рисунок закон площадей кеплера

Видео:Законы КеплераСкачать

Законы Кеплера

Астрономия конца XVI века отмечает столкновение двух моделей нашей Солнечной системы: геоцентрическая система Птолемея – где центром вращения всех объектов является Земля, и гелиоцентрическая система Коперника – где Солнце является центральным телом.

И хотя Коперник был ближе к истинной природе Солнечной системы, его работа имела недостатки. Основным из этих недостатков являлось утверждение, что планеты вращаются вокруг Солнца по круговым орбитам. С учетом этого, модель Коперника практически настолько же не согласовывалась с наблюдениями, как и система Птолемея. Польский астроном стремился исправить данное расхождение при помощи дополнительного движения планеты по кругу, центр которого уже двигался вокруг Солнца — эпицикл. Однако, расхождения в большей своей части не были устранены.

В начале XVII века немецкий астроном Иоганн Кеплер, изучая систему Николая Коперника, а также анализируя результаты астрономических наблюдений датчанина Тихо Браге, вывел основные законы относительно движения планет. Они были названы как Три закона Кеплера.

Будучи великолепным наблюдателем, Тихо Браге за много лет составил объёмный труд по наблюдению планет и сотен звёзд, причём точность его измерений была существенно выше, чем у всех предшественников.

Видео:Урок 65. Движение планет. Законы КеплераСкачать

Первый закон Кеплера (закон эллипсов)

Планеты Солнечной системы движутся по эллиптическим орбитам. В одном из фокусов которой находится Солнце.

Согласно первому закону Кеплера, все планеты нашей системы движутся по замкнутой кривой, называемой эллипсом. Наше светило располагается в одном из фокусов эллипса. Всего их два: это две точки внутри кривой, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса постоянна.

После длительных наблюдений ученый смог выявить, что орбиты всех планет нашей системы располагаются почти в одной плоскости. Некоторые небесные тела двигаются по орбитам-эллипсам, близким к окружности. И только Плутон с Марсом двигаются по более вытянутым орбитам. Исходя из этого, первый закон Кеплера получил название закона эллипсов.

Видео:Законы КеплераСкачать

Второй закон Кеплера (закон площадей)

Радиус-вектор планеты описывает в равные промежутки времени равные площади.

Второй закон Кеплера говорит о следующем: каждая планета перемещается в плоскости, проходящей через центр нашего светила. В одно и то же время радиус-вектор, соединяющий Солнце и исследуемую планету, описывает равные площади. Таким образом, ясно, что тела движутся вокруг желтого карлика неравномерно, а имея в перигелии максимальную скорость, а в афелии – минимальную.

На практике это видно по движению Земли. Ежегодно в начале января наша планета, во время прохождения через перигелий, перемещается быстрее. Из-за этого движение Солнца по эклиптике происходит быстрее, чем в другое время года. В начале июля Земля движется через афелий, из-за чего Солнце по эклиптике перемещается медленнее.

Видео:Решение задач. Законы Кеплера и закон всемирного тяготенияСкачать

Третий закон Кеплера (гармонический закон)

Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит.

По третьему закону Кеплера, между периодом обращения планет вокруг светила и ее средним расстоянием от него устанавливается связь. Третий закон Кеплера выполняется как для планет, так и для спутников, с погрешно­стью не более 1 %.

На основании этого закона можно вычис­лить продолжительность года (время полного оборота вокруг Солнца) любой планеты, если известно её расстояние до Солнца. И наобо­рот — по этому же закону можно рассчитать орбиту, зная период обращения.

Видео:Законы Кеплера простым языком #астрономия #космос #физика #историяСкачать

Дальнейшее развитие

И хотя законы Кеплера имели относительно невысокую погрешность, все же они были получены эмпирическим способом. Теоретическое же обоснование отсутствовало. Данная проблема позже была решена Исааком Ньютоном, который в 1682-м году открыл закон всемирного тяготения.

Законы Кеплера стали важнейшим этапом в понимании и описании движения планет.

Видео

Видео:Законы Кеплера Анимированная презентация по физике 10 классСкачать

Закон Кеплера

О чем эта статья:

11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Видео:Законы КеплераСкачать

Форма Земли

Сейчас нам сложно представить, что раньше люди верили, будто Земля плоская. У греков, например, плоскость просто парила в воздухе и была окружена ледниками. А в Индии верили, что планета покоится на трех слонах, которые стоят на черепахе. Впрочем, кое-кто до сих пор так думает. Доказательств того, что наша планета на самом деле не плоская — много, но вот вам парочка, чтобы можно было поддержать светскую беседу.

