статический момент площади равен нулю (7 видео)

Содержание

6.1. Статический момент площади сечения
Статические моменты площади сечения
СОПРОМАТ ОН-ЛАЙН
🔍 Видео

Видео:Статический момент площади сечения (фигуры) относительно осиСкачать

6.1. Статический момент площади сечения

6.1. СТАТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ ПЛОЩАДИ СЕЧЕНИЯ

Статический момент площади – распространенная на всю площадь сумма произведений элементарных площадок dA на расстояние от них до этой оси Это понятие аналогично моменту силы относительно оси. Если предположить, что А – вес пластины, имеющей форму нашего сечения, то статический момент Sz – это момент силы тяжести пластины относительно оси z. Размерность: единицы длины в третьей степени (см3; м3). Знаки: плюс, ноль и минус. Ось центральная – ось, относительно которой статический момент площади равен нулю. Центр тяжести сечения – точка пересечения центральных осей. Если фигура имеет ось симметрии, то эта ось является центральной. Статический момент составного сечения равен сумме статических моментов элементов этого сечения. Это следует из свойства определенного интеграла, который можно вычислять по частям – свойство аддитивности (от англ. add – прибавлять, присоединять, складывать). При известных статических Рис. 6.2. Связь знака статического момента площади с его положением в координатной системе моментах частей сечения можно найти координаты центра тяжести состав- ной фигуры: Пример 6.1. Определить положение центральных осей, параллельных основанию и высоте фигуры. Решение Разбиваем сложную фигуру на две простые, в конкретном примере – на два прямоугольника. Их центры тяжести расположены посредине высоты и посредине ширины. Координаты центров тяжести и площади простых фигур Статические моменты площадей простых фигур Координаты центра тяжести составной фигуры Через найденную точку проводим центральные оси zC и yC, параллельные основанию фигуры и ее высоте. Примечание. Центр тяжести фигуры, составленной из двух частей, лежит на линии, соединяющей центры тяжести простых фигур ее составляющих, причем расстояния до них обратно пропорциональны площадям простых фигур. Если сложная фигура составлена из нескольких простых, то общий центр тяжести находится внутри многоугольника, вершинами которого являются центры тяжести простых фигур.

Видео:Техническая механика | Центр тяжести | Статический момент | Сечение компонентаСкачать

Статические моменты площади сечения

Статическим моментом площади сечения относительно какой-либо оси, лежащей в плоскости сечения, называется сумма произведений площадей элементарных площадок на их расстояние до этой оси z, где A─ площадь всего сечения; ( 17 Рис.1.2 y и z – соответственно расстояния от элементарной площадки dA до оси z и y .

Статические моменты Sz и Sy имеют размерность единицы длины в третьей степени, обычно в см3 или м3. Статический момент может быть положительным, отрицательным и, в частности, равным нулю. Если известны координаты ( y,czc) центра тяжести (C ) сечения, то статические моменты площади сечения, на основании теоремы Вариньона, можно определить по формулам:

c По известным статическим моментам из (1.4) можно определить положение центра тяжести сечения где А – площадь сечения; y,ccz– соответственно расстояния от центра тяжести сечения до вспомогательных осей z и y , относительно которых определяется его положение. Центр тяжести сечения – это точка, относительно которой сечение будет находиться в равновесии (если сечение рассматривать как тонкую пластину).

Анализируя зависимость (1.5) видим, что если S 0, то оси z и y проходят через центр тяжести сечения.

Оси, относительно которых стати-ческие моменты площади равны нулю, называются центральными осями. Любая ось симметрии является центральной осью, так как центр тяжести сечения лежит на этой оси и, следовательно, статический момент относительно ее всегда равен нулю. Например, ось y (рис. 1.2) является осью симметрии прямоугольного сечения и, следовательно, она центральная.

Ось z1 не совпадает с центром тяжести сечения, поэтому не является центральной, и статический момент площади сечения относительно оси z1 будет не равен нулю 1. Если сечение представляет сложную фигуру (рис. 1.3), состоящую из ряда простых фигур, например, прямоугольника, треугольника и т. д., для которых известны положения центров тяжести, то в этом случае статический момент всей фигуры можно определить как сумму статических моментов этих простых фигур; (1.4) (1.5)

Выражения (1.6) надо понимать в

алгебраическом виде, т. е. координаты yi и zi необходимо подставлять с учетом знака, а также в случае вырезов знак перед соответствующим членом необходимо сменить на минус. Например, для сечения (рис. 1.4) статические моменты относительно осей y и z1 будут равны z 0. Статический момент S0, так как ось y является центральной осью и координаты z также в выражении Sz1 координата y10 .

