способы нахождения площадей многоугольников проект (6 видео)

Содержание

«Нестандартные способы нахождения площадей многоугольников. Формула Пика»
Скачать:
Предварительный просмотр:
Исследовательский проект «Геометрия на клетчатой бумаге. Вычисление площадей многоугольников»
Просмотр содержимого документа «Исследовательский проект «Геометрия на клетчатой бумаге. Вычисление площадей многоугольников»»
Исследовательская работа учащегося по математике на тему «Нахождение площади многоугольника»
Выполнена ученицей
Ковалёвой Екатериной Владимировной
📹 Видео

Видео:Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

«Нестандартные способы нахождения площадей многоугольников. Формула Пика»

Проектная работа ученицы 9 класса.

Видео:Самый простой способ нахождения площадиСкачать

Скачать:

Вложение	Размер
salihova_proekt.docx	379.32 КБ

Видео:Формула Пика / Как находить площадь многоугольника?Скачать

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №210»

Тема : «Нестандартные способы нахождения площадей многоугольников. Формула Пика»

Автор: Салихова Екатерина Алексеевна

Учащаяся 9 «В» класса

Консультант проекта: Неупокоева Галина Геннадьевна

1. Теоретическая часть

1.1. Стандартные формулы для нахождения площадей геометрических фигур…4

1.2. Нестандартные формулы для нахождения площадей геометрических фигур5

Биография Георга Александра Пика………………………………………………..6

Доказательство формулы Пика……………………………………………………. 8

Применение формулы Пика в реальной жизни…………………………………….9

Список используемых сайтов и литературы………………………………………11

Название: «Нестандартные способы нахождения площадей многоугольников. Формула Пика.»
Автор работы: Салихова Екатерина Алексеевна
Класс: 9 «В»
Учебное заведение: МБОУ СОШ № 210
Предметная область: математика.
Время разработки проекта: с 18.12.2018 г. по 02.02.2019г.
Актуальность : Задачи на нахождение площадей часто встречаются на ОГЭ и ЕГЭ по математике.
Цель проекта: Изучить нестандартные способы нахождения площадей геометрических фигур, изучить и проверить на практике формулу Пика.
Задачи проекта:

1) Обобщить знания по нахождению площадей геометрических фигур;

2) Узнать и изучить раннее неизвестные способы нахождения площадей;

3) Научиться применять новые знания на практике;

4) Узнать возможно ли применение формулы Пика для вычисления площадей объектов из жизни.

10. Тип проекта: исследовательский.

11. Форма продукта: проект

12. Исследование: исследовать возможность применение нестандартных способов нахождения площадей многоугольников в реальной жизни.

1. Теоретическая часть

1.1. Стандартные формулы для нахождения площадей геометрических фигур

Площадь прямоугольника, формула.

Площадь квадрата, формула.

Площадь треугольника, формула.

Площадь трапеции, формула.

Площадь параллелограмма, формула.

Площадь ромба, формула.

Площадь правильного многоугольника, формула.

Площадь круга, формула.

2. Теоретическая часть

1.2. Нестандартные формулы для нахождения площадей геометрических фигур

Если разбить фигуру на несколько фигур, то площадь всей фигуры равна сумме площадей её частей. (см. приложение 1, фотография №1)

Площадь многоугольника можно найти, вписав его в прямоугольник, и вычитая площади соответственно лишних частей. (см. приложение 1, фотография №2)

Георг Александр Пик (1859–1942)

Родился Георг Пик в еврейской семье. Мать его — Йозефа Шляйзингер (Josefa Schleisinger), отец — Адольф Йозеф Пик (Adolf Josef Pick) — возглавлял частный институт. До одиннадцати лет Георг получал образование дома (с ним занимался отец), затем он пошел в четвертый класс гимназии (Leopoldstaedter Communal Gymnasium). В 1875 г. он сдал выпускные экзамены и мог поступать в университет.

Пик поступил в университет в Вене в 1875 году. Уже в следующем году он опубликовал свою первую работу по математике, ему было всего лишь семнадцать лет. Он изучал математику и физику, окончил в 1879 году универститет, получив возможность преподавать оба эти предмета. Пик защитил докторскую диссертацию “О классе абелевых интегралов” (Über Eine Klasse abelscher Integrale).

После получения докторской степени Пик был назначен помощником Эрнста Маха в пражском университете Карла-Фердинанда. Мах переехал из Граца, где он был профессором математики, в Прагу в 1867 году, чтобы занять там кафедру физики. Он, как и Пик, учился в университете в Вене и, к тому времени как Пик стал его помощником, считался одним из ведущих европейских ученых. Пик теперь хотел читать лекции в Праге, и для того чтобы получить на это право, он должен был написать специальную работу (habilitation thesis). Он это сделал достаточно быстро, написав Über die Integration hyperelliptischer Differentiale durch Logarithmen, после чего в 1881 году получил право читать лекции в Праге.

Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. Им написаны работы в области математического анализа, дифференциальной геометрии, в теории дифференциальных уравнений и т. д., всего более 50 тем. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника.

Формула Пи́ка (или теорема Пи́ка) — классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел, согласно которому площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна

где В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

В частности, площадь треугольника с вершинами в узлах и не содержащего узлов ни внутри, ни на сторонах (кроме вершин), равна 1/2. Этот факт даёт геометрическое доказательство формулы для разницы подходящих дробей цепной дроби.

Доказана Георгом Пиком в 1899 году.

Доказательство формулы Пика

Для начала рассмотрим, как можно вычислить площадь треугольника, применив теорему Пика.

Пусть АВСD – треугольник с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки. Обозначим через В количество узлов, лежащих внутри треугольника, а через Г – количество узлов на его границе. (см. приложение 1, фотография №3)

По формуле Пика найдем площадь.

Проверим решение через стандартную формулу нахождения треугольника S=1/2ah (см. приложение 2, фотография №4)

Применение формулы Пика в реальной жизни

Использовать формулу Пика в реальной жизни резоннее для нахождения примерной площади объектов, чью площадь нельзя измерить при помощи стандартных измерительных приборов (линейки, рулетки). Формулой Пика удобно находить примерную площадь парков, больших площадок, городов, областей.

Рассмотрим применение данной формулы на примере нахождения площади Новосибирской области.

На карту Новосибирской области я наложила сетку, где площадь одной клетки на настоящий масштаб примерно равна 465,6 км^2 (см. приложение 2, фотография №5). Количество узлов на границе карты области 53. Количество узлов, лежащих внутри карты области 353. Далее подставляем числа в формулу:

Полученный результат надо умножить на примерную площадь одной клетки сетки, тогда мы получаем следующий результат:

378,5 * 465,6 = 176 229,6 км^2

Сравним полученный результат с настоящими данными. Площадь Новосибирской области по данным из интернета равна 178 200 км².

Вывод: работая над проектом, я изучила нестандартные способы нахождения площадей геометрических фигур и проверила на практике формулу Пика. Также я обобщила знания по нахождению площадей геометрических фигур, узнала и изучила раннее неизвестные способы нахождения площадей, научилась применять новые знания на практике и узнала, что применение формулы Пика для нахождения объектов из жизни возможно.

Видео:ПЛОЩАДЬ МНОГОУГОЛЬНИКА 8 класс геометрия АтанасянСкачать

Исследовательский проект «Геометрия на клетчатой бумаге. Вычисление площадей многоугольников»

Просмотр содержимого документа
«Исследовательский проект «Геометрия на клетчатой бумаге. Вычисление площадей многоугольников»»

Открытая конференция творческих работ школьников «Малые грани»

Геометрия на клетчатой бумаге:

вычисление площадей многоугольников

ученица 8-Г класса МАОУ «Центр образования № 13

имени Героя Советского Союза Н.А.Кузнецова»,

« Решение задач – практическое искусство, подобное плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано; научиться ему можно, только подражая хорошим образцам и постоянно практикуясь»

Большинство задач на бумаге в клетку считается «занимательными». Чёткой классификации и структурирования задач по данной теме не обнаружено.
Материал исследования будет полезен учащимся классов при подготовке к экзаменам в 9-х, 11-х классах.

Цель исследования: найти эффективный способ нахождения площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге

Изучить литературу по теме исследования
Найти различные способы решения задач на вычисление площадей многоугольников
Научиться находить площади многоугольников на клетчатой бумаге различными способами
Создать банк задач по теме исследования
Создать буклет по теме
Составить компьютерный тест по теме «Площади многоугольников» для подготовки к ОГЭ, ЕГЭ

Этапы исследования: I . Теоретический II . Практический III . Обобщающий

поисковый, эмпирический эксперимент, анализ и классификация материала, сравнение и обобщение, аналогия.

Площадь плоской фигуры —

это положительная величина, числовое значение которой обладает следующими свойствами:

3) Площадь квадрата со стороной, равной единице измерения, равна 1.

Способы нахождения площадей многоугольников

Нахождение площади многоугольника способом подсчета числа единичных квадратов
Нахождение площади многоугольника по формулам
Нахождение площади многоугольника перекраиванием
Нахождение площади многоугольника разрезанием
Нахождение площади многоугольника достраиванием до прямоугольника
Нахождение площади по формуле Пика

Способ подсчета числа единичных квадратов

Если фигура состоит из полных клеток или их половинок, можно найти площадь фигуры подсчетом количества клеток, приняв во внимание:

= 1 кв.ед; = 0,5 кв.ед

Задача 1. На клетчатой бумаге с размером

клетки 1см х 1 см изображен треугольник.

Найти его площадь (в кв.см)

Полных клеток – 6, половинок – 6.

S = 6 · 1 + 6 · 0,5 = 6 + 3 = 9 (кв.см)

Нахождение площади многоугольника по формулам

Зад ача 2. найти площади фигур, изображенных на рисунке

Нахождение площади многоугольника перекраиванием

Многоугольник путем разрезания и перекраивания можно преобразовать в равновеликий

многоугольник с известной площадью

Задача 3. Найти площадь шестиугольника на рисунке

Разрежем и перекроим шестиугольник как на рисунке. Тогда площадь шестиугольника будет равна площади равновеликого прямоугольника, т.е. S = 3 · 4 = 12(кв.ед.)

Нахождение площади многоугольника разрезанием

Чтобы найти площадь многоугольника, надо разрезать его на части, площади которых мы можем найти по известным нам формулам или другими способами

Задача 4. Найти площадь трапеции АВСД

Разрежем трапецию на две части как на рисунке. Тогда площадь трапеции равна сумме площадей прямоугольника и прямоугольного треугольника:

Нахождение площади многоугольника достраиванием до прямоугольника

Достроить данную фигуру до прямоугольника.

Площадь искомой фигуры будет равна разности площадей построенного прямоугольника и площадей оставшихся частей

Задача 5. Найти площадь фигуры АВСД

S = Sпр – S1 – S2 – S3 – S4 =

—(2∙2):2 = = 18 – 2 – 2 – 2 – 2 =

Нахождение площади многоугольника по формуле Пика

Георг Александр Пик

В 16 лет окончил школу. В 21 год защитил кандидатскую диссертацию. В 1899 году вывел формулу для вычисления площади произвольного многоугольника. Погиб в 1942 году в концентрационном лагере.

Нахождение площади многоугольника по формуле Пика

Узел – пересечение двух прямых.

В – внутренний узел

Г – граничный узел

Анализ проведенного эксперимента

Найти площадь данной фигуры всеми способами
Просчитать время выполнения задачи каждым способом

Нахождение площади многоугольника способом подсчета числа единичных квадратов

Нахождение площади многоугольника по формулам

Нахождение площади многоугольника перекраиванием

Нахождение площади многоугольника разрезанием

Нахождение площади многоугольника достраиванием до прямоугольника

Нахождение площади по формуле Пика

Практическая значимость результатов исследования

Применение на уроках геометрии для вычисления площадей многоугольников
Подготовка к ОГЭ, ЕГЭ
Решение олимпиадных задач

Пример (турнир Архимеда, 2013.2)

Имение маркиза Карабаса имеет форму прямоугольника (рисунок). Часть участка занимает лес (выделен тёмным), остальное – пастбища. Чего у маркиза больше – леса или пастбищ?

Продукт исследовательской деятельности

Для нахождения площади многоугольника можно использовать различные способы

Площадь фигуры, вычисляемая по формуле Пика, равна площади фигуры, вычисляемой другими способами

Все рассмотренные способы интересны, но самый эффективный – вычисление по формуле Пика

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Исследовательская работа учащегося по математике на тему «Нахождение площади многоугольника»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Всероссийский детский конкурс научно-исследовательских

и творческих работ «Первые шаги в науке»

Управление образования администрации Яковлевского района

Нахождение площади многоугольника

Исследовательская работа

Выполнена ученицей

7 класса МБОУ «Серетинская ООШ

Ковалёвой Екатериной Владимировной

МБОУ «Серетинская ООШ

Ушакова Ольга Анатольевна

Введение — 2 стр.

Методы нахождения площади многоугольника – 4 стр.

Практическое применение результатов – 7 стр.

Заключение — 9 стр.

Список литературы – 10 стр.

«Решение задач – практическое искусство, подобное

плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано;

научиться ему можно, только подражая хорошим

образцам и постоянно практикуясь»

Увлечение отдельной областью математики часто начинается с размышления над какой-то особенно понравившейся задачей. В декабре я участвовала во Всероссийской дистанционной олимпиаде по математике проекта «Инфоурок». Именно там, среди задач мне встретилось задание на нахождение площади многоугольника, построенного на клетчатой бумаге с вершинами в узлах клеток. Решение этой задачи потребовало немало времени, дополнительных построений и знания формул площадей прямоугольников и прямоугольных треугольников.

Именно тогда у меня и возник вопрос, а можно ли находить площади таких многоугольников другими способами?

Так появилась моя исследовательская работа «Нахождение площади многоугольника»

Казалось бы, что увлекательного можно найти на клетчатой плоскости, то есть, на листке бумаги, расчерченном на одинаковые квадратики? Оказывается, задачи, связанные с бумагой в клеточку, достаточно разнообразны. Однако чёткой классификации и структурирования задач на клетчатой бумаге по способам решения при изучении литературы по данной теме я не встретила. Возможно, потому, что большинство таких задач считается «занимательными», и не так уж много авторов посвятило этой теме свои изыскания.

Целью данной работы является исследование методов нахождения площади многоугольников.

Многоугольники, построенные на клетчатой бумаге с узлами вершинах клеток.

Процесс вычисления площадей многоугольников различными методами.

Гипотеза : Можно предположить, что существуют различные методы нахождения площадей многоугольников, построенных на клетчатой бумаге с вершинами в узлах клеток.

Для достижения данной цели необходимо решить следующие поставленные задачи:

Изучить литературу по выбранной теме, определить наиболее интересные методы нахождения площади многоугольника.

Проанализировать полученные результаты и систематизировать их.

Провести практическую работу по нахождению площади многоугольника различными методами

Определить группы задач, которые можно решить с помощью исследованного метода нахождения площади многоугольника.

Создать информационную карту: «Нахождение площади многоугольника»

Изучение литературы по выбранной теме, графическое моделирование, анализ и классификация полученных результатов.

В курсе геометрии часто встречаются задачи на нахождение площади сложной фигуры: произвольного многоугольника, невыпуклого многоугольника. Так же задачи подобного вида включены в банк заданий ГИА и ЕГЭ т. е. умение школьников решать такие задачи необходимо для успешной сдачи экзаменов. Для нахождения площади многоугольника, построенного на клетчатой бумаге с вершинами в углах клеток, не требуется знание формул площадей простых фигур.

Новизна данного проекта заключается в следующем: метод нахождения площади многоугольника с помощью формулы Пика не рассматривается материалом учебников при решении задач в основной и средней школе.

Задачи на бумаге в клетку помогают, как можно раньше формировать геометрические представления у школьников на разнообразном материале.

Владение методами разбиения сложной фигуры на простые, применение формул нахождения площадей некоторых фигур и формула Пика позволяют в каждом конкретном случае решить задачу рационально, а также проверить полученный результат.

Методы нахождения площади многоугольника.

Изучив литературу по теме, я выделила несколько методов нахождения площади многоугольника, построенного на клетчатой бумаге так, что все его вершины находятся в узлах пересечения клеток.

Метод непосредственного применения формул.

В школьном курсе математики изучаются формулы нахождения площади следующих многоугольников: квадрата, прямоугольника, произвольного треугольника, трапеции, параллелограмма, ромба. Если заданный многоугольник является одним из изученных, то нахождение площади сводится к вычислению длин нужных элементов фигуры по клеточкам (высоты, оснований, диагоналей и т. д.) и выполнению расчетов по готовой формуле.

Метод сложения площадей.

Данная фигура разбивается с помощью вертикальных и горизонтальных отрезков так, чтобы многоугольник полностью ( без отверстий и наложений) заполняли получившиеся при разбиении прямоугольники и прямоугольные треугольники. Сумма всех площадей фигур, полученных в результате такого разбиения равна площади данного многоугольника.

Метод вычитания площадей простых фигур из площади многоугольника, построенного вокруг данной фигуры

Вокруг данного многоугольника строится четырехугольник так, чтобы его стороны содержали максимальное количество вершин многоугольника и были либо горизонтальны, либо вертикальны. Находится площадь этого описанного прямоугольника и площади фигур, являющимися дополнениями данной фигуры до прямоугольника. Как правило, эти фигуры являются прямоугольниками и прямоугольными треугольниками, или с помощью несложного разбиения их можно разделить на эти фигуры. Далее вычитается из площади описанного прямоугольника сумма площадей всех дополнительных фигур и получается площадь заданного многоугольника.

Оказывается, площади многоугольников, вершины которых расположены в узлах сетки, можно вычислять гораздо проще: есть формула, связывающая их площадь с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника. Эта замечательная и простая формула называется формулой Пика.

Так как этот метод не изучается в курсе школьной математики, я решила рассмотреть его подробнее остальных.

Автор формулы — Георг Александр Пик (10 августа 1859 — 13 июля 1942) — австрийский математик, родился в еврейской семье. Мать — Йозефа Шляйзингер, отец — Адольф Йозеф Пик. Георга, который был одарённым ребёнком, обучал отец, возглавлявший частный институт. В 16 лет Георг закончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику. Шестнадцатого апреля 1880 года под руководством Лео Кёнигсбергера Пик защитил докторскую диссертацию «О классе абелевых интегралов». В Немецком университете в Праге в 1888 году Пик получил место экстраординарного профессора математики, затем в 1892-м стал ординарным профессором. В 1900—1901 годах занимал пост декана философского факультета. С его именем связаны матрица Пика, интерполяция Пика — Неванлинны, лемма Шварца — Пика.

Но больше всего он известен, однако, своей теоремой Пика, которая появилась в его восьмистраничной работе 1899 года Geometrisches zur Zahlenlehre, опубликованной в Праге в Sitzungber, Lotos, Naturwissen Zeitschrift.

Этот результат оставался незамеченным в течение некоторого времени после того, как Пик его опубликовал, однако в 1969 г. Штейнгауз включил его в свой знаменитый “Математический калейдоскоп». С этого времени теорема Пика привлекла довольно большое внимание и начала вызывать восхищение своей простотой и элегантностью.

