решение примеров площадь криволинейной трапеции (2 видео)

Содержание

11.1.9.2. Площадь криволинейной трапеции. Примеры
Примеры_задач_по теме_»Нахождение площади криволинейной трапеции» методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме
Скачать:
Предварительный просмотр:
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Пособие по теме Площадь криволинейной трапеции
📽️ Видео

Видео:Криволинейная трапеция и ее площадь. 11 класс.Скачать

11.1.9.2. Площадь криволинейной трапеции. Примеры

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y=f (x), снизу — осью Ох, слева и справа прямыми х= a , x= b , находят по формуле Ньютона-Лейбница (ф. Н-Л):

Пример 1. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями: y=4x-x²; y=0 ; x=0 ; x=4 .

Решение. Строим графики данных линий. (рис. 1).
1) y=4x-x² — парабола (вида y=ax²+bx+c). Запишем данное уравнение в общем виде: y=-x²+4x. Ветви этой параболы направлены вниз, так как первый коэффициент а=-1 О′(2; 4). Нули функции (точки пересечения графика с осью Ох) найдем из уравнения:

Выносим х за скобки, получаем: х(4-х)=0. Отсюда, х=0 или х=4. Абсциссы точек найдены, ордината равна нулю — искомые точки: (0; 0) и (4; 0).

2) y=0 — это ось Ох; 3) х=0 — это ось Оy; 4) х=4 — прямая, параллельная оси Оy и отстоящая от нее на 4 единичных отрезка вправо.

Площадь построенной криволинейной трапеции находим по (ф. Н-Л). У нас f (x)=4x-x², a =0 , b =4 .

Кстати, если Вы подсчитаете все целые заштрихованные клетки и добавите к ним половину всех остальных клеток заштрихованной фигуры, то получите приближенное значение искомой площади. Действительно, если единичный отрезок равен одной клетке, то площадь квадратика со стороной, равной 1 клетке, равна 1·1=1 (кв. ед.). Сколько квадратиков — столько квадратных единиц и составляет площадь фигуры.

Пример 2. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

Решение. Строим графики данных линий. (рис. 2).

Видео:Криволинейная трапеция и ее площадь. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Примеры_задач_по теме_»Нахождение площади криволинейной трапеции»
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

Данный материал можно использовать как обучающий материал для практических занятий по теме «Вычисление неопределенного интеграла.Площади криволинейных трапеции», в помощь отстающим ученикам или как наглядный материал при закреплении темы.

Видео:Криволинейная трапеция и ее площадь. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Скачать:

Вложение	Размер
ploshchad_krivolineynoy_trapecii.docx	158.85 КБ

Видео:ИНТЕГРАЛ | площадь криволинейной трапецииСкачать

Предварительный просмотр:

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

Решение. Находим точки пересечения заданных линий. Для этого решаем систему уравнений:

Для нахождения абсцисс точек пересечения заданных линий решаем уравнение:

Находим: x 1 = -2, x 2 = 4.

Итак, данные линии, представляющие собой параболу и прямую, пересекаются в точках A (-2; 0), B (4; 6).

Эти линии образуют замкнутую фигуру, площадь которой вычисляем по указанной выше формуле:

По формуле Ньютона-Лейбница находим:

Задача 2: Определить площадь, ограниченную параболой y = x 2 + 1 и прямой x + y = 3.

Решение: Решая систему уравнений

находим абсциссы точек пересечения x 1 = -2 и x 2 = 1.

Полагая y 2 = 3 — x и y 1 = x 2 + 1, на основании формулы получаем

Задача 3. Пусть имеем две функции:

И нам надо найти площадь фигуры, ограниченной этими двумя функциями.
Преобразуем эти функции к следующему виду.

Нанесём их на декартовую систему координат и обозначим нашу фигуру:

Видим по рисунку, что часть нашей фигуры находится над осью абсцисс и часть под ней. Для того, что бы найти площадь той части, что над осью нужно просто найти интеграл от первой функции в границах от 0 до 2. Что бы найти площадь части фигуры, которая расположена под осью абсцисс , надо вычислить интеграл от второй функции (не забудьте про знак минус) в границах от 0 до 3. Но это будет площадь треугольника OAC , видим, что с этого надо ещё вычесть площадь фигуры ABC (это будет интеграл от первой функции в границах от 2 до 3). Поэтому, выходя из этих данных, мы это всё можем записать одним интегралом :

Решив этот интеграл, мы и найдём площадь нужной нам фигуры.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = — x 2 + x + 4 и y = — x + 1.

Найдем точки пересечения линий y = — x 2 + x + 4, y = — x + 1, приравнивая ординаты линий: — x 2 + x + 4 = — x + 1 или x 2 — 2 x — 3 = 0. Находим корни x 1 = -1, x 2 = 3 и соответствующие им ординаты y 1 = 2, y 2 = -2.

По формуле площади фигуры получаем

Видео:Площадь криволинейной трапецииСкачать

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Конспект урока по алгебре и началам анализа по теме: «Вычисление площади криволинейной трапеции»

Конспект урока позволяет проверить умения обучающихся находить первообразные элементарных функций по таблице. Также данный материал помогает объяснить, что называется криволинейной трапецией и как нах.

«Конспект урока по теме: «Интеграл. Площадь криволинейной трапеции»

Конспект занятия по алгебре для 2 курса СПО по теме: «Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции».

Конспект занятия по теме «Интеграл. Площадь криволинейной трапеции»

Конспект занятия для обучающихся 2 курса СПО по теме: «Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции».

Практическая работа по теме «Вычисление площади криволинейной трапеции»

Практическая работа по теме «Вычисление площади криволинейной трапеции». Предлагается 6 вариантов заданий + образец выполнения.

дистанционный урок по теме «Вычисление площади криволинейной трапеции»

Урок предназначен для студентов СПО заочной формы обучения.

Практическое занятие по теме Вычисление площади криволинейной трапеции

Методическое пособие для учащихся.

Конспект урока «Нахождение площадей криволинейных трапеций»

Данный материал — конспект урока закрепления знаний по теме «Нахождений площадей криволинейных трапеций».

Видео:Урок 17. Площадь криволинейной трапеции. Алгебра 11 класс.Скачать

Пособие по теме Площадь криволинейной трапеции

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НОВОСИБИРСКОЙ ОБЛАСТИ «КУПИНСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ ТЕХНИКУМ»

Для самостоятельной работы студентов

По учебному предмету: МАТЕМАТИКА (включая алгебру и начала математического анализа; геометрию)

Тема: «Площадь криволинейной трапеции»

Специальность: 34.02.01 Сестринское дело Курс: 1

Рассмотрено на заседании предметной цикловой

Методической комиссии по общеобразовательным предметов,

общему гуманитарному и социально-экономическому, математическому и

Протокол № _____ от «_____» _________20____г.

Автор – составитель: преподаватель математики высшей категории Тюменцева О.Н.

Пояснительная записка к методическому пособию

Методическое пособие предназначено для повторения теоретических и практических знаний по теме.

Цель пособия – повторить понятия первообразной функций, таблицы и правил нахождения первообразных элементарных функций, определения криволинейной трапеции и ее площади и подготовиться к занятию по теме « Первообразная и интеграл » .

Данное пособие рекомендовано для студентов первого курса специальности 34.02.01 Сестринское дело. Пособие содержит определения и формулы по теме: Площадь криволинейной трапеции, тест для самоконтроля и критерии оценки теста.

Пособие направлено на формирование навыков самостоятельной работы с учебным материалом, формирование навыков решения задач, формирование и развитие творческого потенциала, повышение интереса к предмету.

Площадь криволинейной трапеции

1. Площадь фигуры, ограниченной сверху графиком функции , снизу – осью , слева и справа – прямыми и .

Пусть функция неотрицательна и непрерывна на отрезке . Тогда, согласно геометрическому смыслу определенного интеграла , площадь криволинейной трапеции , ограниченной сверху графиком этой функции, снизу – осью , слева и справа – прямыми и (Рис.1) вычисляется по формуле:

. (7)

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линией и осью .

Решение: Графиком функции является парабола , ветви которой направлены вниз. Построим ее (Рис. 1). Чтобы определить пределы интегрирования, найдем точки пересечения линии (параболы) с осью (прямой ). Для этого решаем систему уравнений

Получаем: , откуда , ; следовательно, , .

Площадь фигуры находим по формуле (5):

(кв. ед.).

Если функция неположительна и непрерывна на отрезке , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной снизу графиком данной функции, сверху – осью , слева и справа – прямыми и , вычисляется по формуле

. (8)

В случае если функция непрерывна на отрезке и меняет знак в конечном числе точек, то площадь заштрихованной фигуры (Рис. 2) равна алгебраической сумме соответствующих определенных интегралов:

. (9)

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью и графиком функции при .

Решение: Сделаем чертеж (Рис. 4). Искомая площадь представляет собой сумму площадей и . Найдем каждую из этих площадей. Вначале определим пределы интегрирования, решив систему . Получим , . Следовательно:

;

Таким образом, площадь заштрихованной фигуры равна

(кв. ед.).

2. Площадь фигуры, ограниченной линиями — сверху, — снизу, слева прямой , справа прямой .

Пусть, криволинейная трапеция ограничена сверху и снизу графиками непрерывных на отрезке функций и , а слева и справа – прямыми и (Рис. 5). Тогда ее площадь вычисляется по формуле

. (9)

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Решение: Данная фигура изображена на Рис. 7. Площадь ее вычислим по формуле (8). Решая систему уравнений находим , ; следовательно, , . На отрезке имеем: . Значит, в формуле (7) в качестве возьмем x, а в качестве – . Получим:

(кв. ед.).

Более сложные задачи на вычисление площадей решают путем разбиения фигуры на непересекающиеся части и вычисления площади всей фигуры как суммы площадей этих частей.

Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , .

Решение: Сделаем чертеж (Рис. 8). Данную фигуру можно рассматривать как криволинейную трапецию, ограниченную снизу осью , слева и справа – прямыми и , сверху – графиками функций и . Так как фигура ограничена сверху графиками двух функций, то для вычисления ее площади разобьем данную фигуру прямой на две части (1 – это абсцисса точки пересечения линий и ). Площадь каждой из этих частей находим по формуле (4):