сумма площадей всех граней прямоугольного параллелепипеда (8 видео)

Содержание

Прямоугольный параллелепипед. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда
Прямоугольный параллелепипед. Пирамида.
Прямоугольный параллелепипед. Что это такое?
Определение параллелепипеда
Свойства параллелепипеда
Прямой параллелепипед
Прямоугольный параллелепипед
Свойства прямоугольного параллелепипеда
Диагонали прямоугольного параллелепипеда: теорема
Куб: определение, свойства и формулы
Решение задач
Самопроверка
📹 Видео

Видео:Нахождение площади граней прямоугольного параллелепипеда.Скачать

Прямоугольный параллелепипед. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На данном уроке мы узнаем, что такое прямоугольный параллелепипед, его свойства. Кроме того, будет выведена формула площади поверхности параллелепипеда, решена задача с применением данной формулы.

Видео:КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА? Примеры | МАТЕМАТИКА 5 классСкачать

Прямоугольный параллелепипед. Пирамида.

Многогранник — это поверхность, составленная из многоугольников. Грани многогранника — это многоугольники, из которых он составлен. При этом никакие две соседние грани многогранника не лежат в одной плоскости. Стороны граней — это рёбра многогранника, а их концы — это его вершины. На рисунке ниже изображены многогранники.

Один из самых простых многогранников — это прямоугольный параллелепипед. Он составлен из шести прямоугольников, т.е. он ограничен шестью гранями.

ABCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольный параллелепипед. Ребра прямоугольного параллелепипеда — это стороны граней (в нашем случае: AB, BC, CD, DA, A₁B₁, B₁C₁, C₁D₁, D₁A₁, AA₁, BB₁, CC₁, DD₁ ). А его вершины — это вершины граней (в нашем случае: A, B, C, D, A₁, B₁, C₁, D₁). То есть мы получили, что у прямоугольного параллелепипеда 8 вершин и 12 рёбер. Грани прямоугольного параллелепипеда, которые не имеют общих вершин, называют противолежащими (в нашем случае это пары: ABB₁A₁ и DCC₁D₁, ABCD и A₁B₁C₁D₁, ADD₁A₁ и ВСС₁В₁). Противолежащие грани параллелепипеда равны.

Площадью поверхности параллелепипеда называют сумму площадей всех его граней.

Измерения прямоугольного параллелепипеда — это длина трех рёбер, имеющих общую вершину. Например, ребра ВВ₁, В₁А₁, В₁С₁ являются измерениями ABCDA₁B₁C₁D₁:

Измерения имеют названия: длина, ширина, высота. Данные названия введены, чтобы различать измерения:

Диагональ параллелепипеда — это отрезок, соединяющий две его вершины, не принадлежащие одной грани. Например, AC₁ — диагональ ABCDA₁B₁C₁D₁:

Частным случаем прямоугольного параллелепипеда является куб. Куб — это прямоугольный параллелепипед, все измерения которого равны:

EFHGE₁F₁H₁G₁ — куб, его высота, ширина и длина равны. Гранями куба являются 6 равных квадратов.

Рассмотрим следующую фигуру:

Данная фигура состоит из шести прямоугольников, которые попарно равны (выделены одним цветом). Если мы согнём по линиям данную фигуру и склеим, то получим модель прямоугольного параллелепипеда, противоположные грани которого будут одного цвета. Рассматриваемую фигуру называют развёрткой прямоугольного параллелепипеда. Как сказано выше, куб состоит из 6 равных квадратов, значит, его развертка будет иметь следующий вид:

В данном случае куб «разрезали» по 6 горизонтальным ребрам и 1 вертикальному, при этом противоположные грани выделены одним цветом. Таким образом, «разрезая» любой многогранник по ребрам так, чтобы все грани оказались в одной плоскости, можно получить его развертку. Развертки многогранников нужны, например, для создания их объемных моделей.

Вторым многогранником, который мы рассмотрим, является пирамида. Пирамида — это многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а боковые грани являются треугольниками, имеющими общую вершину, которая является вершиной пирамиды.

Рёбра основания пирамиды — это стороны основания пирамиды. Боковые рёбра пирамиды — это стороны боковых граней, которые не принадлежат основанию. Пирамида называется в соответствии с числом сторон многоугольника, который является его основанием. Например, на рисунке ниже изображены треугольная пирамида (тетраэдром) и пятиугольная пирамида.

Если мы «разрежем» по боковым рёбрам пятиугольную пирамиду, то получим следующий многоугольник, который будет являться развёрткой данной пирамиды:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:№217. Сумма площадей трех граней прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершинуСкачать

Прямоугольный параллелепипед. Что это такое?