Доказательство формулы Пика для прямоугольника с вершинами в узлах клеток.

Пусть АВС D – прямоугольник с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям клеток

Обозначим через В количество узлов, лежащих внутри прямоугольника, а через Г – количество узлов на его границе. Сместим сетку на полклетки вправо и полклетки вниз. Тогда территорию прямоугольника можно «распределить» между узлами следующим образом:

каждый из внутренних узлов «контролирует» целую клетку смещённой сетки, поэтому их общее количество считаем как единицы площади (В)

каждый из узлов на границе, кроме четырех угловых – половину клетки, поэтому их сумму делим пополам (Г-4)/2

каждая из угловых точек – четверть клетки, поэтому 4 умножаем на ¼ клетки и получаем +1 клетка к площади прямоугольника

Итак, получаем : S = В + + 4 · = =В + — 1 .

Итак, для прямоугольников с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки, мы установили формулу S = В + — 1 . Это и есть формула Пика.

Оказывается, эта формула верна не только для прямоугольников, но и для произвольных многоугольников с вершинами в узлах сетки!

Применение формулы Пика позволяет быстро и точно найти площадь любого многоугольника, построенного на клетчатой бумаге с вершинами в узлах клеток.

Применение формулы Пика для вычисления площадей некоторых фигур вызвало у меня некоторые затруднения, а значит, появилась необходимость в дополнительном исследовании.

Очень уж чётким должен быть чертёж и очень внимательно нужно его рассматривать, чтобы определить, лежит ли данный узел внутри фигуры или же попал на её границу. Как точно сосчитать число узлов клеток, лежащих точно на границе?

Определение количества узлов на отрезке

Поскольку граница состоит из отрезков, то нам необходимо определить количество узлов клеток, лежащих на произвольном отрезке с концами в узлах.

С горизонтальными и вертикальными отрезками все решается однозначно: сколько клеток включает в себя такой отрезок, такое количество минус один и будет узлов на данном отрезке.

Теперь рассмотрим наклонные отрезки, концы которых находятся в узлах клеток. Достроим такой отрезок до прямоугольного треугольника по линиям клеток.

У нас концы отрезка А и В – узлы сетки. Обозначим через С первый узел, встречавшиеся после А на отрезке АВ (значит, между А и С больше нет узлов). Построим прямоугольный треугольник А С D с гипотенузой А С и катетами, лежащими на линиях сетки (рис.1).

Если С ≠ В, то сместим этот треугольник вдоль

отрезка АВ на расстояние А С . Получим равный

ему треугольник С С D .

Следовательно, С – узел, и между С и С нет узлов. Ясно,

что если эту процедуру продолжить, мы когда-нибудь

получим в качестве очередной точки С точку В – узел

сетки. Рассматривая большой прямоугольный треугольник

ARB с гипотенузой АВ, приходим к равенствам:

AR = (k+1) · AD ,

BR = (k+1) · С D ,

AB = ( k +1) · A С ‌

Значит, если k +1 является общим делителем длин двух катетов прямоугольного треугольника, причем наибольшим, то на гипотенузе есть ровно k узлов клеток.

В итоге можно сформулировать правило:

Если n -количество клеток горизонтальной стороны нашего треугольника, а m — вертикальной стороны, то нужно определить НОД чисел m и n .

Если m и n взаимно просты, то между А и В на отрезке АВ нет узлов сетки.

Если же наибольший общий делитель m и n равен k > 1, то на отрезке АВ между точками А и В расположены ровно ( k – 1) узлов сетки.

Теперь, не вглядываясь долго и напряжённо в картинку и не мучаясь сомнениями, мы точно можем определить, через сколько узлов проходит произвольный отрезок с концами в узлах клеток.

Практическое применение результатов

В качестве практического исследования, попробуем решить одну и ту же геометрическую задачу всеми изученными методами. Выберем задачу на нахождение площади трапеции.