Смена дня и ночи

По представлениям приверженцев плоской Земли, день и ночь сменяются, потому что Луна и Солнце вращаются над Землей — вот как-то так:

Но — упс! — эта модель вызывает целый ряд вопросов:

Почему длина дня и ночи меняется в течение года?

Чем объясняется цвет заката и восхода?

Почему иногда мы можем увидеть Луну и Солнце одновременно?

Почему Луна и Солнце не появляются каждый раз из одной и той же точки?

Если нет гравитационного притяжения, почему они вообще крутятся?

Лунные затмения

Если Земля плоская, то непонятно, как объяснить лунные затмения. Чтобы затмение произошло, нужно, чтобы Солнце находилось по одну сторону от диска, а Луна — по другую. Тогда ломается концепция дня и ночи, которую мы описали выше, ведь день и ночь будут наступать для всей Земли одновременно.

На плоскую Землю свет от Солнца падал бы, как свет от фонаря. То есть высокие объекты в противоположном от Солнца направлении после заката оставались бы в тени.

А на шарообразной Земле небоскребы или горы будут освещены Солнцем после заката или перед рассветом.

Именно это вы увидите, если застанете рассвет или закат в горах — или посмотрите на фотографии.

Окей, Земля все-таки не плоская — с этим разобрались. Но и шаром ее назвать нельзя: Земля имеет форму эллипсоида.

Эллипсоид — это такой приплюснутый шар, в одном из сечений у которого эллипс. Именно по траектории эллипса вращаются все спутники.

Видео:Законы Кеплера / Kepler's lawsСкачать

Эллипс

Эллипс — это замкнутая прямая на плоскости, частный случай овала. У эллипса две оси симметрии — горизонтальная и вертикальная, которые состоят из двух полуосей.

А еще у эллипса два фокуса — это такие точки, сумма расстояний от которых до любой точки P(x,y) является постоянной величиной.

Эллипс

F₁ и F₂ — фокусы

с — половина расстояния между F₁ и F₂

a — большая полуось

b — малая полуось

r₁ и r₂ — фокальные радиусы

Теперь мы знаем все необходимые понятия, чтобы разобраться, в чем состоят законы Кеплера.

Попробуйте курсы подготовки к ЕГЭ по физике с опытным преподавателем в онлайн-школе Skysmart!

Видео:Первый закон Кеплера. ЭллипсСкачать

Первый закон Кеплера

Каждая планета солнечной системы вращается вокруг Солнца по эллипсоидной орбите, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Солнце находится в одном из фокусов эллипса. Ближайшая к Солнцу точка B траектории называется перигелием, а точка A, наиболее удаленная от Солнца — афелием.

Первый закон Кеплера достаточно простой, но важный, так как в свое время он сильно продвинул астрономию. До этого открытия астрономы считали, что планеты движутся исключительно по круговым орбитам. Если же наблюдения противоречили этому убеждению, ученые дополняли главное круговое движение малыми кругами, которые планеты описывали вокруг точек основной круговой орбиты. Кеплер получил доступ к огромной базе наблюдений Тихо Браге и, изучив их, перешагнул старые идеи.

Видео:21 серия. Закон КеплераСкачать

Второй закон Кеплера (закон площадей)

Радиус-вектор, соединяющий планету и Солнце, описывает в равные промежутки времени равные площади.

Каждая планета перемещается в плоскости, проходящей через центр Солнца. За равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает равные площади. Таким образом, тела движутся вокруг Солнца неравномерно: в перигелии они имеют максимальную скорость, а в афелии — минимальную.

На практике это можно заметить по движению Земли. Ежегодно в начале января наша планета проходит через перигелий и перемещается быстрее. Из-за этого движение Солнца по эклиптике (линии, показывающей путь Солнца по небу) также происходит быстрее, чем в другое время года. В начале июля Земля движется через афелий, из-за чего Солнце по эклиптике перемещается медленнее. Поэтому световой день летом длиннее, чем зимой.

Видео:Физика. 9 класс. Законы КеплераСкачать

Третий закон Кеплера

Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит.

Согласно третьему закону Кеплера, между периодом обращения планет вокруг Солнца и большими полуосями их орбит устанавливается связь. Этот закон выполняется как для планет, так и для спутников с погрешно­стью менее 1%.

Третий закон Кеплера

T₁ и T₂ — периоды обращения двух планет [c]

a₁ и a₂ — большие полуоси орбит планет [м]

На основании этого закона можно вычис­лить продолжительность года (времени полного оборота вокруг Солнца) любой планеты, если известно ее расстояние до Солнца в афелии.

Также можно проделать обратное — рассчитать орбиту, зная период обращения.

Видео:Второй закон Кеплера (закон площадей)Скачать

Закон всемирного тяготения

Законы Кеплера — это результаты наблюдений и обобщений. Впоследствии они легли в основу закона всемирного тяготения, который звучит так: все тела притягиваются друг к другу, сила всемирного тяготения прямо пропорциональна произведению масс тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Формула силы тяготения согласно этому закону выглядит так:

Закон всемирного тяготения

F — сила тяготения [Н]

M — масса первого тела (часто планеты) [кг]

m — масса второго тела [кг]

R — расстояние между телами [м]

G — гравитационная постоянная

G = 6,67 · 10 −11 м 3 · кг −1 · с −2

Ньютон был первым исследователем, который пришел к выводу, что между любыми телами в космосе действуют гравитационные силы, и именно они определяют характер движения этих тел.

Видео:Второй закон КеплераСкачать

Первая и вторая космические скорости

Законы Кеплера применимы не только к движению планет и других небесных тел в Солнечной системе, но и к движению искусственных спутников Земли и космических кораблей. В этом случае центром тяготения является Земля.

В серии книг Дугласа Адамса «‎Автостопом по Галактике»‎ говорится, что летать — это просто промахиваться мимо Земли. Чтобы промахнуться мимо Земли и стать ее искусственным спутником, нужно достичь первой космической скорости 7,9 км/с. Вот как это происходит:

Искусственный спутник Земли — космический летательный аппарат, который вращается вокруг Земли по геоцентрической орбите. Чтобы у него это получалось, аппарат должен иметь начальную скорость, которая равна или больше первой космической.

Первая космическая скорость

v₁ — первая космическая скорость [м/с]

g — ускорение свободного падения на данной планете [м/с 2 ]

R — радиус планеты [м]

На планете Земля g ≈ 10 м/с 2 .

Есть еще вторая и третья космические скорости. Вторая космическая скорость — это скорость, которая нужна, чтобы корабль стал искусственным спутником Солнца, а третья — чтобы вылетел за пределы солнечной системы.

Вторая космическая скорость

v₂ — вторая космическая скорость [м/с]

g — ускорение свободного падения на данной планете [м/с 2 ]

Видео:Как Ньютон дополнил третий закон КеплераСкачать

Законы Кеплера

Гравитационное взаимодействие проще всего наблюдать на космических объектах, обладающих огромной массой. В окружающей нас повседневности действие гравитации между предметами наблюдать сложно, даже если вес предметов составляет сотни и тысячи килограммов. В микромире силы гравитационного взаимодействия малы настолько, что ими можно пренебречь, потому на первый план выходят другие виды взаимодействий между элементарными частицами и атомами.

Гравитация удерживает живых существ и предметы на поверхности планеты, определяет характер движения планет вокруг Солнца. Именно гравитационное воздействие определяет тот факт, что планеты удерживаются вокруг своих звезд, а спутники не могут уйти в космическое пространство и продолжат движение по орбите вокруг своей планеты.

Закон всемирного тяготения или как его еще называют, теория гравитации, был открыт именно при наблюдении за планетами Солнечной системы.

Если наблюдать за движением небесных тел с Земли, то может показаться, что все эти тела движутся по сложной траектории. Так, например, древний ученый Птолемей, первооткрыватель законов движения планет, поместил Землю в центр вселенной и предположил, что другие планеты и звезды движутся вокруг Земли по большим и малым орбитам.

Рисунок 1 . 24 . 1 . Условное изображение наблюдаемого движения Марса на фоне неподвижных звезд.

Законы движения планет, установленные Птолемеем никем из исследователей не оспаривалась на протяжении 14 веков и только в середине 16 столетия была заменена Коперником на гелиоцентрическую систему, согласно которой все планеты движутся вокруг Солнца.

На основе гелиоцентрической системы объяснить траектории движения небесных тел стало намного проще. На основании трудов Коперника и наблюдений за движением планет астронома из Дании Браге немецкий астроном Кеплер сформулировал три эмпирических закона движения планет в Солнечной системе.

