производная силы по площади (6 видео)

Содержание

Производная в физике
Задача о теплоемкости тела
Применение производной в физике и технике
п.1. Скорость и ускорение
п.2. Физические величины как производные от других величин
п.3. Примеры
Презентация «О производной».
Просмотр содержимого документа «Презентация «О производной».»
📹 Видео

Видео:02. Что такое производная функцииСкачать

Производная в физике

Разделы: Математика

Алгебра щедра. Зачастую она дает больше, чем у нее спрашивают.

Межпредметные связи являются дидактическим условием и средством глубокого и всестороннего усвоения основ наук в школе.
Кроме того, они способствуют повышению научного уровня знаний учащихся, развитию логического мышления и их творческих способностей. Реализация межпредметных связей устраняет дублирование в изучении материала, экономит время и создаёт благоприятные условия для формирования общеучебных умений и навыков учащихся.
Установление межпредметных связей в курсе физики повышает эффективность политехнической и практической направленности обучения.
В преподавании математики очень важна мотивационная сторона. Математическая задача воспринимается учащимися лучше, если она возникает как бы у них на глазах, формулируется после рассмотрения каких-то физических явлений или технических проблем.
Сколько бы ни говорил учитель о роли практики в прогрессе математики и о значении математики для изучения физики, развития техники, но если он не показывает, как физика влияет на развитие математики и как математика помогает практике в решении её проблем, то развитию материалистического мировоззрения будет нанесен серьёзный ущерб. Но для того, чтобы показать, как математика помогает в решении её проблем, нужны задачи, не придуманные в методических целях, а возникающие на самом деле в различных областях практической деятельности человека

Исторические сведения

Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:

о разыскании касательной к произвольной линии;
о разыскании скорости при произвольном законе движения.

Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Николо Тартальи (около 1500 – 1557гг.) – здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной.

Посвящает целый трактат о роли производной в математике известный учёный Галилео Галилей. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л.Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.

Термин «производная» является буквальным переводом на русский французского слова derive, которое ввел в1797 году Ж. Лагранж (1736-1813).
И.Ньютон называл производную функцию флюксией, а саму функцию – флюентой.

Некоторые применения производной в физике

Производная — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции.

Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует.

Таким образом,

Значит, чтобы вычислить производную функции f(x) в точке x₀ по определению, нужно:

найти разность
найти отношение
найти предел этого отношения при ,

Рассмотрим несколько физических задач, при решении которых применяется эта схема.

Задача о мгновенной скорости. Механический смысл производной

Напомним, как определялась скорость движения. Материальная точка движется по координатной прямой. Координата х этой точки есть известная функция x(t) времени t. За промежуток времени от t₀ до t₀ + перемещение точки равно x(t₀ + ) – x(t₀) – а её средняя скорость такова: .
Обычно характер движения бывает таковым, что при малых , средняя скорость практически не меняется, т.е. движение с большой степенью точности можно считать равномерным. Другими словами, значение средней скорости при стремится к некоторому вполне определённому значению, которое называют мгновенной скоростью v(t₀) материальной точки в момент времени t₀.

Итак,

Но по определению
Поэтому считают, что мгновенная скорость в момент времени t₀

Коротко говорят: производная координаты по времени есть скорость. В этом состоит механический смысл производной.

Аналогично рассуждая, получаем, что производная от скорости по времени есть ускорение, т.е.

Задача о теплоемкости тела

Чтобы температура тела массой в 1г повысилась от 0 градусов до t градусов, телу необходимо сообщить определенное количество тепла Q. Значит, Q есть функция температуры t, до которой тело нагревается: Q = Q(t). Пусть температура тела повысилась с t₀ до t. Количество тепла, затраченное для этого нагревания, равно Отношение есть количество тепла, которое необходимо в среднем для нагревания тела на 1 градус при изменении температуры на градусов. Это отношение называется средней теплоёмкостью данного тела и обозначается с_ср.
Т.к. средняя теплоёмкость не дает представления о теплоёмкости для любого значения температуры Т, то вводится понятие теплоёмкости при данной температуре t₀ (в данной точке t₀).
Теплоемкостью при температуре t₀ (в данной точке) называется предел

Коротко говорят: производная от количества тепла, получаемого телом, по температуре есть теплоемкость.

Задача о линейной плотности стержня

Рассмотрим неоднородный стержень.

Стержень называют неоднородным, если на два участка одинаковой длины приходятся различные массы.

Для такого стержня встаёт вопрос о скорости изменения массы в зависимости от его длины.

Средняя линейная плотность масса стержня есть функция его длины х.

Таким образом, линейная плотность неоднородного стержня в данной точке определяется следующим образом:

Коротко говорят: линейная плотность стержня в точке есть производная массы по длине.

Рассматривая подобные задачи, можно получить аналогичные выводы по многим физическим процессам. Некоторые из них приведены в таблице.

Функция

Формула

Выводm(t) – зависимость массы расходуемого горючего от времени.Производная массы по времени есть скорость расхода горючего.T(t) – зависимость температуры нагреваемого тела от времени.Производная температуры по времени есть скорость нагрева тела.m(t) – зависимость массы при распаде радиоактивного вещества от времени.Производная массы радиоактивного вещества по времени есть скорость радиоактивного распада.q(t) – зависимость количества электричества, протекающего через проводник, от времениПроизводная количества электричества по времени есть сила тока.A(t) – зависимость работы от времениПроизводная работы по времени есть мощность.

Практические задания:

№1.

Снаряд, вылетевший из пушки, движется по закону x(t) = – 4t 2 + 13t (м). Найти скорость снаряда в конце 3 секунды.

№2.

Количество электричества, протекающего через проводник, начиная с момента времени t = 0 c, задаётся формулой q(t) = 2t 2 + 3t + 1 (Кул) Найдите силу тока в конце пятой секунды.

№3.

Количество тепла Q (Дж), необходимого для нагревания 1 кг воды от 0 o до t o С, определяется формулой Q(t) = t + 0,00002t 2 + 0,0000003t 3 . Вычислите теплоемкость воды, если t = 100 o .

№4.

Тело движется прямолинейно по закону х(t) = 3 + 2t + t 2 (м). Определите его скорость и ускорение в моменты времени 1 с и 3 с.

№ 5.

Найдите величину силы F, действующей на точку массой m, движущуюся по закону х(t) = t 2 – 4t 4 (м), при t = 3 с.

№ 6.

Тело, масса которого m = 0,5кг, движется прямолинейно по закону х(t) = 2t 2 + t – 3 (м). Найдите кинетическую энергию тела через 7 с после начала движения.

Заключение

Можно указать еще много задач из техники, для решения которых также необходимо отыскивать скорость изменения соответствующей функции.
Например, отыскание угловой скорости вращающегося тела, линейный коэффициент расширения тел при нагревании, скорость химической реакции в данный момент времени.
Ввиду обилия задач, приводящих к вычислению скорости изменения функции или, иначе, к вычислению предела отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, оказалось необходимым выделить такой предел для произвольной функции и изучить его основные свойства. Этот предел и назвали производной функции.

Итак, на ряде примеров мы показали, как различные физические процессы описываются с помощью математических задач, каким образом анализ решений позволяет делать выводы и предсказания о ходе процессов.
Конечно, число примеров такого рода огромно, и довольно большая часть из них вполне доступна интересующимся учащимся.

“Музыка может возвышать или умиротворять душу,
Живопись – радовать глаз,
Поэзия – пробуждать чувства,
Философия – удовлетворять потребности разума,
Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей,
А математика способна достичь всех этих целей”.

Так сказал американский математик Морис Клайн.

Список литературы :

Абрамов А.Н., Виленкин Н.Я. и др. Избранные вопросы математики. 10 класс. – М: Просвещение, 1980.
Виленкин Н.Я., Шибасов А.П. За страницами учебника математики. – М: Просвещение,1996.
Доброхотова М.А., Сафонов А.Н. Функция, её предел и производная. – М: Просвещение, 1969.
Колмогоров А.Н., Абрамов А.М. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М: Просвещение, 2010.
Колосов А.А. Книга для внеклассного чтения по математике. – М: Учпедгиз, 1963.
Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа, ч.1 – М: Наука, 1955.
Яковлев Г.Н. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа, ч.1 – М: Наука, 1987.

Видео:Производная: секретные методы решения. Готовимся к ЕГЭ | Математика TutorOnlineСкачать

Применение производной в физике и технике

п.1. Скорость и ускорение

Рассматривая физический смысл производной (см. §42 данного справочника), мы выяснили, что:

Например:
Рассмотрим прямолинейное равноускоренное движение.
Уравнение этого движения имеет вид: $$ x(t)=x_0+v_0t+frac $$ где (x(t)) — ккордината тела в произвольный момент времени (t, x_0) — начальная координата, (v_0) — начальная скорость, (a=const) — ускорение, действующее на тело.
Чтобы найти скорость тела из этого уравнения, нужно найти производную от координаты по времени: $$ v(t)=x'(t)=left(x_0+v_0t+fracright)’=0+v_0cdot 1+frac a2cdot 2t=v_0+at $$ Чтобы найти ускорение, нужно найти производную от скорости: $$ a(t)=v'(t)=x»(t)=(v_0+at)’=0+acdot 1=a=const $$

п.2. Физические величины как производные от других величин

Если рассматривать уравнение процесса (s=f(t)), его производной будет величина $$ f'(t)=lim_frac $$ Такие величины часто встречаются в различных разделах физики и техники.

Угол поворота (varphi(t))

Угловая скорость (omega(t)=omega'(t))
Угловое ускорение (beta(t)=omega'(t)=varphi»(t))

Масса горючего ракеты (m(t))

Скорость расходования горючего (u(t)=m'(t))

Температура тела (T(t))

Скорость нагрева (v_T(t)=T'(t))

Магнитный поток (Ф(t))

ЭДС индукции (varepsilon(t)=-Ф'(t))

Число атомов радиоактивного вещества (N(t))

Скорость радиоактивного распада (I(t)=-N'(t))

Конечно же, в физике далеко не обязательно берут производную только по времени.
Например, для теплоты Q(T) теплоемкость равна C(T)=Q'(T), где T — температура.
А для процесса теплопереноса температура u(x,t) в точке с координатой x в момент времени t определяется уравнением теплопроводности: $$ frac-a^2frac=f(x,t) $$ и производные берутся по времени (left(fracright)) и по координате (left(fracright)), причем по координате берется производная второго порядка (left(fracright)).
Поэтому в физике для производных чаще используются обозначения Лейбница, в которых хорошо видна как функция, так и аргумент.
Например, для производных функции от одной переменной: (frac, frac, frac. )
Для производных функций от многих переменных: (frac, frac, frac, frac. )

п.3. Примеры

Пример 1. Тело массой 6 кг движется прямолинейно по закону (x(t)=t^2+t+1) (м). Найдите: 1) кинетическую энергию тела через 3 с после начала движения; 2) силу, действующую на тело в это время.
1) Кинетическая энергия равна (E=frac)
Скорость тела: (v(t)=x'(t)=(t^2+t+1)’=2t+1)
Через 3 с: (v(3)=2cdot 3+1=7) (м/с)
Подставляем: (E=frac=147) (Дж)

2) Сила по второму закону Ньютона: (F=ma)
Ускорение тела: (a(t)=v'(t)=(2t+1)’=2) (м/с^2)
Ускорение постоянно.
На тело действует постоянная сила: (F=6cdot 2=12) (Н)

Ответ: 147 Дж; 12 Н

Пример 2. Маховик вращается по закону (varphi (t)=4t-0,5t^2) (рад)
Найдите момент времени, в который маховик остановится.

Угловая скорость: (omega(t)=varphi ‘(t)=(4t-0,5t^2 )’=4-0,5cdot 2t=4-t)
В момент остановки угловая скорость равна 0. Решаем уравнение: $$ 4-t=0Rightarrow t=4 (c) $$ Ответ: 4 c

Пример 3. Ракету запустили вертикально вверх с начальной скоростью 40 м/с. В какой момент времени и на какой высоте ракета достигнет наивысшей точки (g≈10м/с 2 )?

Выберем начало отсчета на земле ((y_0=0)), направим ось y вверх.
Начальная скорость направлена вверх, её проекция на ось положительна.
Ускорение свободного падения направлено вниз, его проекция отрицательна.
Уравнение движения: $$ y(t)=y_0+v_t+frac=0+40t-frac=40t-5t^2 $$ В верхней точке траектории ракета останавливается, её скорость равна 0.
Найдем скорость: $$ v(t)=y'(t)=40-5cdot 2t=40-10t $$ Найдем момент остановки в верхней точке: $$ 40-10t_0=0Rightarrow t_0=frac=4 (c) $$ Найдем высоту подъема в верхней точке: $$ H_=y(t_0)=40cdot 4-5cdot 4^2=80 (м) $$ Ответ: 4 с, 80 м

Пример 4. Через поперечное сечение проводника проходит заряд (q(t)=ln⁡(t+1)) (Кл). В какой момент времени сила тока в проводнике равна 0,1 А?

Сила тока: $$ I(t)=q'(t)=(ln(t+1))’=frac $$ По условию: $$ frac=0,1Rightarrow t_0+1=frac=10Rightarrow t_0=9 (c) $$ Ответ: 9 c

Пример 5. Колесо вращается так, что угол его поворота пропорционален квадрату времени. Первый оборот оно сделало за 8 с. Найдите угловую скорость через 48 с после начала вращения.

По условию угол поворота (varphi (t)=At^2)
Один оборот (2pi) радиан был сделан за 8 с. Получаем уравнение: (Acdot 8^2=2pi)
Находим коэффициент (A=frac=frac)
Уравнение движения (varphi(t)=fract^2) (рад)
Угловая скорость (omega(t)=varphi ‘(t)=left(fract^2right)’=fraccdot 2t=fract) (рад/с)
Через 48 секунд (omega(48)=fraccdot 48=3pi) рад/с — полтора оборота в секунду.
Ответ: (3pi) рад/с

Пример 6. Для нагревания 1 кг жидкости от 0°С до t°C необходимо (Q(t)=1,7t+at^2+bt^3) Дж теплоты.
Известно, что теплоемкость жидкости при температуре 100°С равна 1,71 Дж/К, а для нагревания 1 кг этой жидкости 0°С до 50°C требуется 85,025 Дж теплоты. Найдите коэффициенты a и b.

Теплоемкость: (C(t)=Q'(t)=1,7cdot 1+acdot 2t+bcdot 3t^2=1,7+2at+3bt^2)
По условию: begin C(100)=1,7+2acdot 100+3bcdot 100^2-1,71\ 200a+30000b=0,01 end Кроме того: begin Q(50)=1,7cdot 50+acdot 50^2+bcdot 50^3=85,025\ 2500a+125000b=0,025 end Получаем линейную систему: begin begin 200a+30000b=0,01 |:2\ 2500a+125000b=0,025 |:25 end Rightarrow begin 100a+15000b=0,005\ 100a+5000b=0,001 end \ 15000b-5000b=0,005-0,001\ 10000b=0,004\ b=4cdot 10^cdot 10^=4cdot 10^ left(fracright)\ a=frac=frac<10^-5cdot 10^3cdot 4cdot 10^>=frac<10^-2cdot 10^>=-frac<10^>\ a=-10^ left(fracright) end Ответ: (a=-10^frac; b=4cdot 10^frac)

Пример 7*. Лестница длиной 5 м стояла вертикально. Потом её нижний конец стали перемещать по полу с постоянной скоростью (v=2) м/с. С какой по абсолютной величине скоростью в зависимости от времени опускается верхний конец лестницы? Постройте график полученной функции.

Лестница со стенами образует прямоугольный треугольник, для которого справедлива теорема Пифагора: $$ x^2(t)+y^2(t)=5^2 $$ Нижний конец движется с постоянной скоростью, его уравнение движения по полу: $$ x(t)=vt=2t $$ Отсюда получаем уравнение движения верхнего конца по стенке: begin y^2(t)=25-x^2(t)=25-(2t)^2=25-4t^2\ y(t)=sqrt end

Время (tgeq 0) имеет ограничение сверху (25-4t^2geq 0Rightarrow t^2leq fracRightarrow 0leq tleq 2,5 (с))
Скорость скольжения верхнего конца по стенке: begin u_y(t)=y'(t)=left(sqrtright)’=frac<2sqrt>cdot (25-4t^2)’=frac<2sqrt>\ u_y(t)=-frac<sqrt> end Знак «-» указывает на направление скорости вниз и связан с уменьшением координаты (y(t)) со временем. Абсолютная величина найденной скорости: begin u(t)=|u_y(t)|=frac<sqrt> end 1) ОДЗ: (0leq tleq 2,5)
2) Четность – нет, т.к. функция определена только на положительных t.
Периодичность – нет.
3) Асимптоты:
1. Вертикальная
Рассмотрим односторонние пределы begin lim_left(frac<sqrt>right)=frac05=0\ lim_left(frac<sqrt>right)=frac=+infty end При подходе к правой границе (t=2,5) слева функция стремится к (+infty).
В точке (t=2,5) – вертикальная асимптота.
2. Горизонтальных асимптот нет, т.к. ОДЗ ограничено интервалом.
3. Наклонных асимптот нет.

6) Пересечение с осями
В начале координат: (t=0, u=0)

7) График

Пример 8. Под действием нагрузки деталь с поперечным сечением в виде прямоугольника площадью 17 см 2 начинает деформироваться. Одна из сторон прямоугольника растет с постоянной скоростью 1 см/ч, а вторая – уменьшается со скоростью 0,5 см/ч. Найдите скорость изменения площади поперечного сечения через 45 мин после начала деформации, если известно, что в этот момент его площадь равна 20 см 2 .

Длина первой стороны в зависимости от времени: (a(t)=a_0+1cdot t) (см),
время – в часах.
Длина второй стороны: (b(t)=b_0-0,5cdot t).
Площадь в начальный момент: (S_0=a_0 b_0=17 (см^2))
Площадь в произвольный момент t: begin S(t)=a(t)cdot b(t)=(a_0+t)(b_0-0,5t)=a_0 b_0+(-0,5a_0+b_0)t-0,5t^2=\ =17+(-0,5a_0+b_0)t-0,5t^2 end По условию при (t=45 мин=frac34 ч): begin Sleft(frac34right)=17+(-0,5a_0+b_0)cdotfrac34-0,5cdotleft(frac34right)^2=20\ (-0,5a_0+b_0)cdotfrac34=20-17+frac=3+frac\ (-0,5a_0+b_0)=frac43left(3+fracright)=4+frac38=4frac38 end Получаем: begin S(t)=17+4frac38t-0,5t^2 end Скорость изменения площади: begin S'(t)=0+4frac38cdot 1-0,5cdot 2t=4frac38-t end Через 45 мин: begin S’left(frac34right)=4frac38-frac34=3+frac-frac34=3+frac=3frac58=3,625 (см^2/ч) end Ответ: 3,625 см 2 /ч

Видео:Математика - ПроизводнаяСкачать

Презентация «О производной».

В презентации дается историческая справка,применение производной,вычисление производных элементарных функций.

Просмотр содержимого документа
«Презентация «О производной».»

Сойдётся ли наш пасьянс в проведении урока?

История появления термина «производная»

«Кто хочет ограничиться настоящим без знания прошлого, тот никогда его не поймет»

Лейбниц Готфрид Фридрих

Раздел математики который изучает производные функции и их применения, называется дифференциальным исчислением. Это исчисление возникло из решений задач на проведение касательных к кривым, на вычисление скорости движения, на отыскание наибольших и наименьших значений функции.

Ряд задач дифференциального исчисления был решен еще в древности Архимедом, разработавшим способ проведения касательной.

Архимед построил касательную к спирали, носящей его имя.

Архимед (ок. 287 – 212 до н.э.) – великий ученый. Первооткрыватель многих фактов и методов математики и механики, блестящий инженер.

Аполлоний – к эллипсу, гиперболе и параболе.

Но общего метода, пригодного для построения касательной к любой кривой плоскости в произвольной ее точке найдено не было.

Более общим и важным для развития дифференциального исчисления был метод построения касательных Ферма.

Пьер Ферма (1601 – 1665 гг.) – французский математик и юрист

Задача нахождения скорости изменения функции была впервые решена Ньютоном.

Функцию он назвал флюэнтой, т.е. текущей величиной. Производную – ф л ю к с и е й.

Ньютон пришел к понятию производной исходя из вопросов механики.

Исаак Ньютон (1643 – 1722 гг.) – английский физик и математик.

Основываясь на результатах Ферма и некоторых других выводах, Лейбниц в 1684 году

опубликовал первую статью по дифференциальному исчислению, в которой были изложены основные правила дифференцирования .

Лейбниц Готфрид Фридрих (1646 – 1716) – великий немецкий ученый, философ, математик, физик, юрист, языковед

Термин «производная» впервые встречается у француза Луи Арбогаста. Этим термином стал пользоваться Лагранж, который и ввел обозначения У ’ и F’(X) .

Лагранж, Жозеф (1736–1813), французский математик и механик.

Мощность – это производная работы по времени P = A’ (t).
Сила тока – производная от заряда по времени I = g’ (t).
Сила – есть производная работы по перемещению F = A’ (x).
Теплоемкость – это производная количества теплоты по температуре C = Q’ (t).
Давление – производная силы по площади P = F'(S)
Длина окружности – это производная площади круга по радиусу l окр =S’ кр (R).
Темп роста производительности труда – это производная производительности труда по времени.
Успехи в учебе? Производная роста знаний.