, b и с — стороны треугольника, а R — радиус описанной окружности.

4. Если есть радиус вписанной окружности.

S = p × r, где р — полупериметр треугольника, r — радиус вписанной окружности.

Видео:Площади фигурСкачать

Прямоугольник

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. Узнать площадь прямоугольника помогут следующие формулы:

S = a × b, где a, b — длина и ширина прямоугольника.

S = a × √(d 2 — а 2 ), где а — известная сторона, d — диагональ.

Диагональ — это отрезок, который соединяет вершины противоположных углов. Она есть во всех фигурах, число вершин которых больше трех.

S = 0,5 × d 2 × ???(?), где d — диагональ, α — угол между диагоналями.

Видео:Площади ВСЕХ фигур за 15 МИНУТ !!!Скачать

Квадрат

Квадрат — это тот же прямоугольник, но при условии, что все его стороны равны. Найти его площадь легко:

S = а 2 , где a — сторона квадрата.

S = d 2 : 2, где d — диагональ.

Видео:Площади всех фигур на ОГЭ #огэ #огэматематика #умскулСкачать

Трапеция

Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны и две не параллельны.

S = 0,5 × (a + b) × h, где a, b — два разных основания, h — высота трапеции.

Построить высоту трапеции можно, начертив отрезок так, чтобы он соединил параллельные стороны под прямым углом.

Видео:Площади фигурСкачать

Параллелограмм и ромб

Параллелограмм — четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Расскажем про общие формулы расчета площади этих фигур.

S = a × h, где a — сторона, h — высота.

S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. Для ромба формула примет вид S = a 2 × sinα.

Для ромба: S = 0,5 × (d₁ × d₂), где d₁, d₂ — две диагонали. Для параллелограмма: S = 0,5 × (d₁ × d₂) × sinβ, где β — угол между диагоналями.

🌟 Видео

8 класс, 10 урок, Понятие площади многоугольникаСкачать

ПЛОЩАДЬ МНОГОУГОЛЬНИКА 8 класс геометрия АтанасянСкачать

Параллелограмм, прямоугольник, ромб,квадрат,трапеция, все свойства и определения!!!Скачать

Геометрия 8. Урок 4 - Прямоугольник, ромб, квадрат - свойства и признаки.Скачать

Площади фигур. Повторяем формулы и решаем задачи. Вебинар | МатематикаСкачать

Площади простых фигурСкачать

Площади всех фигур | Лайфхаки, советы, алгоритм для любой задачи | Умскул | Средняя школаСкачать

8 класс Геометрия. Площади фигур Площади треугольников и четырехугольников Площадь трапеции Урок #12Скачать

Площади плоских фигур | Лекции по математике – математик Николай Андреев | НаучпопСкачать

Математика 5 класс (Урок№30 - Площадь прямоугольника. Единицы площади.)Скачать

Задачи на свойства площади фигуры. Геометрия 9 классСкачать