С учетом (1.6) координаты центра тяжести для сложной фигуры по отношению к вспомогательным осям z и y определятся по формулам: n ─ площади простейших сечений, на которые разбивается сложное сечение; yn─ координаты центров тяжести простейших сечений по отношению к вспомогательным осям z1 и y1.

В ряде случаев при вычислении статических моментов удобно использовать формулы с двойным интегралом вида: Здесь D ─ область интегрирования. Пример 1.1 Вычислить координату центра тяжести сечения в виде полукруга (рис. 1.5). Решение: Определяем положение центра тяжести по формуле ;Площадь сечения с учетом уравнения окружности.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:9.1. Геометрические характеристики плоских сечений. Общие сведения. Статический момент площадиСкачать

СОПРОМАТ ОН-ЛАЙН

Меню сайта

Расчет геометрических характеристик сечений он-лайн NEW — считает любые сечения (сложные). Определяет: площадь сечения, моменты инерции, моменты сопротивления.

Расчет балок на прочность он-лайн — построение эпюр Mx, Qy, нахождение максимального изгибающего момента Mx, максимальной сдвигающей силы Qy, расчет прогибов, подбор профиля и др. Все просто, все он-лайн.
+ Полное расписанное решение!
Теперь и для статически неопределимых балок!

Расчет рам, ферм балок он-лайн NEW — эпюры Q, M, N, перемещения узлов. Удобный графический интерфейс. Считает любые схемы.

Лекции — теория, практика, задачи.

Справочная информация — ГОСТы, сортамент проката, свойства материалов и другое.

Программы по сопромату (построение эпюр, различные калькуляторы, шпоры и другое).

Книги — разная литература по теме.

Базовый курс лекций по сопромату, теория, практика, задачи.

1. Геометрические характеристики сечений.

1.1. Статический момент сечения.

При дальнейшем изучении вопросов прочности, жесткости и устойчивости нам придется иметь дело с некоторыми геометрическими характеристиками сечения: статическими моментами, моментами инерции, моментами сопротивления.

Статическим моментом Sx сечения (фигуры) относительно какой-либо оси х (рис.1.1) называется геометрическая характеристика, определяемая интегралом вида

(1.1)

где y — расстояние от элементарной площадки dA до оси x.

Единицей измерения статического момента является единица длины в третьей степени, обычно см 3 (см в третьей степени). Статический момент может быть положительным, отрицательным и, в частности, равным нулю. Если отождествить площадь с силой, действующей перпендикулярно плоскости чертежа, то интеграл (4.1) можно рассматривать как сумму моментов сил относительно оси х. По известной из теоретической механике теореме о моменте равнодействующей можно написать

(1.2)

где А — площадь всей фигуры (равнодействующая); у с — расстояние от центра тяжести фигуры до оси х.

Из формулы (1.2) следует формула определения ординаты центра тяжести

Аналогично, статический момент относительно оси у равен

(1.4)

Центр тяжести обладает тем свойством, что если тело опереть в этой точке, то оно будет находиться в равновесии.

Из формулы (1.2) и (1.4) следует, что если оси х и у проходят через центр тяжести фигуры, то статический момент относительно этих осей равен нулю. Такие оси называются центральными осями.

Если фигуру можно представить в виде отдельных простых фигур (квадратов, треугольников и т.д.), для которых известны положения центров тяжести, то в этом случае статический момент всей фигуры можно получить как сумму статических моментов этих простых фигурю Это непостредственно следует из свойств определенного интеграла.

Если фигура имеент ось симметрии, то последняя всегда проходит через центр тяжести фигуры, а потому статический момент фигуры относительно оси симметрии всегда равен нулю.

Во многих случаях вместо простых интегралов вида (1.1) и (1.4) удобнее иметь дело с двойными интегралами вида:

(1.1a)

(1.4a)

Здесь D — облать интегрирования.

Пример 1.1. Определить положение центра тяжести сечения, показанного на рис. 1.2, а.

Решение. Разбиваем сечение на два прямоугольника. Проводим вспомогательные оси х и у.

По формулам (1.3) и (1.5) получим:

По этим координатам находим точку С — центр тяести сечения. Она лежит на линии, соединяющей точки С 1 и С 2 , ближе к фигуре, имеющей большую площадь.

Пример 1.2. Вычислить ординату центра тяжести половины круга (рис. 1.2, б).

Решение. Пользуемся формулой