практическое применение площади параллелограмма

Следует отметить, что при выполнении одного условия фигура принадлежит к классу параллелограммов.

Свойства фигуры

Свойства — утверждения, доказанные математиками. Они применяются для доказательств теорем, решения диофантовых (линейных) систем уравнений на нахождение двух неизвестных величин, вычисления параметров фигуры, а также для проектирования деталей. Для этих целей можно применять такие утверждения:

После свойств математики рекомендуют ознакомиться с некоторыми теоремами, позволяющими выводить формулу площади параллелограмма.

Видео:Все формулы площади параллелограмма 🔥 #умскул_профильнаяматематика #никитасалливан #егэпрофильСкачать

Теоремы о площади

Формулы площади — базовые соотношения, позволяющие найти другие параметры параллелограмма. Однако начинающему математику рекомендуется посмотреть, каким образом они доказываются. В отличие от прямоугольника величина рассчитывается немного иначе. Формулы — математическая запись определенной теоремы про площадь. Их всего три:

Однако для удобства доказательства утверждений следует ввести обозначения основных параметров фигуры:

Следует отметить, что специалисты при решении любой задачи или доказательстве геометрических тождеств рекомендуют использовать сокращенные записи. Этот подход является признаком мастерства и правилом хорошего тона в точных науках.

Сторона и высота

Первую теорему можно сформулировать следующим образом: площадь параллелограмма равна произведению большей стороны на значение высоты. Доказывается утверждение довольно просто по такому алгоритму:

Следующая теорема имеет такую формулировку: при известных сторонах параллелограмма и размерности угла между ними его площадь эквивалентна произведению первых двух на синус третьего, то есть S=k*l*sin (∠v). Доказывается утверждение по такой методике:

Утверждение доказано. Следует отметить, что в геометрии очень часто одна теорема используется для доказательства другой.

Величины диагоналей

Третья теорема определения величины площади параллелограмма через диагонали имеет следующую формулировку: размерность эквивалентна произведению диагоналей на острый угол между ними (S=F*f*sin (∠z)). Доказывается утверждение по такому алгоритму:

Следует отметить, что результирующая формула с подстановкой всех величин имеет следующий вид: S=[(Ff/2)]*sin (∠z). Однако для решения задач возможно использовать еще один параметр, который называется периметром.

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Информация о периметре

Периметр или поверхность плоского геометрического тела — алгебраическая сумма сторон параллелограмма. Он обозначается литерой «Р». Базовое соотношение имеет следующий вид: S=MN+NO+OP+MP=2 (k+l). Кроме того, существуют другие соотношения для определения Р:

Следует отметить, что из этих соотношений можно найти стороны, высоту и углы. Кроме того, последнее соотношение можно записать в другом виде: P=2[k+H/sin (z)]=2[l+H/cos (v)]. Эти формулы строятся на основании теорем о площади параллелограмма, в которых стороны и другие параметры выражаются через S треугольников. Специалисты рекомендуют после изученного материала переходить к рассмотрению других соотношений.

Видео:Как найти площадь параллелограмма?Скачать

Другие параметры

Определение сторон и диагоналей осуществляется посредством следствий из теорем. Математики рекомендуют воспользоваться готовыми формулами, но не стоит забывать и о тренировках. Последние реализуются при помощи самостоятельного выражения одной величины через другую. Стороны можно найти, когда известны следующие параметры:

Для нахождения диагонали специалисты рекомендуют также воспользоваться следствием из последней теоремы. Кроме того, возможности расчетов расширяются при использовании и других соотношений:

Для практического применения знаний специалисты рекомендуют переходить к заданиям по геометрии.

Видео:Площадь параллелограмма — Геометрия на ОГЭСкачать

Пример решения

Для закрепления теоретических знаний рекомендуется постоянно решать задачи. Условие одной из них имеет следующий вид:

Необходимо найти площадь (S), высоту (H). Вычисляются необходимые параметры по следующему алгоритму:

Задачу можно решать при помощи других соотношений. Однако это приведет к увеличению количества вычислений, в результате которых могут возникнуть ошибки.

Таким образом, для нахождения площади параллелограмма нужно знать признаки фигуры, свойства, теоремы, формулы и соотношения, а также чаще решать различные задачи.

Видео:52. Площадь параллелограммаСкачать

Урок геометрии в 8-м классе по теме «Площадь параллелограмма»

Разделы: Математика

Образовательные цели урока соответствуют требованиям к уровню подготовки выпускников, а так же месту урока в системе уроков по изучаемой теме и направлены на усвоение и закрепление навыка вычисления площадей многоугольников, устранение пробелов в знаниях учащихся по данной теме.

Развивающие цели данного урока направлены как на общее развитие ученика, так и на развитие у учащихся аналитико-синтезирующего, абстрактного мышления, развитие умений применять знания в различных ситуациях, развитие умений самостоятельной работы.

Воспитательные цели данного урока направлены на формирование положительной мотивации учения, созданию “ситуации успеха” на данном уроке.

Исходя из типа урока, целей урока, содержания учебного материала отобраны методы и приёмы обучения.

1. Методы проблемного обучения: эвристический метод (постановка проблемы и организация совместной поисковой деятельности по её разрешению).

2. Методы организации учебно-познавательной деятельности: практические (закрепление практических умений и навыков происходит в ходе выполнения практических заданий), словесные. Соответственно содержанию урока и особенностям класса выбраны формы обучения: общеклассная (на этапе изучения нового материала ведётся работа со всем классом, что необходимо для закрепления материала обязательного уровня всеми учениками класса), индивидуальная и групповая (учащиеся работают самостоятельно, в парах или группах).

Цели и задачи урока:

• Повторить свойства площадей фигур; формулы площади прямоугольника и квадрата; вывести формулу для нахождения площади параллелограмма; рассмотреть задачи с её применением.
• Развивать умения анализировать, сопоставлять, логически мыслить, обобщать; развивать внимание, память, активность и самостоятельность.
• Воспитывать ответственное отношение к учебному труду, настойчивость для достижения конечного результата, умение работать в коллективе; воспитывать в учащихся личностную рефлексию: стал ли он сам для себя изменяющимся субъектом деятельности.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, карточки с текстами вывода формулы площади параллелограмма, конверты с подсказками. Урок проводится с использованием мультимедийной презентации Power Point (смотри Приложение).

Постановка целей урока.

Учитель: — Сегодня на уроке мы продолжаем разговор о нахождении площадей многоугольников. Мы повторим известные нам свойства площадей, изученные формулы площадей некоторых видов многоугольников, применение их при решении задач. Продолжим исследование одного из видов многоугольников с целью вычисления его площади.

Актуализация опорных знаний.

Этот этап проводится с помощью презентации (слайды 2, 17, 18, 19).

— Сформулируйте правила вычисления площадей квадрата и прямоугольника.Учащиеся после просмотра очередного рисунка формулируют свойство:

Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

Равные фигуры имеют равные площади.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

1. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

2. Площадь прямоугольника равна произведению соседних сторон.Слайд 2. Содержит вопрос и гиперссылки на соответствующие слайды, иллюстрирующие свойства. Возврат на слайд 2 осуществляется с помощью гиперссылки “домой”.

Слайд 16-18. По щелчку начинается демонстрация свойства, Прослушав ответ учащегося, по щелчку вызвать на экран формулу, выражающую свойство или словесную формулировку. По гиперссылке вернуться на слайд 2.

После ответа на вопрос 1, по щелчку на экран выводится вопрос 2, а затем выводятся формулы для вычисления площадей названных многоугольников.

Проверка домашнего задания.

В ходе изучения свойств площадей многоугольников учащиеся выполняли практические задания по “перекраиванию” различных фигур. Эта работа проводилась в классе и дома. Учащимся предлагалось продемонстрировать результаты на вырезанных моделях. Перед началом данного урока учитель может проверить выполненные задания, а в процессе урока используя анимационные возможности презентации продемонстрировать возможные “перекраивания” фигур (слайды 3-5). Это позволит привлечь учащихся к совместной работе, поможет пробудить интерес к изучению темы. В процессе демонстрации слайдов повторяется одно из важных понятий: равновеликие фигуры (слайд 3). При демонстрации некоторых “перекраиваний” можно обосновать полученный результат, это позволит вспомнить некоторые свойства многоугольников (слайд 4).

1) Что сохранилось у прямоугольника и треугольника?

2) Как называются такие фигуры?

Дайте определение равновеликих фигур.

— Следующее перекраивание достаточно сложное, рассмотрим его и попытаемся доказать, что получившаяся фигура действительно является параллелограммом.

Почему ABCD – параллелограмм?Учащиеся наблюдают за “перекраиванием” прямоугольника в равнобедренный треугольник, делая необходимые пояснения.

Ответ: равновеликие фигуры.

Ответ: фигуры, имеющие равные площади, называются равновеликими.

Учащиеся просматривая анимацию проводят следующие комментарии: отметим точки – середины боковых сторон трапеции и соединив их линией, разделим трапецию на две части; переместим одну часть и, перевернув ее, соединим с другой так, чтобы получился четырехугольник.

По признаку: АВ = СD (как половины боковой стороны трапеции), BC = AD (ВС – сумма оснований трапеции, АD – удвоенная средняя линия).Слайд 5. По щелчку появляется прямоугольник. По щелчку он делится на две равные части. Далее по щелчку происходит непрерывное перемещение частей прямоугольника и построение из них равнобедренного треугольника.

По щелчку появляются вопросы. Затем по щелчку высвечивается понятие “равновеликие фигуры”.

Слайд 6. По щелчку появляется трапеция, по щелчку появляются точки, по щелчку трапеция делится на две части, далее по щелчку происходит непрерывное перемещение трапеции, выделенной другим цветом. Получившаяся фигура объединяется одним цветом.

Текст доказательства того, что данная фигура параллелограмм появляется по щелчку после обсуждения.

Следующий слайд (Слайд 7), демонстрирующий равновеликие фигуры, создан после проведенного урока самими учащимися, где они попытались используя анимацию показать этапы “перекраивания” произвольного треугольника в трапецию.

Учащиеся выполняют задания устно или полуустно (могут воспользоваться листком черновика для промежуточных записей и вычислений)

1. Определите, какую часть площади равностороннего треугольника занимает площадь треугольника МРК.

Определите, какую часть площади всего треугольника составляет закрашенная фигура.

2. Решите следующие задачи, для вычислений используйте листочки черновика.Учащиеся рассуждениями и обоснованиями приходят к ответу: площади всего треугольника.

Учащиеся без обоснований дают правильные ответы: и .

1) Стороны прямоугольника 2 см и 4,5 см. Чему равна сторона равновеликого квадрата?

2) Площадь квадрата 32 см 2 . Найдите периметр равновеликого прямоугольника, у которого смеж-ные стороны относятся как 2 : 1.

3) Задача по готовому чертежуСлайд 6.

По щелчку появляется условие задачи и рисунок. После обсуждения задачи полученный ответ высвечивается на месте ? по щелчку. Далее по щелчку появляются еще два рисунка.

После обсуждения задачи по щелчку на экран выводятся ответы. Задачи появляются на экране последовательно, переход от одной задачи к другой осуществляется по щелчку.

Гимнастика для глаз (1,5 – 2 мин)

Далее идет переход к основному этапу урока: выводу формулы площади параллелограмма.

Учитель: — В последней задаче мы увидели, что можно вычислить площадь параллелограмма, заменив его равновеликим треугольником, площадь которого была известна. Давайте попробуем исследовать вопрос о площади параллелограмма и найти способ ее вычисления, используя известные на сегодняшний день формулы площадей многоугольников (Слайд 8).

Изучение нового материала.

Ставится проблемный вопрос: как найти площадь параллелограмма. Материал, рассмотренный на предыдущих этапах урока, позволяет привести учащихся к мысли, что надо параллелограмм “перекроить” в другую фигуру, площадь которой они умеют вычислять. Решение поставленной задачи проводится совместными исследованиями и обоснованиями учителя и учащихся, используя наглядные возможности анимации слайда 9. В ходе обсуждения намечаются равенства и формулы, которые затем будут использованы при доказательстве теоремы о площади параллелограмма. Анимация слайда сложна, но она позволяет проследить все этапы исследования и вывода формулы площади нового вида многоугольников.

Физкультминутка (1,5 – 2 мин)

Закрепление полученных знаний. Самостоятельная работа в парах и группах по решению задач с использованием подсказок и последующей проверкой или самопроверкой.

Закрепление полученной формулы можно провести при выполнении простейших устных задач и задачи из учебника № 464(в). Эту работу можно предварить записью формул площади параллелограмма в других обозначениях, применяемых при решении задач (слайд 12). Затем учащимся можно предложить работу в парах или группах по решению двух задач на применение изученной формулы. Учащимся предлагаются конверты с подсказками (в каждом конверте несколько одинаковых подсказок для той или другой задачи). Всего для каждой задачи по три подсказки (смотри Приложение 2). Учащиеся могут ими воспользоваться последовательно. Текст задач выдается каждой группе в печатном виде, а также выводится на экран (слайд 13). Учитель контролирует работу групп, определяя степень усвоения изученной формулы и использования известных свойств многоугольников. Через определенное время краткое решение задач можно проверить, используя слайд 14. Учащиеся могут провести самопроверку или учитель вызывает наиболее подготовленных и раньше других справившихся с задачами учащихся для записи решений на закрытых досках.

Подведение итогов. Постановка домашнего задания.

Итоги урока подводятся с опорой на три основных вопроса, последовательно выводимых на экран (слайд 15). Затем оценивается работа учащихся, выставляются оценки за урок. Предлагается домашнее задание.

Деятельность учителя	Деятельность ученика	Комментарии к слайдам
Подведем итоги нашего урока. 1. Достигли мы поставленной цели? 2. Какой главный итог нашего урока? 3. Что мы использовали для достижения цели урока? Запишите домашнее задание. Благодарю всех за урок. Молодцы.	Да, мы узнали новую формулу для вычисления площади параллелограмма. Исследовали и доказали способ отыскания площади любого параллелограмма по известным значениям стороны и высоты, проведенной к этой стороне. Известные нам свойства площадей многоугольников, формулу площади прямоугольника. п.51, теорема о площади параллелограмма, № 459(в, г); 460; 461(а); 462	Слайд 15. Слайд содержит вопросы для подведения итогов урока, которые по щелчку появляются на экране, также на экране появляется домашнее задание. Слайд содержит две гиперссылки: “завершение” — по ней мы попадаем на завершающий слайд 20; “дополнительно” — она позволяет перейти к интересной задаче в случае, если на уроке осталось время (слайд 19) Видео:Площадь параллелограммаСкачать Урок и презентация на тему «Площадь параллелограмма». Геометрия 8 класс. Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах. Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов Сертификат и скидка на обучение каждому участнику Выберите документ из архива для просмотра: Выбранный для просмотра документ Площадь параллелограмма.ppt Описание презентации по отдельным слайдам: «Ум заключается не только в знании, но и в умении приложить знание на деле» АРИСТОТЕЛЬ ПРАВИЛА РАБОТЫ В ГРУППАХ В совместной работе нет «актеров» и «зрителей», все участники. Каждый член группы заслуживает того, чтобы его выслушали, не перебивая. Следует говорить так, чтобы тебя понимали, высказываться непосредственно по теме, избегая лишней информации. Критикуются идеи, а не личности. Цель совместной деятельности заключается не «в победе» какой-либо одной точки зрения, а в возможности найти лучшее решение, узнав разные мнения по проблеме. 1 2 3 4 2 4 2 3 4 3 4 4 6) 2 4 7) 1 2 3 4 8) 2 4 9) 1 2 3 4 10) 5 ТЕМА УРОКА . . . . . . . ЦЕЛЬ УРОКА . . . . . . . . ТЕМА УРОКА ЦЕЛЬ УРОКА НАУЧИТЬСЯ ВЫЧИСЛЯТЬ ПЛОЩАДЬ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА 1. Какие свойства площадей геометрических фигур иллюстрируют следующие рисунки? Рисунок 1 Рисунок 2 Рисунок 3 2. Как вычислить площадь прямоугольника? Sпрям = ab «Перекроить» равнобедренную трапецию в параллелограмм. В А С D ABCD – параллелограмм. «Перекроите» равнобедренную трапецию в параллелограмм Что сохранилось у прямоугольника и треугольника? Как называются такие фигуры? Равновеликие фигуры ЗАДАЧИ 1. Стороны прямоугольника 2 см и 4,5 см. Чему равна сторона равновеликого квадрата? А В С D K O S∆AKD = 18 см2 ABCD — параллелограмм Найдите SABCD 2. 3 см 18 см 2 * A B C D H K Как найти площадь параллелограмма? Фигуры ABCD и HBCK равновеликие, значит их площади равны. SHBCK = HK · BH HK = AD SABCD = AD · BH Итак, площадь параллелограмма… A B C D H AD – сторона параллелограмма (основание) ВН — высота Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. К или CD –основание, ВК — высота S(АВСD )= AD · BH S(АВСD )= CD · BK Найдите площади параллелограммов * ЦВЕТ ПАРАЛЛЕЛОГРАММАПЛОЩАДЬ Найдите площади параллелограммов * ЦВЕТ ПАРАЛЛЕЛОГРАММАПЛОЩАДЬ ЖЕЛТЫЙ ОРАНЖЕВЫЙ112 кв.см СИНИЙ КРАСНЫЙ81 кв.см ЧЕРНЫЙ85 кв.см ЗЕЛЕНЫЙ76 кв.см Найти: Дано: А B C D 12 см 300 8 см ABCD – параллелограмм H 8см 5см 600 Дано: ABCD – параллелограмм Найти: А B C D 1 группа * Для ремонта пола в гостинной папа хочет купить 2590 дощечек мозаичного паркета. Помогите папе рассчитать хватит ли этого количества на покрытие пола паркетом. 7 м 5 м 2 м 2 м 5 см 30 см План комнаты Доска мозаичного паркета 2 группа * Для паркетного пола необходимо 2 вида дощечек мозаичного паркета. Рассчитайте площадь каждого вида, представленного на чертеже 40 см 2 м 10 см 10 см 1) 2) 30° 15 см 3 группа * Для замены пола Карлсон приобрел плитку в форме параллелограмма, высоты которого равны 4 см и 5 см, периметр равен 45 см. Хватит ли двух упаковок плитки (в каждой по 10 штук) для замены пола в кладовке, площадь которого 1,5 кв.м? F1 F2 S1 S2 S F S = S1 + S2 F2 S1 S2 F1 Если F1 = F2, то S1 = S2 3 мм 3 мм 2 см 2 см 5 дм 5 дм Площадь квадрата равна квадрату его стороны 9 мм2 4 см2 25 дм2 Выбранный для просмотра документ конспект урока.docx Разработка урока математики автор Пупышева Тамара Николаевна, учитель математики первой квалификационной категории МБОУ «Средняя общеобразовательная школа № 17 с углубленным изучением музыки и ИЗО» города Бийска Алтайского края Тема: « Площадь параллелограмма» Программа: Т.А. Бурмистрова Программы общеобразовательных учреждений. Геометрия 7-9 классы. – М.: Просвещение, 2009 образовательные цели направлены на усвоение и закрепление навыка вычисления площади параллелограмма, устранение пробелов в знаниях учащихся по данной теме; развивающие цели данного урока направлены на развитие у учащихся аналитико-синтезирующего, абстрактного мышления, развитие умений применять знания в различных ситуациях; воспитательные цели данного урока направлены на формирование у учащихся положительной мотивации, созданию «ситуации успеха» на уроке. Исходя из типа урока, целей урока, содержания учебного материала отобраны следующие методы и приемы обучения: методы проблемного обучения : эвристический метод ( постановка проблемы и организация совместной поисковой деятельности по ее разрешению); методы организации учебно-познавательной деятельности : практические (закрепление умений и навыков происходит в ходе выполнения практических заданий), словесные. Соответственно содержанию урока и особенностям класс выбраны формы обучения: фронтальная (на этапе изучения нового материала ведется работа со всем классом, что необходимо для закрепления материала обязательного уровня всеми учениками класса), индивидуальная и групповая (учащиеся работают самостоятельно и в парах). 1.Повторить свойства площадей фигур; формулы площади прямоугольника и квадрата; вывести формулу для нахождения площади параллелограмма; рассмотреть задачи с ее применением. 2. Развивать умения анализировать, сопоставлять, логически мыслить, обобщать; развивать внимание, память, активность и самостоятельность. 3. Воспитывать умение работать в коллективе; воспитывать в учащихся личностную рефлексию: стал ли он сам для себя изменяющимся субъектом деятельности. Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, карточки с текстом вывода формулы площади параллелограмма. Урок проводится с использованием мультимедийной презентации Power Point . План – конспект урока Организационный момент. Актуализация знаний учащихся по изучаемому разделу. Цель: создание доброжелательной атмосферы, способствующей сотрудничеству в рамках урока, создание условий для актуализации опорных знаний учащихся по изучаемому разделу. — актуализировать мотивы предыдущих достижений учащихся; — подготовить учащихся к восприятию нового материала Отвечают на приветствие учителя, улыбаются друг другу, садятся. 📸 Видео Площадь параллелограмма. 4 формулы для нахождения площади параллелограммаСкачать Площадь параллелограмма, треугольника, трапецииСкачать Площадь параллелограммаСкачать Площадь параллелограммаСкачать §16 Нахождение площади параллелограммаСкачать Площадь параллелограмма треугольника и трапецииСкачать Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shortsСкачать Запомни: все формулы для площади треугольникаСкачать Площадь параллелограмма. Виды параллелограммаСкачать Почему площадь параллелограмма такая?Скачать ГЕОМЕТРИЯ 8 класс : Площадь параллелограммаСкачать Поделиться или сохранить к себе: Смотрите также чтобы найти площадь прямоугольного треугольника надо чтобы найти площадь прямоугольника нужно правило чтобы найти площадь параллелограмма нужно правило чтобы найти площадь многоугольника нужно знать чтобы найти площадь квадрата нужно правило чтобы вычислить площадь прямоугольника 3 класс что такое эффективная площадь атома что такое штрафная площадь в футболе