повторение курса планиметрии площадь четырехугольника

Площади четырехугольников

Формулы для площадей четырехугольников

Вывод формул для площадей четырехугольников

Вывод формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника

В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

которая позволяет найти площадь прямоугольника прямоугольника с основанием a и высотой b.

Формулы для площадей четырехугольников

a и b – смежные стороны

d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Получается из верхней формулы подстановкой d=2R

R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

φ – любой из четырёх углов между ними

a – сторона квадрата

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

a и b – основания,
h – высота

φ – любой из четырёх углов между ними

a и b – основания,
c и d – боковые стороны

a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

a и b – неравные стороны,
φ₁ – угол между сторонами, равными a ,
φ₂ – угол между сторонами, равными b .

a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

φ – любой из четырёх углов между ними

,

a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр,

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Четырехугольник	Рисунок	Формула площади	Обозначения
Прямоугольник		S = ab
Параллелограмм
Квадрат		S = a 2
		S = 4r 2
Ромб
Трапеция
		S = m h
Дельтоид		S = ab sin φ
Произвольный выпуклый четырёхугольник
Вписанный четырёхугольник

где
a и b – смежные стороны

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

φ – любой из четырёх углов между ними

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

где
a и b – основания,
h – высота

φ – любой из четырёх углов между ними

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

φ – любой из четырёх углов между ними

,

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Прямоугольник
Параллелограмм
Квадрат
	S = a 2 где a – сторона квадрата
	S = 4r 2
Ромб
Трапеция
Дельтоид
	где a и b – неравные стороны, φ1 – угол между сторонами, равными a , φ2 – угол между сторонами, равными b .
Произвольный выпуклый четырёхугольник
Вписанный четырёхугольник

Прямоугольник

где
a и b – смежные стороны

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Параллелограмм

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

φ – любой из четырёх углов между ними

Квадрат

где
a – сторона квадрата

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Ромб

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Трапеция

где
a и b – основания,
h – высота

φ – любой из четырёх углов между ними

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны ,

Дельтоид

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
φ₁ – угол между сторонами, равными a ,
φ₂ – угол между сторонами, равными b .

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Произвольный выпуклый четырёхугольник

φ – любой из четырёх углов между ними

Вписанный четырёхугольник

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Вывод формул для площадей четырехугольников

Утверждение 1 . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

Доказательство . В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a – сторона параллелограмма, а h_a – высота высота высота , опущенная на эту сторону (рис. 2).

Доказательство . Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 .Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

что и требовалось доказать.

Утверждение 4 . Площадь ромба ромба можно найти по формуле

,

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

что и требовалось доказать.

Утверждение 5 . Площадь трапеции можно найти по формуле

,

где a и b – основания трапеции, а h – высота высота высота (рис.5).

Доказательство . Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD . Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF . Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 6 . Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции ,

(рис.6).

Доказательство . Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

,

что и требовалось доказать.

Утверждение 7 . Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Доказательство . Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D , а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O , лежащей на диагонали BD . Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

Методическая разработка по математики на тему «Методика изучения площади четырехугольников»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Методика изучения площади четырехугольников

В школьном курсе геометрии тема «площади четырехугольников» является весьма актуальной, так как является фундаментом при изучении других разделов.

Возникновение геометрии восходит к глубокой древности и было обусловлено практическими потребностями человеческой деятельности (необходимостью измерения земельных участков, измерения объемов различных тел и т.д.). [8]

Простейшие геометрические сведения и понятия были известны еще в Древнем Египте. В этот период геометрические утверждения формулировались в виде правил, даваемых без доказательств.

С VII века до н.э. геометрия как наука бурно развивалась в Древней Греции. В этот период происходило не только накопление различных геометрических сведений, но и отрабатывалась методика доказательств геометрических утверждений, а также делались первые попытки сформулировать основные первичные положения (аксиомы) геометрии, из которых чисто логическими рассуждениями, выводится множество различных геометрических утверждений. Уровень развития геометрии в Древней Греции отражен в сочинении Евклида «Начала».

