решенные задачи на площадь пирамиды (7 видео)

Содержание

Урок по математике на тему «Площадь поверхности пирамиды. Решение задач»
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Дистанционные курсы для педагогов
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
Другие материалы
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Автор материала
Дистанционные курсы для педагогов
Подарочные сертификаты
Решение задач по теме «Пирамида». 10-й класс
Презентация к уроку
50 задач про пирамиду
Просмотр содержимого документа «50 задач про пирамиду»
🔥 Видео

Видео:Призма и пирамида. Площадь и объем. Вебинар | Математика 10 классСкачать

Урок по математике на тему «Площадь поверхности пирамиды. Решение задач»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Площадь поверхности пирамиды. Решение задач.

Площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей боковых граней этой пирамиды.

Теорема Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды.

Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех её граней.

№ 239. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 5 см, а одна из диагоналей равна 8 см. Найдите боковые ребра пирамиды, если высота её проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 7 см.

Дано:
SABCD – пирамида,
ABCD — ромб,
AB =5 см, АС=8 см,
О – точка пересечения
диагоналей,
SO =7 см – высота
пирамиды.
Найти: SA , SB , SC , SD — ?.

Из ▲ SOC : по теореме Пифагора

SC 2 = SO 2 + OC 2 ,

SC 2 ==.

Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

Из ▲ BOC : ОВ 2 + OC 2 = BC 2 ,
OB 2 =.

ОВ==.

№ 243. Основанием пирамиды DABC является треугольник ABC , у которого АВ=АС=13 см, ВС = 10 см; ребро А D перпендикулярно к плоскости основания и равно 9 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Дано:
ABC – пирамида,
АВ=АС=13 см,
ВС=10 см,
А D ┴(АВС),
А D =9см.

Найти:
S _бок — ? S _полн — ?

(см 2 )

Из ▲ DAB :
по теореме Пифагора

,
см.

Из ▲ D М B :
по теореме Пифагора

,
( см ) .

(см 2 )

,
(см).

S _осн=
(см 2 )

S _полн=__+__=__(см 2 )

Ответ. S _бок=__ см 2 , S _полн=__ см 2 .

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 1009 человек из 78 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Сейчас обучается 311 человек из 70 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 678 человек из 74 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Видео:Пирамида. 11 класс.Скачать

Дистанционные курсы для педагогов

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 549 837 материалов в базе

Другие материалы

24.02.2016
1479
0

24.02.2016
881
1

24.02.2016
486
0

24.02.2016
735
1

24.02.2016
425
0

24.02.2016
3158
4

24.02.2016
554
0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

24.02.2016 4879
DOCX 1 мбайт
76 скачиваний
Рейтинг: 5 из 5
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Фоминых Елизавета Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

На сайте: 5 лет и 11 месяцев
Подписчики: 0
Всего просмотров: 7836
Всего материалов: 5

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:10 класс — Задачи на площади боковой и полной поверхности пирамидыСкачать

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Володин призвал выработать единые нормы организации групп продленного дня

Время чтения: 2 минуты

У детей на портале госуслуг появятся собственные аккаунты

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения определило порядок получения заключений на международные договоры

Время чтения: 1 минута

У 76% российских учителей оклад ниже МРОТ

Время чтения: 2 минуты

Петербургская учительница уволилась после чтения на уроке Введенского и Хармса

Время чтения: 3 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:10 класс — Решение задач на правильную пирамидуСкачать

Решение задач по теме «Пирамида». 10-й класс

Класс: 10

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (517 кБ)

Цели урока:

Образовательные:
- изучить мнемонический прием;
- вывести формулы перехода основных углов в правильных пирамидах;
- научиться применять мнемонический прием для доказательства зависимостей между углами в правильной пирамиде и решения задач.
Развивающие:
- развивать познавательный интерес через формирование навыков исследовательской деятельности учащихся;
- развивать образную память, абстрактное и логическое мышление;
- развивать вычислительные навыки учащихся.
Воспитательные:
- прививать коммуникативные навыки, навыки работы с дидактическим материалом (раздаточный материал, электронный ресурс);
- формировать четкое исполнение действий при выполнении практической работы и при работе в группах.

Оборудование:

компьютер,
проектор,
экран,
интерактивная доска SMART Board,
раздаточный материал

I. Организационный момент

– Откройте, пожалуйста, тетради и запишите число и тему урока: Решение задач по теме «Пирамида». Сегодня на уроке мы с вами при решении задач научимся применять нестандартный прием, который назвали мнемоническим, выведем формулы перехода основных углов в правильных пирамидах и научимся применять их при решении задач.
– Для этого нам необходимо повторить некоторые вопросы из курса геометрии.

II. Актуализация опорных знаний

Устная работа (фронтальный опрос).

Дан прямоугольный треугольник АВС.

Вспомним основные элементы Пирамиды.

Какой многогранник называется пирамидой?
Назовите вершину пирамиды? Основание?
Какая пирамида называется правильной?
Куда проектируется высота правильной пирамиды?
Назовите угол между боковым ребром пирамиды и основанием; Между боковой гранью и основанием; угол между боковыми гранями пирамиды?

Рассмотрим решение задачи из учебника. Внимание на доску.

№ 255. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 8 см, а плоский угол при вершине равен найдите высоту пирамиды.

III. Формирование новых знаний

При решении задачи мы имели дело с треугольниками, которые не лежат в одной плоскости, и, более того, в каждом из них было известно не более двух элементов. Как вы думаете, есть ли в математике более простой способ решения задачи? Я утверждаю, что есть! Действительно, такой способ существует. И у него есть название мнемонический прием решения геометрических задач. Именно с ним я Вас сегодня познакомлю. Итак …
Мнемоника (от греческого – память) – это различного рода приемы, способствующие искусственному запоминанию. Иначе говоря – это искусство запоминания. Уже древние народы и дикари знали уже целый ряд приемов, дававших точки опоры для памяти. Вам так же известны некоторые мнемонические приемы, например запоминание цветов радуги, определение биссектрисы и другие.
Итак, Мнемонический прием для зависимости между углами в правильной пирамиде:

Мнемонический прием:

1. Запишем наименования треугольника, в котором находится неизвестный угол.
2. Из трех букв S, A, O составим различные пары. Получили три отрезка.
3. Зачеркнем тот, который не является общим для треугольников, имеющих известные углы.
4. Добавим по букве, чтобы получить наименование треугольника, включающего один из данных углов:
5. Найдем отрезок, состоящий из общих букв.
6. Для нахождения искомой зависимости разделим числитель и знаменатель на найденный отрезок.

– Сейчас, с помощью этого мнемонического приема, я выведу некоторые зависимости между углами в правильной пирамиде.

1. Зависимость между плоским углом при вершине правильной пирамиды и углом при ребре основания (четырехугольная пирамида)

2. Зависимость между плоским углом при вершине правильной пирамиды и углом при боковом ребре

IV. Формирование первичных навыков

Уважаемые 10-тиклассники. Сейчас, на практической работе, Вы исследуете зависимости между углами в правильной пирамиде, в результате чего каждая группа должна будет получить формулу перехода. Каждая группа имеет свое задание. У вас на столе лежат листы с заданием и мнемоническое правило , которое позволит вам быстро найти необходимую зависимость.

Учащиеся работают в группах. По окончании работы представитель группы вносит полученную формулу перехода в таблицу на слайде.

У каждой группе на столе появилась сигнальная карточка красного цвета. Используя Ее, Вы можете проверить правильность своих рассуждений.

В результате практической работы мы получили таблицу зависимости между углами в правильной пирамиде. На следующем этапе нашего урока мы будем применять полученные формулы при решении задач, а попутно оценим, насколько существенно эти формулы облегчают нам жизнь.
Вернемся к задаче, которая была решена в начале урока. (На экране слайд с решением и за шторкой решение с применением формул перехода)
Другой способ решения

Очевидно, что с помощью формул перехода затруднения при решении задач легко преодолеваются. У вас на столах лежит таблица с формулами перехода не только для треугольной и четырехугольной пирамиды, но и для шестиугольной и n-угольной. Этими формулами можно и нужно пользоваться при решении задач.

Формулы перехода

Рассмотрим применение формул для другой задачи из учебника

Правда, красивое решение?

V. Рефлексия

– Сегодня Вы познакомились с мнемоническим приемом, позволяющим находить зависимости между углами в правильных пирамидах, и получили с помощью мнемонического приема несколько таких зависимостей, и применили их при решении задач.
Решая сложные стереометрические задачи, зачастую возникают затруднения. Они могут возникнуть, в частности, потому, что данные в условии линейные элементы не принадлежат одной плоскости, а, значит, нет такого прямоугольного треугольника, с которого можно было бы начать решение. Однако, с помощью мнемонического приема и формул перехода затруднения легко преодолеваются.

VI. Итоги урока

За работу на уроке оценки получают следующие учащиеся …

VII. Домашнее задание

В качестве домашнего задания я вам предлагаю решить задачу 254 (б, г, д) двумя способами: традиционным и с помощью мнемонического приема (формул перехода).

Видео:10 класс, 33 урок, Правильная пирамидаСкачать

50 задач про пирамиду

Предложены более 50 задач по теме «Пирамида». В каждой задаче указаны ответы, которые позволят учащимся идти далее и получать удовлетворение от своей работы и уверенность в свои силы.

Просмотр содержимого документа
«50 задач про пирамиду»

Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 6, а апофема 6,5. Найдите периметр основания этой пирамиды. Ответ: 20.

Боковая поверхность правильной пирамиды равна 24, а площадь основания равна 12. Под каким углом наклонены боковые грани к основанию? Ответ: 60

Объём правильной четырехугольной пирамиды 48, высота равна 4. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. Ответ: 60.

Высота пирамиды 16. Площадь основания равна 512. На каком расстоянии от основания находится сечение, параллельное ему, если площадь сечения 50. Ответ: 11

В основании пирамиды лежит квадрат с диагональю, равной 6. Одно из боковых ребер перпендикулярно основанию. Большее боковое ребро наклонено к основанию в 45. Чему равен объём пирамиды? Ответ: 36.

В треугольной пирамиде две боковые грани взаимно перпендикулярны. Площади этих граней равны P и Q, а длина их общего ребра равна а. Определите объём пирамиды. Ответ:

Основанием пирамиды служит прямоугольник со сторонами 4 и 6. Каждое из боковых ребер равно 7. Найдите объём пирамиды. Ответ: 48.

В пирамиде плоскость сечения параллельного основанию делит высоту в отношении 1:1. Найдите площадь сечения, если площадь основания равна 60. Ответ: 15

Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое ребро равно 3. Найдите объём пирамиды. Ответ: 4,5

Объём правильной четырехугольной пирамиды равен 20, а ее высота равна 1. Найдите длину апофемы пирамиды. Ответ: 4

Высота правильной треугольной пирамиды В два раза меньше стороны основания. Найдите угол между боковой гранью пирамиды и плоскостью основания. Ответ: 60

Найдите объём правильной треугольной пирамиды, если все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45, а медиана основания равна 6. Ответ: 144

Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 3, боковое ребро составляет с высотой пирамиды угол 30.Найдите объём пирамиды. Ответ: 6

Найдите площадь основания правильной треугольной пирамиды, у которой высота равна 10 , а двугранный угол при стороне основания равен 45. Ответ: 900.

Все боковые грани треугольной пирамиды составляют с плоскостью основания угол 45. Найдите высоту пирамиды, если стороны её основания равны 20,21 и 29. Ответ: 6

В основании пирамиды треугольник со сторонами 7,10 и 13. Высота пирамиды 4. Найдите величину двугранного угла при основании пирамиды, если все боковые грани одинаково наклонены к плоскости основания. Ответ: 60

В основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция, длины оснований которой равны 16 и 4. Найдите высоту пирамиды, если каждая ее боковая грань составляет с основанием угол 60. Ответ: 4

Сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, делит высоту пирамиды в отношении 2:3, считая от вершины. Площадь основания пирамиды равна 360. Найдите площадь ее сечения. Ответ: 57,6

Основание пирамиды – треугольник со сторонами 5,5 и 6, высота пирамиды проходит через центр круга, вписанного в этот треугольник, и равна 2. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. Ответ: 20.

Плоские углы при вершине треугольной пирамиды прямые, боковые ребра пирамиды равны 5,6 и 7. Найдите объём пирамиды. Ответ: 35

Стороны оснований правильной усеченной четырехугольной пирамиды равны 4 и 6. Найдите площадь диагонального сечения, если боковое ребро образует с большим основанием угол, равный 45. Ответ:10

Найдите высоту правильной усеченной четырехугольной пирамиды, стороны оснований которой равны 14 и 10, а диагональ равна 18. Ответ: 6.

В основаниях усеченной пирамиды правильные треугольники со сторонами 2 и 6. Определите высоту этой пирамиды, если ее объём равен 52. Ответ: 12. В

Основанием пирамиды служит ромб со стороной 14 и острым углом 60. Двугранные углы при основании пирамиды по 45. Вычислите объём пирамиды. Ответ: 343.

Площадь основания правильной четырехугольной пирамиды 36, а ее боковая поверхность 60. Найдите объём пирамиды.

В основании пирамиды треугольник со сторонами 13, 14 и 15. Найдите высоту пирамиды, если все высоты боковых граней равны 14. Ответ: 6

В каком отношении делит объём пирамиды плоскость, параллельная основанию, если она делит высоту в отношении 3:2? Ответ:27:98

Основанием пирамиды является ромб со стороны 6 и острым углом 30. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если каждый двугранный угол при основании равен 60. Ответ: 54.

В основании треугольной пирамиды FABC лежит правильный треугольник АВС со стороной, равной , FA = а. Боковые грани пирамиды имеют равные площади. Найдите объём пирамиды. Ответ:

В правильной треугольной пирамиде боковое ребро, равное 6, наклонено к основанию под углом 30. Найдите объём пирамиды. Ответ:

Высота правильной треугольной пирамиды равна 2, а боковая грань образует с плоскостью основания угол 60. Найдите объём пирамиды. Ответ: 24

Найдите объём правильного тетраэдра с ребром, равным а. Ответ: , а=5

Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен 90*. Площадь боковой поверхности пирамиды равна 192. Найдите радиус окружности, описанной около боковой грани пирамиды. Ответ: 8

Угол между боковой гранью и плоскостью основания правильной треугольной пирамиды равен 45. Объём пирамиды равен . Найдите сторону основания пирамиды. Ответ: 2

Основание пирамиды – ромб с диагоналями 6 и 8, высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба и равна 1. Найдите боковую поверхность пирамиды. Ответ: 26

В четырехугольной пирамиде все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 60. В основании ее лежит равнобедренная трапеция, больший угол которой равен 120. Диагональ трапеции является биссектрисой ее острого угла. Высота пирамиды равна 4. Найдите большее основание трапеции. Ответ: 8

Определите объём правильной четырехугольной пирамиды, зная угол равен 30, составленный ее боковым ребром с плоскостью основания, и площадь ее диагонального сечения S= а. Ответ: 2.

Основание пирамиды – правильный треугольник со стороной . Одно из боковых ребер перпендикулярно основанию, а два других наклонены к плоскости основания под углами 60. Найдите площадь большей боковой грани пирамиды. Ответ: 3,75

Основанием пирамиды служит прямоугольник с площадью 81. Две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а две другие образуют с ней углы 30 и 60. Найдите объём пирамиды. Ответ: 243

Найдите объём пирамиды, основанием которой служит равнобедренная трапеция с основаниями 10 и 20, а боковые грани образуют с плоскостью основания двугранные углы, равные 60. Ответ: 500

В основании пирамиды лежит прямоугольный равнобедренный треугольник с гипотенузой с. Каждое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом 45 . Найдите площадь полной поверхности пирамиды. Ответ:

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а. Величина угла, образованного высотой пирамиды с боковой гранью, равна 30. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. Ответ:

Угол между высотой правильной четырехугольной пирамиды и ее боковым ребром равен 60. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если высота ее равна 10. Ответ: 200(3+)

Основание пирамиды – ромб с большей диагональю 12 и острым углом 60. Все двугранные углы при основании пирамиды равны 45. Найдите объём пирамиды. Ответ: 24

Основаниями правильной усеченной пирамиды служат квадраты со сторонами a и b (ab ). Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом а. Определите величину двугранных углов при сторонах оснований. Ответ: arctg(tga)

В треугольной усеченной пирамиде высота равна 10. Стороны одного основания равны 27,29 и 52, а периметр другого основания равен 72. Определите объём усеченной пирамиды. Ответ: 1900

В основаниях усеченной пирамиды лежат прямоугольные треугольники с острым углом 60. Гипотенузы этих треугольников равны 6 и 4. Высота данной пирамиды . Найдите объём ученной пирамиды. Ответ:9,5.

Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 4 и 4; боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 60. Найдите полную поверхность пирамиды. Ответ: 128

Стороны основания правильной четырехугольной усеченной пирамиды относятся, как 3:2. Высота пирамиды равна 3. Боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 60. Найдите объём пирамиды. Ответ:114

Боковое ребро правильной четырехугольной усеченной пирамиды̊ равно и наклонено к плоскости основания под углом 60. Диагональ пирамиды перпендикулярна боковому ребру. Найдите площадь меньшего основания пирамиды. Ответ: 1,5

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O — центр основания, S -вершина, SO = 4, SC = 5. Найдите длину отрезка AC.

В правильной треугольной пирамиде SABC R — середина ребра BC, S — вершина. Известно, что AB = 1, а SR = 2. Найдите площадь боковой поверхности.

В правильной треугольной пирамиде SABC L — середина ребра BC, S — вершина. Известно, что SL = 2, а площадь боковой поверхности равна 3. Найдите длину отрезка AB.

В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M. Площадь треугольника ABC равна 3, MS = 1. Найдите объем пирамиды.

51. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O — центр основания, S -вершина, SO = 4, SC = 5. Найдите длину отрезка AC.

52. В правильной треугольной пирамиде SABC R — середина ребра BC, S — вершина. Известно, что AB = 1, а SR = 2. Найдите площадь боковой поверхности.

53. В правильной треугольной пирамиде SABC L — середина ребра BC, S — вершина. Известно, что SL = 2, а площадь боковой поверхности равна 3. Найдите длину отрезка AB.

54. В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке M. Площадь треугольника ABC равна 3, MS = 1. Найдите объем пирамиды.

55. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 6, а апофема 6,5. Найдите периметр основания этой пирамиды. Ответ: 20.