понятие площади криволинейной фигуры (6 видео)

Содержание

Площадь фигуры: понятие площади, свойства площади, квадрируемые фигуры
Понятие площади, свойства площади
Квадрируемые фигуры
Итоги
УРОК-ПРЕЗЕНТАЦИЯ на тему: «Определённый интеграл. Вычисление площадей криволинейных фигур»
Просмотр содержимого документа «УРОК-ПРЕЗЕНТАЦИЯ на тему: «Определённый интеграл. Вычисление площадей криволинейных фигур»»
Урок математики «Измерение площадей криволинейных фигур. Палетка». 4-й класс
🎥 Видео

Видео:Математика без Ху!ни. Определенные интегралы, часть 3. Площадь фигуры.Скачать

Площадь фигуры: понятие площади, свойства площади, квадрируемые фигуры

Статья рассказывает о понятии площадей и их свойств. Заключительная часть статьи включит себя математическое описание квадрируемых фигур с приведением примеров решения.

Видео:Алгебра 11 класс (Урок№23 - Площадь криволинейной трапеции. Интеграл и его свойства.)Скачать

Понятие площади, свойства площади

Для вычисления площади основываются на свойствах площадей:

положительность;
аддитивность, это когда замкнутая область представлена несколькими фигурами, которые не имеют общих точек и равняются сумме площадей этих фигур.
инвариантность;
нормированность.

Единица измерения площади – это элементарный квадрат, имеющий сторону r .

Если рассмотреть фигуру G с ограничениями и за обозначение площади принять S ( G ) , то при построении прямых, изобразить параллельными осям О х и О у , причем на расстоянии, равном rобозначению r . Заданные прямые преобразуют сетку, которая разбивает х О у на квадраты. Буквой М обозначается фигура, которая состоящая из элементарных квадратов, которые располагаются внутри G , причем не касаются границ, а М ‘ – фигуру, которая состоит из квадратов и имеющая с границей G хотя бы одну общую точку, а М М ‘ фигуру, которая объединяет М и М ‘ (на рисунке изображается синей и красной областями).

Площади фигур возьмем за обозначение М и М М ‘ , значит S ( M ) и S ( M M ‘ ) будут равны, исходя из количества составляющих квадратов. Рассмотрим рисунок, изображенный ниже.

Если постоянно уменьшать одну из сторон квадрата, то можно получить сетку с множеством значений площадей S ( M ) и S ( M M ) ‘ . Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Множество S M имеет ограничения, значит, имеет тонкую грань в виде a = s u p S M , тогда внутреннюю площадь обозначим как G . Множество S M M ‘ имеет ограничения снизу, значит, нижняя грань обозначается как A = i n f S M M ‘ , внешнюю площадь обозначим как G .

Фигура G с внешней площадью равной внутренней называют квадрируемой, а число S ( G ) = a = A является площадью этой фигуры. S ( G ) = a = A значит, что площадь квадрируемой функции является числом единственным и обладает этим свойством.

Площадь фигуры G называется предел последовательности значений S M ‘ , когда r → 0 . Квадрируемая фигура G имеет площадь равную 0 .

Квадрируемость можно ввести иным образом, то есть рассмотреть вписанные и описанные окружности, через которые произвести вычисления.

Фигура G считается квадрируемой, когда для любого положительного числа S M ‘ имеется входящая и включающая многоугольные фигуры P и Q , отсюда следует, что P ⊂ G ⊂ Q и S ( Q ) — S ( P ) ε .

Для примера подходит круг с вписанным и описанным 2 n + 1 треугольниками, где n n является натуральным числом.

Видео:Криволинейная трапеция и ее площадь. 11 класс.Скачать

Квадрируемые фигуры

Рассмотрим, как необходимо изображать и задавать квадрируемые фигуры. Все встречающиеся фигуры в разделах геометрии называют квадрируемыми. Любая такая фигура имеет ограничения, то есть будем находить площади ограниченных фигур. Объединение и пересечение или разность также является квадрируемой фигурой.

Самыми распространенными видами для вычисления площадей считаются:

Если фигура квадрируема, тогда она имеет ограничения линиями графиков y = f ( x ) и x = g ( y ) . Первый рисунок, приведенный ниже, ограничивается сверху параболой y = — 1 8 ( x — 4 ) 2 + 9 , а снизу кривой вида y = 1 3 x · sin x + 2 , справа и слева прямыми, имеющими значения х = 1 , х = 9 . Второй рисунок имеет границы в виде линий y = 1 3 ( x — 6 ) 2 + 1 , y = ln ( x — 1 ) + 7 , y = — e x — 8 + 8 , y = — 1 3 x + 5 . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Фигура считается квадрируемой, если имеется возможность ограничения гладкими кривыми, то есть границы задаются при помощи параметрического уравнения вида x = ϕ ( t ) y = ψ ( t ) , где функции ϕ ( t ) и ψ ( t ) являются непрерывными на интервале t 1 ; t 2 , не имеют пересечений и соответствуют условию ϕ ‘ ( t 0 ) ≠ 0 ψ ‘ ( t 0 ) ≠ 0 при любом значении t 0 ∈ t 1 ; t 2 . Для примера рассмотрим фигуру, которая ограничивается осями координат и частью астроиды вида x = 3 cos 3 t y = 3 sin 3 t , где t ∈ 0 ; π 2 .

Фигура считается квадрируемой, когда она ограничена замкнутыми кривыми, где начала и конец совпадают. Явным примером такой функции является лепесток фигуры, имеющий уравнение r = 5 cos 5 φ . Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Видео:Криволинейная трапеция и ее площадь. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Итоги

Площадь – это такая функция, благодаря которой она определена как класс квадрируемых фигур со свойствами аддитивности, инвариантности и нормированности.

Видео:ИНТЕГРАЛ | площадь криволинейной трапецииСкачать

УРОК-ПРЕЗЕНТАЦИЯ на тему: «Определённый интеграл. Вычисление площадей криволинейных фигур»

Просмотр содержимого документа
«УРОК-ПРЕЗЕНТАЦИЯ на тему: «Определённый интеграл. Вычисление площадей криволинейных фигур»»

УРОК — ПРЕЗЕНТАЦИЯ «Определённый интеграл. Вычисление площади криволинейной трапеции»

Ввести понятие определённого интеграла и его вычисление по формуле Ньютона-Лейбница, используя знания о первообразной и правила её вычисления

1. Проиллюстрировать практическое применение интеграла на примерах нахождения площади криволинейной трапеции.

2. Обобщить и систематизировать знания, проверить усвоение изученного материала