равные углы имеют равные площади (7 видео)

Содержание

Урок геометрии по теме «Отношение площадей треугольников, имеющих равный угол». 8-й класс
Равновеликие треугольники
Равновеликие фигуры — свойства, формулы и примеры
Равные многоугольники
Равность правильных фигур
Вычисление площади треугольника
Визуальный способ
📺 Видео

Видео:Площади треугольников с равным углом.Скачать

Урок геометрии по теме «Отношение площадей треугольников, имеющих равный угол». 8-й класс

Разделы: Математика

Класс: 8

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цели урока:

Образовательные:
- сформулировать и доказать теорему об отношении площадей треугольников, имеющих один равный угол;
- применить теорему при решении задач на нахождение площадей многоугольников.
Развивающие: развивать интуицию, умения анализировать условие задачи, логически мыслить, обобщать полученные результаты.
Воспитательные: продолжать воспитывать самостоятельность и самоконтроль.

I. Организационный момент

Сообщается тема урока, формулируются его цели.

II. Актуализация знаний учащихся

1. Устный опрос (фронтальная работа с классом).

Ответьте на вопросы:

1) Какие фигуры называются равносоставленными?
2) Как называются фигуры, имеющие равную площадь?
3) Верно ли, что равные фигуры имеют равные площади?
4) Верно ли, что равносоставленные фигуры имеют равные площади?
5) Верно ли, что разные фигуры имеют равные площади?
6) В треугольнике АВС АВ = 3АС.
— Чему равно отношение высот треугольника, проведенных из вершин В и С?
7) Катеты прямоугольного треугольника 6 см и 8 см. Длина гипотенузы 10 см.
Вычислите высоту, проведенную к гипотенузе.
8) Дана трапеция АВСD с основаниями АВ и СD. Докажите, что:
а) треугольники АВD и ВАС имеют равные площади;
б) треугольники АОD и ВОС имеют равные площади;
9) В треугольнике АВС проведена медиана ВD. Во сколько раз площадь треугольника АВD меньше площади треугольника АВС? Объясните. (Приложение 1)

2. Проверка домашнего задания.

Задача № 40 рабочей тетради. Один учащийся читает решение по своей тетради, остальные обсуждают и проверяют.

На рисунке точка М делит сторону АС треугольника ABC в отношении AM : МС = 2:3. Площадь треугольника ABC равна 180 см 2 . Найдите площадь треугольника AВM.

***Далее проверяется дополнительная задача. Ее решение предлагается воспроизвести одному из учащихся, справившихся с этой задачей.

Дополнительная задача. Точка Е – середина стороны АВ треугольника АВС, а точки М и Н делят сторону ВС на три равные части, ВМ = МН = НС. Найти площадь треугольника ЕМН, если площадь треугольника АВС равна S.

III. Изучение нового материала

Формулирование и доказательство теоремы.

Теорема: Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то отношение площадей этих треугольников равно отношению произведений сторон, заключающих равные углы.

3. Анализируем условие теоремы.

– Сформулируйте что дано в данной теореме: сколько треугольников рассматривается, какое условие накладывается на них?
Записываем условие теоремы:

– Сформулируйте заключение данной теоремы.
– Что называется отношением двух величин?
– О каких отношениях идет речь в теореме?
– Произведения каких сторон треугольников будем рассматривать, учитывая, что 2

Задача 2. Дано: 2 Найти: S_KMN.

Задача 3. (с записью в тетради). Дано: ОА=8см; ОВ=6см; ОС=5см; S_АОВ=36см 2 . Найти S_COD

V. Итог урока

Подвести итог урока и оценить работу учащихся.

Видео:Все квадраты имеют равные площади. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Равновеликие треугольники

Равновеликие треугольники — это треугольники, которые имеют одинаковую площадь.

Равновеликие треугольники могут быть равными (так как равные треугольники имеют равные площади), но также могут иметь разные стороны и разные углы.

Например, треугольники ABC и MKF — равновеликие, так как их площади равны.

Можно заметить, что если сторону треугольника увеличить в k раз, а высоту, проведенную к этой стороне, уменьшить в k раз, то получим треугольник, равновеликий данному.

Равновеликие треугольники в треугольнике

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

Равновеликие треугольники в трапеции

При пересечении диагоналей в произвольной трапеции ABCD образуется три пары равновеликих треугольников:

1) ∆ABD и ∆ACD,

1) Проведём в треугольниках ABD и ACD высоты BH и CF.

BK=CF (как высоты трапеции), следовательно,

Так как площади треугольников ABD и ACD равны (по доказанному), то и

Таким образом, треугольники , образованные боковыми сторонами и диагоналями трапеции, имеют равные площади.

Видео:Отношение площадей треугольников с равным угломСкачать

Равновеликие фигуры — свойства, формулы и примеры

Видео:№45. Градусные меры двух углов равны. Равны ли сами углы?Скачать

Равные многоугольники

По определению равные фигуры должны быть во всём одинаковыми, включая площадь, длину сторон, размер углов и другие параметры. Чтобы рассмотреть всё из них, уйдёт много времени, да это и не нужно, ведь они взаимозависимы. Хорошим примером будет самый простой многоугольник — треугольник. Существует несколько правил, по которым можно определить, равны ли 2 треугольника между собой или нет:

По трём сторонам.
По стороне и двум прилегающим к ней углам.
По двум сторонам и углу между ними.

Нельзя путать первое условие с тремя углами. Ведь если в треугольнике равны 3 угла, они необязательно будут равными, но будут подобными.

Названия условий достаточно точно описывают критерии, по которым можно определить одинаковые 2 треугольника или нет. Из них следует, что необязательно знать все параметры: часто хватает только нескольких из них для определения «равности».

В большинстве случаев определить одинаковость других фигур гораздо сложнее, нежели треугольников. К счастью, чаще всего в школьной геометрии такой класс задач не рассматривают или даются дополнительные данные, помогающие с решением.

Например, доказательство «равности» для четырёхугольника сложнее, да и почти не встречается. Но если по условию сказано, что четырёхугольник не произвольный, а имеет прямые углы, задача становится проще. В таком случае рассматривается прямоугольник. А для него достаточно, чтобы 2 не противолежащие стороны были равны.

Если указано ещё и условие, что прямоугольник является квадратом, достаточно указать, что у двух таких фигур совпадает по длине одна сторона и уже этого будет достаточно.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Равность правильных фигур

Частным и самым простым для сравнения является случай, когда многоугольник по условию правильный. Так называется фигура с одинаковыми сторонами и углами. Например, равносторонний треугольник и квадрат. Важно не забывать проверить равны ли углы, так как не каждая фигура правильная. Тот же ромб по определению имеет 4 совпадающие по длине стороны, но разные углы. При сравнении правильных многоугольников достаточно указать, что, хотя бы одна сторона фигуры равна стороне у другой. Это будет достаточное условие для доказательства «равности».

Самым простым и наглядным способом сверки двух фигур будет не геометрический с помощью правил, а путём наложения рисунков друг на друга. Разумеется, что он не претендует на точность, но изобразить параллелограмм и наложить его на другой нагляднее, чем сравнивать, например, углы. Понятно, что так можно только ознакомиться с концепцией «равности» и показать, какие фигуры называются равными, для упрощения в дальнейшем решения задач, но доказывать что-либо нельзя, ввиду неточности метода.

Если при сравнении двух тел оказывается, что их площади равны, такие тела (многоугольники) являются равновеликими. Как и в случае с прошлым, это определение звучит несложно. Проблемы могут начаться непосредственно при вычислении площадей. Самый простой многоугольник — треугольник. Для вычисления его площади существует множество способов.

Видео:Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой, развернутый уголСкачать

Вычисление площади треугольника

Чаще всего приходится работать с прямоугольными треугольниками. Их площадь вычислить несложно — это полупроизведение катетов (сторон, между которыми лежит прямой угол). Таким образом, даже если стороны двух фигур по длине разные, но их произведение равно, они равновеликие. Например, треугольник с катетами 4 и 4 равен по площади многоугольнику с катетами 16 и 1. Так как их полупроизведение, а значит и площадь равна 8.

Если же треугольник произвольный (то есть не является частным случаем — прямоугольным, равнобедренным или равносторонним), можно воспользоваться одной из 5 формул, позволяющих вычислить его площадь.

По двум сторонам и углу между ними.
По стороне и высоте, проведённой к ней.
По трём сторонам и полупериметру.
По полупериметру и радиусу вписанной окружности.
По трём сторонам и радиусу описанной окружности.

То, какую формулу использовать, будет зависеть от данных, предоставленных в задаче. Иногда придётся проводить дополнительное построение, например, провести высоту или использовать свойства, что биссектрисы пересекаются в центре вписанной окружности. Если не даны все 3 стороны, использовать третью формулу не получится.

Важно понять, что фигуры могут быть разными по количеству углов, но всё равно считаться равновеликими — в учёт идёт только площадь, остальные параметры не важны. Например, прямоугольный треугольник с катетами 2 и 4 будет визуально казаться больше, чем квадрат со стороной 2, но их площади совпадают и равны 4 (площадь прямоугольника считается как произведение прилежащих сторон друг на друга). По определению это делает их равновеликими.

Видео:Теоремы об отношениях площадей треугольников, имеющих равные основания, высоты и углы.Скачать

Визуальный способ

Существует также наглядный, но неточный способ. Нужно взять листок в клеточку и нарисовать на нём многоугольники. Если рисунок получился большой — не страшно, так будет только проще в дальнейшем. Следующий шаг — посчитать количество клеток, которое заняла каждая фигура и сравнить. Если оно равно, равновеликость доказана. Опять же метод не точный, но для введения в концепцию площадей и их «равности» подойдёт.

Иногда встречается словосочетание «равносоставленная фигура». Такими называют произвольные многоугольники, которые можно составить друг из друга путём разрезания одного из них на одинаковые объекты и перекладывания. Например, если прямоугольник 4 на 1 нарезать на одинаковые части — квадраты 1 на 1, то из полученных маленьких квадратов можно составить один большой со стороной 2. Но это не более чем забавное свойство некоторых фигур и в геометрии фактически почти не используется.