самопересекающийся четырехугольник как найти площадь (7 видео)

Содержание

Четырёхугольник
Что такое четырех угольник
Виды четырехугольников
Особые виды четырехугольников
Четырехугольник и окружность
Свойства длин сторон четырехугольника
Площадь самопересекающегося многоугольника
Соревнование
Теорема Вариньона
💥 Видео

Видео:Площади четырехугольников: трапеция, параллелограмм, ромб. Геометрия на клеточке. ОГЭСкачать

Четырёхугольник

Сегодня рассмотрим геометрическую фигуру — четырехугольник. Из названия этой фигуры уже становится понятно, что у этой фигуры есть четыре угла. А вот остальные характеристики и свойства этой фигуры мы рассмотрим ниже.

Видео:Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shortsСкачать

Что такое четырех угольник

Четырёхугольник — многоугольник, состоящий из четырех точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки. Площадь четырехугольника равна полупроизведению его диагоналей и угла между ними.

Четырехугольник — это многоугольник с четырьмя вершинами, три из которых не лежат на одной прямой.

Четырехугольник — это геометрическая фигура, состоящая из четырех точек, три из которых не лежат на одной прямой, последовательно соединенная отрезками.

Видео:Задача с канала PreMath — попробуй найти площадь четырехугольникаСкачать

Виды четырехугольников

Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.
Четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие − нет, называется трапецией.
Четырехугольник, у которого все углы прямые, является прямоугольником.
Четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.
Четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые, называется квадратом.

Четырехугольник может быть:

Самопересекающийся четырехугольник — это четырехугольник, у которого любые из его сторон имеют точку пересечения (на рисунке синим цветом).

Невыпуклый четырехугольник — это четырехугольник, в котором один из внутренних углов более 180 градусов (на рисунке обозначен оранжевым цветом).

Сумма углов любого четырехугольника, который не является самоперсекающимся всегда равна 360 градусов.

Видео:Вирусная задача. Найти площадь четырёхугольника.Скачать

Особые виды четырехугольников

Четырехугольники могут обладать дополнительными свойствами, образуя особые виды геометрических фигур:

Параллелограмм
Ромб
Прямоугольник
Квадрат
Трапеция
Дельтоид
Контрпараллелограмм

Видео:Найти площадь закрашенного четырехугольника. Произвольный четырехугольникСкачать

Четырехугольник и окружность

Четырехугольник, описанный вокруг окружности (окружность, вписанная в четырехугольник).

Главное свойство описанного четырехугольника:

Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны.

Четырехугольник, вписанный в окружность (окружность, описанная вокруг четырехугольника)

Главное свойство вписанного четырехугольника:

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны 180 градусов.

Видео:Площадь четырёхугольника через диагоналиСкачать

Свойства длин сторон четырехугольника

Модуль разности любых двух сторон четырёхугольника не превосходит суммы двух других его сторон.

Важно. Неравенство верно для любой комбинации сторон четырехугольника. Рисунок приведен исключительно для облегчения восприятия.

В любом четырёхугольнике сумма длин трёх его сторон не меньше длины четвёртой стороны.

Важно. При решении задач в пределах школьной программы можно использовать строгое неравенство (

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

Видео:Задача о площади четырехугольникаСкачать

Площадь самопересекающегося многоугольника

Рассмотрим потенциально самопересекающийся многоугольник, определенный списком вершин в двумерном пространстве. Например

Есть несколько способов определить площадь такого многоугольника, но наиболее интересным является правило четного нечетного. Взяв любую точку на плоскости, проведите линию от точки до бесконечности (в любом направлении). Если эта линия пересекает многоугольник нечетное число раз, точка является частью области многоугольника, если она пересекает многоугольник четное число раз, точка не является частью многоугольника. Для приведенного выше примера многоугольника здесь представлены как его контур, так и четно-нечетная область:

Многоугольник в общем случае не будет ортогональным. Я выбрал только такой простой пример, чтобы было легче подсчитать площадь.

Область этого примера 17 (нет 24 или 33 как могут дать другие определения или область).

Обратите внимание, что согласно этому определению площадь многоугольника не зависит от порядка его намотки.

Видео:ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

Соревнование

Учитывая список вершин с целочисленными координатами, определяющими многоугольник, определите его площадь по четно-нечетному правилу.

Вы можете написать функцию или программу, используя ввод через STDIN или ближайшую альтернативу, аргумент командной строки или аргумент функции, и либо вернуть результат, либо распечатать его в STDOUT или ближайшую альтернативу.

Вы можете принимать ввод в любом удобном формате списка или строки, если он не был предварительно обработан.

Результатом должно быть либо число с плавающей запятой с точностью до 6 значащих (десятичных) цифр, либо рациональный результат, представление которого с плавающей запятой с точностью до 6 значащих цифр. (Если вы дадите рациональные результаты, они, вероятно, будут точными, но я не могу требовать этого, поскольку у меня нет точных результатов для справки.)

Вы должны быть в состоянии решить каждый из приведенных ниже тестовых случаев в течение 10 секунд на подходящем настольном компьютере. (В этом правиле есть некоторая свобода действий, поэтому примите во внимание свое мнение. Если на моем ноутбуке это займет 20 секунд, я извлеку выгоду из сомнений, если это займет минуту, я не буду.) Я думаю, что это ограничение должно быть очень щедрым, но предполагается исключить подходы, в которых вы просто дискретизируете многоугольник на достаточно тонкой сетке и рассчитываете, или используете вероятностные подходы, такие как Монте-Карло. Будьте хорошим спортсменом и не пытайтесь оптимизировать эти подходы так, чтобы вы все равно могли уложиться в сроки. 😉

Вы не должны использовать какие-либо существующие функции, связанные непосредственно с полигонами.

Это код гольф, поэтому выигрывает самое короткое представление (в байтах).

Видео:Площади. Четырёхугольники. КАК ТУТ РАЗОБРАТЬСЯ?Скачать

Теорема Вариньона

В школьном курсе теорема Вариньона часто фигурирует в качестве обычной задачи, в которой требуется доказать, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Её доказательство основано на свойствах средней линии треугольника.

Середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Дано: ABCD — четырёхугольник,

M, N, K, F — середины его сторон.

Доказать : MNKF — параллелограмм.

1) Проведём диагональ AC.

2) Рассмотрим треугольник ABC.

Так как точки M и N — середины сторон AB и BC, отрезок MN — средняя линия треугольника ABC.

3) Аналогично, FK — средняя линия треугольника ADC и

4) По признаку параллельности прямых, две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой:

5) В четырёхугольнике MKNF противоположные стороны параллельны и равны. Следовательно, MKNF — параллелограмм (по признаку).

Что и требовалось доказать.

Поскольку в школьном курсе геометрии рассматриваются только выпуклые четырёхугольники, доказательство приведено только для этого случая. Но и для невыпуклых четырёхугольников (в том числе, и для самопересекающихся), теорема также верна (доказывается аналогично).

Параллелограмм, образованный серединами сторон четырёхугольника, называется параллелограммом Вариньона (вариньоновским, вариньоновым).

Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного параллелограмма: