решение задач площади криволинейной трапеции (5 видео)

Содержание

Задания по теме «Вычисление площади криволинейной трапеции»
Примеры_задач_по теме_»Нахождение площади криволинейной трапеции» методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме
Скачать:
Предварительный просмотр:
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Алгебра и начала математического анализа. 11 класс
🎦 Видео

Видео:Криволинейная трапеция и ее площадь. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Задания по теме «Вычисление площади криволинейной трапеции»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Пример1 . Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: х + 2у – 4 = 0, у = 0, х = -3, и х = 2

Выполним построение фигуры (см. рис.) Строим прямую х + 2у – 4 = 0 по двум точкам А(4;0) и В(0;2). Выразив у через х, получим у = -0,5х + 2. По формуле (1), где f(x) = -0,5х + 2, а = -3, в = 2, находим

S = = [-0,25=11,25 кв. ед

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: х – 2у + 4 = 0, х + у – 5 = 0 и у = 0.

Решение. Выполним построение фигуры.

Построим прямую х – 2у + 4 = 0: у = 0, х = — 4, А(-4; 0); х = 0, у = 2, В(0; 2).

Построим прямую х + у – 5 = 0: у = 0, х = 5, С(5; 0), х = 0, у = 5, D(0; 5).

Найдем точку пересечения прямых, решив систему уравнений:

Для вычисления искомой площади разобьем треугольник АМС на два треугольника АМN и NМС, так как при изменении х от А до N площадь ограничена прямой , а при изменении х от N до С — прямой

Для треугольника АМN имеем: ; у = 0,5х + 2, т. е. f(x) = 0,5х + 2, a = — 4, b = 2.

Для треугольника NМС имеем: y = — x + 5, т. е. f(x) = — x + 5, a = 2, b = 5.

Вычислив площадь каждого из треугольников и сложив результаты, находим:

= 9 + 4, 5 = 13,5 кв. ед. Проверка: = 0,5АС = 0,5 кв. ед.

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

В данном случае требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой y = x 2 , прямыми x = 2 и x = 3и осью Ох(см. рис.) По формуле (1) находим площадь криволинейной трапеции

Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у = — x 2 + 4 и у = 0

Выполним построение фигуры. Искомая площадь заключена между параболой у = — x 2 + 4 и осью Ох.

Найдем точки пересечения параболы с осью Ох. Полагая у = 0, найдем х = Так как данная фигура симметрична относительно оси Оу, то вычислим площадь фигуры, расположенной справа от оси Оу, и полученный результат удвоим: = +4x]кв. ед. 2 = 2 кв. ед.

Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Здесь требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной верхней ветвью параболыy 2 = x, осью Ох и прямыми x = 1иx = 4 (см. рис.)

По формуле (1), где f(x) = a = 1 и b = 4 имеем = ( = кв. ед.

Пример 6 . Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Искомая площадь ограничена полуволной синусоиды и осью Ох (см. рис.).

Имеем — cosx = — cos = 1 + 1 = 2 кв. ед.

Пример 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = — 6х, у = 0 и х = 4.

Фигура расположена под осью Ох (см. рис.).

Следовательно, её площадь находим по формуле (3)

Пример 8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:y = и х = 2. Кривую y = построим по точкам (см. рис.). Таким образом, площадь фигуры находим по формуле (4 )

+ = = + = 1

Пример 9 . Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

Здесь требуется вычислить площадь, ограниченную окружностью х 2 + у 2 = r 2 , т. е. площадь круга радиуса r с центром в начале координат. Найдем четвертую часть этой площади, взяв пределы интегрирования от 0

Пример 10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у= х 2 и у = 2х

Данная фигура ограничена параболой у= х 2 и прямой у = 2х (см. рис.) Для определения точек пересечения заданных линий решим систему уравнений:х 2 – 2х = 0 х = 0 и х = 2

Используя для нахождения площади формулу (5), получим

Пример 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: 7x 2 – 9y + 9 = 0 и 5x 2 – 9y + 27 = 0.

Запишем уравнения парабол в виде у =

Построим эти параболы.

Для нахождения точек их пересечения решим систему.Так как фигура симметрична относительно оси Оу, то найдем половину её площади, взяв пределы интегрирования от 0 до 3, и результат удвоим: ₁ = = = 4 ₁ = 8

Задания для самостоятельной работы

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

1. у = х + 3х и у = 0 2. у = 6х – х и у = х + 4

3.y = x; y = ; y = 0; x = 2; 4.у = х и у = -3х 5 . y = x 2 – 6x +9; y = x 2 + 4x + 4; y = 0;

1. у = х — 4х + 3 и у = 0

2. у = 4 — х и у = х + 2

4. у = х + 2 и у = 6

5. y = x 2 – 6x +9; y = x 2 + 4x + 4; y = 0;

1. у = 8х — 4х и у = 0

2. у = х и у = 4х – 3

3. у = х и у = -3х

4. y =x; y = ; y = 0; x = 2;

5. y = x 2 – 6x +9; y = x 2 + 4x + 4; y = 0;

1. у = х — 6х + 5 и у = 0

2. у = х + 1 и у = 3 – х

3. у = х и у = 2х

Видео:Криволинейная трапеция и ее площадь. 11 класс.Скачать

Примеры_задач_по теме_»Нахождение площади криволинейной трапеции»
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

Данный материал можно использовать как обучающий материал для практических занятий по теме «Вычисление неопределенного интеграла.Площади криволинейных трапеции», в помощь отстающим ученикам или как наглядный материал при закреплении темы.

Видео:Математика без Ху!ни. Определенные интегралы, часть 3. Площадь фигуры.Скачать

Скачать:

Вложение	Размер
ploshchad_krivolineynoy_trapecii.docx	158.85 КБ

Видео:Урок 17. Площадь криволинейной трапеции. Алгебра 11 класс.Скачать

Предварительный просмотр:

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

Решение. Находим точки пересечения заданных линий. Для этого решаем систему уравнений:

Для нахождения абсцисс точек пересечения заданных линий решаем уравнение:

Находим: x 1 = -2, x 2 = 4.

Итак, данные линии, представляющие собой параболу и прямую, пересекаются в точках A (-2; 0), B (4; 6).

Эти линии образуют замкнутую фигуру, площадь которой вычисляем по указанной выше формуле:

По формуле Ньютона-Лейбница находим:

Задача 2: Определить площадь, ограниченную параболой y = x 2 + 1 и прямой x + y = 3.

Решение: Решая систему уравнений

находим абсциссы точек пересечения x 1 = -2 и x 2 = 1.

Полагая y 2 = 3 — x и y 1 = x 2 + 1, на основании формулы получаем

Задача 3. Пусть имеем две функции:

И нам надо найти площадь фигуры, ограниченной этими двумя функциями.
Преобразуем эти функции к следующему виду.

Нанесём их на декартовую систему координат и обозначим нашу фигуру:

Видим по рисунку, что часть нашей фигуры находится над осью абсцисс и часть под ней. Для того, что бы найти площадь той части, что над осью нужно просто найти интеграл от первой функции в границах от 0 до 2. Что бы найти площадь части фигуры, которая расположена под осью абсцисс , надо вычислить интеграл от второй функции (не забудьте про знак минус) в границах от 0 до 3. Но это будет площадь треугольника OAC , видим, что с этого надо ещё вычесть площадь фигуры ABC (это будет интеграл от первой функции в границах от 2 до 3). Поэтому, выходя из этих данных, мы это всё можем записать одним интегралом :

Решив этот интеграл, мы и найдём площадь нужной нам фигуры.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = — x 2 + x + 4 и y = — x + 1.

Найдем точки пересечения линий y = — x 2 + x + 4, y = — x + 1, приравнивая ординаты линий: — x 2 + x + 4 = — x + 1 или x 2 — 2 x — 3 = 0. Находим корни x 1 = -1, x 2 = 3 и соответствующие им ординаты y 1 = 2, y 2 = -2.

По формуле площади фигуры получаем

Видео:ИНТЕГРАЛ | площадь криволинейной трапецииСкачать

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Конспект урока по алгебре и началам анализа по теме: «Вычисление площади криволинейной трапеции»

Конспект урока позволяет проверить умения обучающихся находить первообразные элементарных функций по таблице. Также данный материал помогает объяснить, что называется криволинейной трапецией и как нах.

«Конспект урока по теме: «Интеграл. Площадь криволинейной трапеции»

Конспект занятия по алгебре для 2 курса СПО по теме: «Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции».

Конспект занятия по теме «Интеграл. Площадь криволинейной трапеции»

Конспект занятия для обучающихся 2 курса СПО по теме: «Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции».

Практическая работа по теме «Вычисление площади криволинейной трапеции»

Практическая работа по теме «Вычисление площади криволинейной трапеции». Предлагается 6 вариантов заданий + образец выполнения.

дистанционный урок по теме «Вычисление площади криволинейной трапеции»

Урок предназначен для студентов СПО заочной формы обучения.

Практическое занятие по теме Вычисление площади криволинейной трапеции

Методическое пособие для учащихся.

Конспект урока «Нахождение площадей криволинейных трапеций»

Данный материал — конспект урока закрепления знаний по теме «Нахождений площадей криволинейных трапеций».

Видео:Криволинейная трапеция и ее площадь. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №23.Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его свойства.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Нахождение определенного интеграла

2) Нахождение площади криволинейной трапеции с помощью формулы Ньютона – Лейбница

3) Решение задач, с помощью формулы Ньютона – Лейбница

Формула Ньютона – Лейбница

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

ОрловаЕ. А., СеврюковП. Ф., СидельниковВ. И., СмоляковА.Н.Тренировочные тестовые задания по алгебре и началам анализа для учащихся 10-х и 11-х классов: учебное пособие – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2011.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной и не меняющей на отрезке [а;b] знака функции f(х), прямыми х=а, x=b и отрезком [а;b].

Отрезок [a;b] называют основанием этой криволинейной трапеции

формула Ньютона – Лейбница

Если в задаче требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, то ответ всегда будет положительный. Если требуется, используя чертеж, вычислить интеграл, то его значение может быть любым(зависит от расположения криволинейной трапеции).

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1.Найти площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке