решение площади поверхности многогранника

Видео:Площадь поверхности многогранникаСкачать

Площадь поверхности многогранника

Решение площади поверхности многогранника

Задание 8_1. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

решение площади поверхности многогранника

Площадь поверхности многогранника можно вычислить как сумму площадей всех его граней. Причем площади передней и задней граней, равны

решение площади поверхности многогранника,

и вся площадь поверхности равна

решение площади поверхности многогранника

Задание 8_2. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

решение площади поверхности многогранника

Найдем площадь поверхности как площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда со сторонами 3, 3, 5 и вычтем площади двух граней 1х1 прямоугольного параллелепипеда со сторонами 1, 1 и 3 (см. рисунок).

Площадь поверхности большого параллелепипеда, равна

решение площади поверхности многогранника.

Площади двух граней 1х1 малого параллелепипеда, равны:

решение площади поверхности многогранника,

и площадь поверхности фигуры

решение площади поверхности многогранника.

Задание 8_3. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

решение площади поверхности многогранника

Из рисунка видно, что площадь поверхности фигуры будет меньше площади прямоугольного параллелепипеда со сторонами 3, 4 и 5 на площади двух квадратов, размером 1х1, имеем:

решение площади поверхности многогранника.

Задание 8_4. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

решение площади поверхности многогранника

Можно заметить, что площадь поверхности данной фигуры будет в точности совпадать с площадью поверхности прямоугольного параллелепипеда со сторонами 5, 3 и 5 и равна

решение площади поверхности многогранника.

Замечание. Не путайте вычисление объема фигуры и площади его поверхности!

Задание 8_5. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

решение площади поверхности многогранника

Площадь поверхности данной фигуры равна площади поверхности прямоугольного параллелепипеда со сторонами 3, 5 и 4, и равна

решение площади поверхности многогранника.

Замечание. Не путайте вычисление объема фигуры и площади его поверхности!

Задание 8_6. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

решение площади поверхности многогранника

Площадь поверхности данной фигуры можно вычислить как площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда со сторонами 4, 4 и 6 плюс две грани 1х4 площадью 4 (см. рисунок) и минус две грани площадью 2х1 (они вычитаются из оснований). Таким образом, площадь фигуры равна

решение площади поверхности многогранника.

Задание 8_7. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

решение площади поверхности многогранника

Площади нижней и верхней граней равны решение площади поверхности многогранника, площади боковых граней можно вычислить как решение площади поверхности многогранника, площади передней и задней граней соответственно решение площади поверхности многогранникаи еще нужно учесть две площади внутренней нижней и верхней граней решение площади поверхности многогранника. Таким образом, вся площадь поверхности фигуры равна

решение площади поверхности многогранника

Задание 8_8. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

решение площади поверхности многогранника

Площадь поверхности фигуры можно вычислить как площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда со сторонами 4, 3 и 2, минус четыре площади боковых квадратов, размером 1х1. Имеем:

решение площади поверхности многогранника.

Задание 8_9. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

решение площади поверхности многогранника

На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед с вырезом. Площадь поверхности такой фигуры будет равна площади поверхности всего параллелепипеда со сторонами 5, 7 и 1 минус две площади фронтального выреза площадью 2х1=2 и плюс четыре площади внутренних сторон выреза размерами 1х1 и 2х1. Таким образом, вся площадь поверхности многогранника равна

решение площади поверхности многогранника

Задание 8_10. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

решение площади поверхности многогранника

Площадь поверхности многогранника можно найти как сумму площадей двух прямоугольных параллелепипедов со сторонами 5, 4, 3 и 3, 2, 3 минус две площади основания нижнего параллелепипеда площадью 2х3 (две площади, т.к. она будет дважды учтена в большом и малом параллелепипедах). Таким образом, получаем:

решение площади поверхности многогранника

Задание 8_11. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.

решение площади поверхности многогранника

Найдем площадь поверхности фигуры как площадь прямоугольного параллелепипеда со сторонами 2, 2, 1 и вычтем две площади граней 1х1 во фронтальных плоскостях (передней и задней), получим:

решение площади поверхности многогранника

Задание 8_12. Найдите площадь поверхности пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.