Видео:ЕГЭ по Физике 2022. Астрономия. Второй закон КеплераСкачать

Первый закон Кеплера

Планеты Солнечной системы движутся по эллиптическим орбитам. В одном из фокусов такой орбиты находится Солнце.

Мы проиллюстрировали первый закон Кеплера рисунком. На нем изображена планета, чья масса меньше массы звезды. Звезда находится в одном из фокусов эллипса, по которому движется планета. Точкой Р мы обозначили ближайшую к звезде траекторию, носящая название перигелия. Точка А – это наиболее удаленная от звезды точка траектории, которая называется афелием. Большая ось эллипса располагается между точками афелии и перигелия.

Рисунок 1 . 24 . 2 . Эллиптическая орбита планеты массой m M . a – длина большой полуоси, F и F ‘ – фокусы орбиты.

В Солнечной системе все планеты за исключением Плутона движутся по орбитам, которые близки к круговым.

Видео:Второй закон Кеплера наглядноСкачать

Второй закон Кеплера, или закон площадей

Радиус-вектор планеты описывает в равные промежутки времени равные площади.

Рисунок 1 . 24 . 3 . Закон площадей – второй закон Кеплера.

Эквивалентом второго закона Кеплера можно считать закон сохранения момента импульса. На рисунке, расположенном выше, изображен вектор импульса тела p → и составляющие его p r → и p ⊥ → . Площадь, заметенная радиус-вектором за малое время Δ t , приближенно равна площади треугольника с основанием r Δ θ и высотой r :

∆ S = 1 2 r 2 ∆ θ или ∆ S ∆ t = 1 2 r 2 ∆ θ ∆ t = 1 2 r 2 ω ; ( ∆ t → 0 ) .

Здесь ω = ∆ θ ∆ t ; ( ∆ t → 0 ) – угловая скорость.

Момент импульса L по абсолютной величине равен произведению модулей векторов p r → и p ⊥ → :

L = r p ⊥ = r ( m v ⊥ ) = m r 2 ω так как v ⊥ = r ω .

Из этих отношений следует:

∆ S ∆ t = L 2 m , ∆ t → 0

Поэтому, если по второму закону Кеплера ∆ S ∆ t = co n s t , то и момент импульса L при движении остается неизменным.

В частности, поскольку скорости планеты в перигелии v P → и афелии v A → направлены перпендикулярно радиус-векторам r P → и r A → из закона сохранения момента импульса следует:

r P v p = r A u A

Видео:Законы КеплераСкачать

Третий закон Кеплера

Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит.

Формула третьего закона Кеплера имеет вид:

T 2 a 3 = c o n s t или T 1 2 a 1 3 = T 2 2 a 2 3

Точность, с которой третий закон Кеплера выполняется для всех планет, составляющих Солнечную систему, составляет выше 1 % .

На рисунке изображены две орбиты, по которым небесные тела движутся вокруг звезды. Одна из орбит круговая с радиусом R , а другая – эллиптическая с большой полуосью a . Если R = a , то согласно третьему закону Кеплера периоды обращения планет по таким орбитам будут одинаковы.

Рисунок 1 . 24 . 4 . Круговая и эллиптическая орбиты. При R = a периоды обращения тел по этим орбитам одинаковы.

Рисунок 1 . 24 . 5 . Модель законов Кеплера.

Законы Кеплера очень долго были правилами, полученными эмпирически на основе наблюдений за движением небесных тел. Для того, чтобы получить возможность опираться на них в создании рабочих теорий, не хватало теоретического обоснования законов.

Таким обоснованием стало открытие закона всемирного тяготения Исааком Ньютоном:

Закон всемирного тяготения:

где M и m – массы Солнца и планеты, r – расстояние между ними, G = 6 , 67 · 10 – 11 Н · м 2 / к г 2 – гравитационная постоянная.

Ньютон был первым из исследователей, кто пришел к выводу о том, что между любыми телами в космосе действуют гравитационные силы, которые и определяют характер движения этих тел. Частным случаем такого взаимодействия является сила тяжести, воздействующая на тела, расположенные на поверхности и вблизи планет.

Для круговых орбит первый и второй закон Кеплера выполняются автоматически, а третий закон утверждает, что T 2

R 3 , где Т – период обращения, R – радиус орбиты. Отсюда можно получить зависимость гравитационной силы от расстояния. При движении планеты по круговой траектории на нее действует сила, которая возникает за счет гравитационного взаимодействия планеты и Солнца:

ω 2 R = 2 π 2 R T 2 .

Свойство консервативности гравитационных сил позволяет ввести понятие потенциальной энергии. Для сил всемирного тяготения удобно потенциальную энергию отсчитывать от бесконечно удаленной точки.

Потенциальная энергия тела массы m , находящегося на расстоянии r от неподвижного тела массы M , равна работе гравитационных сил при перемещении массы m из данной точки в бесконечность.

Математическая процедура вычисления потенциальной энергии тела в гравитационном поле состоит в суммировании работ на малых перемещениях.

Рисунок 1 . 24 . 6 . Вычисление потенциальной энергии тела в гравитационном поле.

Закон всемирного тяготения применим не только к точеным массам, но и к сферически симметричным телам. Работа ∆ A i гравитационной силы F → на малом перемещении ∆ s i → = ∆ r i → есть:

∆ A i = — G M m r i 2 ∆ r i

Полная работа при перемещении тела массой m из начального положения в бесконечность находится суммированием работ Δ A i на малых перемещениях:

В пределе при Δ r i → 0 эта сумма переходит в интеграл. В результате вычислений для потенциальной энергии получается выражение:

E p = A r ∞ = — G M m r

Знак «минус» указывает на то, что гравитационные силы являются силами притяжения.

Если тело находится в гравитационном поле на некотором расстоянии r от центра тяготения и имеет некоторую скорость v , его полная механическая энергия равна

E = E k + E p = m v 2 2 — G M m r = c o n s t

В соответствии с законом сохранения энергии полная энергия тела в гравитационном поле остается неизменной.

Полная энергия может быть положительной и отрицательной, а также равняться нулю. Знак полной энергии определяет характер движения небесного тела (рис. 1 . 24 . 6 ).

При E = E 1 0 тело не может удалиться от центра притяжения на расстояние r > r m a x . В этом случае небесное тело движется по эллиптической орбите (планеты Солнечной системы, кометы).

Рисунок 1 . 24 . 7 . Диаграмма энергий тела массой m в гравитационном поле, создаваемом сферически симметричным телом массой M и радиусом R .

При E = E 2 = 0 тело может удалиться на бесконечность. Скорость тела на бесконечности будет равна нулю. Тело движется по параболической траектории.

При E = E 3 > 0 движение происходит по гиперболической траектории. Тело удаляется на бесконечность, имея запас кинетической энергии.

Видео:Законы КеплераСкачать

Первая и вторая космические скорости

Законы Кеплера применимы не только к движению планет и других небесных тел в Солнечной системе, но и к движению искусственных спутников Земли и космических кораблей. В этом случае центром тяготения является Земля.

Первой космической скоростью называется скорость движения спутника по круговой орбите вблизи поверхности Земли.

m v 1 2 R 3 = G M m R 3 2 = g m , отсюда v 1 = G M R 3 = g R 3 = 7 , 9 · 10 3 м / с .

Второй космической скоростью называется минимальная скорость, которую нужно сообщить космическому кораблю у поверхности Земли, чтобы он, преодолев земное притяжение, превратился в искусственный спутник Солнца (искусственная планета). При этом корабль будет удаляться от Земли по параболической траектории.

E = m v 2 2 2 — G M m R 3 = 0 , отсюда v 2 = 2 G M R 3 = 2 g R 3 = 11 , 2 · 10 3 м / с .

Мы проиллюстрировали понятие первой и второй космической скорости рисунком. Если скорость космического корабля равна v 1 = 7 . 9 · 10 3 м / с и направлена параллельно поверхности Земли, то корабль будет двигаться по круговой орбите на небольшой высоте над Землей. При начальных скоростях, превышающих v 1 , но меньших υ 2 = 11 , 2 · 10 3 м / с , орбита корабля будет эллиптической. При начальной скорости v 2 корабль будет двигаться по параболе, а при еще большей начальной скорости – по гиперболе.

Рисунок 1 . 24 . 8 . Космические скорости. Указаны скорости вблизи поверхности Земли. 1 : v = v 1 – круговая траектория; 2 : v 1 v v 2 – эллиптическая траектория; 3 : v = 11 , 1 · 10 3 м / с – сильно вытянутый эллипс; 4 : v = v 2 – параболическая траектория; 5 : v > v 2 – гиперболическая траектория; 6 : траектория Луны.

📸 Видео

Движение планет | Законы Кеплера | ЕГЭ Физика | Николай Ньютон. ТехноскулСкачать

А.С. Чирцов | Как из теории гравитации Ньютона получаются законы Кеплера.Скачать