«Начала» Евклида оказали огромное влияние на развитие математики. Эта книга на протяжении более чем двух тысяч лет была не только учебником по геометрии, но и служила отправным пунктом для очень многих математических исследований, в результате которых возникли новые самостоятельные разделы математики.

Тема «Площади многоугольников» является неотъемлемой частью школьного курса математики, что вполне естественно. Ведь исторически само возникновение геометрии связано с потребностью сравнения земельных участков той или иной формы. Вместе с тем следует отметить, что образовательные возможности раскрытия этой темы в средней школе используются далеко не полностью.

Основная задача обучения математике в школе заключается в обеспечении прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования.

Объектом исследования является процесс обучения геометрии в основной школе.

Предмет исследования методика изучения площади четырехугольников в курсе планиметрии 8-9 классов.

Методы : теоретический анализ методической литературы, практическая апробация урочных и неурочных авторских разработок.

разработать теоретические карты по теме исследования;

выделить методические особенности изучения темы «Площади четырехугольников в курсе планиметрии 8-9 классов»;

разработать систему упражнений по данной теме.

Повторение курса планиметрии площадь четырехугольника

Площади четырехугольников

Формулы для площадей четырехугольников

Вывод формул для площадей четырехугольников

Вывод формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника

В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

которая позволяет найти площадь прямоугольника прямоугольника с основанием a и высотой b.

Формулы для площадей четырехугольников

Четырехугольник	Рисунок	Формула площади	Обозначения
Прямоугольник		S = ab

a и b – смежные стороны

d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Получается из верхней формулы подстановкой d=2R

R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Параллелограмм

a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

φ – любой из четырёх углов между ними

КвадратS = a 2

a – сторона квадрата

S = 4r 2

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Ромб

a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Трапеция

a и b – основания,
h – высота

S = m h

φ – любой из четырёх углов между ними

a и b – основания,
c и d – боковые стороны

ДельтоидS = ab sin φ

a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

a и b – неравные стороны,
φ₁ – угол между сторонами, равными a ,
φ₂ – угол между сторонами, равными b .

a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Произвольный выпуклый четырёхугольник

φ – любой из четырёх углов между ними

Вписанный четырёхугольник

,

a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр,

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

где
a и b – смежные стороны

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

φ – любой из четырёх углов между ними

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

где
a и b – основания,
h – высота

φ – любой из четырёх углов между ними

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

φ – любой из четырёх углов между ними

,

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Прямоугольник
Параллелограмм
Квадрат
	S = a 2 где a – сторона квадрата
	S = 4r 2
Ромб
Трапеция
Дельтоид
	где a и b – неравные стороны, φ1 – угол между сторонами, равными a , φ2 – угол между сторонами, равными b .
Произвольный выпуклый четырёхугольник
Вписанный четырёхугольник

Прямоугольник

где
a и b – смежные стороны

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Параллелограмм

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

φ – любой из четырёх углов между ними

Квадрат

где
a – сторона квадрата

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Ромб

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Трапеция

где
a и b – основания,
h – высота

φ – любой из четырёх углов между ними

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны ,

Дельтоид

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
φ₁ – угол между сторонами, равными a ,
φ₂ – угол между сторонами, равными b .

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Произвольный выпуклый четырёхугольник

φ – любой из четырёх углов между ними

Вписанный четырёхугольник

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Вывод формул для площадей четырехугольников

Утверждение 1 . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

Доказательство . В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a – сторона параллелограмма, а h_a – высота высота высота , опущенная на эту сторону (рис. 2).

Доказательство . Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 .Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

что и требовалось доказать.

Утверждение 4 . Площадь ромба ромба можно найти по формуле

,

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

что и требовалось доказать.

Утверждение 5 . Площадь трапеции можно найти по формуле

,

где a и b – основания трапеции, а h – высота высота высота (рис.5).

Доказательство . Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD . Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF . Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 6 . Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции ,

(рис.6).

Доказательство . Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

,

что и требовалось доказать.

Утверждение 7 . Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Доказательство . Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D , а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O , лежащей на диагонали BD . Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

Сборник заданий по планиметрии. Четырехугольники.

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Муниципальное образовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №7
имени адмирала Ф.Ф.Ушакова

Сборник заданий по планиметрии.
Четырехугольники
(Задания для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ)

Кузнецова Нелли Валериевна

1.1 Описание дидактического комплекта………………………………. 5

Рекомендации по проведению обобщающего повторения темы «Четырехугольники» ……………………………….……………………..7

Теоретические сведения и задания для повторения основных свойств четырехугольников…………………………………………………………8

Свойства и признаки параллелограммов и трапеции………………………….……………………………………. 8

Средняя линия трапеции…………. ………………………………….13

Вычисление некоторых линейных элементов четырехугольников с использованием формулы площади 16

Вписанные и описанные окружности…………………………………20

ВВЕДЕНИЕ

При обучении математике ученик последовательно переходит от изучения одной дидактической единицы к изучению другой. При этом у него формируются линейные связи между различными дидактическими единицами. С ростом числа дидактических единиц цепочка линейных связей между ними увеличивается, её становится трудно удержать ученику в памяти, поэтому постепенно математика начинает представляться для него в виде набора некоторых определений, аксиом, теорем, задач.

Одна из главных целей обучения математике – формирование системы знаний у обучающихся. Поэтому необходима организация деятельности учащегося на определенном этапе обучения, специально направленная на систематизацию и обобщение приобретенных учеником элементов знаний. Это возможно при обобщающем повторении. Оно позволяет углубить, расширить, обобщить и систематизировать знания.

Обобщающее повторение целесообразно проводить в конце 9го класса, когда изучение планиметрии закончено и необходимо систематизировать полученные учащимися знания и приобретенные умения для дальнейшего их применения на выпускном экзамене по математике.

Особое значение имеет обобщающее повторение при изучении первых разделов стереометрии, так как одним из важных вопросов является проблема закрепления материала по планиметрии в процессе преподавания стереометрии. Актуальность этой проблемы исходит из необходимости умелого использования материала по планиметрии на уроках стереометрии при решении задач на сечения многогранника плоскостью, нахождение площадей полученных сечений, вычисление площадей поверхностей и объемов многогранников и тел вращения.

В предыдущие годы геометрические задания при сдаче ЕГЭ выпускники плохо решали или не решали вовсе. В настоящее время наметился прогресс в выполнении геометрических задач на выпускном экзамене, однако выпускники по-прежнему испытывают определенные трудности при решении планиметрических задач.

Несмотря на то, что некоторые задачи экзаменационной работы – вычислительные, для их решения важно владение теоретическим материалом. Хотя от учащихся и не требуется умение грамотно записывать решение и приводить обоснования, но необходимо владеть свойствами заданных плоских и пространственных фигур на уровне применения этих свойств для проведения вычислений и, что очень важно, для распознавания различного вида фигур.

По-прежнему, как показывает анализ результатов ЕГЭ, низок процент справляемости с заданиями по стереометрии и планиметрии из второй части КИМа. Решение данных задач требует от учащихся умения проводить анализ условия задачи, который выведет на комплексное применение нескольких геометрических фактов. Это значит, что для успешного решения нужно суметь выделить стандартные конфигурации и применить в них изученные свойства, относящиеся к разным разделам курса геометрии. Практика проведения ЕГЭ говорит о том, что большее влияние на результаты выполнения заданий оказывает не тематика проверяемого материала, а степень узнаваемости ситуации, в которой он применяется. Из всего сказанного следует, что для успешного выполнения геометрических заданий повышенного уровня чрезвычайно важным является решение в процессе обучения геометрии следующих дидактических проблем:

1) овладение базовыми знаниями, умениями применять их в стандартной ситуации;

2) формирование системных знаний об изучаемых в школьном курсе фигурах;

3) знакомство с достаточно широким спектром ситуаций применения геометрических фактов;

4) формирование гибкости мышления, способности анализировать предлагаемую конфигурацию и вычленять в ней части, рассмотрение которых позволяет найти путь решения задачи.

Результатом составления данного сборника является многолетний опыт работы с учащимися 9 – 11 классов, который показывает, что при решении указанных проблем большая роль отводится повторению материала, систематизированного по изученным фигурам, которое следует проводить в конце 9 и 11 классов.

ДИДАКТИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКТ
1.1. Описание дидактического комплекта

Закончив изучение курса планиметрии в 9-м классе, учащиеся не всегда могут применить полученные знания при решении задач. На уроках часто не хватает времени для полноценного закрепления изученного материала на решении задач. По некоторым темам нет достаточного количества необходимых задач.

У учеников появляются пробелы в знаниях, которые со временем накапливаются и устранение их требует больших затрат по времени. В 10-11 классах при изучении стереометрии постоянно приходиться возвращаться к некоторым фактам планиметрии, поскольку решение любой стереометрической задачи сводиться к решению нескольких планиметрических задач. Поэтому необходимо иметь комплект дидактических материалов, который учитель всегда может использовать по мере необходимости.

Разработанный дидактический комплект направлен на ликвидацию пробелов в теоретическом материале и его систематизацию, отработку умений и навыков решения задач по всему курсу планиметрии. Здесь предусмотрено повторение свойств основных фигур через решение задач. Дидактический комплект содержит задачи, навык решения которых потребуется при изучении стереометрии, а также при подготовке к ГИА в 9 классе и ЕГЭ. Большая часть теоретического материала дана в справочных таблицах, которые могут вывешиваться на уроки повторения или записываться учащимися в справочные тетради. Некоторые темы предлагается повторить устно, решая задачи с использованием готовых чертежей, а в классах со слабоуспевающими учащимися решения некоторых таких задач можно записать.

Комплект содержит задачи с решениями, демонстрирующими какой-либо способ рассуждений при решении задач, который возможно не был рассмотрен на уроке при изучении данной темы. Задачный материал по некоторым темам оформлен в виде тестов, имеет готовые чертежи.

При повторении и систематизации материала целесообразно одну и ту же задачу решать несколькими способами, что способствует развитию творчества учащихся, повышению интереса к предмету, умению подходить к решению задачи с разных сторон. Поэтому в комплекте есть задачи, решенные несколькими способами. При разборе различных способов решения одной и той же задачи учащиеся должны оценить все плюсы и минусы способа и выбрать наиболее удачный. Возможность проведения анализа, выбор рационального способа решения воспитывают самостоятельность учащихся, способствуют прочности усвоения геометрического материала.

В дидактический комплект могут включаться:

Задания с готовыми чертежами.

Блок ключевых задач планиметрии и группы задач с их использованием.

Материалы для проведения контроля за знаниями учащихся, разноуровневые задания.

Наборы задач с решениями несколькими способами.

Рекомендации по проведению обобщающего темы «Четырехугольники»

Повторение планиметрии можно провести с помощью специально подобранных упражнений по каждой из основных тем геометрии 7-9 классов. Система упражнений направлена на ликвидацию недостатков в знаниях по планиметрии учащихся 9-х классов, кто планирует успешно сдать выпускной экзамен по математике, а также далее обучаться в 10-11 классах. Предлагаемая система упражнений направлена на формирование специальных математических навыков решения планиметрических задач. При этом из курса 7-9 классов выбраны только те умения и навыки, которые имеют широкое применение при решении задач по стереометрии, а также на ЕГЭ.

Заключительное повторение курса планиметрии можно построить на основе повторения свойств основных геометрических фигур – треугольников, четырехугольников, окружности и круга. Таким образом, весь учебный материал курса организуется по принципу наиболее полного описания свойств и признаков каждой из геометрических фигур.

В данном сборнике предложены задания для повторения учебного материала, отражающего свойства одной из основных фигур планиметрии – четырехугольника. Учащиеся самостоятельно работают с учебной литературой, со справочниками, пособиями по математике. Четырехугольник, как и треугольник, является еще одной из основных «рабочих» фигур изучаемого в школе курса планиметрии, а также широко применяемого и при изучении стереометрии (выход на четырехугольные призмы и пирамиды, различные сечения цилиндра).

Теоретические сведения и задания для повторения основных свойств четырехугольников

В этой теме идет закрепление знаний по теме «Признаки равенства треугольников» и умений учащихся применять признаки при доказательстве теорем данного параграфа и решении задач. В задачах по теме «Четырехугольники» идет применение всех знаний свойств треугольников. Углубляются общие представления учащихся о признаках и свойствах геометрических фигур. Свойства четырехугольников широко применяются при решении задач других разделов планиметрии («Преобразования фигур», «Векторы на плоскости»), а также при изучении свойств многогранников в стереометрии и решении задач на нахождение некоторых линейных элементов многогранников, вычисление площадей их поверхности и объемов.

Принятые обозначения:
a, b – смежные стороны, – угол между ними;
h _a – высота, проведённая к стороне а;
d ₁ , d ₂ – диагонали; – угол между ними;
S – площадь;
r, R – радиусы вписанной и описанной окружности;
р – полупериметр.

Повторение темы «Четырехугольники» можно начать с рассмотрения справочной таблицы «Классификация четырехугольников» (см. Приложение), которую следует составлять вместе с учащимися на доске и в тетрадях. В таблице видна классификация четырехугольников по различным элементам. Таким образом, осуществляется систематизация сведений о четырехугольниках, повторение определений всех видов четырехугольников.

Далее следует повторить свойства и признаки параллелограммов и трапеции. При повторении можно обратиться к следующей таблице.

Свойства и признаки параллелограммов и трапеции

Методическая разработка «Итоговое повторение курса планиметрии»
методическая разработка по геометрии на тему

Методическая разработка по геометрии «Итоговое повторениекурса планиметрии»

Скачать:

Вложение	Размер
metodicheskaya_razrabotka.doc	98.5 КБ

Бесплатный марафон подготовки к ЕГЭ на зимних каникулах

Учи.Дома запускает бесплатный марафон в котором каждый день. В течении 5 дней утром ты будешь получать одно задание по выбранному предмету, а вечером его решение. Твоя задача, успеть выполнение задание до того как получишь ответ.

Бесплатно, онлайн, подготовка к ЕГЭ

Предварительный просмотр:

МБОУ Пичаевской СОШ

Итоговое повторение курса планиметрии.

Обобщающее повторение часто рассматривают с позиции методики итогового, заключительного повторения в конце учебного года.

Заключительное повторение курса планиметрии преследует цель систематизировать и обобщить ранее изученные свойства плоских фигур.

Систематизацию знаний и умений обучающихся удобно построить в три этапа.

На первом этапе рассматривается учебный материал, отражающий свойства одной из основных фигур планиметрии – треугольника: повторяются теоремы о свойствах и признаках различных треугольников, в результате чего систематизируются умения учащихся проводить доказательные рассуждения.

На втором этапе повторения учебный материал группируется вокруг многоугольников. Особенностью второго этапа является отработка умений учащихся проводить поиск логических закономерностей и обоснований свойств геометрических фигур на более сложных, по сравнению с первым этапом, геометрических конфигураций. Кроме того, здесь неизбежно ещё раз повторяются свойства треугольников.

На третьем этапе повторяются свойства окружности (круга) и её элементов. Этот этап подводит итог изучения курса планиметрии.

Подробно рассмотрим работу на первом этапе.

Определение треугольника и его элементов.

Понятие о равных треугольниках.

Признаки равенства треугольников. Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Свойство углов при основании равнобедренного треугольника. Признак равнобедренного треугольника. Свойство медианы равнобедренного треугольника, проведённой к основанию.

Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника и его свойства.

Средняя линия треугольника. Теорема Фалеса.

Теорема Пифагора. Следствия из теоремы Пифагора. Решение прямоугольных треугольников.

Признаки подобия треугольников.

Решение и построение треугольников. Теорема синусов. Теорема косинусов. Неравенство треугольника. Векторы.

Учебный материал этого этапа относится в основном к началу изучения курса планиметрии. Отсюда вытекает необходимость напомнить учащимся некоторые логические рассуждения. Например, схему доказательства от противного, структуру прямого и обратного утверждений, что такое свойство фигур и что такое признак. К тому же треугольник является одной из основных фигур в планиметрии, поэтому многие факты: определения, формулировки теорем, формулы для вычисления элементов треугольника хорошо известны учащимся. Исходя из этого, можно за основную форму организации повторения на первом этапе принять обзорные лекции, в которых следует кратко осветить весь теоретический материал, обращая внимание на логику и поиск доказательств, а так же на самостоятельную работу учащихся с учебной литературой, со справочниками, пособиями по математике.

Лекции иллюстрируются и дополняются решением задач: на лекции вместе с учителем либо самостоятельно на специально выделенных уроках.

Примерное планирование повторения (16ч)

Первый этап (7ч): введение в повторение-1ч, лекции – 2;

решение практических задач – 2ч; зачёт – 2ч.

Второй этап (3ч): беседы – 2ч; решение задач – 1ч.

Третий этап (2ч): самостоятельные работы – 2ч.

Решение задач – 4ч.

В зависимости от уровня подготовки класса возможны некоторые варианты проведения занятий. Учитель может после любой из лекций провести два часа решения задач, сократив тем самым число часов на решение задач в конце заключительного повторения, или прочитать все лекции подряд, тогда из указанных к ним задач можно сформулировать домашние задание.

На лекции целесообразно доказывать только основополагающие или наиболее сложные в логическом построении теоремы. Во всех остальных случаях, как правило, рассматриваются только наиболее важные моменты доказательств.

При проведении доказательных рассуждений и в процессе поиска решения задачи следует обращать внимание учащихся на выполнение чертежей.

При самостоятельной работе учащихся необходимо по каждому законспектированному пункту решить одну – две задачи.

Введение в повторение(1ч)

На первом уроке повторения целесообразно провести входной контроль по определению как уровня сформированных знаний теоретического материала, так и умений выполнять решение практических задач.

Цель : осуществить проверку полученных знаний; по итогам проверки повторить и систематизировать знания обучающихся по теме планиметрия( треугольник); применить полученные знания для решения задач связанных с треугольниками;

Работа в парах постоянного состава (15 мин)

1. Какая фигура называется треугольником, элементы треугольника.

2. Основные виды треугольников.

3. Определение равных фигур.

4. Сформулируйте признаки равенства для:

а) равносторонних треугольников ;

б) равнобедренных треугольников ;

в) прямоугольных треугольников

6. Определение медианы, биссектрисы и высоты треугольника.

7. Сформулируйте свойство медианы (биссектрисы, высоты) равнобедренного треугольника, проведенной к основанию.

8.Чему равна сумма углов треугольника?

9. Сформулируйте определение и свойство внешнего угла треугольника.

10. Сформулируйте признаки подобия треугольников.

11. Сформулируйте теорему синусов.

12. Сформулируйте теорему косинусов.

13. Сформулируйте неравенство треугольника.

14. Сформулируйте определение вектора.

Решите задачи (25мин)

а) Докажите, что если в треугольнике высота делит основание пополам , то треугольник равнобедренный.

б) Докажите, что если в треугольнике медиана перпендикулярна стороне, к которой она проведена, то треугольник равнобедренный.

в) Докажите, что в равностороннем треугольнике все медианы, высоты и биссектрисы равны.

г) Докажите, что биссектрисы внутреннего и внешнего углов при одной вершине треугольника перпендикулярны.

д) Один угол равнобедренного треугольника равен разности остальных. Найдите углы треугольника.

е) Докажите, что если два внешних угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

ж) В равностороннем треугольнике АВС 0 , ВС= 10, отрезки ВМ и СК –высоты. Найдите отрезок КМ.

Итог урока.(5 мин)

Подводится итог самими обучающимися, выявляются вопросы темы, которые следует подробнее осветить; задачи, на решения которых нужно обратить внимание.

1.Вводится определение треугольника, равных треугольников. Определяется равенство треугольников и проводится доказательство трёх признаков равенства треугольников.

Перед формулировкой признаков равенства треугольников полезно сформулировать все аксиомы и теоремы, используемые в доказательствах признаков равенства. При этом целесообразно зафиксировать их на доске в виде рисунков.

а) определение равенства отрезков;

α

α

б) определение равенства углов;

в) определение равенства треугольников;

а

г) аксиома откладывания равных отрезков;

α

д) аксиома откладывания равных углов;

е) аксиома существования треугольника, равного данному.

2.Вводятся определения равнобедренного и равностороннего треугольников и формулируется две теоремы: свойство и признак равнобедренного треугольника, которые являются примерами прямой и обратной теорем.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Доказательство прямой теоремы опирается на первый признак равенства треугольников, а обратной – на второй признак равенства треугольников или на соотношение между сторонами и углами треугольника. В качестве примеров прямой и обратной теорем можно предложить учащимся следующее задание.

Докажите, что у равностороннего треугольника все углы равны.

Сформулируйте и докажите теорему, обратную утверждению предыдущей задачи.

3. Напомнив учащимся определения высоты, медианы и биссектрисы треугольника, следует сформулировать свойства медианы (биссектрисы, высоты) равнобедренного треугольника, проведённой к основанию. При этом полезно решить задачи типа:

Докажите, что если в треугольнике высота делит основание пополам, то треугольник равнобедренный.

Докажите, что если в треугольнике медиана перпендикулярна стороне, к которой она проведена, то треугольник равнобедренный.

Докажите, что в равностороннем треугольнике все медианы, высоты и биссектрисы равны.

4. Для закрепления материала полезно сформулировать признаки равенства специфических треугольников (равнобедренных, прямоугольных, равносторонних), т.е. посмотреть, как изменяются формулировки признаков равенства треугольников, если по определению они обладают определёнными свойствами. В зависимости от уровня подготовки класса эти признаки могут сформулировать сами учащиеся или с помощью учителя (признаки равенства прямоугольных треугольников учащиеся знают из курса планиметрии):

Докажите равенство равнобедренных треугольников по:

а) боковой стороне и углу при вершине;

б) основанию и углу при основании;

в) основанию и боковой стороне.

5.Следствием из равенства треугольников является утверждение, что у равных треугольников все соответствующие элементы равны, а именно: соответствующие медианы, биссектрисы, высоты, средние линии, радиусы вписанных и описанных окружностей. Для проверки этого следствия можно предложить задачи типа:

Докажите, что у равных треугольников АВС и А 1 В 1 С 1 :

а) медианы, проведённые к соответственно равным сторонам, равны;

б) биссектрисы, проведённые из вершин равных углов, равны.

6.Для индивидуальной работы по карточкам можно предложить более сложные задачи:

На прямой , пересекающей стороны угла, найдите точку, равноудалённую от сторон этого угла.

Через данную точку (внутри или вне угла) проведите прямую, которая отсечёт на сторонах угла равные отрезки.

Проведите прямую, перпендикулярную отрезку АВ, через точку В, при условии, что отрезок нельзя продлить за точку В.

Урок –практикум .Решение практических задач ( 2ч)

Цель : систематизировать и обобщить умения применять изученные свойства треугольников к решению практических задач в ходе подготовки к ГИА по геометрии.

1. Организационный момент. Вступительное слово учителя

2. Актуализация знаний.

а) В равнобедренном треугольнике АВС АВ= ВС, медиана АD перпендикулярна биссектрисе СЕ. Определите величину угла АСВ.

б) В треугольнике АВС медиана АM перпендикулярна медиане ВN. Найдите площадь треугольника АВС, если АМ = m, ВN=n.

в) Найдите площадь треугольника АВС, если АВ=3см, ВС= 7 см, длина медианы ВM = 4 см.

г) Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12 см. Найдите гипотенузу, высоту, проведенную из вершин прямого угла, и проекции катетов на гипотенузу.

д) Даны две стороны треугольника и его площадь S = bc. Найдите третью сторону.

е)В треугольнике АВС ВС = 0,5 см, АВ =0,6 см, 0 28 | . Найдите сторону АС этого треугольника.

ж) Стороны треугольника пропорциональны числам 3,4,6. Какими будут стороны подобного ему треугольника с периметром 58,5 см?

з)Площадь равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС = 160, боковая сторона равна 20. Высоты ВК и АH пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника АВО.

4. В качестве д/з определяются темы на повторение теоретического материала о многоугольниках и окружности.

по итоговому повторению темы «Треугольники» (2 часа)

Цель: проверить качество умений и навыков, приобретенных при изучении и повторении темы «Треугольники»

Оборудование: раздаточный материал.

1. Организационный момент. Выступление учителя.

Сегодня мы подводим итоги работы над первым этапом повторения, темы «Треугольники». Сейчас вы получите карточки с заданиями. Проверите себя, насколько вы готовы к сдаче ГИА по данной теме (раздаю карточки). Внимательно прочитайте каждое задание и задайте вопросы, если что – то непонятно. Желаю удачи!

2. Выполнение зачета

1. Высоты АH и ВК равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС пересекаются в точке О так, что ВО= 5, ОК=3. Найдите АH, если точкаH принадлежит основанию ВС, а точка К- боковой стороне АС.

2. На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка К. Известно, что В + С = АКВ, АК = 5, ВК = 16, КС = 2 . (рис. 2). Найдите сторону АВ.

3. В треугольнике АВС =135 0 , АС =5, АВ =3 .

Найдите площадь треугольника.

4. Биссектрисы АМ и ВК треугольника АВС пересекаются в точке О, АО=2, ОМ= 1, АК = 2, СК = 3. Найдите периметр треугольника.

5. Сторона АВ треугольника АВС равна 3 . На стороне ВС отмечена точка К так, что

1. Высоты АH и ВК равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС пересекаются в точке О, АК= 12, СК=8. Найдите АО.
2. Точки В и М лежат по разные стороны от прямой АС,
3. Из точки К катета АС прямоугольного треугольника АВС (

1. В треугольнике АВС: АВ = 13, ВС=21, АС = 20. Найдите площадь треугольника, образованного стороной ВС и проведенными из вершины А высотой и медианой.
2. В остроугольном треугольнике АВС 0 , АВ=8, ВС = 7. Найдите периметр треугольника.

3.Итог урока. Молодцы, ребята. Вы очень серьезно отнеслись к работе. Спасибо. Результаты сообщу позже. Всего доброго!

1. Математика в школе №3 2004г

2. Брадис В. М. Методика преподавания математики в средней школе. — М.: Учпедгиз, 1954.

3. Осип А. А. Некоторые вопросы повторения математики в средней школе. — М.: Учпедгиз, 1960.

4. Изучение геометрии в 7-9 классах. — М.: Просвещение, 2000.

5. Далингер В. А. Методические рекомендации к проведению обобщающего повторения. // Математика в школе. — 1986. — №2.

6. Коротков В. И. Подготовка к проведению уроков повторения. // Математика в школе. — 1980. — №6.

7. Суворова М. В. Повторительно-обобщающие уроки в курсе математики. // Математика в школе. — 1999. — №2.

8. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика. — М.: Просвещение, 1985.

💥 Видео