произвольная точка внутри треугольника площадь

Определение, принадлежит ли произвольная точка какому либо треугольнику (находится ли она внутри треугольника, на самом деле очень важная задача. Для нас она важна в контексте разбиения многоугольника на треугольники. Решение этой промежуточной задачи, позволит нам определять координаты центра тяжести многоугольника.

Итак, существует достаточно много вариантов определения принадлежности точки треугольнику. Могу порекомендовать ссылку. Написано достаточно подробно и рассмотрены практически все варианты.

Мы в своей реализации будем придерживаться следующего алгоритма

Пусть у нас есть треугольник

Высчитаем значение трех нижеуказанных выражений

где x0,y0 — координаты произвольной точки

Если все три значения одинакового знака, то точка внутри треугольника,

если значение равно нулю, значит точка лежит на стороне треугольника

В ином случае (если значения различные по знаку) , точка вне треугольника.

Теперь проверим наше предположение

Точка лежит внутри треугольника так как результат трех вычислений одинаков по знаку ( все они отрицательные)

В этом случае точка F лежит вне треугольника, так как знаки результирующих вычислений различны.

Хотелось бы заметить, что в случае точки Е наш бот, скажет что точка также находится внутри треугольника, хотя и находится на стороне треугольника( или как вариант в одной из вершин) . Это как уже было сказано связано с использованием этого бота, для расчета центра тяжести многоугольников.

Видео:Где находится точка в треугольнике заданном координатами вершин, внутри или вне треугольника.Скачать

Произвольная точка внутри треугольника площадь

2019-02-08
Пусть $P$ — произвольная точка внутри треугольника $ABC$. Обозначим через $A_1, B_1$ и $C_1$ точки пересечения прямых $AP, BP$ и $CP$ соответственно со сторонами $BC, CA$ и $AB$. Упорядочим площади треугольников $AB_1C_1, A_1BC_1, A_1B_1C$, обозначив меньшую через $S_1$, среднюю — $S_2$, а большую — $S_3$. Докажите, что

где $S$ — площадь треугольника $A_1B_1C_1$.

Первый способ. Назовём треугольник $A_1B_1C_1$ чевианным треугольником точки $P$. Oказывается, любой треугольник $ABC$ можно подходящим аффинным преобразованием перевести в некоторый остроугольный треугольник $A^B^C^$ так, что точка $P$ перейдёт в его ортоцентр, а чевианный треугольник $P$ в ортотреугольник (треугольник, образованный основаниями высот, рис.).

Действительно, возьмём произвольный отрезок $B^C^$ и отметим на нём такую точку $A_1^$ , что

а затем восставим в этой точке перпендикуляр к $B^C^$ . На этом перпендикуляре построим такую точку $A_0$, что

(точка пересечения перпендикуляра с окружностью, построенной на $B^C^$ как на диаметре, рис.).

Далее, рассмотрим точку $A^$ на этом перпендикуляре и опустим высоту $B^B_1^$ на $A^C^$. Eсли $A^$ расположена близко к точке $A_0$, то отношение $C^B_1^/B_1^A^$ очень велико, а если $A_0$ удаляется по перпендикуляру на бесконечность, то это отношение стремится к нулю. Из соображений непрерывности следует, что найдётся такая точка $A$ на перпендикуляре, что

Соответственное равенство третьей пары отношений гарантировано теоремой Чевы. Как известно, для любых двух треугольников $ABC$ и $A^B^C^$ существует единственное аффинное преобразование, отображающее первый треугольник на второй. Поскольку аффинное преобразование прямые переводит в прямые, а также сохраняет отношение длин отрезков, мы нашли аффинное преобразование, переводящее чевианный треугольник в некоторый ортотреугольник. Kроме того, аффинное преобразование сохраняет и отношение площадей. Сказанное означает, что нам достаточно доказать утверждение задачи для остроугольного треугольника и его ортоцентра. Не ограничивая общности будем считать, что площади треугольников $AB_1C_1, A_1BC_1, A_1B_1C$ соответственно равны $S_1, S_2$, и $S_3$. Эти треугольники подобны исходному с коэффициентами $cos A, cos B, cos C$ соответственно, поэтому, поскольку все углы острые, косинусы положительны и убывают. Из последней цепочки неравенств следует, что

$angle C leq frac leq angle A$.

Докажем теперь, что $sgrt leq S$.

После возведения в квадрат и деления числителя и знаменателя на $S_2$ получим неравенство

Но, как нетрудно проверить, в любом треугольнике имеет место равенство

$1 — cos^2 A — cos^2 B — cos^2 C = 2 cos A cos B cos C$,

поэтому наше неравенство равносильно $1/4 leq cos^2 C$, т. е. $angle C leq pi/3$. Аналогично доказывается, что $sqrt geq S$.

Второй способ. Не ограничивая общности будем считать, что площади треугольников $AB_1C_1, A_1BC_1, A_1B_1C$ соответственно равны $S_1, S_2$, и $S_3$ (рис.).