О чем эта статья:

10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Видео:Математика 5 класс (Урок№31 - Прямоугольный параллелепипед.)Скачать

Определение параллелепипеда

Начнем с того, что узнаем, что такое параллелепипед.

Параллелепипедом называется призма, основаниями которой являются параллелограммы. Другими словами, параллелепипед — это многогранник с шестью гранями. Каждая грань — параллелограмм.

На рисунке два параллелограмма АВСD и A₁B₁C₁D₁. Основания параллелепипеда, расположены параллельно друг другу в плоскостях. А боковые ребра АA₁, ВB₁, CC₁, DD₁ параллельны друг другу. Образовавшаяся фигура — параллелепипед.

Внимательно рассмотрите, как выглядит параллелепипед и каковы его составляющие.

Когда пересекаются три пары параллельных плоскостей, образовывается параллелепипед.

Основанием параллелепипеда является, в зависимости от его типа: параллелограмм, прямоугольник, квадрат.

Параллелепипед — это:

Видео:Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипедаСкачать

Свойства параллелепипеда

Быть параллелепипедом ー значит неотступно следовать законам геометрии. Иначе можно скатиться до простого параллелограмма.

Вот 4 свойства параллелепипеда, которые необходимо запомнить:

Противолежащие грани параллелепипеда равны и параллельны друг другу.
Все 4 диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.
Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Подготовка к ЕГЭ по математике онлайн в школе Skysmart — отличный способ освежить знания и снять стресс перед экзаменом.

Видео:Прямоугольный параллелепипед. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипедаСкачать

Прямой параллелепипед

Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию.

Основание прямого параллелепипеда — параллелограмм. В прямом параллелепипеде боковые грани — прямоугольники.

Свойства прямого параллелепипеда:

Основания прямого параллелепипеда — одинаковые параллелограммы, лежащие в параллельных плоскостях.
Боковые ребра прямого параллелепипеда равны, параллельны и перпендикулярны плоскостям оснований.
Высота прямого параллелепипеда равна длине бокового ребра.
Противолежащие боковые грани прямого параллелепипеда — равные прямоугольники.
Диагонали прямого параллелепипеда точкой пересечения делятся пополам.

На слух все достаточно занудно и сложно, но на деле все свойства просто описывают фигуру. Внимательно прочтите вслух каждое свойство, разглядывая рисунок параллелепипеда после каждого пункта. Все сразу встанет на места.

Формулы прямого параллелепипеда:

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда
Sб = Ро*h
Ро — периметр основания
h — высота
Площадь полной поверхности прямого параллелепипеда
Sп = Sб+2Sо
Sо — площадь основания
Объем прямого параллелепипеда
V = Sо*h

Видео:5 класс, 20 урок, Прямоугольный параллелепипедСкачать

Прямоугольный параллелепипед

Определение прямоугольного параллелепипеда:

Прямоугольным параллелепипедом называется параллелепипед, у которого основание — прямоугольник, а боковые ребра перпендикулярны основанию.

Внимательно рассмотрите, как выглядит прямоугольный параллелепипед. Отметьте разницу с прямым параллелепипедом.

Видео:5 класс, 21 урок, Объемы. Объем прямоугольного параллелепипедаСкачать

Свойства прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед обладает всеми свойствами произвольного параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед содержит 6 граней. Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.
Противолежащие грани параллелепипеда попарно параллельны и равны.
Все углы прямоугольного параллелепипеда, состоящие из двух граней — 90°.
Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
В прямоугольный параллелепипеде четыре диагонали, которые пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Любая грань прямоугольного параллелепипеда может быть принята за основание.
Если все ребра прямоугольного параллелепипеда равны, то такой параллелепипед является кубом.
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (длины, ширины, высоты).

Формулы прямоугольного параллелепипеда:

Объем прямоугольного параллелепипеда
V = a · b · h
a — длина, b — ширина, h — высота
Площадь боковой поверхности
Sбок = Pосн·c=2(a+b)·c
Pосн — периметр основания, с — боковое ребро
Площадь поверхности
Sп.п = 2(ab+bc+ac)

Видео:Математика 5 класс. Прямоугольный параллелепипедСкачать

Диагонали прямоугольного параллелепипеда: теорема

Не достаточно просто знать свойства прямоугольного параллелепипеда, нужно уметь их доказывать.

Если есть теорема, нужно ее доказать. (с) Пифагор

Теорема: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

В данном случае, три измерения — это длина, ширина, высота. Длина, ширина и высота — это длины трех ребер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда.

Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Доказать теорему.

Доказательство теоремы:

Чтобы найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, помните, что диагональ — это отрезок, соединяющий противоположные вершины.

Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.

