почему площадь квадрата больше прямоугольника

Площадь квадрата больше площади любого прямоугольника с тем же

Свойство площади имеет практическое применение: >>

Площадь квадрата больше площади любого прямоугольника с тем же периметром. Доказательство (метод от противного). Дан квадрат, периметр которого равен p, а площадь равна q. Допустим, что существует прямоугольник, периметр которого тоже равен p, а площадь Q>q. Построим новый квадрат, равновеликий этому прямоугольнику, то — есть с площадью, тоже равной Q, и следовательно, большей, чем площадь данного квадрата. Но по предыдущей теореме периметр нового квадрата p1

Слайд 11 из презентации «Длина сравнение измерение гармония 1 класс»

Размеры: 720 х 540 пикселей, формат: .jpg. Чтобы бесплатно скачать слайд для использования на уроке, щёлкните на изображении правой кнопкой мышки и нажмите «Сохранить изображение как. ». Скачать всю презентацию «Длина сравнение измерение гармония 1 класс.ppt» можно в zip-архиве размером 8140 КБ.

Прямоугольник

««Квадрат» 8 класс» — Квадрат. Свойства квадрата. Площадь квадрата. Богатый торговец. Задания для устной работы по площади квадрата. Признаки квадрата. Чёрный квадрат. Задания для устной работы по периметру квадрата. Сколько квадратов изображено на рисунке. Квадрат среди нас. Сумка с квадратным основанием. Периметр квадрата.

«Математика прямоугольник 2 класс» — Как можно найти периметр? Устный счёт. Краткая запись: Загадка. Я – многоугольник, у меня 4 стороны, но равные только противоположенные. Игра на внимательность. Прочитайте стихотворение. Подпиши стороны. 2. Составь обратную задачу. Чёрные – 8 кр. Что такое периметр? 2.Увеличь каждое число на 3 до 60.

««Площадь прямоугольника» 8 класс» — Единицы. Найдите площадь и периметр квадрата. Площадь квадрата равна половине квадрата его диагонали. Свойства площадей. Найдите площадь шестиугольника. Найдите площадь четырехугольника. На стороне АВ построен параллелограмм. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Пол комнаты, имеющий форму прямоугольника.

«Прямоугольник и квадрат» — S прямоугольника Равна 136 кв см. Площадь треугольника равна половине площади квадрата. Площадь треугольника равна половине площади прямоугольника. 12см. Единицы измерения площадей: Так как 1 м= 10дм = 100 см , то 1 кв. дм =100кв. Чтобы вычислить периметр квадрата нужно сторону квадрата умножить на 4.

«Площадь квадрата» — Число n. Площадь данного квадрата. Аксиомы площади. Число. Теорема Пифагора. Утверждение. Доказательства. Алгебраическая формулировка. Сторона. Площадь маленького квадрата. Геометрическая формулировка. Квадрат. Площадь. Площадь квадрата.

«Площадь прямоугольника урок» — «Открытие нового знания». 1 вариант: Постановка цели урока. Актуализация знаний. Начертите прямоугольник со сторонами 5 см и 3 см. Какие измерения необходимо знать, чтобы найти площадь прямоугольника? Первичное закрепление. Ход урока. 1 вариант: Построй прямоугольник со сторонами 2см и 3см. 2 вариант:

Всего в теме «Прямоугольник» 14 презентаций

Исследовательская работа Некоторые зависимости площадей и периметров.

Цель проекта: установить некоторые зависимости между площадью и периметром, увидеть их применение в практической ситуации, подтвердить или опровергнуть достоверность знаменитой задачи про царицу Дидону.

Скачать:

Вложение	Размер
proektnaya_rabota_ploshchadi_i_perimetry.docx	231.86 КБ

Предварительный просмотр:

РЕГИОНАЛЬНАЯ ОТКРЫТАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ

«В МИР ПОИСКА, В МИР ТВОРЧЕСТВА В МИР НАУКИ»

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №2»

Г. Колпашево, Томской обл..

Некоторые зависимости площадей и периметров.

Алексеева Алина, 6а класс

учитель математики Парфенова Елена Витальевна

Автор: Алексеева Алина, 6а класс.

Руководитель: Парфенова Елена Витальевна, учитель математики

Тема «Некоторые зависимости площадей и периметров»

Общеобразовательное учреждение МАОУ СОШ №2 г. Колпашева

Используемые медиаресурсы текстовый редактор WORD, редактор POWER POINT, ресурсы сети Интернет

Цель проекта : установить некоторые зависимости между площадью и периметром, увидеть их применение в практической ситуации, подтвердить или опровергнуть достоверность знаменитой задачи про царицу Дидону.

—повторить теорию по теме исследования

—провести необходимые исследования и опыты

— рассмотреть практическое применение полученных результатов

С понятием периметр и площадь мы знакомимся еще начальной школе. Эти важные понятия необходимы человеку на протяжении всей его жизни. И дело не только в том, что деятельность представителей некоторых профессий немыслима без прочных знаний по этой теме

(строители, инженеры, земледельцы, швеи, и т. д., труднее назвать сферу деятельности человека, где эти понятия не пригодятся). Понятия площади и периметра необходимы человеку в окружающей жизни постоянно, самый банальный пример — произвести ремонт в комнате, квартире, доме. И то и другое понятие связывают стороны многоугольников, следовательно, знание зависимостей между этими величинами очень важно для современного человека

2) Определение предмета исследования

Итак, вспомним хорошо известные нам факты.

П лощадь – величина, характеризующая размер поверхности, которую занимает геометрическая фигура. (Сколько места фигура занимает на плоскости).

Периметр – размер границ (контура) геометрической фигуры. (Сумма длин всех сторон).

Равные фигуры имеют равные площади.

Площадь всей фигуры равна сумме площадей ее фигур.

За единицу площади принимают площадь квадрата, сторона которого равна единичному отрезку.

3) Формулировка проблемы

Несмотря на всю важность, я не могу припомнить никаких зависимостей связывающих площади и периметры, которые бы мы изучали в школе

Самый простой пример, который заводит в тупик неискушенных обывателей

Есть два участка земли 60х100 и 50х120м. Вроде площадь одинаковая, а первый выгоднее купить — забор то на 20м короче строить! Шутки шутками, и с точки зрения математики все ясно, а вот логически как то странно, вроде периметр это замкнутая воображаемая нить, а то, что внутри нее не должно меняться, как ее не крути. Почему есть разница в периметрах? Так все-таки, есть ли какие — то зависимости, или площадь и периметр никак не зависят друг от друга?

Предполагаем, что некоторые зависимости существуют.

Можно даже предположить, что если площадь больше, то периметр больше,

чем сторон больше, тем периметр больше.

Исследования начнем с простой и хорошо знакомой нам фигуры –прямоугольника.

Заполним таблицу, считая площадь одной клеточки равной 1 см 2

Исследуя результаты измерений, делаем вывод, что не всегда увеличение площади означает, что периметр тоже увеличивается. При одинаковом периметре и площади бывают разные! Отчего же так происходит?

Замечаем, что при равных площадях периметры не равны, самый маленький периметр из всех прямоугольников с равными площадями у квадрата.

Вот какое замечательное свойство у квадрата! Среди всех прямоугольников одинаковой площади у него самый маленький периметр.

Очевидно, можно сделать вывод что, при наименьшем периметре самая выгодная площадь у квадрата.

Запомним это замечательное свойство квадрата, заключать в своих границах наибольшую площадь при постоянном периметре.

Вывод: Похоже, что предположение о том, что чем больше сторон, тем больше периметр подтверждается.

1. Объяснение результатов

Отчего же возникают такие зависимости, в чем причина. Чтобы лучше разобраться в этом вопросе, проведем опыт.

Я взяла произвольный прямоугольник. Измерила его длину, ширину, площадь и периметр, результаты измерений занесла в таблицу №4

Теперь разрезала фигуру повдоль пополам и составила новую фигуру

Количество квадратиков не изменилось. Наблюдаем, что происходит со сторонами прямоугольника, когда периметр увеличивается.

У фигуры появились дополнительные стороны, которые стали границами, это дополнительные 20 см, и исчезла граница 5+5=10см. Итого 20-10=10 см. Вот и дополнительные 10 см. Периметр увеличится.

7. Основные выводы.

1. Итак, при наименьшем периметре самая выгодная площадь у квадрата. Замечательное свойство квадрата, заключать в своих границах наибольшую площадь при постоянном периметре.
2. Не всегда увеличение площади означает, что периметр тоже увеличивается. При одинаковом периметре и площади бывают разные!
3. Чем больше сторон, тем больше периметр подтверждается.

8. Практические задачи.

Задача 1. Периметр квадрата увеличили на 40, затем периметр полученного квадрата уменьшили на 40. У какого из квадратов площадь наименьшая

Ответ. Чем больше периметр квадрата, тем больше его площадь. 40 от периметра второго квадрата больше, чем 40 от периметра первого. Значит, наименьший периметр, а тогда и наименьшая площадь у третьего квадрата.

Задача 2. Мы разместили 15 дисков как показано на диаграмме. Периметр каждого диска равен 12 см.Чему равен внешний периметр этой фигуры?

Ответ. Задача интересная и для меня была трудная. Я сделала так. Сложила все половинки, их 9, значит периметр-54.Остались 3 угловых круга. Если соединить их центры линиями , то получится равносторонний треугольник. Сумма углов треугольника 180 градусов, (это половинка периметра диска).

т.е. 12х3-6=20. Так как я взяла 3 круга, то осталось 3 круга минус одна половинка, весь периметр равен 54+30-84

Задача 3 . Человек прикинул в уме, что он может выложить пол комнаты, имеющей квадратную форму, квадратной плиткой, и что ему не понадобится ни одну из них разрезать. Сначала рн положил плитки по краям комнаты и на это у него ушло 56 плиток.

Найдите, сколько всего ему надо иметь плиток, чтобы покрыть весь пол? Чему равна сумма цифр этого числа.

Ответ. Я из 56 вычла 4 угловые плитки, потом разделила 52 на4, получила плитки в одном ряду плюс 2 угловые, получилось 15, умножила на 15,получилось 225,сумма цифр 9.

Задача 4. Начертите какой-нибудь небольшой квадрат. Как надо изменить его стороны, чтобы построить квадрат, площадь которого была бы: 1)вчетверо больше? 2) в 9 раз больше? 3) в 16 раз больше?

Проверьте решение построением.

1) Стороны увеличить в 2 раза

2) Стороны увеличить в 3 раза

3) Стороны увеличить в 4 раза

Задача 5. Из 22 спичек сложить прямоугольник наибольшей площади.(Спички не ломать!) Так — как мне известно, что при постоянном периметре наибольшую площадь заключает в себе квадрат, но квадрата не получится, так как 22 не делится нацело на 4. а также при постоянном периметре площадь тем больше, чем меньше разница между сторонами, то наименьшая разница получится в случае когда стороны будут равны 5 см, 5 см. и 6 см , 6 см.

Задача 6. (Из книги Я. И. Перельмана) «Занимательная геометрия)

Из рассказа Л. Н. Толстого «Много ли человеку земли нужно?»

Переведем задачу на математический язык. С точки зрения математики путь Пахома – это периметр. Путь, то есть периметр, должен быть как можно меньше, а площадь как можно больше, но возможно ли такое?

За день Пахом может пройти определенное расстояние, ни больше, ни меньше, задача — охватить этим расстоянием как можно больше площади.

Математическая постановка вопроса

Как наименьшим периметром обойти площадь. Что за фигура, получится при обходе?

Пахому надо было идти по квадрату. Ему бы пригодились знания, полученные в результате наших исследований. Кстати, не имея верной стратегии обхода Пахом старался отхватить как можно больше площади и переоценил свои силы, в финале рассказа он падает без сил и погибает.

Задача 6. Задача Дидоны. Финикийская царевна Дидона, спасаясь от своего брата, тирана Пигмалиона, отплыла из родного города Тира с небольшим отрядом своих сторонников. Было это, если верить легенде, около 825 года до нашей эры. Долго плыли царевна и ее спутники по Средиземному морю, пока не пристали к берегу Африки. Жили в тех местах нулидийцы. Пришельцы им были совершенно ни к чему. Но Дидоне некуда было деться, место ей понравилось, и царевна стала упрашивать нулидийского царя Ярба продать ей немного земли. Желая, видимо, отделаться от назойливой финикиянки, Ярб заломил баснословную цену за клочок земли, который можно окружить одной бычьей шкурой. К его удивлению и разочарованию, Дидона приняла это издевательское предложение, расплатилась и отправилась отмерить свою землю. Только она не стала расстилать шкуру на берегу. Как она это сделала?

Ответ. От учителя я слышала рассказ про Древнюю царицу Дидону, которая спасаясь от преследований своего родственника попросили убежища у Древнего царя. Она попросила совсем немного Земли, столько, сколько сможет охватит бычья шкура, но в отличии от Пахома, царевна была прекрасно знакома с математикой, поэтому она перехитрила Царя, разрезав шкуру быка на тонкие полоски и охватила полученным периметром столько Земли, что позволило ей организовать на ней свое царство.

Я попыталась примерно подсчитать, сколько же Земли могла охватить Дидона . Может быть древняя легенда, всего лишь красивый вымысел? Используя ресурсы Сети Интернет, я узнала, что шкура крупного быка может достигать площади 4, 5 м 2 . Одна полоска представляет из себя прямоугольник. Представим себе, что все полоски положили последовательно друг за другом, и так как шкура довольно прочна, попробуем взять ширину полоски 1 мм. Это я, считаю минимальная ширина, конечно на самом деле ширина, скорее всего, не менее 3мм, иначе полоски будут рваться. Получили прямоугольник, ширина которого 1мм. Подсчитаем длину. Если первоначально шкура имеет форму прямоугольника со сторонами 1500мм на 3000мм, тогда у нас будет 1500 полосок шириной 1мм, и общей длиной 1500х3000=4500000 мм=4500 метров

А теперь обратимся к древним источникам, в них говорится, что царевна смогла охватить 22 стадии, я узнала, что 1 стадия

22* 200 =4400 метров!

Древняя легенда находит свое подтверждение! Мои расчеты с точностью до 100 метров совпали с историческими данными! Так как из проведенных выше исследований мне понятно, что при постоянном периметре самая выгодная площадь у квадрата, высчитаем сторону квадрата при периметре 4400 метров.

Данный периметр может охватить площадь примерно 1100мх1100м=1210000м 2 = 121 га вполне достаточная площадь земельного участка для города древности!

1. Подготовка к презентации

Для написания опыта были использованы возможности текстового редактора Word. Итоговый материал представлен в виде презентации, выполненной в редакторе Power Point.

1. Литература и Интернет — источники:

Я. И. Перельман, «Занимательная геометрия», Изд.: Терра-Книжный клуб (2008), 384 стр..

Почему площадь квадрата больше прямоугольника

Изучение зависимостей площадей и периметров в четырехугольниках

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

С понятием периметр и площадь я познакомилась в 3 классе. Э ти важные понятия необходимы человеку на протяжении всей его жизни. Деятельность строителей, инженеров, земледельцев и представителей других профессий немыслима без прочных знаний по этой теме.

Актуальность темы . Понятия «площади» и «периметра» необходимы человеку в окружающей жизни постоянно, например – сделать ремонт в доме или красиво оформить клумбу на даче. И то и другое понятие связывают стороны многоугольников. Знание зависимостей между этими величинами очень важно для современного человека.

Цель проекта: установить некоторые зависимости между площадью и периметром, увидеть их применение в практических ситуациях.

Задачи:повторить понятия по теме исследования, а именно: «площадь фигуры» и «периметр фигуры»; провести необходимые исследования и опыты; сделать выводы о зависимости площадей и периметров ; рассмотреть практическое применение полученных результатов.

Определение предмета исследования. Что нужно выяснить:

Как связаны периметры и площади прямоугольников?

Зависит ли площадь прямоугольника от его периметра?

Какой прямоугольник имеет наибольшую площадь при заданном периметре?

Если известен периметр прямоугольника, то нельзя ли однозначно установить его площадь?

Что можно сказать о зависимости площади квадрата от его периметра?

Проблема. Никаких зависимостей связывающих площади и периметры фигур мы пока не изучили.

Вот, самый простой пример, который задает проблему: «Есть два участка земли 80 м на 100 м и 50 м на 160 м. Вроде, площадь одинаковая – 8000 м 2 , а первый участок выгоднее купить, чем второй, забор то на 60 м короче строить». С точки зрения математики, все ясно, а вот логически – странно, периметр это замкнутая воображаемая нить, и то, что внутри нее не должно меняться, как ее не крути. Почему есть разница в периметрах? Так все-таки, есть ли какие-то зависимости, или площадь и периметр никак не зависят друг от друга?

Гипотеза. Предполагаем, что некоторые зависимости существуют. С изменением длины одной из сторон прямоугольника при заданном периметре изменится и площадь этого прямоугольника. Можно даже предположить, что если площадь больше, то периметр больше. Если у одной фигуры больше периметр, чем у второй, то её площадь больше, меньше или по-разному?

Периметр – величина, равная сумме длин всех сторон многоугольника.

Площадь фигуры – величина, показывающая сколько места занимает фигура на плоскости.

Свойства площадей нам тоже известны:

Равные фигуры имеют равные площади.

Площадь всей фигуры равна сумме площадей ее частей.

За единицу площади принимают площадь квадрата, сторона которого равна единичному отрезку.

Исследования начнем с простой и хорошо знакомой нам фигуры – прямоугольника.

Заполним таблицу, считая площадь одной клеточки равной 1 см 2

💥 Видео