прикладные задачи на площадь

Видео:Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Урок решения прикладных задач на тему «площадь» 5 класс

Урок закрепления формулы площади прямоугольника. Материал содержит презентацию, технологическую карту урока, рабочую карту для учащихся.

Просмотр содержимого документа
«Рабочий лист»

Ф. И. _____________________________________________________________

Задание 1. Найти площадь фигур:

Решение: ________________ Решение: ___________________

Ответ: ________ Ответ:______

Задание 2.

Известно что: 1) S стен= 67 м ² 2) S потолка= 32 м ² 3) S пола=32 м ²

Найти стоимость ремонта эконом класса, используя данные таблицы:

Обои, 1 трубка=10м ²

Краска, 1 банка на 10м ²

Ремонт своими руками

Найти стоимость ремонта бизнес класса, используя данные таблицы:

Обои, 1 трубка=10м ²

Краска, 1 банка на 10м ²

Ремонт выполняют рабочие, следовательно, стоимость нужно умножить на 2.

Просмотр содержимого документа
«Технологическая карта урока математики в 5 классе по теме»

Технологическая карта урока математики

Холуева Наталья Николаевна

МБОУ «Дубневская СОШ» Ступинского муниципального района Московской обл.

Математика-5. Авторы: Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Шварцбург

Тип урока: урок «открытия нового знания», решения задач прикладного характера.

Главная дидактическая цель: формировать умение использовать формулы площади при решении задач; способствовать развитию математической речи; оперативной памяти; произвольного внимания; наглядно-действенного мышления; воспитывать культуру поведения при фронтальной работе, индивидуальной работе.

Основные понятия: длина, ширина, площадь прямоугольника, площадь фигуры, единицы измерения площадей.

Мотивация к учебной деятельности (организационный момент)

Приветствие, приглашение к взаимному сотрудничеству, включение в деловой ритм.

Настраиваются на работу; концентрируют внимание.

Познавательные: организация на деятельность.

Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем.

Регулятивные: самоопределение и настраивание на урок.

Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности

Предлагаю решить «квартирный вопрос». Провожу аналогию геометрических фигур с объектами из окружающей обстановки. Организую повторение определений прямоугольника, квадрата, понятий длина, ширина, площадь.

Узнают в объектах геометрические фигуры, дают определение прямоугольника, квадрата. Анализируя предложенные вопросы, формулируют тему урока, ставят перед собой цели.

Познавательные: анализируют вопросы и формулируют тему урока

Коммуникативные: выражают свои мысли в устной речи

Регулятивные: выполняют учебные действия.

Выявление места и причины затруднения. (создания проблемной ситуации)

Активизируют знания учащихся с помощью вопросов по слайдам презентации:

-Что надо знать, чтобы вычислить площади прямоугольника, квадрата?;

Какие формулы вам известны?

-Какие единицы измерения площадей вы знаете? Провожу тренировочные вычисления с заполнением таблицы.

Предлагаю проблемный вопрос:

Как вычислить площадь стены без двери или без окна?

Повторяют формулы площади прямоугольника и квадрата; единицы измерения площадей; тренируют вычислительные навыки .Рассуждают и выдвигают гипотезы выхода из проблемной ситуации. Уточняют тему урока и цели.

а) общеучебные: навыки вычислений; формулирование познавательной цели.

б) логические: выдвижение гипотез, их обоснование; построение логической цепи рассуждений.

Коммуникативные: выражают свои идеи, аргументируют своё мнение.

Регулятивные: при возникновении ситуаций затруднения регулируют ход мысли.

Построение проекта выхода из затруднения («открытие» детьми нового знания).

Организую учащихся по исследованию проблемной ситуации, построение проекта выхода из затруднений с помощью знаний: нахождение площади стены без двери, без окна. Предлагаю рассмотреть разные способы действий и составить формулы.

Исследуют проблемную ситуацию, обсуждают пути решения проблемы. Составляют формулы, производят вычисления.

а) общеучебные: отображают учебный материал с помощью знаково- символических действий;

б) логические: устанавливают причинно- следственные связи.

Коммуникативные: договариваются, сотрудничают.

Регулятивные: в ситуации затруднения регулируют свою деятельность.

Первичное закрепление во внешней речи.