ΔABD: ∠BAD = 90°, по теореме Пифагора

ΔB₁BD: ∠B₁BD = 90°, по теореме Пифагора

d² = d₁² + c² = a² + b² + c²

d² = a² + b² + c²

Доказанная теорема — пространственная теорема Пифагора.

Видео:Математика 5 класс (Урок№32 - Объём прямоугольного параллелепипеда. Единицы объёма.)Скачать

Куб: определение, свойства и формулы

Кубом называется прямоугольный параллелепипед, все три измерения которого равны.

Каждая грань куба — это квадрат.

Свойства куба:

В кубе 6 граней, каждая грань куба — квадрат.
Противолежащие грани параллельны друг другу.
Все углы куба, образованные двумя гранями, равны 90°.
У куба четыре диагонали, которые пересекаются в центре куба и делятся пополам.
Диагонали куба равны.
Диагональ куба в √3 раз больше его ребра.
Диагональ грани куба в √2 раза больше длины ребра.

Помимо основных свойств, куб характеризуется умением вписывать в себя тетраэдр и правильный шестиугольник.

Формулы куба:

Объем куба через длину ребра a
V = a3
Площадь поверхности куба
S = 6a2
Периметр куба
P = 12a

Видео:п.2.10. Прямоугольный параллелепипед. № 500, 506*Скачать

Решение задач

Чтобы считать тему прямоугольного параллелепипеда раскрытой, стоит потренироваться в решении задач. 10 класс — время настоящей геометрии для взрослых. Поэтому, чем больше практики, тем лучше. Разберем несколько примеров.

Задачка 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Нужно найти сумму длин всех ребер параллелепипеда и площадь его поверхности.

Для наглядного решения обозначим измерения прямоугольного параллелепипеда: a — длина, b — ширина, c — высота. Тогда a = 10, b = 5, c = 8.

Так как в прямоугольном параллелепипеде всего по 4 — высота, ширина и длина, и все измерения равны между собой, то:
1) 4 * 10 = 40 (см) — сумма длин параллелепипеда;
2) 4 * 5 = 20 (см) — суммарное значение ширины параллелепипеда;
3) 4 * 8 = 32 (см) — сумма высот параллелепипеда;
4) 40 + 20 + 32 = 92 (см) — сумма длин всех ребер прямоугольного параллелепипеда.

Отсюда можно вывести формулу по нахождению суммы длин всех сторон ПП:
X = 4a + 4b + 4c (где X — сумма длин ребер).

Формула нахождения площади поверхности параллелепипеда Sп.п = 2(ab+bc+ac).
Тогда: S = (5*8 + 8*10 + 5*10) * 2 = 340 см2.

Задачка 2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁.

Нужно найти длину ребра A₁B₁.

В фокусе внимания треугольник BDD1.
Угол D = 90°.

По теореме Пифагора:
BD₁ 2 = DD₁ 2 + BD 2
BD 2 = BD₁ 2 – DD₁ 2
BD 2 = 26 – 9 = 17
BD = √17
В треугольнике ADB угол А = 90°.
BD 2 = AD 2 + AB 2
AB 2 = BD 2 — AD 2 = (√17)2 — 4 2 = 1
A₁B₁ = AB = 1.

Задачка 3. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁.

AB = 4
AD = 6
AA₁= 5
Нужно найти отрезок BD₁.

В треугольнике ADB угол A = 90°.

По теореме Пифагора:
BD 2 = AB 2 +AD 2
BD 2 = 4 2 + 6 2 = 16 + 36 = 52
В треугольнике BDD₁ угол D = 90°.
BD₁ 2 = 52 + 25 = 77
BD₁ = √77.

Видео:Площадь поверхности параллелепипедаСкачать

Самопроверка

Теперь потренируйтесь самостоятельно — мы верим, что все получится!

Задачка 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Измерения (длина, ширина, высота) = 8, 10, 20. Найдите диагональ параллелепипеда.

Подсказка: если нужно выяснить, чему равна диагональ прямоугольного параллелепипеда, вспоминайте теорему.

Задачка 2. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA₁B₁C₁D₁.

Вычислите длину ребра AA₁.

Как видите, самое страшное в параллелепипеде — 14 букв в названии. Чтобы не перепутать прямой параллелепипед с прямоугольным, а ребро параллелепипеда с длиной диагонали параллелепипеда, вот список основных понятий:

прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны основанию;
параллелепипед называется прямоугольным, когда его боковые ребра перпендикулярны к основанию;
основание прямоугольного параллелепипеда — прямоугольник;
три измерения прямоугольного параллелепипеда: длина, ширина, высота;
диагональ параллелепипеда равна сумме квадратов его измерений.