почему при одинаковом периметре площадь разная (4 видео)

Содержание

Почему при одинаковом периметре площадь разная
Изучение зависимостей площадей и периметров в четырехугольниках
Исследовательская работа Некоторые зависимости площадей и периметров.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Сопоставление площади и периметра
🎥 Видео

Видео:Соотношение площади и периметра прямоугольника и квадрата 1 часть.Скачать

Почему при одинаковом периметре площадь разная

Видео:Что важнее площадь или периметр?Скачать

Изучение зависимостей площадей и периметров в четырехугольниках

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

С понятием периметр и площадь я познакомилась в 3 классе. Э ти важные понятия необходимы человеку на протяжении всей его жизни. Деятельность строителей, инженеров, земледельцев и представителей других профессий немыслима без прочных знаний по этой теме.

Актуальность темы . Понятия «площади» и «периметра» необходимы человеку в окружающей жизни постоянно, например – сделать ремонт в доме или красиво оформить клумбу на даче. И то и другое понятие связывают стороны многоугольников. Знание зависимостей между этими величинами очень важно для современного человека.

Цель проекта: установить некоторые зависимости между площадью и периметром, увидеть их применение в практических ситуациях.

Задачи:повторить понятия по теме исследования, а именно: «площадь фигуры» и «периметр фигуры»; провести необходимые исследования и опыты; сделать выводы о зависимости площадей и периметров ; рассмотреть практическое применение полученных результатов.

Определение предмета исследования. Что нужно выяснить:

Как связаны периметры и площади прямоугольников?

Зависит ли площадь прямоугольника от его периметра?

Какой прямоугольник имеет наибольшую площадь при заданном периметре?

Если известен периметр прямоугольника, то нельзя ли однозначно установить его площадь?

Что можно сказать о зависимости площади квадрата от его периметра?

Проблема. Никаких зависимостей связывающих площади и периметры фигур мы пока не изучили.

Вот, самый простой пример, который задает проблему: «Есть два участка земли 80 м на 100 м и 50 м на 160 м. Вроде, площадь одинаковая – 8000 м 2 , а первый участок выгоднее купить, чем второй, забор то на 60 м короче строить». С точки зрения математики, все ясно, а вот логически – странно, периметр это замкнутая воображаемая нить, и то, что внутри нее не должно меняться, как ее не крути. Почему есть разница в периметрах? Так все-таки, есть ли какие-то зависимости, или площадь и периметр никак не зависят друг от друга?

Гипотеза. Предполагаем, что некоторые зависимости существуют. С изменением длины одной из сторон прямоугольника при заданном периметре изменится и площадь этого прямоугольника. Можно даже предположить, что если площадь больше, то периметр больше. Если у одной фигуры больше периметр, чем у второй, то её площадь больше, меньше или по-разному?

Периметр – величина, равная сумме длин всех сторон многоугольника.

Площадь фигуры – величина, показывающая сколько места занимает фигура на плоскости.

Свойства площадей нам тоже известны:

Равные фигуры имеют равные площади.

Площадь всей фигуры равна сумме площадей ее частей.

За единицу площади принимают площадь квадрата, сторона которого равна единичному отрезку.

Исследования начнем с простой и хорошо знакомой нам фигуры – прямоугольника.

Заполним таблицу, считая площадь одной клеточки равной 1 см 2

Видео:Площадь и периметрСкачать

Исследовательская работа Некоторые зависимости площадей и периметров.

Цель проекта: установить некоторые зависимости между площадью и периметром, увидеть их применение в практической ситуации, подтвердить или опровергнуть достоверность знаменитой задачи про царицу Дидону.

Видео:Вот так увеличивается площадьСкачать

Скачать:

Вложение	Размер
proektnaya_rabota_ploshchadi_i_perimetry.docx	231.86 КБ

Видео:Как найти периметр данной фигуры? Решение за одну минуту!Скачать

Предварительный просмотр:

РЕГИОНАЛЬНАЯ ОТКРЫТАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ

«В МИР ПОИСКА, В МИР ТВОРЧЕСТВА В МИР НАУКИ»

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №2»

Г. Колпашево, Томской обл..

Некоторые зависимости площадей и периметров.

Алексеева Алина, 6а класс

учитель математики Парфенова Елена Витальевна

Автор: Алексеева Алина, 6а класс.

Руководитель: Парфенова Елена Витальевна, учитель математики

Тема «Некоторые зависимости площадей и периметров»

Общеобразовательное учреждение МАОУ СОШ №2 г. Колпашева

Используемые медиаресурсы текстовый редактор WORD, редактор POWER POINT, ресурсы сети Интернет

Цель проекта : установить некоторые зависимости между площадью и периметром, увидеть их применение в практической ситуации, подтвердить или опровергнуть достоверность знаменитой задачи про царицу Дидону.

—повторить теорию по теме исследования

—провести необходимые исследования и опыты

— рассмотреть практическое применение полученных результатов

С понятием периметр и площадь мы знакомимся еще начальной школе. Эти важные понятия необходимы человеку на протяжении всей его жизни. И дело не только в том, что деятельность представителей некоторых профессий немыслима без прочных знаний по этой теме

(строители, инженеры, земледельцы, швеи, и т. д., труднее назвать сферу деятельности человека, где эти понятия не пригодятся). Понятия площади и периметра необходимы человеку в окружающей жизни постоянно, самый банальный пример — произвести ремонт в комнате, квартире, доме. И то и другое понятие связывают стороны многоугольников, следовательно, знание зависимостей между этими величинами очень важно для современного человека

2) Определение предмета исследования

Итак, вспомним хорошо известные нам факты.

П лощадь – величина, характеризующая размер поверхности, которую занимает геометрическая фигура. (Сколько места фигура занимает на плоскости).

Периметр – размер границ (контура) геометрической фигуры. (Сумма длин всех сторон).

Равные фигуры имеют равные площади.

Площадь всей фигуры равна сумме площадей ее фигур.

За единицу площади принимают площадь квадрата, сторона которого равна единичному отрезку.

3) Формулировка проблемы

Несмотря на всю важность, я не могу припомнить никаких зависимостей связывающих площади и периметры, которые бы мы изучали в школе

Самый простой пример, который заводит в тупик неискушенных обывателей

Есть два участка земли 60х100 и 50х120м. Вроде площадь одинаковая, а первый выгоднее купить — забор то на 20м короче строить! Шутки шутками, и с точки зрения математики все ясно, а вот логически как то странно, вроде периметр это замкнутая воображаемая нить, а то, что внутри нее не должно меняться, как ее не крути. Почему есть разница в периметрах? Так все-таки, есть ли какие — то зависимости, или площадь и периметр никак не зависят друг от друга?

Предполагаем, что некоторые зависимости существуют.

Можно даже предположить, что если площадь больше, то периметр больше,

чем сторон больше, тем периметр больше.

Исследования начнем с простой и хорошо знакомой нам фигуры –прямоугольника.

Заполним таблицу, считая площадь одной клеточки равной 1 см 2

Исследуя результаты измерений, делаем вывод, что не всегда увеличение площади означает, что периметр тоже увеличивается. При одинаковом периметре и площади бывают разные! Отчего же так происходит?

Замечаем, что при равных площадях периметры не равны, самый маленький периметр из всех прямоугольников с равными площадями у квадрата.

Вот какое замечательное свойство у квадрата! Среди всех прямоугольников одинаковой площади у него самый маленький периметр.

Очевидно, можно сделать вывод что, при наименьшем периметре самая выгодная площадь у квадрата.

Запомним это замечательное свойство квадрата, заключать в своих границах наибольшую площадь при постоянном периметре.

Вывод: Похоже, что предположение о том, что чем больше сторон, тем больше периметр подтверждается.

Объяснение результатов

Отчего же возникают такие зависимости, в чем причина. Чтобы лучше разобраться в этом вопросе, проведем опыт.

Я взяла произвольный прямоугольник. Измерила его длину, ширину, площадь и периметр, результаты измерений занесла в таблицу №4

Теперь разрезала фигуру повдоль пополам и составила новую фигуру

Количество квадратиков не изменилось. Наблюдаем, что происходит со сторонами прямоугольника, когда периметр увеличивается.

У фигуры появились дополнительные стороны, которые стали границами, это дополнительные 20 см, и исчезла граница 5+5=10см. Итого 20-10=10 см. Вот и дополнительные 10 см. Периметр увеличится.

7. Основные выводы.

Итак, при наименьшем периметре самая выгодная площадь у квадрата. Замечательное свойство квадрата, заключать в своих границах наибольшую площадь при постоянном периметре.
Не всегда увеличение площади означает, что периметр тоже увеличивается. При одинаковом периметре и площади бывают разные!
Чем больше сторон, тем больше периметр подтверждается.

8. Практические задачи.

Задача 1. Периметр квадрата увеличили на 40, затем периметр полученного квадрата уменьшили на 40. У какого из квадратов площадь наименьшая

Ответ. Чем больше периметр квадрата, тем больше его площадь. 40 от периметра второго квадрата больше, чем 40 от периметра первого. Значит, наименьший периметр, а тогда и наименьшая площадь у третьего квадрата.

Задача 2. Мы разместили 15 дисков как показано на диаграмме. Периметр каждого диска равен 12 см.Чему равен внешний периметр этой фигуры?

Ответ. Задача интересная и для меня была трудная. Я сделала так. Сложила все половинки, их 9, значит периметр-54.Остались 3 угловых круга. Если соединить их центры линиями , то получится равносторонний треугольник. Сумма углов треугольника 180 градусов, (это половинка периметра диска).

т.е. 12х3-6=20. Так как я взяла 3 круга, то осталось 3 круга минус одна половинка, весь периметр равен 54+30-84

Задача 3 . Человек прикинул в уме, что он может выложить пол комнаты, имеющей квадратную форму, квадратной плиткой, и что ему не понадобится ни одну из них разрезать. Сначала рн положил плитки по краям комнаты и на это у него ушло 56 плиток.

Найдите, сколько всего ему надо иметь плиток, чтобы покрыть весь пол? Чему равна сумма цифр этого числа.

Ответ. Я из 56 вычла 4 угловые плитки, потом разделила 52 на4, получила плитки в одном ряду плюс 2 угловые, получилось 15, умножила на 15,получилось 225,сумма цифр 9.

Задача 4. Начертите какой-нибудь небольшой квадрат. Как надо изменить его стороны, чтобы построить квадрат, площадь которого была бы: 1)вчетверо больше? 2) в 9 раз больше? 3) в 16 раз больше?

Проверьте решение построением.

1) Стороны увеличить в 2 раза

2) Стороны увеличить в 3 раза

3) Стороны увеличить в 4 раза

Задача 5. Из 22 спичек сложить прямоугольник наибольшей площади.(Спички не ломать!) Так — как мне известно, что при постоянном периметре наибольшую площадь заключает в себе квадрат, но квадрата не получится, так как 22 не делится нацело на 4. а также при постоянном периметре площадь тем больше, чем меньше разница между сторонами, то наименьшая разница получится в случае когда стороны будут равны 5 см, 5 см. и 6 см , 6 см.

Задача 6. (Из книги Я. И. Перельмана) «Занимательная геометрия)

Из рассказа Л. Н. Толстого «Много ли человеку земли нужно?»

Переведем задачу на математический язык. С точки зрения математики путь Пахома – это периметр. Путь, то есть периметр, должен быть как можно меньше, а площадь как можно больше, но возможно ли такое?

За день Пахом может пройти определенное расстояние, ни больше, ни меньше, задача — охватить этим расстоянием как можно больше площади.

Математическая постановка вопроса

Как наименьшим периметром обойти площадь. Что за фигура, получится при обходе?

Пахому надо было идти по квадрату. Ему бы пригодились знания, полученные в результате наших исследований. Кстати, не имея верной стратегии обхода Пахом старался отхватить как можно больше площади и переоценил свои силы, в финале рассказа он падает без сил и погибает.

Задача 6. Задача Дидоны. Финикийская царевна Дидона, спасаясь от своего брата, тирана Пигмалиона, отплыла из родного города Тира с небольшим отрядом своих сторонников. Было это, если верить легенде, около 825 года до нашей эры. Долго плыли царевна и ее спутники по Средиземному морю, пока не пристали к берегу Африки. Жили в тех местах нулидийцы. Пришельцы им были совершенно ни к чему. Но Дидоне некуда было деться, место ей понравилось, и царевна стала упрашивать нулидийского царя Ярба продать ей немного земли. Желая, видимо, отделаться от назойливой финикиянки, Ярб заломил баснословную цену за клочок земли, который можно окружить одной бычьей шкурой. К его удивлению и разочарованию, Дидона приняла это издевательское предложение, расплатилась и отправилась отмерить свою землю. Только она не стала расстилать шкуру на берегу. Как она это сделала?

Ответ. От учителя я слышала рассказ про Древнюю царицу Дидону, которая спасаясь от преследований своего родственника попросили убежища у Древнего царя. Она попросила совсем немного Земли, столько, сколько сможет охватит бычья шкура, но в отличии от Пахома, царевна была прекрасно знакома с математикой, поэтому она перехитрила Царя, разрезав шкуру быка на тонкие полоски и охватила полученным периметром столько Земли, что позволило ей организовать на ней свое царство.

Я попыталась примерно подсчитать, сколько же Земли могла охватить Дидона . Может быть древняя легенда, всего лишь красивый вымысел? Используя ресурсы Сети Интернет, я узнала, что шкура крупного быка может достигать площади 4, 5 м 2 . Одна полоска представляет из себя прямоугольник. Представим себе, что все полоски положили последовательно друг за другом, и так как шкура довольно прочна, попробуем взять ширину полоски 1 мм. Это я, считаю минимальная ширина, конечно на самом деле ширина, скорее всего, не менее 3мм, иначе полоски будут рваться. Получили прямоугольник, ширина которого 1мм. Подсчитаем длину. Если первоначально шкура имеет форму прямоугольника со сторонами 1500мм на 3000мм, тогда у нас будет 1500 полосок шириной 1мм, и общей длиной 1500х3000=4500000 мм=4500 метров

А теперь обратимся к древним источникам, в них говорится, что царевна смогла охватить 22 стадии, я узнала, что 1 стадия

22* 200 =4400 метров!

Древняя легенда находит свое подтверждение! Мои расчеты с точностью до 100 метров совпали с историческими данными! Так как из проведенных выше исследований мне понятно, что при постоянном периметре самая выгодная площадь у квадрата, высчитаем сторону квадрата при периметре 4400 метров.

Данный периметр может охватить площадь примерно 1100мх1100м=1210000м 2 = 121 га вполне достаточная площадь земельного участка для города древности!

Подготовка к презентации

Для написания опыта были использованы возможности текстового редактора Word. Итоговый материал представлен в виде презентации, выполненной в редакторе Power Point.

Литература и Интернет — источники:

Я. И. Перельман, «Занимательная геометрия», Изд.: Терра-Книжный клуб (2008), 384 стр..

Видео:№ 5.6. Периметр и площадь квадрата (дополнение)Скачать

Сопоставление площади и периметра

Билет 37. Методика обучения учащихся решению задач на нахождение периметра и площади геометрических фигур

Изучение периметра

Периметр — длина замкнутого контура. Чаще всего этот термин применяется к треугольнику и многоугольникам и в этом случае означает сумму длин всех сторон.

Понятие о периметре многоугольника во II классе дается в процессе решения конкретной задачи на нахождение длины замкнутой ломаной линии. Сначала включают задачи на нахождение периметра многоугольников с неравными сторонами.

Затем специально рассматривается нахождение периметра равносторонних многоугольников, а также нахождение периметра прямоугольника. Периметр этих фигур дети находят сначала, как и на предыдущем этапе: измеряют каждую сторону и складывают полученные числа. Обращается внимание учащихся на равенство сторон, и учащиеся сами догадываются, что при нахождении суммы длин сторон равностороннего треугольника, квадрата и других многоугольников с равными сторонами достаточно измерить одну сторону, а зачем умножить ее длину на число сторон многоугольников. При нахождении периметра прямоугольника достаточно узнать его длину и ширину (т.е. основание и высоту), а затем умножить каждое из этих чисел на 2 и полученные произведения сложить. Изучаются следующие единицы длины: сантиметр, дециметр, миллиметр, метр.

В дальнейшем по III и IV классах систематически решают задачи на вычисление периметра, а также задачи, им обратные, при решении которых полезно выполнять чертеж на доске. Изучаются такие единицы длины как миллиметр, сантиметр, дециметр, метр, километр и соотношения между ними.

Наряду с решением готовых задач рекомендуется предлагать учащимся задания на составление подобных задач с геометрическим содержанием. В процессе таких упражнений формируется понятие периметра многоугольника и умение находить его, а также развиваются пространственные и геометрические представления.

Изучение площади

Изучение понятия площади проводится с опорой на привычные для детей представления о том, что каждая фигура занимает определенное — большее или меньшее – место на плоскости.

Для того чтобы учащиеся освоили процесс измерения площади полезно раздать им геометрические фигуры и предложить им измерить их площади, пользуясь моделью квадратного сантиметра. Это задание особенно важно, так как в процессе его выполнения учащиеся осознают, что измерить площадь фигуры – значит узнать, сколько квадратных сантиметров она содержит. Учащиеся практически убеждаются, что укладывать модель квадратного сантиметра в фигуре долго и неудобно – гораздо удобнее использовать прозрачную бумагу, на которой нанесена сетка из квадратных сантиметров. Таким образом, учащиеся знакомятся с палеткой и правилами пользования ею, упражняются в определении площадей фигур с ее помощью.

В процессе изучения геометрического материала в I – II классах у детей уточняются представления о площади как о свойстве плоских геометрических фигур. Более четким становится понимание того, что фигуры могут быть различными и одинаковыми по площади. Этому способствуют упражнения на вырезание фигур из бумаги, черчение и раскрашивание их в тетрадях и т.п. В процессе решения задач с геометрическим содержанием учащиеся знакомятся с некоторыми свойствами площади. Они убеждаются, что площадь не изменяется при изменении положения фигуры на плоскости (фигура не становится ни больше, ни меньше). Дети многократно наблюдают соотношение между всей фигурой и ее частями (часть меньше целого), упражняются в составлении различных по форме фигур из одних и тех же заданных частей (т.е. построение равносоставленных фигур). Учащиеся постепенно накапливают представления о делении фигур на неравные равные части, сравнивая наложением полученные части, сравнивая наложением полученные части. Все эти знания и умения дети приобретают практическим путем попутно с изучением самих фигур.

Полезно рассмотреть такой случай, когда разные по форме фигуры имеют одинаковую площадь, так как содержат одинаковое число квадратов. На последующих уроках включаются упражнения на подсчет квадратов, содержащихся в заданных фигурах, предлагается начертить в тетрадях фигуры, которые состоят из заданного числа квадратов (клеточек тетради). В процессе таких упражнений начинает формироваться понятие о площади как о числе квадратных единиц, содержащихся в геометрической фигуре.

На следующем этапе учащихся знакомят с первой единицей площади – квадратным сантиметром. Учащиеся чертят в тетрадях, вырезают из бумаги в клеточку квадраты со стороной 1см. учитель сообщает: «это единица площади – квадратный сантиметр». Используя бумажные модели квадратного сантиметра, дети составляют из них различные геометрические фигуры и находят подсчетом их площадь. Сравнивая площади составленных фигур, дети еще раз убеждаются, что площадь той фигуры больше (меньше), которая содержит больше (меньше) квадратных сантиметров. Площади фигур содержащих одинаковое число квадратных сантиметров, равны, хотя фигуры могут не совмещаться наложением. Эффективен на этом этапе прием сопоставления знакомых детям величин – длины отрезка и площади фигуры, который помогает предупредить смещение этих величин. Выполняя конкретные упражнения, обнаруживают некоторое сходство и существенное различие этих величин: сантиметр – единица длины; квадратный сантиметр – единица площади; длина отрезка – число сантиметров, которые содержаться в данном отрезке; площадь фигуры – число квадратных сантиметров, содержащихся в этой фигуре.

В дальнейшем наглядное представление о квадратном сантиметре и понятие о площади фигур закрепляются. Включаются упражнение на площади фигур, разбитых на квадратные сантиметры. Предлагается при подсчете квадратных сантиметров группировать их по рядам или столбцам, чтобы ускорить нахождение их общего числа. Рассматриваются и такие фигуры, которые на ряду с целыми квадратными сантиметрами содержат и нецелые – половины, а также доли больше или меньше, чем половина квадратного сантиметра. Следует также ознакомить учащихся с нахождением приближенной площади фигуры таким способом: сосчитать все нецелые квадратные сантиметры и общее число их разделить на два, затем полученное число сложить с числом целых квадратных сантиметров, которые содержатся в данной фигуре. Для нахождения площади геометрических фигур, не разделенных на квадратные сантиметры, используют палетку. Палетка – это прозрачная пластинка, разбитая на равные квадраты. Сетка может быть нанесена на кальку или состоять из нитей, натянутых на рамку. На данном этапе используют палетку, каждое деление которой равно квадратному сантиметру.

Наложив палетку на геометрическую фигуру, подсчитывают число целых и нецелых квадратных сантиметров, которые в ней содержатся. Для нахождения площади фигур, начерченных в тетрадях, в качестве палетки используют разлиновку тетрадей. Каждый раз подчеркивают, что найденная площадь равна приблизительно такому – то числу.

Сопоставление площади и периметра

Выполняя практические упражнения с геометрическими фигурами, дети подсчитывают число квадратных сантиметров и тут же измеряют периметр многоугольника в сантиметрах.

На следующем этапе учащиеся знакомятся с приемом вычисления площади прямоугольника (квадрата). Сначала рассматривают прямоугольники, которые уже разделены на квадратные сантиметры. Их площадь находят путем подсчета квадратных сантиметров в одном ряду, а затем полученном число умножают на число рядов. Очень важно при этом установить соответствие между длиной прямоугольника и числом квадратных сантиметров, прилегающих к длине; шириной прямоугольника и числом рядов.

Затем дети чертят прямоугольник по заданным длинам сторон, разбивают его на ряды, а один ряд на квадраты и снова убеждаются в соответствии: если длина 4 см, то в одном ряду, прилегающем к этой стороне, содержится 4 кв.см, если ширина 3 см, то таких радов оказывается 3. число квадратных сантиметров равно произведению чисел 4 и 3. делается вывод: чтобы вычислить площадь прямоугольника, нужно знать его длину и ширину (в одинаковых единицах) и найти произведение этих чисел.

В процессе решения задач на вычисление площади и периметра прямоугольников следует показать, что фигуры, имеющие одинаковую площадь, могут иметь неодинаковые периметры, и что фигуры, имеющие одинаковые периметры, могут иметь неодинаковые площади. Например, это легко наблюдать при заполнении таблицы вида:

Длина	7 см	6 см	5 см	4 см
Ширина	1 см	2 см	3 см	4 см
Периметр	16 см	16 см	16 см	16 см
Площадь	7 см 2	12 см 2	15 см 2	16 см 2

Далее учащиеся знакомятся с дм 2 . Как и при введении см 2 , прежде всего формируется наглядный образ новой единицы: дети чертят на клетчатой бумаге квадрат со стороной 1 дм и затем вырезают его, составляют фигуры из нескольких квадратных дециметров, называя их площадь и периметр. Устанавливается соотношение между квадратным дециметром и квадратным сантиметром: 1 дм 2 = 100 см 2 . для этого просто вычисляется площадь квадрата со стороной 1 дм = 10 см (10*10 = 100). Учащиеся сами вычисляют площадь квадрата со стороной 1 дм в квадратных сантиметрах и записывают: 1 дм 2 = 100 см 2 затем дети учатся заменять мелкие единицы крупными и наоборот. Для достижения возможности решать задачи с данными, полученными путем непосредственных измерений при выполнении практических работ, необходимо выполнить ряд упражнений: «Выразить в см 2 : 2 дм 2 ; 1 дм 2 74 см 2 и т.п. Выразить в дм 2 и см 2 : 570 см 2 ; 1250 см 2 «.

На следующем этапе аналогично рассматривается квадратный метр. Обращается особое внимание на решение практических задач. Должна быть составлена и усвоена таблица всех изученных единиц площади и их отношений.

Наряду с решением задач на нахождение площади прямоугольника по данным длине и ширине решают обратные задачи на нахождение одной из сторон по известной площади и другой стороне прямоугольника.

Вывод: Задача развития у младших школьников геометрических представлений, способности к обобщению состоит в том, чтобы научить их видеть геометрические образы в окружающей обстановке, выделять их свойства, конструировать, преобразовывать и комбинировать фигуры, изображать их на чертеже, выполнять в необходимых случаях измерения.