Организовала работу по применению формул вычисления площади прямоугольника, квадрата, фигуры, предложив задания встречающиеся в тестовых заданиях ОГЭ и ЕГЭ. Предложила проверить результаты.

Учатся применять формулы для вычисления площади фигур в процессе фронтальной работы, самостоятельного решения, в парной работе.

Контролируют свою работу и партнёра, корректируют деятельность.

а) общеучебные: осмысленное применение новых знаний;

б) логические: выбор формул для произвольных расчётов.

Коммуникативные: сотрудничество с партнёром, с учётом координации действий.

Регулятивные: контролируют свою деятельность.

Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

Организовала самостоятельную работу, предложив задачу на вычисление площади стен, пола, потолка, для этого представила развёртку комнаты и обсудила ход выполнения самостоятельной работы.

Самостоятельная работа, самопроверка по эталону. Оценка работы

а) общеучебные: формирование общеучебных знаний; вычислительные навыки.

Регулятивные: контроль, коррекция, выделение и осознание того что уже усвоено, осознание качества и уровня усвоения.

Включение в систему знаний и повторение.

Предложила решить задачу на выбор оптимального варианта (прототип задачи на ЕГЭ)по расчёту стоимости ремонта эконом класса и бизнес класса. Организовала работу с таблицей.

Выполняют работу, анализируют, контролируют и оценивают результат.

анализировать, обобщать, представлять информацию в разных формах.

Коммуникативные: ориентироваться в жизненном пространстве с помощью формул.

работать по плану.

Личностные: аргументированно оценивать свои и чужие поступки, опираясь на общечеловеческие ценности, вырабатывать уважительное отношение к другому, осваивать социальные роли и правила.

Рефлексия деятельности (итог урока).

Постановка домашнего задания

Организую рефлексию с помощью вопросов:

-Какие знания из области математики помогли решить вам «квартирный вопрос»?

-Что вы узнали нового?

-Какое задание было самым трудным, самым интересным?

Осуществляют самооценку собственной учебной деятельности, соотносят результаты, степень их соответствия.

Коммуникативные: умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.

Личностные: нравственно-этическое оценивание деятельности.

Просмотр содержимого презентации
«Урок математики 5 класс. Площадь. Формула площади прямоугольника »

Урок математики в 5 классе по учебнику Н.Я.Виленкина, В.И.Жохова, А.С. Чеснокова, С.И.Шварцбурда

Учитель 1 категории: Холуева Наталья Николаевна

МБОУ «Дубневская СОШ» Ступинского муниципального района

• формировать умение использовать формулы площади при решении задач;
• способствовать развитию математической речи; оперативной памяти; произвольного внимания; наглядно-действенного мышления;
• воспитывать культуру поведения при фронтальной работе, индивидуальной работе.

Измерить площадь фигуры, значит найти число, показывающее, сколько единичных квадратов содержится в данной фигуре.

3 . Площадь квадрата равна квадрату его стороны:

• 5. Площадь всей фигуры равна сумме площадей ее частей

• 1) 39 см²
• 2) 14 0 см²

2) S потолка= 32 м ²

• Площадь поверхности всей комнаты-131 м²

• Известно что:

Видео:#110. Задание 8: площадь поверхности составного многогранникаСкачать

Прикладные задачи по теме: «Площади геометрических фигур»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Описание презентации по отдельным слайдам:

Прикладные задачи
По теме:
«Площади фигур»

Прикладная задача – это задача, поставленная вне математики и решаемая математическими средствами

Площадь земельного участка, имеющего форму прямоугольника, равна 9 га, ширина участка равна 150 м. Найдите длину этого участка.
9 га
150 м
?
9 га составляют 90 000 м2.
Длина участка равна
90 000:150=600(м)
Ответ: 600 м.
1

Найдите периметр прямоугольного участка земли, площадь которого равна 800 м2 и одна сторона в 2 раза больше другой.
Пусть меньшая сторона равна x. Тогда площадь участка равна 2×2.
2×2=800
x=20.
Значит, периметр участка равен 120 м.
2
800 м2
Ответ: 120 м.

Ширина футбольных ворот равна 8 ярдам, высота – 8 футам. Найдите площадь футбольных ворот в квадратных футах (один ярд составляет три фута).
Ширина футбольных ворот равна 24 футам, высота – 8 футам.
Площадь футбольных ворот равна 192 квадратным футам
4
?
8 ярдов
8 футов
Ответ: 192

Для разметки вратарской площадки на футбольном поле на расстоянии 6 ярдов от каждой стойки ворот под прямым углом к линии ворот вглубь поля проводятся два отрезка длиной 6 ярдов. Концы этих отрезков соединяются отрезком, параллельным линии ворот. Найдите площадь вратарской площадки в квадратных футах, учитывая, что ширина ворот равна 8 ярдам (один ярд составляет три фута).
Площадь вратарской площадки равна 120 квадратным ярдам.
В квадратных футах она составляет 120·9=1080 (квадратных футов)
5
Ответ:1080
?
6 ярдов
6 ярдов
6 ярдов
Ворота

Футбольное поле имеет форму прямоугольника, длина которого в 1,5 раза больше ширины. Площадь футбольного поля равна 7350 м2. Найдите его ширину.
Пусть ширина футбольного поля равна х. Тогда его площадь равна 1,5 х2.
1,5х2=7350
х=70
Значит, ширина поля равна 70м
3
7350 м2
Ответ: 70м.

Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 5 м и 6 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 5 см и 30 см. Сколько потребуется таких дощечек?

Число дощечек 20·100=2000
6
Ответ: 2000
6 м.
5 м.

Найдите площадь стены заводского здания, изображенной на рисунке.

8
Найдите площадь земельного участка, изображенного на рисунке.

Участок между двумя параллельными улицами имеет вид четырехугольника ABCD (AD||BC) AB=28 м, BC=20 м, AD=40 м, B=112º. Найдите площадь этого участка. В ответе укажите приближенное значение, равное целому числу квадратных метров.
9
A
B
C
D
20 м.
40 м.
Е
112º
28 м.

Пусть прямоугольник ABCD – пол гаража, прямоугольник EKMH и E1K1M1H1 –автомашины.
Рассчитать наименьшую площадь гаража для двух автомобилей, имеющих размеры 4,5 м · 1,8 м, так, чтобы между машинами и стенками был проход шириной 1 м.
10
Дано: ABCD-прямоугольник, EKMH и E1K1M1H1- равные прямоугольники, EH=1,8м, КЕ=4,5 м, LE=EX=HE=HP=1м,
EL AB, EX AD, HP CD.
Найти: наименьшую площадь прямоугольника ABCD.
Решение:
Т.к прямоугольники EKMH и E1K1M1H1 – равны, то их площади равны.
AD=LE+EH+HE1+E1H1+H1P=1+1,8+1+1,8+1=3,6+3=6,6(м)
AB=EK+2EX=4,5+2=6,5 (м)
SABCD=AB*AD=42,9(м2)
Ответ:42,9 м2
A
B
C
D
E
K
M
H
E1
K1
M1
H1

Окоп имеет в поперечном сечении форму ломаной ABCDEF. Найдите площадь поперечного сечения окопа, если АF = 1,8 м, АO = 1,3 м, H = 1,5 м, BC = 0,6 м, DE = 0,5 м, h=1 м.
11
Дано: ABCDEF-многоугольник, AF=1,8 м, AO=1,3м, H=1,5 м, ВС=0,6м, DE=0,5 м, h=1 м.
Найти: SABCDEF
Решение:
ABCO-равнобедренная трапеция, тогда
ODEF-параллелограмм, тогда SODEF=DE·h=0,5 (м2)
SABCDEF =1,425+0,5=1,925 (м2)
Ответ: 1,925 (м2)

Дано: Многоугольник ABCDE…X
Найти: S
Для изготовления костюма военной маскировки пользуются выкройкой, указанной на рисунке. Размеры даны в сантиметрах. Вычислить площадь выкройки.
12
Решение:
CDEF и PHTR равные прямоугольные трапеции, значит их площади равны.
S=SXBKO-SNML+2SCDEF+SXAB.
XBKO-прямоугольник.
BK=27+144=171(cм), ОК=54(см), тогда SXBKO=171·54(cм2)
SMNL=0,5·NL·h1, h1=72 см, тогда SMNL=9·36(cм2)
SCLEF=45·27(cм2).
Треугольник XAB-равнобедренный.
SXAB=0,5·54·9=27·9(cм2)
S=171·54-9·36+2·45·27+27·9=11581(cм2)=1,2 м2

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 988 человек из 78 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 310 человек из 68 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 673 человека из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Видео:КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать

Дистанционные курсы для педагогов

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 536 497 материалов в базе

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 11.01.2021
• 114
• 1

• 11.01.2021
• 670
• 37

• 11.01.2021
• 287
• 25

• 11.01.2021
• 207
• 15

• 11.01.2021
• 51
• 0

• 11.01.2021
• 119
• 2

• 11.01.2021
• 193
• 1

• 11.01.2021
• 146
• 6

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 11.01.2021 243
• PPTX 1.6 мбайт
• 3 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Шестакова Анна Владимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 4 года и 3 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 1756
• Всего материалов: 5

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Задачи про площадь и периметрСкачать

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

В Госдуме предложили доплачивать учителям за работу в классах, где выявлен ковид

Время чтения: 1 минута

Пермский Роспотребнадзор предписал перевести обучение в школах и ссузах на дистант

Время чтения: 2 минуты

Новые курсы: школьные службы примирения, детская журналистика и другие

Время чтения: 15 минут

Школьники Ленобласти уйдут на внеплановые каникулы

Время чтения: 1 минута

Путин поручил обучать педагогов работе с девиантным поведением

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shortsСкачать

Тема урока: Решение практических задач по теме «Площадь»

Тема урока: Решение практических задач по теме «Площадь»

Образовательная: вырабатывать навыки решения практикоориентированных

Развивающая: развивать память, внимание, логическое мышление и речь

Воспитательная: вырабатывать целеустремлённость, организованность,

положительное отношение к труду, навык самостоятельности в

процессе решения задач.

I. Организационный момент (3 мин)

Ребята! Каковы ваши ожидания от сегодняшнего урока? Попробуйте, исходя из ваших ожиданий, сформулировать вашу личную цель урока и записать её в тетрадь.

(Цель урока формулируют несколько учеников)

Да, ребята, целью урока служит выработка навыков решения задач практической направленности. Таким образом ваше мнение и желание при обозначении целей тоже учтено.

А теперь попытайтесь представить себе наш урок и составить его план, т. е. разбить его на этапы.

(Ученики приводят свои варианты планирования урока)

II. Актуализация опорных знаний (метод «Карта памяти») (3 мин)

В центр вашего внимания ставлю тему «Площадь» (на экране). Какие сведения ассоциируются у вас с этим словом?

Возможные ответы учащихся:

1. Площадь многоугольника – это величина той части плоскости, которую занимает многоугольник.

§ Равные многоугольники имеют равные площади.

§ Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

§ Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

4. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.

5. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

6. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

7. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

8. Если высоты треугольников равны, то их площади относятся как основания.

9. Теорема об отношении площадей тр-ков, имеющих по равному углу: если угол одного треугольника равен углу другого тр-ка, то площади этих тр-ков относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

10. Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.

III. Решение задач практического содержания по готовым чертежам и текстам (7 мин)

1. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

2. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

3. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

4. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

5. Найдите площадь стены заводского здания, изображенной на рисунке.

6. Пол требуется покрыть паркетом из белых и черных плиток, имеющих форму правильных шестиугольников. Фрагмент паркета показан на рисунке. Во сколько раз белых плиток паркета больше чем черных?

7. Пол требуется покрыть паркетом из восьмиугольных и квадратных плиток. Фрагмент паркета показан на рисунке. Найдите отношение числа квадратных плиток к числу восьмиугольных.

8. Сколько погонных метров линолеума шириной 2 м потребуется для покрытия пола шириной 5 м и длиной 8 м?

IV. Работа в группах по решению практической задачи (5 мин +17 мин)

Сегодня вам предстоит побывать в роли членов одной из четырёх строительных кампаний: «Лидер», «Суперстрой», «Мастер» и «Универсал».

Профессия строителя сегодня – очень нужная и важная, пользующаяся популярностью в наше время. Профессия требует воображения, хорошего глазомера, знания геометрии, рисования и черчения.

Прошу сейчас осуществить выбор своей кампании (раздать бейджики, ребята прикрепляют их к груди).

Займите места в строительных кампаниях (учащиеся расходятся по группам). Выберите руководителя своей кампании, который будет нести ответственность за вашу кампанию.

Совместная работа прекрасна и приносит радость, когда мы мыслим, дружно действуем сообща. А чтобы каждая из кампаний имела успех и пользовалась спросом среди населения, вы должны думать, активно искать и находить верные решения. Пожелаем друг другу успешной работы!

Ваша цель – познакомиться с предложенным заказом и осуществить все требования заказчика (формулируется задача – с экрана). Время на работу – 15 минут. По истечении времени – оглашение результатов вашей работы по каждому пункту.

Ваша строительная фирма получила заказ на изготовление паркета, которым необходимо покрыть пол комнаты, имеющий форму прямоугольника со сторонами 6м и 4м.

Но перед тем как приступить к осуществлению заказа, заказчик выдвинул следующие требования:

1. Представить рисунок одной паркетной плитки (отдельные детали паркетной плитки находятся в конвертах)

2. Найти площадь одной паркетной плитки, если размеры отдельных фигур представлены в прайс-листе (прайс-листы — на ваших столах)

3. Просчитать стоимость одной паркетной плитки, исходя из прейскуранта цен на отдельные фигуры (смотри прайс-лист).

4. Просчитать стоимость всего паркета, рассчитанного на площадь всей комнаты.

5. Готовый паркет необходимо покрыть лаком. Сколько кг лака потребуется для покрытия всего паркета, если на 1 м2 поверхности расходуется 0,2 кг?

6. Сколько всего банок лака потребуется, если в одной банке 0,8 кг лака?

7. Какова стоимость лака, необходимого для покрытия всей поверхности площади пола, если 1 банка лака стоит 200 рублей?

8. Какую сумму нужно оплатить заказчиком за выполненную работу, если она составляет 40% от суммы всего заказа?

9. Какова стоимость всего заказа?

(Идёт работа в группах)

V. Результаты работы кампаний (5 мин)

Руководители кампаний представляют свои результаты по каждому пункту.

VI. Итоги урока (2 мин)

Ребята! Возьмём простую жизненную ситуацию: Ваши родители решили в доме сделать ремонт. Подумайте и скажите, какую посильную помощь вы сможете оказать им при этом? Свои ответы вы можете начать со слов …

На уроке я научился…, и поэтому…

Я открыл для себя…

Думаю, что знания, умения и навыки, полученные при изучении темы «Площадь», обязательно пригодятся вам в жизни.

VII. Домашнее задание (3 мин)

Задача 1. Освещённость комнаты считается нормальной, если площадь (световая площадь) окон составляет 20% от площади пола. Нормально ли освещение вашей личной комнаты?

Задача 2. Требуется наклеить обои в вашей комнате. Сколько при этом потребуется рулонов, ширина которых 0,5м, а длина рулона 10,5 м? Сколько коробок обойного клея необходимо, если расход клея составляет одна коробка на 25 м2?

💡 Видео

ОГЭ. Задания 1-5. Как решать. Задача про квартиру. Ященко.Скачать

Геометрия 8. Урок 13 - Площадь четырехугольников. ЗадачиСкачать

Решение прикладных задач на вычисление площади поверхностиСкачать

геометрия ПЛОЩАДИ ФИГУР задачи 8 класс АтанасянСкачать

Задачи от хитроумного японца: Найдите площадь фигуры, используя только формулу площадиСкачать

Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?Скачать

Геометрия 8 класс. Тема: "Решение задач по теме:" Площадь"".Скачать

Задачи на свойства площади фигуры. Геометрия 9 классСкачать

Геометрия 10 класс. Подготовка к ЕГЭ. Площадь сечения.Скачать

Решение прикладных задач в области профессиональной деятельностиСкачать

Геометрия 8. Урок 14 - Площадь треугольников. Формулы и задачи.Скачать

Площади фигур. Повторяем формулы и решаем задачи. Вебинар | МатематикаСкачать

8 класс, 13 урок, Площадь параллелограммаСкачать

8 класс, 12 урок, Площадь прямоугольникаСкачать

Как использовать интеграл в обычной жизни. Математик МГУ и Савватеев #shortsСкачать