свойства площадей подобных фигур

Please wait.

We are checking your browser. mathvox.ru

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6d82f0dedadb00b4 • Your IP : 85.95.188.35 • Performance & security by Cloudflare

Планиметрия. Страница 12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1.Площадь прямоугольника

Отношение площадей двух прямоугольников с общим основанием равно отношению двух других их сторон.

Доказательство.

Пусть ABCD и ABC’D’ два прямоугольника с общим основанием АВ. (Рис.1) Разобьем сторону AD на n частей. Тогда длина AD’ составит:

где m — число целых делений на отрезке AD’. Т.е. длина отрезка AD’ будет заключена между m и m+1 частей.

Разделив все части неравенства на AD, получим:

Тогда и площадь прямоугольника AD’C’B также будет заключена в пределах:

где S — площадь прямоугольника ABCD.

Разделив все части неравенства на S, получим:

Отсюда следует, что два соотношения площадей и сторон заключены между двумя соотношениями, т.е.:

При достаточно большом n можно сделать вывод, что они равны.

Рис.1 Площадь прямоугольника.

Площадь прямоугольника со сторонами a и b

Теперь рассчитаем площадь прямоугольника. Возьмем квадрат, который имеет площадь равную единице. И сравним его с прямоугольником, у которого основание равно единице, а другая сторона равна а. Получим:

Теперь сравним прямоугольник со сторонами а и 1 с прямоугольником со сторонами а и b. Получим:

Перемножив два равенства между собой, получим:

2.Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Пусть дан параллелограмм ABCD (Рис.2). Проведем высоты AF, BP и СE на стороны AD и BC. Тогда треугольники AFB и СED равны по первому признаку равенства треугольников. AF = СE, т.к. они являются перпендикулярами между параллельными прямыми. AB = CD, т.к. ABCD — параллелограмм. Углы при вершинах А и С равны, как соответственные углы при параллельных прямых.

Следовательно площадь параллелограмма равна:

Т.е. площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведенную к нему.

Рис.2 Площадь параллелограмма.

3.Площадь треугольника

Пусть дан треугольник АВС. (Рис.3) Достроим его до параллелограмма. Тогда площадь треугольника ABC будет равна половине площади параллелограмма ABEC. Т.е.:

Т.е. площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, опущенную к ней. Или площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Запишем еще две формулы для радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника.

R — радиус описанной окружности
r — радиус вписанной окружности
S — площадь треугольника
a,b,c — стороны треугольника

Рис.3 Площадь треугольника.

4.Площадь круга

Кругом называется геометрическая фигура, которая состоит из множества точек, расстояние от которых до данной точки не превосходит определенной величины, называемой радиусом. Где данная точка это центр круга.

Площадь круга равна половине произведения его радиуса и длины окружности.

Доказательство. Пусть АО = R радиус круга. Построим два многоугольника. Один вписанный в круг, а другой описанный около круга. Их площадь обозначим Sоп и Sвп. Тогда их площади будут равны:

Отсюда можно сделать вывод, что при достаточно большом числе n, площадь круга будет равняться половине произведения длины окружности на радиус, т.к. cos α будет стремиться к единице.

Рис.4 Площадь круга.

5.Площадь подобных фигур

Пусть даны две побные фигуры G и G’ (Рис.5). Коэффициент подобия равен k. Разобьем фигуры на треугольники. Тогда площадь каждой фигуры будет равна сумме площадей треугольников, т.е.:

Отсюда можно сделать вывод, что отношение площадей подобных фигур равно квадрату их коэффициента подобия.

Рис.5 Соотношение между углами и сторонами в треугольнике.

6.Площадь трапеции

Пусть дана трапеция ABCD (Рис.6). Проведем диагональ АС. Получим два треугольника АВС и АСD. Проведем высоты СЕ и АF. Тогда площадь трапеции будет равна сумме площадей треугольников АВС и ACD, т.е.:

Отсюда можно сделать вывод, что площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

Рис.6 Площадь трапеции.

Репетитор: Васильев Алексей Александрович

Предметы: математика, физика, информатика, экономика, программирование.

2000 руб / 120 мин — подготовка к ЕГЭ и ГИА для школьников. 3000 руб / 120 мин — индивидуально (базовый уровень). 2000 руб / 120 мин — студенты.

Тел. 8 916 461-50-69, email: alexey-it@ya.ru

7.Пример 1

Докажите, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.

Доказательство:

Пусть дан прямоугольный треугольник АВС. Построим квадраты ABED, ACPK на катетах АВ, АС и квадрат ВСRF на гипотенузе ВС (Рис.7). Тогда площади этих квадратов будут равны:

По теореме Пифагора нам известно, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, или:

BC 2 = AB 2 + AC 2

Подставим сюда выше записанные выражения и получим:

Отсюда можно сделать вывод, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.

Рис.7 Задача. Докажите, что сумма площадей квадратов.

Пример 2

Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если площадь его равна половине площади прямоугольника.

Решение:

Запишем формулы площадей прямоугольника и параллелограмма:

S₁ = AB * AD * sin α — площадь параллелограмма.

Подставим эти выражения в соотношение S₂ = 2 S₁:

Следовательно, угол α = 30°.

Рис.8 Задача. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны.

Пример 3

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его высота делит гипотенузу на отрезки 36 см и 64 см.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC. AD — высота, опущенная на гипотенузу ВС. BD = 36 см, DC = 64 см (Рис.9).

По теореме Пифагора составим следующие соотношения:

АВ 2 = BD 2 + AD 2 — из треугольника АВD.

АC 2 = DC 2 + AD 2 — из треугольника АDC.

Первое и второе соотношение решим относительно AD 2 и приравняем их.

АВ 2 — BD 2 = АC 2 — DC 2

Учитывая, что АВС тоже прямоугольный треугольник и BC 2 = AB 2 + АC 2 , перепишем:

АВ 2 — BD 2 = BC 2 — AB 2 — DC 2

2 АВ 2 = BD 2 + BC 2 — DC 2

2 АВ 2 = 36 2 + 100 2 — 64 2

АВ 2 = 3600 или АВ = 60 см.

Рис.9 Задача. Найдите площадь прямоугольного треугольника.

Из прямоугольного треугольника АВС: 100 2 = 60 2 + АС 2 . Откуда, АС = 80 см. Следовательно, площадь треугольника АВС равна:

S_ABC = AB * AC / 2 = 60 * 80 / 2 = 2400 см 2 .

Пример 4

Найдите радиус r вписанной и радиус R описанной окружностей для равнобедренного треугольника с основанием 6 см и боковой стороной 5 см.

Решение:

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC. АВ = ВС = 5 см, АС = 6 см. АО = R — радиус описанной окружности, ОЕ = r — радиус вписанной окружности (Рис.10).

По теореме Пифагора составим следующее соотношение:

АВ 2 = АЕ 2 + ВЕ 2 — из треугольника АВЕ.

ВЕ 2 = АВ 2 — АЕ 2

ВЕ 2 = 5 2 — 3 2 = 16. Откуда ВЕ = 4 см.

Найдем площадь треугольника АВС по формуле S = AE * BE.

S = 3 * 4 = 12 см 2

Теперь рассчитаем радиусы описанной и вписанной окружностей:

R = АС * АВ 2 / 4S = 6 * 5 2 / (4*12) = 150 / 48 = 3.125 см.

r = 2S / (2 AB + AC) = 2 * 12 / (2*5 + 6) = 24 / 16 = 1.5 см.

Рис.10 Задача. Найдите радиус r вписанной.

Пример 5

Прямая, перпендикулярная высоте треугольника, делит его площадь пополам. Найдите расстояние от этой прямой до вершины треугольника, из которой проведена высота, если она равна 8 см.

Решение:

Пусть дан треугольник ABC. ВЕ = 8 см — высота треугольника, проведенная из вершины В. Прямая FD перпендикулярна высоте ВЕ. Найти ВО (Рис.11).

Так как прямая FD перпендикулярна высоте ВЕ, то она параллельна основанию АС. А следовательно, ∠BAE = ∠BFO, а ∠BСE = ∠BDO. Таким образом, треугольники АВС и FBD подобны.

Отсюда следует, что АC = k FD, BE = k BO.

Найдем площадь треугольников S₁ = S_FBD и S_АВС.

S_ABC = AC * BE / 2 или S_ABC = k 2 FD * BO / 2

k 2 FD * BO / 2 = 2 * FD * BO / 2

Отсюда, k 2 = 2, k =

Следовательно, BO = BE / k = 8 / = 8 см.

Рис.11 Задача. Прямая, перпендикулярная высоте треугольника.

Свойства площадей подобных фигур

В элементарной математике, самыми трудными считаются геометрические задачи. Как научиться решать геометрические задачи, особенно сложные, конкурсные? При решении геометрических задач, как правило, алгоритмов нет, и выбирать наиболее подходящую к данному случаю теорему не просто. Поэтому, желательно в каждой теме выработать какие-то общие положения, которые полезно знать всякому решающему геометрические задачи.
Предлагаем один из алгоритмов решения многих геометрических задач – метод площадей, т.е. решение задач с использованием свойств площадей.

Основные свойства площадей.

Свойство №1

Если вершину треугольника передвигать по прямой, параллельной основанию, то площадь при этом не измениться.Доказательство: Рассмотрим ▲ ABC и ▲ ADC. Они имеют общее основание и равные высоты, так как прямые AC и BD параллельные, то расстояние между ними равно h — высоте ▲ ABC и ▲ ADC . Если площадь треугольника находится по формуле $$S = frac cdot a cdot h$$, то $$S_ = S_ = frac cdot AC cdot h$$.

Свойство №2

Доказательство: Пусть h₁ = h₂ в двух треугольниках с основаниями a и b.
Рассмотрим отношение площадей этих треугольников $$frac<S_><S_>= frac<frac cdot a cdot h_><frac cdot b cdot h_>$$.
Упростив, получим $$frac<S_><S_>= frac$$.

Доказательство: Рассмотрим ▲ABC и ▲MBN с общим углом B , где AB = a, BC = b, MB = a₁и NB = b₁. Пусть S₁ = S_MBN и S₂ = S_ABC . Используя формулу площади треугольника вида $$S = frac cdot a cdot b cdot singamma$$, рассмотрим отношение площадей ▲ABC и ▲MBN .

Свойство №4

Отношение площадей подобных треугольников равны квадрату коэффициента подобия.

Свойство №3 Если два треугольника имеют общий угол, то их площади относятся как произведение сторон, заключающих этот угол.

Доказательство: Рассмотрим ▲ABC и ▲MBN . Пусть AB = k MB, BC = k NB и $$angle ABC = angle MBN$$. Используя формулу площади треугольника вида $$S = frac cdot a cdot b cdot singamma$$ , рассмотрим отношение подобных площадей ▲ABC и ▲MBN . Тогда $$frac<S_><S_> = frac<frac cdot AB cdot BC cdot sin B><frac cdot MB cdot NB cdot sin B>= frac = k^$$ .

Медиана треугольника делит его на две равновеликие части.

Доказательство: Рассмотрим ▲ABC . Пусть медиана BM , тогда $$AM = MC = fracAC$$. Медиана делит треугольник на два с одинаковой высотой. Найдем площади треугольников ▲ABM и ▲MBC по формуле $$S = fraccdot a cdot h$$. Получим $$S_ = fraccdot AM cdot h$$ и $$S_ = fraccdot MC cdot h$$. Значит $$S_ = S_$$.

Свойство №6

Медианы треугольника делят его на три равновеликие части.Доказательство: Рассмотрим ▲ABC . Проведем медианы из всех вершин, которые пересекаются в точке O. Получим треугольники ▲AOB , ▲BOC , ▲AOC . Пусть их площади равны соответственно S₁, S₂, S₃. А площадь ▲ABC равна S. Рассмотрим ▲ABK и ▲CBK , они равной площади, т.к. BK медиана. В треугольнике ▲AOC OK — медиана, значит площади треугольников ▲AOK и ▲COK равны. Отсюда следует, что S₁ = S₂ . Аналогично можно доказать, что S₂ = S₃ и S₃ = S₁ .

Средние линии треугольника площади S отсекают от него треугольники площади .

Доказательство: Рассмотрим ▲ABC . NM — средняя линия в треугольнике и она равна половине основания AC. Если S_ABC = S , то $$S_ = frac cdot NM cdot h_= frac(frac cdot AC)(fraccdot h) = fraccdot S$$. Аналогично можно доказать, что площади всех треугольников равны одной четвертой части площади ▲ABC .

Медианы треугольника делят его на 6 равновеликих частей.

💥 Видео

8 класс, 20 урок, Определение подобных треугольниковСкачать

Отношение площадей подобных треугольников.Скачать

Подобные фигурыСкачать

Тема 23. Свойство площадей подобных треугольниковСкачать

Подобие треугольников (ч.2) | Математика | TutorOnlineСкачать

Определение подобных треугольников. Отношение площадей подобных фигурСкачать

60. Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

Поделиться или сохранить к себе:

Смотрите также

чтобы найти площадь прямоугольного треугольника надо

чтобы найти площадь прямоугольника нужно правило

чтобы найти площадь параллелограмма нужно правило

чтобы найти площадь многоугольника нужно знать

чтобы найти площадь квадрата нужно правило

чтобы вычислить площадь прямоугольника 3 класс

что такое эффективная площадь атома

что такое штрафная площадь в футболе