понятие площади фигуры единицы измерения (5 видео)

Содержание

Площадь
Что такое площадь
Единицы измерения площади
Формула нахождения площади в математике
Площадь прямоугольника
Площадь квадрата
Площадь круга
Площадь эллипса
Площадь параллелограмма
Площадь ромба
Площадь трапеции
Площадь треугольника
Пояснения на примерах
Площади фигур
Понятие площади
Площади прямоугольника и прямоугольного треугольника
Площади треугольников
Площади четырехугольников и многоугольников
Пример:
Площадь: определение, разновидности, единицы измерения
💡 Видео

Видео:Математика 5 класс (Урок№30 - Площадь прямоугольника. Единицы площади.)Скачать

Площадь

Видео:Математика 3 класс (Урок№21 - Площадь. Способы сравнения фигур по площади. Единица площади — кв.см.)Скачать

Что такое площадь

Понятие площади фигур рассматривается одним из разделов математики — конкретно, геометрией. Результат решения задач с нахождением площади геометрических фигур может использоваться для решения математических задач, в быту, в производстве.

Площадь фигуры — численная характеристика, которая передает информацию о размере геометрической фигуры.

Фигура, в математическом мире определяемая как множество точек на плоскости, должна быть ограничена со всех сторон, чтобы иметь понятие площади. Если фигура располагается на одной плоскости, она не имеет объема, а только площадь.

В самом простом случае, площадь фигуры можно посчитать по количеству клеток, которые она занимает. Подобным способом можно легко посчитать площадь квадрата, прямоугольника или прямоугольного равнобедренного треугольника.

Площадь в геометрии обозначается знаком S, от английского square — площадь.

Как математическая характеристика, площадь имеет четыре характеристики:

Положительность — величина площади не может быть отрицательной.
Нормировка — если сторона квадрата равна единице, то он имеет площадь 1.
Равнозначность — фигуры с равными сторонами и одинаковые по свойствам имеют одинаковую площадь.
Сложение площадей — фигуры, располагающиеся рядом, но не имеющие общих точек соприкосновения, будут иметь площадь равную сумме их отдельных площадей.

Видео:Математика 2 класс. Что такое площадь фигуры и единицы измерения площади. ВидеоурокиСкачать

Единицы измерения площади

Площадь фигуры может измеряться в разных единицах в зависимости от поверхности, на которой располагается. Основной системой измерения считается Международная система единиц СИ.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате:

барн — 10 — 28 м 2 ;
квадратный миллиметр — 1 м м 2 ;
квадратный сантиметр — 1 с м 2 ;
квадратный метр — 1 м 2 ;
квадратный километр — 1 к м 2 ;
ар — 1 а = 100 м 2 ;
гектар — 1 г а = 10000 м 2 и другие.

В Древней Руси употребляли такие величины, как квадратная верста, десятина, квадратный сажень.

В античных источниках единицей измерения площади были актус, арура, центурия, югер.

В некоторых странах есть свои единицы измерения площади, например, рай в Таиланде. Также другими единицами измерения могут пользоваться разные виды научного знания, например, понятием планковской площади пользуется ядерная физика.

Видео:Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?Скачать

Формула нахождения площади в математике

Существует множество формул нахождения площади простых геометрических фигур, которые зависят, в основном, от количества углов, сторон и их соотношений.

Площадь прямоугольника

Прямоугольником является геометрическая фигура, все углы которой равны 90°. При этом таких углов должно быть, как минимум три, а четвертый будет равен 90° в силу закона о сумме углов четырехугольника в евклидовой геометрии.

Вычисление площади прямоугольника будет происходить через умножение сторон:

где a и b являются сторонами прямоугольника.

Площадь квадрата

Квадратом является прямоугольник с равными сторонами. Все его углы равны 90°. Площадь квадрата можно найти сразу двумя способами:

по длине стороны;
через его диагонали.

По длине стороны:

Так как квадрат является частным случаем прямоугольника, его площадь также можно найти по формуле S = a × b , однако в таком случае a и b будут равны, а формула по смыслу будет повторять выше написанную.

Через диагонали:

где a — длина сторон квадрата;

d — длина диагоналей квадрата.

Площадь круга

Кругом является часть плоскости, которая лежит внутри окружности. Круг не имеет ни одного угла, а точки его окружности находятся на равном удалении от центра.

Площадь круга можно найти двумя способами:

через его радиус;
через его диаметр.

Через радиус:

где π — постоянная Пи, равна 3,14.

Радиус, упоминаемый в формуле, является линией или отрезком, соединяющим центр и любую из точек окружности.

Через диаметр:

где π — постоянная Пи, равна 3,14.

Диаметр является отрезком, соединяющим две точки окружности и проходящим через центр. Он включает в себя два противоположно направленных радиуса.

Площадь эллипса

Эллипс является частным случаем окружности. Он, так же, как и круг, не имеет ни одного угла, но при этом точки окружности находятся на разном удалении от центра.

Найти площадь эллипса можно только одним способом: через произведение длин большой и малой полуосей эллипса и числа пи.

Площадь эллипса находится через произведение длин большой и малой полуосей эллипса и числа пи:

Площадь параллелограмма

Параллелограмм является геометрической фигурой с 4 углами и 4 сторонами, однако он отличается от прямоугольника по строению. Его противолежащие стороны попарно параллельны, а углы равны зеркально противолежащим.

Частными случаями параллелограмма являются квадрат, прямоугольник и ромб.

Найти площадь параллелограмма можно тремя способами:

через сторону и высоту;
через две его стороны и величину угла между ними;
через диагонали и угол между ними.

Через сторону и высоту:

где a — сторона, к которой проведена высота,

h — высота непосредственно.

Через две стороны и величину угла между ними:

Через диагонали и угол между ними:

S = 1 2 × d 1 × d 2 × sin y

где d 1 и d 2 — это диагонали параллелограмма,

y — угол между ними.

Площадь ромба

Ромб, как частный случай параллелограмма, имеет те же свойства, кроме того, что все его стороны равны.

Площадь ромба также можно найти тремя способами:

по длине стороны и высоте;
по длине стороны и углу;
по длине его диагоналей.

По длине стороны и высоте:

Формула площади ромба по стороне и высоте выглядит так же, как и площадь параллелограмма по таким же характеристикам, с условием, что все высоты ромба будут равны:

По длине стороны и углу:

Формула площади ромба через длину сторон и углу между ними похожа на соответствующую формулу площади параллелограмма с условием того, что стороны равны, а значит, их перемножение можно заменить квадратом величины стороны:

По длине его диагоналей:

S = 1 2 × d 1 × d 2

Площадь трапеции

Трапеция отличается от всех предыдущих фигур тем, что только две ее стороны, боковые, могут быть равны между собой. При этом они не параллельны. Две другие стороны параллельны, но не равны. Сумма углов трапеции равна 360°.

Площадь трапеции можно найти двумя способами:

по формуле Герона;
по длине основ и высоте.

По формуле Герона:

S = a + b a — b p — a p — b p — a — c p — a — d

где a , b — длины оснований трапеции,

c , d — длины боковых сторон,

p = a + b + c + d 2

По длине основ и высоте:

Площадь треугольника

Треугольник является геометрической фигурой с тремя сторонами и суммой углов, равной 180°. По величине углов треугольники делятся на острые, тупые и прямоугольные. По числу равных сторон треугольники делятся на разносторонние, равносторонние и равнобедренные.

Площадь треугольника можно найти множеством способов:

по гипотенузе и острому углу;
через сторону и высоту;
через три стороны;
через две стороны и угол между ними;
через три стороны и радиус описанной окружности;
через три стороны и радиус вписанной окружности.

По гипотенузе и острому углу:

S = 0 , 25 × c 2 × sin 2 a

где c — гипотенуза,

a — любой из прилежащих острых углов.

Через сторону и высоту:

Через три стороны:

S = p ( p — a ) p — b p — c

где р — полупериметр.

p = a + b + c + d 2

Через две стороны и угол между ними:

S = 1 2 × a × b × sin y

Через три стороны и радиус описанной окружности:

Через три стороны и радиус вписанной окружности:

где р — полупериметр.

p = a + b + c + d 2

Видео:Площадь фигурыСкачать

Пояснения на примерах

Стены класса равны 7 и 5 метрам. Чему будет равна площадь пола в данной комнате?

Решение: S = 7 × 5 = 35

Елена делает торты на заказ. Ей поступила просьба сделать небольшой торт, чтобы он поместился в форму с диаметром 16 сантиметров. Какую форму должна взять Елена для торта, если площадь формы А равна 113 с м 2 , площадь формы В равна 176 с м 2 , а площадь формы С — 283 с м 2 ?

Решение: S = π × 15 2 = 201 , 06 с м 2 . Торт из формы А будет слишком маленьким, а из формы С — слишком большим. Подходит форма В.

Ткань летучего змея порвалась. Вася решил сделать новую форму. Он посчитал, что длина жердей летучего змея равна 15 и 23 см. Форму какой площади нужно взять Васе с учетом того, что для припусков для пришивания нужно взять еще 2 см?

Решение: S = 1 2 × ( 15 + 2 ) × ( 23 + 2 ) = 195 , 5 с м 2 или 1 , 955 м 2 .

Равнобедренный треугольник имеет основание 4 дм и высоту 7 дм. Сколько будет его площадь?

Видео:Что такое площадь. Как найти площадь прямоугольника?Скачать

Площади фигур

Площадь фигуры — это аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов.

Содержание:

Понятие площади

Площадь — это тоже величина. Каждой плоской геометрической фигуре соответствует своя площадь. У пространственных фигур тоже есть соответствующая им площадь, называемая площадью поверхности.

Площадь фигур мы будем обозначать буквой S. Запись читается как «площадь фигуры F».

Определение. Измерить площадь фигуры — это значит сравнить ее с площадью некоторой фигуры, принятой за единицу измерения площади.

Измерить площадь фигуры в Древней Греции означало построить квадрат, площадь которого равна площади данной фигуры. С тех пор всякое вычисление площади принято называть квадратурой.

Если за единицу длины принимается 1 мм, то единицей площади является 1 (квадратный миллиметр); при единице длины 1 см единицей площади является 1 (квадратный сантиметр). Если единицей измерения длины является 1 м, ему соответствует единица площади 1 (квадратный метр).

Любую площадь S можно выразить через единицу измерения площади в виде , где k — числовой множитель, который показывает, сколько раз единичный квадрат укладывается в данной фигуре.

Пусть, например, за единицу измерения площади принят квадратный сантиметр (т. е. ). Тогда запись означает, что площадь фигуры равна , т. е. в данной фигуре квадрат со стороной 1 см укладывается 15 раз.

Можно сфорулировать свойства измерения площади.

1. Всякий многоугольник F имеет площадь . Площадь является величиной, численное значение которой неотрицательно, т. е. для любой фигуры F.

Площадь фигуры зависит только от ее размеров и формы и не зависит от места расположения фигуры в пространстве. Это формулируется так.

2. Если две фигуры равны, то равны и их площади.

Пусть дана фигура F, которая является объединением двух фигур , причем эти фигуры пересекаются не более чем по конечному числу отрезков и точек. Тогда

Есть случаи, когда фигура является объединением двух других фигур, но данное равенство не выполняется. На рисунке 2.138 изображены два треугольника Фигура R — их объединение. В этом случае (при сложении площадь ромбовидной области в центре рисунка войдет в сумму дважды).

Еще одно свойство площади формулируется следующим образом.

3. За единицу измерения площади принимают площадь квадрата, сторона которого равна единице измерения длины отрезка.

Для фигуры, разбитой на части, справедливо следующее свойство.

4. Если фигура разбита на части, то площадь фигуры равна сумме площадей частей фигуры.

Свойство измерения площади квадрата.

5. Площадь квадрата со стороной равна .

В геометрии различают фигуры равные и равновеликие.

Определение. Две фигуры называются равновеликими, если они имеют одинаковую площадь.

Площади прямоугольника и прямоугольного треугольника

Теорема 33. Площадь прямоугольника равна произведению его основания на высоту.

где — стороны прямоугольника.

Проведя диагональ АС прямоугольника ABCD (рис. 2.139), можно легко доказать, что она разбивает этот прямоугольник на два равных треугольника ABC и CDA, а тогда нетрудно доказать теорему 34.

Теорема 34. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов (рис. 2.140):

где — катеты прямоугольного треугольника.

Площади треугольников

Теорема 35. Площадь треугольника равна половине произведения основания и высоты.

На рисунке 2.141 изображен треугольник ABC.

Есть еще одна формула для вычисления площади треугольника через его стороны. Эта формула носит имя древнегреческого математика Герона Александрийского (около I в.). Кроме этой формулы, есть еще так называемые ге-роновы треугольники — это треугольники, у которых целочисленные стороны и их площадь тоже есть целое число (примерами таких треугольников могут быть треугольники со сторонами 13, 14, 15 или 51, 52, 53).

Теорема 36 (формула Герона). Площадь треугольника равна

где — стороны треугольника, а р — его полупериметр, .

Существует формула площади треугольника, которая использует понятие синуса угла.

Теорема 37. Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними

где — стороны ААВС, а — угол между этими сторонами.

Площади четырехугольников и многоугольников

Для вывода формулы площади параллелограмма определим высоту параллелограмма.

Определение. Высотой параллелограмма называют отрезок перпендикуляра, проведенного из любой точки какой-нибудь стороны параллелограмма к прямой, содержащей противоположную сторону.

Высотой параллелограмма можно считать также и длину этого перпендикуляра. У параллелограмма две пары противоположных параллельных сторон и соответственно две высоты.

На рисунке 2.142 изображен параллелограмм ABCD, — его высоты. Заметим, что основания высот параллелограмма могут попасть и на продолжение одной из сторон (рис. 2.143).

Теорема 38. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны и проведенной к ней высоты.

ABCD — параллелограмм, AD = ВС = , AM = CN = h (рис. 2.144).

Для вывода формулы площади еще одного четырехугольника — трапеции определяется понятие высоты трапеции.

Определение. Высотой трапеции называют отрезок перпендикуляра, проведенного из какой-либо точки основания трапеции к прямой, содержащей другое основание.

Высотой можно также считать длину этого перпендикуляра. На рисунке 2.145 ВМ — высота трапеции ABCD.

Теорема 39. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований и высоты, т. е. если и — основания трапеции, h — высота и S — площадь трапеции, то

Чтобы вычислить площадь произвольного многоугольника, можно разбить его на треугольники, не имеющие общих внутренних точек, и найти сумму их площадей.

Такое разбиение выпуклого многоугольника можно осуществить, проведя, например, диагонали из одной его вершины (рис. 2.146). Иногда удобно пользоваться другими разбиениями (рис. 2.147, 2.148).

Пример:

Через середину основания треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам. Докажите, что полученный таким образом четырехугольник — параллелограмм и что его площадь равна половине площади треугольника.

Решение:

Из условия задачи имеем:

2. AD = DC. (рис. 2.149)

3. DE || ВС, DF || АВ.

4. Надо доказать, что BEDF — параллелограмм и что

5. Так как DE || ВС и DF || АВ, то BEDF — параллелограмм (2, определение параллелограмма).

Нужно установить связь между площадью параллелограмма и треугольника. Для этого удобно параллелограмм разбить на треугольники.

6. Соединим точки В и D и рассмотрим полученные треугольники (построение) (рис. 2.150).

7. равны (BD — общая сторона, и , как углы внутренние накрест лежащие при параллельных прямых (1, 2, 3, признак равенства треугольников по сторонам и двум прилежащим углам).

8. Эти треугольники и равновелики.

9. Треугольники BFD и CFD также равновелики между собой (хотя в общем случае они не равны), так как BF = FC (DF — средняя линия), т. е. основания их равны и они имеют одинаковую высоту, так как вершина D у них общая.

10. Аналогично равновелики между собой и

11. следовательно, площади и параллелограмма BEDF можно записать так: а (8, 10, свойства площадей).

12. (11).

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:Математика 3 класс. «Площадь. Единицы измерения площади»Скачать

Площадь: определение, разновидности, единицы измерения

Площадь: определение, разновидности, единицы измерения.

Площадь (математический знак S)— величина, измеряющая размер поверхности. Наиболее распространенные единицы измерения площади это: квадратный метр (м2), квадратный сантиметр (см2), квадратный миллиметр (мм2), квадратный километр (км2), ар (а), гектар (га).

Площадь имеет следующие свойства:

1. положительность (число, получившееся в результате измерения площади не должно быть равно отрицательному числу);

2. нормировка (площадь измеряется в определенных единицах измерения);

3. равные фигуры имеют равную площадь;

4. площадь объединения двух фигур без общих внутренних точек равна сумме площадей.

Необходимость в измерении площади присутствует во всех сферах жизнедеятельности человека. Наиболее часто при этом пользуются понятиями: площадь фигуры и площадь поверхности.

Площадь фигуры (математический знак S)— геометрическое понятие, размер плоской фигуры. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество квадратов, со стороной, равной одной единице измерения площади, площадь равна числу квадратов.

Площадь поверхности — числовая характеристика поверхности. В простом случае сумма всех площадей плоских фигур, представляющих собой грани пространственной фигуры.

Для записи результатов измерения обычно используют следующие единицы измерения площади: квадратный метр (м2), квадратный сантиметр (с м2), квадратный миллиметр (мм2)

Одной из разновидностей измерения площади поверхности является площадь участка – числовая характеристика земельного участка. Для обозначения результатов ее измерения используются такие единицы, как ар (а) и гектар (га).

Способ измерения площади:

Основой для измерения площади является единичный квадрат.

Единичный квадрат – это квадрат, со стороной, равной 1 единице измерения. Площадь единичного квадрата равна одной единице измерения площади, возведенной в квадрат (вторую степень).

Например. Возьмем квадрат со стороной, равной единице измерения 1 метр (м) и измерим его площадь. Для этого вычислим произведение двух его сторон, образующих между собой угол. То есть умножить 1 метр на 1 метр (1м х 1м). Получаем 1 квадратный метр (м2). Таким образом, площадь квадрата со стороной 1 метр равна 1 квадратный метр. Также, можно это перевести и в прочие единицы измерения: сантиметры, миллиметры, километры. Тогда площадь будет равна квадратным сантиметрам (см2),квадратных миллиметров (мм2), 0, 000001 квадратным километрам (км2).

Площадь фигуры (поверхности, участка) равна сумме единичных квадратов и их частей. Для простых фигур она равна только сумме единичных квадратов. Единица измерения площади при записи в этом случае тоже возводится в квадрат.

Единицы измерения площади:

Наиболее распространенные единицы измерения площади это: квадратный метр (м2), квадратный сантиметр (см2), квадратный миллиметр (мм2), квадратный километр (км2), ар (а), гектар (га).

Квадратный метр (м²) — единица измерения площади. 1 м² равен площади квадрата со стороной в 1 метр. Также эта единица измерения равна 0,000 001 квадратных километров (км²),квадратных сантиметров (см²), 0,000 1 гектара, 0,01 ара

Квадратный метр – одна из единиц системы СИ. Эта система носит полное название Международной десятичной системы единиц, но наиболее известна как система СИ или Метрическая система единиц измерения. Она основана на использовании метра и грамма, и является международно-признанной системой. Метрические единицы измерения широко используются по всему миру, как в научных целях, так и в повседневной жизни.

Однако, помимо квадратного метра, широко распространены и другие единицы измерения площади. Такие как:

Квадратный сантиметр (см2) — единица измерения пощади, равная в системе СИ 0,0001 квадратного метра (м2). В школьной практике для объяснения величины сантиметра используют такие подручные приблизительные меры, как две тетрадных клеточки, потому квадратный сантиметр может быть с легкостью изображен как совокупность 4 тетрадных клеток.

Квадратный миллиметр (от милли… и метр, мм2) — единица измерения площади равная 0, 000001 квадратным метрам (м2) или 0, 0001 квадратному сантиметру (см2). Во многих странах на чертежах, в том числе и в России, миллиметр является единицей измерения длины по умолчанию: если размеры указаны без единиц измерения, то это размеры в миллиметрах.

Квадратный километр (км²,) — единица измерения площади, кратная квадратному метру и равная 1.000.000 квадратным метрам (м2). Также он равен площади квадрата со стороной в 1 километр, 100 гектарам.

Ар (а, от лат. area — площадь, поверхность) — единица измерения площади в метрической системе (системе СИ), равная площади квадрата со стороной 10 м, то есть 100 квадратных метров (м2). Известна также как «сотка» или 0, 01 гектара. Ар – одна из основных единиц измерения площади небольших земельных участков.

Гектар (от лат. гекто и ар – «сто» и «поверхность», га) — единица измерения площади, равная 100 ар или 100 соток, или 10 000 квадратных метров (м2) .

В России гектар является основной единицей измерения площади сельскохозяйственной земли. На территории РСФСР (и впоследствии СССР) единица «гектар» была введена в практику после Октябрьской революции, вместо десятины. Для перевода использовалось соотношение 1 га = 11/12 десятины.