прямоугольный параллелепипед площадь поверхности призмы

Видео:Площадь поверхности призмы. 11 класс.Скачать

Прямоугольная призма. Формулы длин диагоналей, площади поверхности и объема

Стереометрия является разделом геометрии, который изучает разные свойства фигур в пространстве трехмерной системы координат. Одной из таких фигур является прямоугольная призма. Что она собой представляет, и какие свойства для нее характерны, рассмотрим в данной статье.

Видео:КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА? Примеры | МАТЕМАТИКА 5 классСкачать

Призма прямоугольная в стереометрии

Каждый человек знаком с этой совершенной геометрической фигурой. Под ней понимают объемный объект, который состоит из шести прямоугольников в общем случае, причем все они попарно равны. Получить в пространстве эту призму несложно. Необходимо взять произвольный прямоугольник и перенести его параллельно самому себе вдоль отрезка, перпендикулярного исходному прямоугольнику. В результате получится фигура, показанная ниже на рисунке.

Вам будет интересно: Кто придумал двигатель внутреннего сгорания? Ключевые фигуры

Прямоугольная призма также называется параллелепипедом. Если ее основание будет квадратом, то она станет правильной призмой, у которой боковые прямоугольники будут равны между собой. Если у правильной призмы сторона основания совпадет с высотой (длиной ребра бокового), тогда мы получим фигуру куб.

Видео:Прямоугольный параллелепипед. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипедаСкачать

Элементы фигуры

Речь идет о геометрических элементах, из которых состоит рассматриваемая призма. Первое, что бросается в глаза при первом взгляде на фигуру — это ее грани. Как было отмечено, у нее их шесть. Две одинаковые грани образуют основания прямоугольной призмы, четыре оставшиеся составляют ее боковую поверхность. Все грани являются или прямоугольниками, либо квадратами.

Следующий важный элемент фигуры — это ребра. Призма имеет 12 ребер, причем 8 из них принадлежат основаниям. Оставшиеся четыре ребра являются боковыми. Их длина равна высоте фигуры.

Наконец, третьим важным элементом изучаемой призмы являются ее вершины. В отличие от пирамиды или конуса, призма не имеет выделенной вершины. Все они у нее являются равноправными. Их количество равно восьми.

Как видно из представленной количественной характеристики элементов прямой прямоугольной призмы, для их чисел справедлива теорема Эйлера:

число ребер = число сторон + число вершин — 2 =>

Видео:Площадь поверхности параллелепипедаСкачать

Диагонали фигуры

Диагонали прямоугольной призмы бывают двух видов:

• те, которые расположены в плоскости граней фигуры;
• те, что находятся в объеме.

Если обозначить буквами a, b и h длины сторон основания и длину бокового ребра, соответственно, тогда для длины диагоналей первого типа можно записать следующие равенства:

Диагональ d1 принадлежит основаниям, а диагонали d2 и d3 лежат в плоскостях боковых прямоугольников. Очевидно, что записанные формулы следуют из теоремы Пифагора.

Что касается диагоналей второго типа (объемных), то любая прямоугольная призма имеет четыре таких диагонали. Тем не менее их длины равны между собой. Формула для определения длины объемной диагонали записывается в следующем виде:

Если вычислять диагональ d4 для куба, то можно записать следующее выражение, которое получается из предыдущего:

При этом, все диагонали граней куба будут равны друг другу, и их длины вычисляются так:

Длина объемной диагонали всегда больше длин диагоналей сторон.

Видео:Математика 5 класс (Урок№31 - Прямоугольный параллелепипед.)Скачать

Определение площади поверхности

Каждый школьник знает, что для удобного определения площади поверхности, которой обладает любая объемная фигура, следует сделать ее развертку на плоскости. Прямоугольная призма не является исключением. Ее развертку сделать просто, для этого следует отрезать два основания от фигуры, а затем, разрезать ее вдоль одного из боковых ребер. Развернув грани боковой поверхности, мы получим следующую картину.

Развертка представляет собой шесть прямоугольников трех видов. Обозначим стороны основания буквами a и b. Высоту фигуры обозначим h. Тогда площадь одного основания будет равна:

Площади двух разных боковых граней равны:

Поскольку параллелепипед имеет по паре одинаковых граней, формулы площадей для которых записаны, то площадь полной поверхности фигуры S будет равна:

S = 2*(So + S1 + S2) = 2*(a*b + a*h + b*h).

Формула для S может быть упрощена, если прямоугольная призма обладает дополнительной симметрией. Например, если стороны ее основания равны (a = b), тогда для S можно записать такое выражение:

Это выражение следует из предыдущей формулы. Соответственно, если высота и длина основания равны (h=a), то мы получаем куб, площадь поверхности которого составит:

Заметим чем выше симметрия параллелепипеда, тем меньшее число линейных параметров необходимо знать, чтобы вычислить величину S.

Видео:5 класс, 21 урок, Объемы. Объем прямоугольного параллелепипедаСкачать

Объем призмы прямоугольной

Изучаемая фигура состоит из шести граней, которые ограничивают пространственный объем. Он является объемом самой фигуры. Чтобы его рассчитать, можно применить универсальную формулу для всех призм и цилиндров. Она имеет следующий вид:

Поскольку основание изучаемой фигуры является прямоугольником, а ее высота равна длине ребра бокового, то объем призмы прямоугольной будет равен:

Полезно также привести формулы для правильной призмы с квадратным основанием и для куба, их объемы рассчитываются следующим образом:

для правильной призмы: V = a2*h;

Как и для площади, для определения объема необходимо знать от 1 до 3 линейных параметров в зависимости от симметрии параллелепипеда.

Видео:5 класс, 20 урок, Прямоугольный параллелепипедСкачать

Презентация на тему «Площадь поверхности призмы»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Практикум №2 по решению
стереометрических задач
(базовый уровень)

Задания №13 и №16
базового уровня
с прямоугольным параллелепипедом

ВСПОМНИМ
Параллелепипед- это призма, основания которой – параллелограммы. Прямоугольный параллелепипед –это прямой параллелепипед, в основании которого прямоугольник
Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны
Диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам
Боковые ребра прямоугольного параллелепипеда перпендикулярны его основаниям
У прямоугольного параллелепипеда все грани- прямоугольники
У прямоугольного параллелепипеда все диагонали равны
V = a·b·c; V =S ocн.·h; S ocн.= а·в; Sп.пов. = 2(ab+bc+ac);
d²= a² + b² + c²;

Задача №1
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания, равной 20 см, налита жидкость. Для того чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём детали, если уровень жидкости в баке поднялся на 20 см. Ответ дайте в кубических сантиметрах.
Решение
Объем вытесненной жидкости равен объему детали Уровень жидкости поднялся на h=20 см, сторона основания a=20 см, значит вытесненный объем будет равен
Найденный объём является объёмом детали.

Задача №2
В бак, имеющий форму прямой призмы, налито 12 л воды. После полного погружения в воду детали, уровень воды в баке поднялся в 1,5 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров.
Решение
Объем детали равен объему вытесненной ею жидкости. После погружения детали в воду объём стал равен 12 · 1,5 = 18 литров, поэтом объём детали равен 18 − 12 = 6 л = 6000 см³.

Задача №3
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, В,В1,С1 прямоугольного параллелепипеда АВСDA1B1C1D1 , у которого AB=5, AD=3, AA1=4.
Решение
Основанием пирамиды, объем которой нужно найти, является половина боковой грани параллелепипеда, а высотой пирамиды является ребро параллелепипеда B1C1.
Поэтому

Задача №4
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, B, C, B1 прямоугольного параллелепипеда АВСDA1B1C1D1, у которого AB=3, AD=3, AA1=4.
Решение
Площадь основания пирамиды в два раза меньше площади основания параллелепипеда, а высота у них общая. Значит

Задача №5
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А1, B, C, C1, B1 прямоугольного параллелепипеда АВСDA1B1C1D1, у которого AB=4, AD=3, AA1=4.
Решение
Основанием пирамиды, объем которой нужно найти, является боковая грань параллелепипеда, а ее высотой является ребро A1B1 . Поэтому

Задача №6
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, B, C, D1 прямоугольного параллелепипеда АВСDA1B1C1D1, у которого AB=4, AD=3, AA1=4.
Решение
Площадь основания пирамиды в два раза меньше площади основания параллелепипеда, а высота у них общая. Поэтому

Задача №7
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, D, A1, B, C, B1 прямоугольного параллелепипеда АВСDA1B1C1D1, у которого AB=3, AD=4, AA1=5.
Решение
Видно, что многогранник является половиной данного прямоугольного параллелепипеда. Значит объём искомого многогранника

Задача №8
Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 4,5. Найдите объем треугольной пирамиды AD1CB1 .
Решение
Искомый объем равен разности объемов параллелепипеда со сторонами a, b и c и четырех пирамид, основания которых являются гранями данной треугольной пирамиды:

Задача №9
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Решение
Объем данного многогранника равен разности объемов параллелепипедов со сторонами 5, 2, 4 и 1, 2, 2:

Задача №10
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 6. Объем параллелепипеда равен 48. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.
Решение
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений. Поэтому, если x — искомое ребро, то 2·6·x=48, откуда x = 4.

Задача №11
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Решение
Объем данного многогранника равен сумме объемов параллелепипедов с ребрами 3, 3, 4 и 1, 1, 4. Значит

Задача №12
Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение
Объем многогранника равен сумме объемов параллелепипедов со сторонами (5, 3, 2), (3, 3, 5) и (2, 3, 2). Значит:

Задача №13
К правильной треугольной призме со стороной основания 1 приклеили правильную треугольную пирамиду с ребром 1 так, что основания совпали. Сколько граней у получившегося многогранника (невидимые ребра на рисунке не обозначены)?
Решение
Зная, что в треугольной призме 5 граней, а в треугольной пирамиде 4 граней, но так как две грани совпадают получаем: 5 + 4 − 2 = 7.

Задача №14
Найдите объем пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.
Решение
Крест состоит из 7 одинаковых кубов, поэтому его объем в 7 раз больше объема одного куба, а т.к. куб единичный, то его объём равен 1. Значит объём кресте равен 7 .

Задача №15
В прямоугольном параллелепипеде АВСDA1B1C1D1 известно, что ВD1=5; СС1=3; В1С1=√7. Найдите длину ребра АВ .

Задача №16
Найдите квадрат расстояния между вершинами C и A1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA1=3.
Решение.
В прямоугольнике АВСD АС–диагональ,
АВ =СD. Значит,

Задача №17
Найдите расстояние между вершинами А и D прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA1= 3.

По теореме Пифагора:

Задача №18
Найдите угол С1ВС прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 4, AA1=4. Ответ дайте в градусах.

Грань ВВ1С1С является квадратом со стороной 4,
а ВС1 – диагональ этой грани, значит,
угол С1ВС равен 45°

Задача №19
В кубе АВСDA1B1C1D1 точка К— середина ребра АА1 , точка L — середина ребра A1B1 , точка M— середина ребра A1D1 . Найдите угол MLK . Ответ дайте в градусах.
Сторонысечения KM, KL, и LM равны как гипотенузы равных прямоугольных треугольников AKM, KLA, и LAM, которые равны друг другу по двум катетам. Значит, треугольник LKM является равносторонним. Поэтому угол MLK равен 60°.

Задача №20
В кубе АВСDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми АD1 и В1D1. Ответ дайте в градусах.
Каждая грань куба является квадратом.
Диагонали этих квадратов равны, т.е. D1B1=B1A=AD1. Тогда треугольник D1B1A—равносторонний, значит, искомый угол равен 60°.

Задача №21
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер AB = 8, AD = 6, AA1 = 21. Найдите синус угла между прямыми CD и A1C1.
Отрезки DC и D1C1 лежат на параллельных прямых, поэтому искомый угол между прямыми A1C1 и DC равен углу между прямыми A1C1 и D1C1.
▲ A1C1D1- прямоугольный =>:

Задача №22
Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 60° . Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 60° и равно 2. Найдите объем параллелепипеда.
Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да V=Sh=SLsinα, где S– пло­щадь одной из гра­ней, а L– длина ребра, со­став­ля­ю­ще­го с этой гра­нью угол α . Пло­щадь ромба с ост­рым углом в 60° равна двум пло­ща­дям рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка

Задачи
для самостоятельного решения

Задача №1 Решите самостоятельно
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания, равной 40 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём детали, если после её погружения уровень жидкости в баке поднялся на 2 см. Ответ дайте в кубических сантиметрах. Ответ: 3200.
2) В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания, равной 20 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём детали, если уровень жидкости в баке поднялся на 20 см. Ответ дайте в кубических сантиметрах. Ответ: 8000.

Задача №2 Решите самостоятельно
В бак, имеющий форму прямой призмы, налито 5 л воды. После полного погружения в воду детали уровень воды в баке поднялся в 2,6 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах. В одном литре 1000 кубических сантиметров.
Ответ: 8000

Задача №3 Решите самостоятельно
1) Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, D, C1, D1 прямоугольного параллелепипеда АВСDA1B1C1D1 , у которого AB=5, AD=7, AA1=6.
Ответ: 35.

Задача №3 Решите самостоятельно
2) Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, B, A1, D1 прямоугольного параллелепипеда АВСDA1B1C1D1 , у которого AB=3, AD=3, AA1=6.
3) Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки C, D, C1, B1 прямоугольного параллелепипеда АВСDA1B1C1D1 , у которого AB=3, AD=8, AA1=7.
4) Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, D, A1, D1 прямоугольного параллелепипеда АВСDA1B1C1D1 , у которого AB=9, AD=5, AA1=8.

Задача №4 Решите самостоятельно
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, A1, B1, D1 прямоугольного параллелепипеда АВСDA1B1C1D1, у которого AB=5, AD=10, AA1=9.
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, A1, B1, C1 прямоугольного параллелепипеда АВСDA1B1C1D1, у которого AB=8, AD=9, AA1=7.
3) Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, C, D, D1 прямоугольного параллелепипеда АВСDA1B1C1D1, у которого AB=7, AD=3, AA1=8.

Задача №5 Решите самостоятельно
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, B, C, D, D1 прямоугольного параллелепипеда АВСDA1B1C1D1, у которого AB=2, AD=6, AA1=4.
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, B, C, B1, C1 прямоугольного параллелепипеда АВСDA1B1C1D1, у которого AB=3, AD=2, AA1=9.
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, C, D, D1, C1 прямоугольного параллелепипеда АВСDA1B1C1D1, у которого AB=4, AD=4, AA1=6.

Задача №6 Решите самостоятельно
1) Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, B1, C1, D1 прямоугольного параллелепипеда АВСDA1B1C1D1, у которого AB=2, AD=10, AA1=6.

Задача №6 Решите самостоятельно
2) Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки D, B, C1, B1 прямоугольного параллелепипеда АВСDA1B1C1D1, у которого AB=6, AD=6, AA1=9.
3) Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, D, C, B1 прямоугольного параллелепипеда АВСDA1B1C1D1, у которого AB=3, AD=10, AA1=4.
4) Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки B, C, A1, C1 прямоугольного параллелепипеда АВСDA1B1C1D1, у которого AB=10, AD=3, AA1=10.

Задача №7 Решите самостоятельно
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, B, C, D, A1, B1 прямоугольного параллелепипеда АВСDA1B1C1D1, у которого AB=8, AD=10, AA1=3.
Ответ: 120.
Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, B, C, A1, B1, C1 прямоугольного параллелепипеда АВСDA1B1C1D1, у которого AB=7, AD=5, AA1=10.
3) Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки А, B, C, D, C1, D1 прямоугольного параллелепипеда АВСDA1B1C1D1, у которого AB=9, AD=4, AA1=3.

Задача №8 Решите самостоятельно
Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 2,7. Найдите объем треугольной пирамиды AD1CB1 .
Ответ: 0,9.
Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 3,6. Найдите объем треугольной пирамиды AD1CB1.
Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 5,1. Найдите объем треугольной пирамиды AD1CB1.

Задача №9 Решите самостоятельно
1) Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Задача №9 Решите самостоятельно
2) Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Задача №9 Решите самостоятельно
3) Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Задача №10 Решите самостоятельно
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 7 и 2. Объем параллелепипеда равен 112. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины. Ответ: 8
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 8 и 6. Объем параллелепипеда равен 240. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 11 и 8. Объем параллелепипеда равен 792. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.

Задача №11 Решите самостоятельно
1) Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Задача №11 Решите самостоятельно
2)

Задача №12 Решите самостоятельно
Ответ: 114

Задача №12 Решите самостоятельно

Задача №15 Решите самостоятельно
В прямоугольном параллелепипеде АВСDA1B1C1D1 известно, что СА1=√38; DD1=5; ВС=3. Найдите длину ребра ВА . Ответ:2
В прямоугольном параллелепипеде АВСDA1B1C1D1 известно, что DВ1=√26; АА1=1; В1С1=3. Найдите длину ребра СD. Ответ:4
В прямоугольном параллелепипеде АВСDA1B1C1D1 известно, что ВD1=6; СС1=2; АD=√7. Найдите длину ребра D1С1. Ответ:5

Задача №16 Решите самостоятельно
Найдите квадрат расстояния между вершинами В и D1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 5, AA1=3. Ответ: 59
2) Найдите квадрат расстояния между вершинами В и D1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 4, AD = 6, AA1=5. Ответ:
3) Найдите квадрат расстояния между вершинами С и А1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 7, AD = 3, AA1=3. Ответ:

Задача №17 Решите самостоятельно
Найдите расстояние между вершинами В и А1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 12, AD = 7, AA1= 5. Ответ: 13
Найдите расстояние между вершинами С и В1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB=6, AD = 4, AA1=3.
Найдите расстояние между вершинами В1 и D1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 4, AD = 3, AA1 = 6.

Задача №18 Решите самостоятельно
Найдите угол ВВ1С прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 6, AA1=6. Ответ дайте в градусах. Ответ:45
2) Найдите угол СС1В прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD =5, AA1=5. Ответ дайте в градусах. Ответ:
3) Найдите угол ВDС прямоугольного параллелепипеда, для которого AB =4, AD =4, AA1=3. Ответ дайте в градусах. Ответ:

Задача №19 Решите самостоятельно
В кубе АВСDA1B1C1D1 точка К— середина ребра ВС , точка L — середина ребра СD , точка M— середина ребра СС1. Найдите угол MLK . Ответ дайте в градусах.
2) В кубе АВСDA1B1C1D1 точка К— середина ребра АВ , точка L — середина ребра ВС , точка M— середина ребра ВВ1. Найдите угол LМK . Ответ дайте в градусах.
3) В кубе АВСDA1B1C1D1 точка К— середина ребра АВ , точка L — середина ребра ВС , точка M— середина ребра ВВ1. Найдите угол MKL . Ответ дайте в градусах.

Задача №20 Решите самостоятельно
В кубе АВСDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми АВ1 и В1D1. Ответ дайте в градусах.
2) В кубе АВСDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми ВА1 и А1С1. Ответ дайте в градусах.
3) В кубе АВСDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми АВ1 и АD1. Ответ дайте в градусах.
4) В кубе АВСDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми СВ1 и АС. Ответ дайте в градусах.

Задача №21 Решите самостоятельно
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер AB =16, AD =12, AA1 =7. Найдите синус угла между прямыми CD и A1C1. Ответ:
2) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер AB =8, AD =6, AA1 =5. Найдите синус угла между прямыми CD и A1C1. Ответ:
3) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер AB =12, AD =17, AA1 =16. Найдите синус угла между прямыми C1D и AВ. Ответ:

Видео:10 класс, 24 урок, Прямоугольный параллелепипедСкачать

Призма в геометрии — определение, формулы и примеры

Содержание:

Ранее вы уже знакомились с призмой, т. е. многогранником, две грани которого — равные

Видео:Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда. 5 классСкачать

Что такое призма

Равные грани-многоугольники призмы лежат в параллельных плоскостях и называются основаниями призмы, а остальные грани-параллелограммы — боковыми гранями. Ребра боковых граней, не принадлежащие основаниям, называют боковыми ребрами. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называют диагональю призмы (рис. 1). Плоскость, проходящая через два боковых ребра призмы, не принадлежащих одной грани, называется диагональной плоскостью, а сечение призмы диагональной плоскостью — диагональным сечением. На рисунке 2 показаны два диагональных сечения призмы.

Призмы разделяют на треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т. д. в зависимости от количества сторон их оснований. Призма, изображенная на рисунке 1, — шестиугольная, а на рисунке 2, — девятиугольная.

Отличают прямые и наклонные призмы в зависимости от того, перпендикулярны или не перпендикулярны боковые ребра призмы ее основаниям. Обычно при изображении прямой призмы ее боковые ребра проводят вертикально.

Прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники, называется правильной призмой. В прямой призме все боковые грани — прямоугольники, а в правильной — равные прямоугольники.

Перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного основания призмы к плоскости другого основания, называется высотой призмы. На рисунке 3 показаны две высоты и призмы . У прямой призмы ее высота равна боковому ребру.

Боковые грани составляют боковую поверхность призмы, а боковые грани вместе с основаниями — полную поверхность призмы.

Теорема 1.

Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра ее перпендикулярного сечения и длины бокового ребра:

Доказательство:

Пусть имеется -угольная призма . Пересечем ее плоскостью , перпендикулярной боковому ребру. Получим перпендикулярное сечение , стороны которого перпендикулярны сторонам параллелограммов, составляющим боковую поверхность призмы. Поэтому для боковой поверхности получим:

При переходе (1) мы учли, что все боковые ребра призмы равны друг другу, при переходе (2) — то, что сумма выражает периметр перпендикулярного сечения призмы, а множитель — длину бокового ребра.

Следствие 1.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра ее основания и высоты.

Действительно, перпендикулярное сечение прямой призмы равно ее основанию, а боковое ребро является высотой.

Частным видом призмы является параллелепипед, т. е. призма, основанием которой является параллелограмм. Параллелепипед, как и призма, может быть прямым или наклонным. Прямой параллелепипед, основаниями которого являются прямоугольники, называется прямоугольным параллелепипедом. Прямоугольный параллелепипед, у которого три ребра, выходящие из одной вершины, равны друг другу, называется кубом.

У параллелепипеда все грани — параллелограммы, из которых у прямого параллелепипеда прямоугольниками являются боковые грани, а у прямоугольного параллелепипеда — все грани.

12 ребер параллелепипеда разделяются на три четверки равных ребер (рис. 5), его 6 граней — на три пары равных граней (рис. 6), а 4 диагонали пересекаются в одной точке, являющейся центром симметрии параллелепипеда (рис. 7).

Прямой параллелепипед еще имеет ось симметрии (рис. 8) и плоскость симметрии (рис. 9). Прямоугольный параллелепипед имеет три оси симметрии (рис. 10) и три плоскости симметрии (рис. 11).

Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, называют измерениями прямоугольного параллелепипеда. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (рис. 12), и все его диагонали равны друг другу.

Важной характеристикой плоской фигуры является ее площадь. Подобной характеристикой тела является его объем. Будем считать, что изучаемые нами тела имеют объем.

За единицу объема принимают объем куба с ребром 1. На практике пользуются разными единицами объема: как метрическими — кубический миллиметр, кубический сантиметр, кубический дециметр, кубический метр, кубический километр, так и неметрическими — галлон, барель, бушель, кварта.

Для объема тела выполняются его основные свойства:

• равные тела имеют равные объемы;
• если тело разделено на части, то его объем равен сумме объемов этих частей.

При этом равными фигурами называют фигуры, которые преобразуются друг в друга определенным движением. Например, равными являются две шестиугольные правильные призмы, у которых соответственно равны стороны оснований и высоты (рис. 13), или два цилиндра с соответственно равными радиусами оснований и образующими (рис. 14). Тело, изображенное на рисунке 15, можно разделить на цилиндр и конус, и его объем равен сумме объемов этих цилиндра и конуса.

Два тела с равными объемами называют равновеликими телами. Равные тела являются равновеликими, но не наоборот.

Вы знаете, что объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений , , (рис. 16): .

Учитывая, что в формуле произведение выражает площадь основания прямоугольного параллелепипеда, а число — его высоту , получим, что объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания и высоты: .

Теорема 2.

Объем произвольного параллелепипеда равен произведению площади его основания и высоты:

Доказательство:

Пусть имеется произвольный параллелепипед (рис. 17). Через ребро проведем плоскость, перпендикулярную ребру , она отсечет от параллелепипеда треугольную призму (рис. 18). После параллельного сдвига этой призмы в направлении отрезка получим призму . Параллелепипед равновелик с данным параллелепипедом . Выполненное преобразование параллелепипеда также сохраняет объем параллелепипеда, площадь его основания и высоту.

У параллелепипеда его боковые грани и перпендикулярны плоскости основания. К граням и , которые не перпендикулярны плоскости основания, применим такое же преобразование, в результате которого получим прямой параллелепипед (рис. 19), в котором сохраняются объем, площадь основания и высота.

Наконец, применив еще раз такое преобразование к граням и прямого параллелепипеда , получим прямоугольный параллелепипед (рис. 20), сохранив объем параллелепипеда, площадь его основания и высоту.

Множитель есть площадь основания параллелепипеда , а множитель выражает его высоту, так как есть перпендикуляр, возведенный из точки основания к другому основанию . Значит, объем произвольного параллелепипеда равен произведению площади его основания и высоты.

Теорема 3.

Объем призмы равен произведению площади ее основания и высоты:

Доказательство:

Рассмотрим сначала треугольную призму (рис. 21). Дополним ее до параллелепипеда (рис. 22). Точка пересечения диагоналей диагонального сечения этого параллелепипеда является его центром симметрии. Это означает, что достроенная призма симметрична данной призме относительно центра , а потому эти призмы равны друг другу. Значит, объем параллелепипеда равен удвоенному объему данной призмы.

Объем параллелепипеда равен произведению площади его основания и высоты. Но площадь его основания равна удвоенной площади основания данной призмы, а высота параллелепипеда равна высоте призмы.

Отсюда следует, что объем призмы равен площади ее основания и высоты. Теперь рассмотрим произвольную призму (рис. 23).

Диагональными сечениями, проходящими через вершину , разобьем ее на треугольные призмы-части , , . , , которые все имеют одну и ту же высоту, равную высоте данной призмы. Объем данной призмы равен сумме объемов призм-частей. По уже доказанному для объема данной призмы получим:

Учитывая, что сумма в скобках выражает площадь S основания данной призмы, получим:

Следствие 2.

Объем прямой призмы равен произведению площади ее основания и бокового ребра.

Призма и её сечения

С призмой вы уже знакомы. Несмотря на это, мы напомним определение призмы и её свойства.

Призма -это многогранник, две грани которого равные n-угольники (основания), лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней — параллелограммы (рис. 22).

В зависимости от того перпендикулярны ли боковые грани призмы его основаниям или нет, призмы делят на прямые или наклонные. На рисунке 23.а изображена прямая призма, а на рисунке 23.b — наклонная. Очевидно, что боковые грани прямой призмы — прямоугольники.

Если основания прямой призмы являются правильными многоугольниками, то её называют правильной (рис. 24). Боковые грани правильной призмы это равные между собой прямоугольники.

Перпендикуляр, опущенный из некоторой точки одного основания к другому, называют его перпендикуляром (рис. 23.b).

Сечение призмы, проходящее через соответствующие диагонали его оснований, называют диагональным сечением (рис. 24.а) и их число равно числу диагоналей одного из оснований.

Перпендикулярным сечением призмы называют сечение перпендикулярное всем его боковым рёбрам (рис. 25). так как число диагоналси выпуклого n-угольника, то число диагональных сeчeний n-угольной призмы также равно .

В каждом диагональном сечении призмы можно провести две диагонали. Следовательно, n-угольная призма имеет диагоналей.

Пример:

В наклонной треугольной призме расстояния между боковыми ребрами соответственно равны 7 см, 15 см и 20 см. Найдите расстояние между большей боковой гранью и противолежащим боковым ребром.

Решение:

Известно, что расстояние между параллельными прямыми равно длине перпендикуляра, опущенного из произвольной точки одной прямой на другую. Тогда длины сторон перпендикулярного сечения ABC (рис. 26). Наибольшая грань призмы проходит через наибольшую сторону АС= 20 см этого сечения. Расстояние от рёбра призмы В₂В₁ до плоскости грани равно высоте BD треугольника ABC.

Тогда по формуле Герона получаем:

,

.

С другой стороны, .

Отсюда или см.

Ответ: 4,2 см.

Параллелепипед и куб

Призма, основаниями которой являются параллелограммы, называют параллелепипедом (рис. 27). Параллелепипеды также как и призмы могут быть прямыми (рис. 27.а) и наклонными (рис. 27.b).

Грани параллелепипеда, не имеющие общую вершину, называют противоположными гранями.

• —12 рёбер, каждые четыре из которых равны (рис. 28.а),
• —6 граней, которые попарно параллельны и равны (рис. 28.b),
• —4 диагонали, которые пересекаются и точкой пересечения делятся пополам (рис. 28.с),
• —точка пересечения диагоналей — центр его симметрии (рис. 28.с). Прямой параллелепипед имеет ось симметрии (рис. 28.d) и плоскость симметрии (рис. 28.e).

Прямой параллелепипед, основания которого являются прямоугольники, называют прямоугольным параллелепипедом (рис. 29). Очевидно, что все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками.

Прямоугольный параллелепипед имеет три оси симметрии (рис. 30) и три плоскости симметрии (рис. 31).

Длины трех рёбер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда называют его измерениями.

Свойство: В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали d равен сумме квадратов его измерений: а, b и с (рис.32):

.

Прямоугольный параллелепипед, все измерения которого равны, называют кубом. Очевидно, что все грани куба являются равными квадратами. Куб имеет один центр симметрии, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.

Выше были перечислены свойства призмы. Некоторые из них были показаны в 10 классе. Доказательства остальных свойств проще, поэтому их доказательства вы можете провести самостоятельно.

Площади боковой и полной поверхности призмы

На рисунке 33 проведены высоты НН₁ DD₁ призмы

АВСDЕ—А₁В₁С₁D₁Е₁. Очевидно, что высоты правильной призмы будут равны её боковому рёбру.

Боковая поверхность призмы (точнее, площадь боковой поверхности)равна сумме боковых поверхностей ее граней, а полная поверхнасть равна сумме боковой поверхности и площадей двух ее оснований.

Теорема. Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра ее основания на высоту:

Доказательство. Пусть высота данной прямой призмы равна , а периметр основания (рис. 34). Известно, что каждая грань прямой призмы является прямоугольником. Основания прямоугольников равны соответствующим сторонам основания призмы, а высоты равны высоте призмы.

Тогда

Теорема. Боковая поверхность произвольной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения призмы на ее боковое ребро:

Доказательство. Пусть периметр перпендикулярного сечения призмы равен Р (рис. 35). Сечение делит призму на две части (рис. 36.а). Совершим параллельный перенос одной из этих частей так, чтобы основания нашей призмы совпали. В результате мы получим новую прямую призму (рис. 36.b). Очевидно, что, боковая поверхность этой призмы равна боковой поверхности данной. Её основанием является перпендикулярное сечение, а боковое ребро равно .

Тогда по доказанной выше теореме:

Объем призмы

Одним из свойств, характеризующих геометрические тела в пространстве, является понятие объема. Каждый предмет (тело) занимает некоторую часть пространства. Например, кирпич по сравнению со спичечным коробком занимает большую часть пространства. Для сравнения этих частей между собой вводится понятие объёма.

Объём — это величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:

1. Любое тело имеет определённый объём, выраженный положительным числом.
2. Равные тела имеют равные объёмы.
3. Если тело разбито на несколько частей, то его объём равен сумме объёмов этих частей.
4. Объём куба, ребро которого равно единице, равен единице.

Объём — также как длина и площадь, является величиной. В зависимости от выбора единицы длины, объём единого куба измеряют в кубических единицах:

1 см 3 , 1 дм 3 , 1 м 3 и т. д.

Объёмы тел измеряют различными способами или вычисляют. Например, объёмы маленьких предметов можно измерить с помощью сосудов (мензурки) с мелкими делениями (шкалами) (рис. 46). А объём ведра можно измерить с помощью сосуда, имеющего единичный объём, наполнив его водой (рис. 47). Но таким способом мы не можем измерить объёмы всех тел. В таких случаях объём вычисляют различными способами. Ниже рассмотрим их без доказательств.

Объём параллелепипеда

Теорема. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерeний (рис.48): .

Следствие. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту (рис. 49): .

Теорема. Объём произвольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту (рис. 50): .

Это свойство вытекает из вышеупомянутого следствия. На рисунке 50 показано как данный параллелепипед преобразовать в прямоугольный параллелепипед. Воспользовавшись этим самостоятельно обоснуйте свойство.

Нахождение объёма призмы

Теорема. Объём прямой призмы равен произведению площади его основания на высоту (рис. 51): .

Доказательство. 1 случай. Пусть основанием призмы будет прямоугольный треугольник (рис 51.а). Эту призму можно дополнить равной ей призмой до прямоугольного параллелепипеда (рис. 51 .b).

Если объём данной призмы, площадь её основания и высота V, S и h, то объём полученного прямоугольного параллелепипеда, площадь его основания и высота будут соответственно равны 2V, 2S и h.

Следовательно или

2 случай. Пусть S — площадь произвольной n — угольной прямой призмы и h — её высота. Основание призмы — n-угольник делится диагоналями на треугольники, каждый из которых можно разделить на прямоугольные треугольники (рис. 52). В результате данная призма разделится на конечное число прямых призм, основания которых являются прямоугольными треугольниками. Высоты этих призм равны h , а сумма площадей оснований этих призм равна площади основания данной призмы:

Объём данной призмы равен сумме объёмов составляющих её треугольных призм:

или

Теорема. Объём произвольной призмы равен произведению площади его основания на высоту:

По рисунку 5.3 докажите эту теорему самостоятельно, сначала для треугольной призмы (рис. 5.3.а), затем для любой призмы (рис. 5.3.b).

Пример:

Стороны основания прямого параллелепипеда равны а и b, а угол между ними 30°. Найдите его объём, если площадь его боковой поверхности равна S.

Решение:

Обозначим высоту параллелепипеда h(рис. 54).

Тогда по условию задачи:

• Цилиндр в геометрии
• Пирамида в геометрии
• Конус в геометрии
• Сфера в геометрии
• Возникновение геометрии
• Геометрические преобразования в геометрии
• Планиметрия — формулы, определение и вычисление
• Стереометрия — формулы, определение и вычисление

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🎬 Видео

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипедаСкачать

Математика 5 класс. Прямоугольный параллелепипедСкачать

Площадь полной поверхности призмыСкачать

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипедаСкачать

№ 18. Прямоугольный параллелепипед. Площадь поверхности и объем (5, 6 классы)Скачать

Математика 5 класс (Урок№32 - Объём прямоугольного параллелепипеда. Единицы объёма.)Скачать

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипедаСкачать

🔴 Площадь поверхности прямоугольного ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 4 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

п.2.10. Прямоугольный параллелепипед. № 500, 506*Скачать

11 класс, 30 урок, Объем прямоугольного параллелепипедаСкачать

Площадь поверхности и развёртка — прямоугольный параллелепипед (видео 7) | Объём и ПлощадьСкачать