решение площади поверхности многогранника

Площадь поверхности данной фигуры можно найти как сумму площадей поверхности 6 кубов минус площадь поверхности одного куба (тот что внутри и эти грани не входят в площадь поверхности), получаем:

решение площади поверхности многогранника

Задание 8_13. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

решение площади поверхности многогранника

Найдем площадь поверхности этого многогранника как сумму площадей поверхности большого (6х6х2) и малого (3х3х4) прямоугольных параллелепипедов и вычтем дважды площадь поверхности соприкосновения граней этих параллелепипедов, которая имеет размер 3х4, получим:

решение площади поверхности многогранника

Задание 8_14. Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

решение площади поверхности многогранника

Площадь поверхности этого многогранника можно найти как сумму площадей поверхности каждого из трех параллелепипедов размерами 2х5х6, 2х5х3 и 2х3х2 минус удвоенные площади соприкосновения этих параллелепипедов, то есть минус удвоенные площади двух граней размерами 3х5 и 2х3 соответственно. В результате получаем площадь поверхности фигуры:

решение площади поверхности многогранника

Задание 8_15. Через среднюю линию основания треугольной призмы, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 37.

решение площади поверхности многогранника

Так как плоскость сечения проведена через среднюю линию, то она делит боковую плоскость пополам. Следовательно, площадь боковой поверхности большей призмы в 2 раза больше площадь боковой поверхности малой призмы и равна 74.

Видео:#110. Задание 8: площадь поверхности составного многогранникаСкачать

#110. Задание 8: площадь поверхности составного многогранника

Решение площади поверхности многогранника

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Площадь поверхности заданного многогранника равна разности площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами 2, 3, 1 и двух площадей прямоугольников со сторонами 2, 1:

решение площади поверхности многогранника

Почему вы вычитаете только 2 площади прямоугольников? их же там 4,верхняя и боковая еще. Поэтому площадь многогранника будет 15

Обратите внимание, что верхняя и боковая «достраиваются» до целого параллелепипеда из исходной фигуры.

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Площадь поверхности заданного многогранника равна разности площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3, 3, 5 и двух площадей квадратов со стороной 1:

решение площади поверхности многогранника

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Площадь поверхности заданного многогранника равна разности площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3, 4, 5 и площади двух квадратов со стороной 1:

решение площади поверхности многогранника

От площади параллелепипеда следует отнять площадь маленького параллелепипеда (5*2+2*1)

Александра, так надо поступать с объемами. С площадями иначе.

Боковая поверхность не изменилась по площади, она просто поменяла форму. А вот от оснований по маленькому квадрату «оттяпали»

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Площадь поверхности заданного многогранника равна площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3, 5, 5:

решение площади поверхности многогранника

Приведем другое решение.

Найдем площадь поверхности многогранника как сумму площадей его граней: горизонтальных, боковых и фронтальных (расположенных спереди и сзади). Рассмотрим горизонтальные грани. Площадь нижней грани равна 5 · 5 = 25. Есть также две верхние грани. Если посмотреть на многогранник сверху, то эти две верхние грани сольются в одну, равную нижней грани. Таким образом, сумма их площадей равна площади нижней грани, то есть 25.

Рассмотрим боковые грани. Площадь левой грани равна 5 · 3 = 15. Есть также две грани справа. Если посмотреть на многогранник справа, то эти две грани сольются в одну, равную левой грани. Таким образом, сумма их площадей равна площади левой грани, то есть 15.

Рассмотрим фронтальные грани. Площадь задней грани равна 5 · 3 = 15. Две передние грани в сумме равны задней грани, таким образом, сумма их площадей тоже равна 15.

Следовательно, площадь поверхности многогранника равна

2 · 25 (горизонтальные грани) + 2 · 15 (боковые грани) + 2 · 15 (фронтальные грани) = 110.

Заметим, что площадь поверхности данного многогранника равна площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами 3, 5, 5. Именно так решена эта задача первым способом.

Видео:Задача 8 ЕГЭ по математике #1Скачать

Задача 8 ЕГЭ по математике #1

Многогранники

Многогранники

Многогранник – это поверхность, составленная из многоугольников, ограничивающая некоторое геометрическое тело.

В данной теме мы рассмотрим составные многогранники (многогранники, состоящие обычно из нескольких параллелепипедов).

Объемы различных многогранников:

  • Призма $V=S_·h$
  • Пирамида $V=/S_·h$
  • Параллелепипед $V=a·b·c$, где $a, b$ и $c$ — длина, ширина и высота.
  • Куб $V=а^3$, где $а$ — сторона куба

Задачи на нахождение объема составного многогранника:

  • Первый способ.
  1. Составной многогранник надо достроить до полного параллелепипеда или куба.
  2. Найти объем параллелепипеда.
  3. Найти объем лишней части фигуры.
  4. Вычесть из объема параллелепипеда объем лишней части.

Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

1. Достроим составной многогранник до параллелепипеда.

Найдем его объем. Для этого перемножим все три измерения параллелепипеда:

2. Найдем объем лишнего маленького параллелепипеда:

Его длина равна $9-4=5$

3. Вычтем из объема параллелепипеда объем лишней части и получим объем заданной фигуры:

  • Второй способ
  1. Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
  2. Найти объем каждого параллелепипеда.
  3. Сложить объемы.

Задачи на нахождение площади поверхности составного многогранника.

— Если можно составной многогранник представить в виде прямой призмы, то находим площадь поверхности по формуле:

Чтобы найти площадь основания призмы, надо разделить его на прямоугольники и найти площадь каждого.

Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

Представим данный многогранник как прямую призму с высотой равной $12$.

Чтобы найти площадь основания, разделим его на два прямоугольника и найдем площадь каждого:

Далее подставим все данные в формулу и найдем площадь поверхности многогранника

— Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.

Задачи на нахождение расстояния между точками составного многогранника.

В данных задачах приведены составные многогранники, у которых двугранные углы прямые. Надо соединить расстояние между заданными точками и достроить его до прямоугольного треугольника. Далее остается воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения нужной стороны.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Задачи на нахождение угла или значения одной из тригонометрических функций обозначенного в условии угла составного многогранника.

Так как в данных задачах приведены составные многогранники, у которых все двугранные углы прямые, то достроим угол до прямоугольного треугольника и найдем его значение по тригонометрическим значениям.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$:

Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

  1. Синусом ($sin$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
  2. Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
  3. Тангенсом ($tg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$$30$$45$$60$
$sinα$$/$$/$$/$
$cosα$$/$$/$$/$
$tgα$$/$$1$$√3$
$ctgα$$√3$$1$$/$

Задачи на рассмотрение подобия фигур.

При увеличении всех линейных размеров многогранника в $k$ раз, площадь его поверхности увеличится в $k^2$ раз.

При увеличении всех линейных размеров многогранника в $k$ раз, его объём увеличится в $k^3$ раз.

🎬 Видео

Задача 8 № 25601 ЕГЭ по математике #4Скачать

Задача 8 № 25601 ЕГЭ по математике #4

Задача 8 ЕГЭ по математике #2Скачать

Задача 8 ЕГЭ по математике #2

СТЕРЕОМЕТРИЯ В ЕГЭ | КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ МНОГОГРАННИКА | ЗАДАНИЕ 5 ЕГЭ 2022 |Скачать

СТЕРЕОМЕТРИЯ В ЕГЭ | КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ МНОГОГРАННИКА | ЗАДАНИЕ 5 ЕГЭ 2022 |

Задача 8 № 25581 ЕГЭ по математике #3Скачать

Задача 8 № 25581 ЕГЭ по математике #3

Площадь поверхности многогранникаСкачать

Площадь поверхности многогранника

ЗАДАНИЕ 2 ЕГЭ (ПРОФИЛЬ). ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ СОСТАВНОГО МНОГОГРАННИКА.Скачать

ЗАДАНИЕ 2 ЕГЭ (ПРОФИЛЬ). ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ СОСТАВНОГО МНОГОГРАННИКА.

8. Найдите площадь поверхности многогранникаСкачать

8. Найдите площадь поверхности многогранника

ЕГЭ.Нахождение площади поверхности многогранникаСкачать

ЕГЭ.Нахождение площади поверхности многогранника

Нахождение площади поверхности многогранникаСкачать

Нахождение площади поверхности многогранника

Нахождение площади поверхности многогранникаСкачать

Нахождение площади поверхности многогранника

🔴 Деталь имеет форму изображённого на рисунке ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

🔴 Деталь имеет форму изображённого на рисунке ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

🔴 Деталь имеет форму изображённого на рисунке ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

🔴 Деталь имеет форму изображённого на рисунке ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Задача 15. Площадь боковой и полной поверхности многогранников | Стереометрия #16 | ИнфоурокСкачать

Задача 15. Площадь боковой и полной поверхности многогранников | Стереометрия #16 | Инфоурок

Стереометрия. ЕГЭ. Найти площадь поверхности многогранникаСкачать

Стереометрия. ЕГЭ. Найти площадь поверхности многогранника

#111. Задание 8: объем составного многогранникаСкачать

#111. Задание 8: объем составного многогранника

ЕГЭ математика 8#9🔴Скачать

ЕГЭ математика 8#9🔴

Геометрия Найдите площадь поверхности многогранника (все двугранные углы прямые).Скачать

Геометрия Найдите площадь поверхности многогранника (все двугранные углы прямые).
Поделиться или сохранить к себе: