расчет площади методом монте карло (3 видео)

Содержание

Метод Монте-Карло вычисления площадей фигур и его реализация в среде Delphi
Расчет площади пересечения окружностей методом Монте-Карло
Обоснование
Реализация задачи на JavaScript
Пара гвоздей в метод Бутстрапа
Метод Монте-Карло – имитационное моделирование, алгоритм
Что такое метод Монте-Карло
Использование метода Монте Карло для вычисления площади фигуры
Алгоритм вычисления площади фигуры с помощью метода Монте Карло
🎦 Видео

Видео:Реализация метода Монте Карло расчет площади круга программаСкачать

Метод Монте-Карло вычисления площадей фигур и его реализация в среде Delphi

В начале урока рассказываю идею метода. Ребята, сегодня мы рассмотрим интересный метод приближенного вычисления площадей фигур – метод Монте – Карло. Пусть у нас есть какая – нибудь фигура на плоскости, площадь которой ( S_fig ) нам необходимо найти. Ограничим ее другой фигурой, площадь которой ( S_total ) мы можем легко вычислить. Например, прямоугольником АСDB со сторонами, параллельными координатным осям (см. рис. 1). И пусть про любую точку прямоугольника мы можем быстро узнать, попадает эта точка внутрь фигуры, площадь которой мы ищем, или нет.

А теперь начнем опыт – будем бросать на бумагу зерна случайным образом (вообще – то это нелегко сделать, чтобы обеспечить случайность). Когда нам покажется, что зерна почти полностью покрыли бумагу, посчитаем, сколько всего зерен на прямоугольнике (пусть их число N_total ) и сколько из них на фигуре ( N_fig ). Ясно, что число зерен, попавших внутрь фигуры, пропорционально ее площади: больше площадь – больше зерен, меньше площадь – меньше зерен. Поэтому, поделив количество зерен , попавших внутрь фигуры , на количество всех зерен в прямоугольнике, мы сможем найти, какую часть площади прямоугольника занимает фигура:

Промоделируем этот опыт на ЭВМ. Предположим, нам надо найти площадь фигуры ограниченной сверху кривой Y = F(X), а снизу – осью абсцисс. Пусть Y = cos(X), а Х I [– p /2, p /2] (см. рис. 2). Ограничим нашу фигуру прямоугольником АСDB, его площадь равна p .

Из чего должен состоять алгоритм:

1. Бросание зерна – бросание случайной точки, координаты X и Y которой случайны, причем Х должна меняться от – p /2 до p /2, а Y – от 0 до 1. И в этих интервалах X и Y должны появляться с одинаковой вероятностью в любой точке этих отрезков, т.е. X и Y должны быть равномерно распределены по осям. Тут надо напомнить ребятам, как получить равномерно распределенное случайное вещественное число на интервале [А, В]:

Х = random* ( B – A) + A

2. Надо определить, куда попала точка – под кривую или выше нее. И вести подсчет N_fig. Условие попадания точки под кривую: Y ? sin (X).

3. Повторить пп.1 и 2 столько раз, чтобы получить желаемую точность результатов.

Дети без труда напишут программу по данному алгоритму (на практическом занятии). И после этого наступает момент разочарования. Сухие цифры.

Предложение учителя: давайте создадим проект в Delphi, который наглядно демонстрировал бы работу метода Монте – Карло. Разработаем интерфейс программы. Тут ребята сами предлагают несколько вариантов оформления проекта, один из которых представлен на рис. 3.

Разместим на форме следующие компоненты:

Edit – окно редактирования для ввода общего количества испытаний (бросков зерен) – N_total;

Button – кнопка для запуска работы метода Монте – Карло;

Panel – панель для вывода посчитанной площади фигуры;

(все вышеперечисленные компоненты расположены на вкладке Standart Палитры компонентов)

Image – для вывода точек, попавших в искомую область (компонент расположен на вкладке Additional Палитры компонентов).

Если необходимо, надо напомнить ребятам некоторые свойства и методы выбранных компонентов (это может быть и домашним заданием предыдущего урока, чтобы не терять время на “воспоминания”) .

Свойство Text – содержит текст, который пользователь набирает в окне Edit. Этот текст надо преобразовать в число N_total. Для этого в Delphi есть необходимая функция StrToInt:

N_total = StrToInt (Edit1.Text).

Свойство Caption – содержит текст, который выводится на панель. Чтобы вывести полученное число S_fig на панель, мы должны преобразовать его в строку S с помощью процедуры Str:

а потом вывести эту строку на панель следующим образом:

Panel1.Caption := ‘Площадь фигуры = ‘ + S

Свойства Height и Width – соответственно высота и ширина компонента;

Свойство Canvas – отводит канву (место) для рисования на компоненте Image;

FillRect(ClientRect) – закрашивает область клиента компонента Image каким – либо цветом

(по – умолчанию – белым), т.е. стирает предыдущую картинку;

MoveTo(X, Y) – перемещает перо в точку с координатами X, Y без проведения линии (координаты задаются в пикселях);

LineTo(X, Y) – проводит линию из текущей точки в точку с координатами X, Y;

Pixels[I, J] – содержит цвет точки с координатами I, J.

У кнопки (компонент Button) мы будем обрабатывать событие onClick (событие нажатие кнопки). Т.е. вышеописанный алгоритм мы программируем в процедуре Button1Click.

Тут учитель задает вопрос классу: “ Какая проблема возникает при выводе точки на экран (на компонент Image)?” Ответ: расчетные координаты очень малы (0 ? Y ? 1,меньше пикселя, -p /2 ? X ? p /2); а если взять другую кривую Y = F(X), они могут оказаться слишком большими (больше размера компонента Image). Поэтому, при выводе значений функций (графиков) на экран монитора, необходимо преобразовывать расчетные координаты в графические с учетом дискретности растровой сетки монитора, а также предусмотреть возможность автоматического масштабирования функции (графика) по осям координат. Для этого желательно создать отдельную подпрограмму.

Для полного размещения функции (графика) в расчетной области (это область компонента Image) необходимо определить X_min, X_max, Y_min, Y_max – минимальные и максимальные значения по X и по Y соответственно. X_min =А, X_max = В. Как найти Y_min, Y_max.

Коллективно обсуждается следующий алгоритм:

1. Разобьем интервал [А, В] по Х на N равных частей и определим массивы значений аргумента и функции X[i] и Y[i] = F(X[i]), где I = 1..N;
2. Определяем наибольшее Y_max и наименьшее Y_min значения функции в заданном интервале изменения аргумента;
3. Находим коэффициенты масштабирования Kx, Ky при построении графика в заданной области;
4. Т.к. коэффициенты масштабирования Kx, Ky могут отличаться, то выводимый график может искажаться. Устраняем искажения графика;
5. Преобразуем расчетные координаты точки X, Y в графические Xg, Yg. С учетом того, необходимости “переворота” оси Y, которая в координатах монитора направлена сверху вниз.

Листинг программы, реализующей данные алгоритмы представлен в конце статьи. Результат работы программы при разном количестве испытаний представлен на рис. 3, 4.

Задания для самостоятельной работы:

1. Применить метод Монте – Карло для приближенного вычисления площади фигуры, ограниченной сверху кривой Y = sin (X), при Х I [ 0, p ];
2. Применить метод Монте – Карло для приближенного вычисления числа p . Подсказка: рассмотреть круг единичного радиуса с центром в т. (1, 1). Его площадь и будет равна p .
3. Применить метод Монте – Карло для приближенного вычисления площади фигуры, ограниченной сверху кривой Y = sin (X), при Х I [ 0, 2p ];
4. Применить метод Монте – Карло для приближенного вычисления площадей фигур, представленных на рис. 5 – 7.

5. Доработать проект:

а) организавать проверку правильности ввода информации в поле Edit (чтобы вводились только целые числа);
б) разметить оси и подписать числовые значения.

На последующих уроках, на которых предполагается изучение тем “Вычисление площадей (интегралов) методом трапеций и методом прямоугольников”, можно предложить ребятам доработать проект, поместив на форму дополнительные компоненты Image, Button, Edit, Panel (для каждого численного метода – свои). В окно компонента Edit пользователь будет вводить количество разбиений интервала [А, В] по Х. Таким образом, ребята смогут сравнить и наглядно увидеть работу всех трех численных методов.

unit Monte;
interface
uses
Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,
Dialogs, StdCtrls, ExtCtrls, Buttons;
type
TForm1 = class(TForm)
Panel1: TPanel;
BitBtn1: TBitBtn;
Edit1: TEdit;
Label1: TLabel;
Image1: TImage;

const A = -Pi/2.0; B = pi/2.0; n = 1000;

var
Form1: TForm1;
N_total:longint;
implementation

Function FUNC(x:real):real;
begin
Func:=Cos(x);
end;

Procedure Graphic( var right, down: integer;
var X_min, X_max, Y_min, Y_max, Kx, Ky: real);
type arr=array[1..n] of real;
var
X, Y: arr; dx: real;
i: integer;
begin
dx:=(B-A)/(n-1);
for i:=1 to n do begin X[i]:=A+dx*(i-1);
Y[i]:=FUNC(X[i]);
end;

X_max:=B; X_min:=A;
Y_max:=Y[1]; Y_min:=Y[1];
for i:=2 to n do begin
if Y_max Y[i] then Y_min:=Y[i];
end;

Видео:Вычисление числа ПИ методом Монте-КарлоСкачать

Расчет площади пересечения окружностей методом Монте-Карло

Эта статья родилась как логическое продолжение пятничного поста о методе Бутстрапа, а особенно, комментариев к нему. Не защищая метод Бутстрапа, стоит уделить внимание методам Монте-Карло. Здесь я хочу поделиться своим опытом применения Монте-Карло в одной из своих практических задач, а также обоснованием законности этого применения.

Итак, моя задача заключалась в необходимости вычисления площади фигуры, являющейся пересечением окружностей, с последующей реализацией на языке JavaScript. Площадь под графиком – это интеграл. Интегрирование методом Монте-Карло достаточно широко известно, но, как многие верно заметят, его применение требует некоторого обоснования. За подробностями прошу под кат.

Обоснование

Задача расчета площади пересечения двух окружностей является тривиальной геометрической задачей (координаты центров окружностей и их радиусы нам известны). Площадь пересечения двух окружностей – это сумма площадей соответствующих сегментов этих окружностей. Есть решения для расчета площади пересечения двух, трех, четырех окружностей в различных частных случаях.

А вот решения общего случая для пересечения даже трех окружностей уже далеко не так тривиальны. В процессе поиска я нашел даже исследования по расчету площади пересечения N окружностей, однако они настолько же интересны, насколько и сложны.

Здесь на сцену выходит метод Монте-Карло. Благодаря современным компьютерным мощностям этот метод позволяет провести большое количество статистических испытаний, на основе результатов которых делается обобщение.

Итак, алгоритм расчета площади любой фигуры методом Монте-Карло сводится к следующему:

Фигура вписывается в прямоугольник. Координаты сторон прямоугольника известны, значит, известна его площадь.
Псевдослучайным образом внутри прямоугольника генерируется большое количество точек. Для каждой точки определяется, попала ли точка внутрь исходной фигуры или нет.
В результате площадь исходной фигуры вычисляется исходя из обычной пропорции: отношение количества точек, попавших в фигуру, к общему количеству сгенерированных точек равно отношению площади фигуры к площади ограничивающего ее прямоугольника.

Последняя проблема, которую надо решить, заключается в том, что каким-то образом необходимо определять, попала ли точка внутрь исходной фигуры. В моем случае данная задача решается достаточно просто, поскольку моя фигура состоит из окружностей, координаты центров и радиусы которых известны.

Реализация задачи на JavaScript

Пара гвоздей в метод Бутстрапа

Если говорить именно о методе Бутстрапа, то мое личное мнение заключается в том, что случайная генерация набора данных по имеющемуся набору в общем случае не может служить для оценки закономерностей, поскольку сгенерированная информация не является достоверной. В общем, это же, только более умными (и нередко более резкими) словами, говорят и многие авторы, например, Орлов в своем учебнике по Эконометрике.

Видео:МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО. КАК ВЫЧИСЛИТЬ ПЛОЩАДЬ КЛЕНОВОГО ЛИСТА?Скачать

Метод Монте-Карло – имитационное моделирование, алгоритм

Одним из инструментов в области имитационного моделирования является способ решения задач с использованием эксперимента со случайными числами, который носит название метода Монте-Карло. Область применения этого метода и его алгоритм описаны в данной статье.

Видео:Расчёт числа Пи методом Монте-КарлоСкачать

Что такое метод Монте-Карло

Метод Монте-Карло относится к группе численных методов решения задач, в условиях которых присутствует элемент неопределенности. Он позволяет получить приближенные результаты на множестве входных значений, которые подбираются произвольно путем генерации случайных чисел.

Название этого метода выбрано в честь города Монте-Карло, известного своими казино. Рулетка в казино – это своего рода генератор случайных чисел. Этот метод впервые был описан в 1949 году в совместной работе математиков Николаса Метрополиса и Станислава Улама. Известно, что название придумал Н. Метрополис в честь одного из своих родственников, который был азартным игроком и частым посетителем казино.

Видео:RuleOfThumb - Метод Монте-КарлоСкачать

Использование метода Монте Карло для вычисления площади фигуры

Простым примером иллюстрации применения данного метода является способ определения площади фигуры сложной формы, когда контуры объекта не образуют геометрической формы, для которой существует готовая формула для расчета.

Рис. 2. Фигура сложной формы.

Чтобы вычислить площадь S такой фигуры, ее вписывают в квадрат стороной a. Затем, случайным образом выбирают точки внутри квадрата. Причем точки могут попадать как внутрь исследуемой фигуры сложной формы, так и вне ее.

Чем большую площадь занимает фигура внутри квадрата, тем чаще в нее будут попадать точки. Точки, попавшие внутрь фигуры, обозначают буквой m, а все выбранные точки внутри квадрата – буквой n.

Здесь проявляется закономерность: чем больше точек в эксперименте задействовано, тем с большей вероятностью можно утверждать, что процент точек, содержащихся в исследуемой фигуре стремится к отношению площади фигуры к площади квадрата. Математически это можно записать следующим образом: s=a*a*(m/n).

Таким образом, получен некоторый способ определения площади фигуры произвольной формы с использованием метода статистических испытаний. Модели для вычисления площади различных фигур сложной формы, сформированные этим способом, будут отличаться математическими описаниями фигур.

В теории вероятностей и математической статистике действует закон больших чисел, согласно которому результат эксперимента окажется свободным от случайных воздействий только в случае большого количества случайных факторов, то есть будет прослеживаться устойчивая закономерность. Проще говоря, чем больше число испытаний, тем точнее будет результат.

Видео:Метод Монте-КарлоСкачать

Алгоритм вычисления площади фигуры с помощью метода Монте Карло

Определим площадь фигуры, ограниченной уравнениями y = x^2, y = 0 и x = 1.

Составим модель: площадь искомой фигуры впишется в квадрат. Если значения координат x и y принадлежит диапазону [0;1], то точка принадлежит квадрату. Если выполняется система неравенств 0 Что мы узнали?

Одним из способов построения моделей является метод статистических испытаний, носящий название Метода Монте Карло. Важным условием применения статистических методов является проведения большого количества испытаний путем генерации случайных входных параметров. С помощью метода Монте Карло можно вычислить площадь фигуры произвольной формы.