Пусть точка $P$ имеет (относительно треугольника $ABC$) нормированные барицентрические координаты (p, q, r), т. е. $p + q + r = 1$. Поскольку $P$ расположена внутри треугольника, то $p, q, r$ — положительные величины. Выразим через них $S_1/S$. Обозначим через $A_2$ точку пересечения $B_1C_1$ и $AA_1$. Поскольку треугольники $AB_1C_1$ и $A_1B_1C_1$ имеют общее основание, то, очевидно,

Далее, понятно, что $A_2$ имеет координаты $(2p : q : r)$ (центр масс системы $2pA$ и $(q + r)A_1$ расположен на прямой $AA_1$, а системы $(p + q) C_1$ и $(p + r)B_1$ — на прямой $B_1C_1$), откуда по правилу рычага имеем

Поскольку $S_1 leq S_2 leq S_3$, отсюда следует, что $p geq q geq r$. C учётом равенства $p + q + r = 1$ имеем также $p geq 1/3 geq r$. Докажем теперь, что $sqrt leq S$.
Подставляя полученные выше значения отношений, получаем

$(1 — p)(1 — q) leq 4pq$,

т. е. $r leq 3pq$. Но

Tочно так же доказывается, что $sqrt geq S$ (используя неравенство $r leq 1/3$).

Замечание. Идеи, на которых основывалось доказательство, можно реализовать, не используя геометрию масс. Например, ввести отношения

и с помощью теоремы Фалеса (проводя соответствующие параллели) выразить через них отношения площадей.

Третий способ. Следующее симпатичное решение основано на так называемой теореме Мёбиуса. Пусть $P$ — произвольная точка внутри треугольника $ABC$. Обозначим через $A_1, B_1$ и $C_1$ точки пересечения прямых $AP, BP$ и $CP$ соответственно со сторонами $BC, CA, AB$, а площади треугольников $ABC_1, A_1BC_1, A_1B_1C$ и $A_1BC_1 — S_1, S_2, S_3$ и $S$ соответственно. Тогда

$S_3 + (S_1 + S_2 + S_3)S_2 — 4S_1S_2S_3 = 0$.

(Это несложно доказать, используя, например, найденные нами отношения площадей в предыдущих рассуждениях.) Рассмотрим функцию

$Phi(x) = S^3 + (S_1 + S_2 + S_3)S^2 — 4S_1S_2S_3 = 0$.

По теореме Мёбиуса $Phi(x) = 0$. Kроме того, очевидно, что $Phi(x)$ возрастает на $(0, infty)$ (как сумма двух возрастающих функций). Поэтому нам достаточно показать, что

$Phi(sqrt) = S_1S_2(sqrt + S_1 + S_2 — 3S_3)$,

$sqrt + S_1 + S_2 — 3S_3 leq 3/2(S_1 + S_2) — 3S_3 leq 0$

(среднее геометрическое двух положительных величин не превосходит их среднего арифметического). Bторое неравенство доказывается аналогично.

Видео:ОГЭ вариант-2 #25Скачать

Точка внутри треугольника

Онлайн калькулятор определяет лежит ли точка внутри треугольника + показывает это наглядно на координатной плоскости.
Под калькулятором вы найдете способ определения принадлежности точки треугольнику.

Известны координаты вершин треугольника и известный координаты точки. Нужно установить принадлежность точки треугольнику.
Существует несколько способов определения. лежит-ли точка внутри треугольника или снаружи:

1. Метод сравнения площадей — по формуле Герона находятся площади 3-х треугольников которые образует точка с каждой стороной треугольника, далее находится площадь самого треугольника и сравнивается с суммой 3ех предыдущих треугольников, если суммы равны то значит точка принадлежит треугольнику.

2. Метод относительности — выбирается ориентация движения по вершинам треугольника, например по часовой стрелке. По данной ориентации проходим все стороны треугольника, рассматривая их как прямые, и рассчитываем по какую сторону от текущей прямой лежит наша точка. Если точка для всех прямых, лежит с правой стороны, то значит точка принадлежит треугольнику, если хоть для какой-то прямой она лежит с левой стороны, то значит условие принадлежности не выполняется.

3. Метод геометрического луча — из точки пускается луч по какой-либо оси в каком-либо направлении. Вычисляется количество пересечений со сторонами, если кол-во нечётное, то значит точка лежит внутри многоугольника.

💡 Видео

Найти площадь треугольника В параллелограмме точка середина диагонали Окружность с центром в точкеСкачать

7 класс. ГеометрияСкачать

ГЕОМЕТРИЯ С НУЛЯ. УРОК-5. ПРОИЗВОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИКСкачать

Неравенство треугольника | Задачи 21-29 | Решение задач | Волчкевич | Уроки геометрии в задачах 7-8Скачать

Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shortsСкачать

Четыре замечательные точки треугольникаСкачать

Задача о выражении площади треугольника через площади трёх внутренних треугольниковСкачать

Геометрия Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки равностороннего треугольника до егоСкачать

Геометрия, 10 класс | Площади треугольников и четырехугольников. Часть 2.Скачать

№509. Докажите, что сумма расстояний от точки, лежащей внутри равностороннего треугольника, до егоСкачать

Геометрия, которую смогли решить только 20 школьниковСкачать

Только 1 из 10 решит эту задачу! / Найдите площадь фигуры внутри квадратаСкачать

Произвольный треугольникСкачать

Как решать С4, геометрия. Урок 29 (5.4) #ЕГЭ по математике 2014. Площадь и высота треугольникаСкачать

ЕГЭ. Математика. Треугольники, их характеристики и свойства. ПрактикаСкачать

Чему равна площадь четырехугольника?Скачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать