прямоугольная призма площадь и объем

Прямоугольная призма. Формулы длин диагоналей, площади поверхности и объема

Стереометрия является разделом геометрии, который изучает разные свойства фигур в пространстве трехмерной системы координат. Одной из таких фигур является прямоугольная призма. Что она собой представляет, и какие свойства для нее характерны, рассмотрим в данной статье.

Призма прямоугольная в стереометрии

Каждый человек знаком с этой совершенной геометрической фигурой. Под ней понимают объемный объект, который состоит из шести прямоугольников в общем случае, причем все они попарно равны. Получить в пространстве эту призму несложно. Необходимо взять произвольный прямоугольник и перенести его параллельно самому себе вдоль отрезка, перпендикулярного исходному прямоугольнику. В результате получится фигура, показанная ниже на рисунке.

Вам будет интересно: Кто придумал двигатель внутреннего сгорания? Ключевые фигуры

Прямоугольная призма также называется параллелепипедом. Если ее основание будет квадратом, то она станет правильной призмой, у которой боковые прямоугольники будут равны между собой. Если у правильной призмы сторона основания совпадет с высотой (длиной ребра бокового), тогда мы получим фигуру куб.

Элементы фигуры

Речь идет о геометрических элементах, из которых состоит рассматриваемая призма. Первое, что бросается в глаза при первом взгляде на фигуру — это ее грани. Как было отмечено, у нее их шесть. Две одинаковые грани образуют основания прямоугольной призмы, четыре оставшиеся составляют ее боковую поверхность. Все грани являются или прямоугольниками, либо квадратами.

Следующий важный элемент фигуры — это ребра. Призма имеет 12 ребер, причем 8 из них принадлежат основаниям. Оставшиеся четыре ребра являются боковыми. Их длина равна высоте фигуры.

Наконец, третьим важным элементом изучаемой призмы являются ее вершины. В отличие от пирамиды или конуса, призма не имеет выделенной вершины. Все они у нее являются равноправными. Их количество равно восьми.

Как видно из представленной количественной характеристики элементов прямой прямоугольной призмы, для их чисел справедлива теорема Эйлера:

число ребер = число сторон + число вершин — 2 =>

Диагонали фигуры

Диагонали прямоугольной призмы бывают двух видов:

• те, которые расположены в плоскости граней фигуры;
• те, что находятся в объеме.

Если обозначить буквами a, b и h длины сторон основания и длину бокового ребра, соответственно, тогда для длины диагоналей первого типа можно записать следующие равенства:

Диагональ d1 принадлежит основаниям, а диагонали d2 и d3 лежат в плоскостях боковых прямоугольников. Очевидно, что записанные формулы следуют из теоремы Пифагора.

Что касается диагоналей второго типа (объемных), то любая прямоугольная призма имеет четыре таких диагонали. Тем не менее их длины равны между собой. Формула для определения длины объемной диагонали записывается в следующем виде:

Если вычислять диагональ d4 для куба, то можно записать следующее выражение, которое получается из предыдущего:

При этом, все диагонали граней куба будут равны друг другу, и их длины вычисляются так:

Длина объемной диагонали всегда больше длин диагоналей сторон.

Определение площади поверхности

Каждый школьник знает, что для удобного определения площади поверхности, которой обладает любая объемная фигура, следует сделать ее развертку на плоскости. Прямоугольная призма не является исключением. Ее развертку сделать просто, для этого следует отрезать два основания от фигуры, а затем, разрезать ее вдоль одного из боковых ребер. Развернув грани боковой поверхности, мы получим следующую картину.

Развертка представляет собой шесть прямоугольников трех видов. Обозначим стороны основания буквами a и b. Высоту фигуры обозначим h. Тогда площадь одного основания будет равна:

Площади двух разных боковых граней равны:

Поскольку параллелепипед имеет по паре одинаковых граней, формулы площадей для которых записаны, то площадь полной поверхности фигуры S будет равна:

S = 2*(So + S1 + S2) = 2*(a*b + a*h + b*h).

Формула для S может быть упрощена, если прямоугольная призма обладает дополнительной симметрией. Например, если стороны ее основания равны (a = b), тогда для S можно записать такое выражение:

Это выражение следует из предыдущей формулы. Соответственно, если высота и длина основания равны (h=a), то мы получаем куб, площадь поверхности которого составит:

Заметим чем выше симметрия параллелепипеда, тем меньшее число линейных параметров необходимо знать, чтобы вычислить величину S.

Объем призмы прямоугольной

Изучаемая фигура состоит из шести граней, которые ограничивают пространственный объем. Он является объемом самой фигуры. Чтобы его рассчитать, можно применить универсальную формулу для всех призм и цилиндров. Она имеет следующий вид:

Поскольку основание изучаемой фигуры является прямоугольником, а ее высота равна длине ребра бокового, то объем призмы прямоугольной будет равен:

Полезно также привести формулы для правильной призмы с квадратным основанием и для куба, их объемы рассчитываются следующим образом:

для правильной призмы: V = a2*h;

Как и для площади, для определения объема необходимо знать от 1 до 3 линейных параметров в зависимости от симметрии параллелепипеда.

Призма

Призма

Призма – это многогранник, состоящий из двух равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и $n$-го количества параллелограммов.

Многоугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ – называются основаниями призмы.

Параллелограммы $АА_1В_1В, ВВ_1С_1С$ и т.д.- боковыми гранями.

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.

Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Формулы вычисления объема и площади поверхности призмы:

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

$P_$ — периметр основания;

$S_$ — площадь основания;

$S_$ — площадь боковой поверхности;

$S_$ — площадь полной поверхности;

$h$ — высота призмы.

В основании призмы могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.

В основании лежит треугольник.

1. $S=/$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $а$
2. $S=/$, где $a,b$ — соседние стороны, $α$ — угол между этими соседними сторонами.
3. Формула Герона $S=√

   $, где $р$ — это полупериметр $p=/$

4. $S=p·r$, где $r$ — радиус вписанной окружности
5. $S=/$, где $R$ — радиус описанной окружности
6. Для прямоугольного треугольника $S=/$, где $а$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.

В основании лежит четырехугольник

1. Прямоугольник

$S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.

2. Ромб

$S=/$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба

$S=a^2·sin⁡α$, где $а$ — длина стороны ромба, а $α$ — угол между соседними сторонами.

3. Трапеция

$S=/$, где $а$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции.

Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники.

Рассмотрим площади правильных многоугольников:

1. Для равностороннего треугольника $S=/$, где $а$ — длина стороны.

$S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.

3. Правильный шестиугольник

Шестиугольник разделим на шесть правильных треугольников и найдем площадь как:

Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными $10$ и $24$, а её боковое ребро равно $20$.

Построим прямую призму, в основании которой лежит ромб.

Распишем формулу площади полной поверхности:

В прямой призме высота равна боковому ребру, следовательно, $h=С_1С=20$

Чтобы найти периметр основания, надо узнать сторону ромба. Рассмотрим один из прямоугольных треугольников, получившихся, при пересечении диагоналей и воспользуемся теоремой Пифагора.

Диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому катеты прямоугольного треугольника равны $5$ и $12$.

Теперь найдем площадь основания: площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Далее подставим все найденные величины в формулу полной поверхности и вычислим ее:

Цилиндр — это та же призма, в основании которой лежит круг.

Подобные призмы: при увеличении всех линейных размеров призмы в $k$ раз, её объём увеличится в $k^3$ раз.

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

$MN$ — средняя линия, так как соединяет середины соседних сторон.

Подобие треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника больше сходственных сторон другого треугольника в некоторое число раз.

Число $k$ — коэффициент подобия (показывает во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого треугольника.)

1. Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $k$.
2. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Прямоугольный треугольник и его свойства:

В прямоугольном треугольнике катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.
2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

1. Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
2. Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
3. Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
4. Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$	$30$	$45$	$60$
$sinα$	$/$	$/$	$/$
$cosα$	$/$	$/$	$/$
$tgα$	$/$	$1$	$√3$
$ctgα$	$√3$	$1$	$/$

Теорема синусов

Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:

Теорема косинусов

Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

Нахождение площади правильной призмы: формула и задачи

В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности правильной призмы разных видов (треугольной, четырехугольной и шестиугольной), а также, разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Правильная призма – это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. А прямой фигура является в том случае, если ее боковые грани перпендикулярны основаниям.

Формула площади правильной призмы

1. Общая формула

Площадь (S) полной поверхности призмы равна сумме площади ее боковой поверхности и двух площадей основания.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равняется произведению периметра ее основания на высоту.

Формула периметра и площади основания правильной призмы зависит от вида многогранника. Ниже мы рассмотрим самые популярные виды.

2. Площадь правильной треугольной призмы

Основание: равносторонний треугольник.

<table data-id="97" data-view-id="97_79105" data-title="Площадь правильной треугольной призмы" data-currency-format="$1,000.00" data-percent-format="10.00%" data-date-format="DD.MM.YYYY" data-time-format="HH:mm" data-features="["after_table_loaded_script"]" data-search-value="" data-lightbox-img="" data-head-rows-count="1" data-pagination-length="50,100,All" data-auto-index="off" data-searching-settings="» data-lang=»default» data-override=»» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

ПлощадьФормулаоснование

<td data-cell-id="B2" data-x="1" data-y="2" data-db-index="2" data-cell-type="text" data-original-value="» data-order=»«> боковая поверхностьполная

<td data-cell-id="B4" data-x="1" data-y="4" data-db-index="4" data-cell-type="text" data-original-value="» data-order=»«>

3. Площадь правильной четырехугольной призмы

Основание: квадрат.

<table data-id="98" data-view-id="98_52245" data-title="Площадь правильной четырехугольной призмы" data-currency-format="$1,000.00" data-percent-format="10.00%" data-date-format="DD.MM.YYYY" data-time-format="HH:mm" data-features="["after_table_loaded_script"]" data-search-value="" data-lightbox-img="" data-head-rows-count="1" data-pagination-length="50,100,All" data-auto-index="off" data-searching-settings="» data-lang=»default» data-override=»» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

ПлощадьФормулаоснованиебоковая поверхностьполная

Примечание: Если высота правильной четырехугольной призмы равняется длине стороны ее основания, значит мы имеем дело с кубом, площадь одной грани которого равна a 2 . А так как все шесть граней куба равны, то полная площадь его поверхности равняется 6a 2 .

4. Площадь правильной шестиугольной призмы

Основание: правильный шестиугольник

<table data-id="99" data-view-id="99_96678" data-title="Площадь правильной шестиугольной призмы" data-currency-format="$1,000.00" data-percent-format="10.00%" data-date-format="DD.MM.YYYY" data-time-format="HH:mm" data-features="["after_table_loaded_script"]" data-search-value="" data-lightbox-img="" data-head-rows-count="1" data-pagination-length="50,100,All" data-auto-index="off" data-searching-settings="» data-lang=»default» data-override=»» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

ПлощадьФормулаоснование

<td data-cell-id="B2" data-x="1" data-y="2" data-db-index="2" data-cell-type="text" data-original-value="» data-order=»«> боковая поверхностьполная

<td data-cell-id="B4" data-x="1" data-y="4" data-db-index="4" data-cell-type="text" data-original-value="» data-order=»«>

Примеры задач

Задание 1:
Сторона правильной треугольной призмы равна 6 см, а ее высота – 8 см. Найдите полную площадь поверхности фигуры.

Решение:
Воспользуемся подходящей формулой, подставив в нее известные нам значения:

Задание 2:
Площадь полной поверхности правильной шестиугольной призмы составляет 400 см 2 . Найдите ее высоту, если известно, что сторона основания равна 5 см.

Решение:
Выведем выражение для нахождения высоты призмы из формулы ее полной площади:

🔍 Видео