площади сечений пирамиды относятся как (8 видео)

Содержание

Пирамида и усеченная пирамида
Сечение, параллельное основанию пирамиды
Практикум по теме «Вычисление площадей сечений многогранников»
«Вычисление площадей сечений многогранников (пирамида)»
Ход урока
Организационный момент (2мин).
1. Актуализация опорных знаний и умений учащихся. Тестирование с самопроверкой (6 мин).
2. Проверка домашнего задания (5 мин).
3. Решение многовариантной задачи (12мин).
4. Самостоятельная работа в группах по решению задач с использованием готовых чертежей и последующей проверкой или самопроверкой (10 мин).
Пирамида в геометрии — элементы, формулы, свойства с примерами
💡 Видео

Видео:Как строить сечения тетраэдра и пирамидыСкачать

Пирамида и усеченная пирамида

Как можно построить пирамиду? На плоскости р построим какой-либо многоугольник, например пятиугольник ABCDE. Вне плоскости р возьмем точку S. Соединив точку S отрезками со всеми точками многоугольника, получим пирамиду SABCDE (рис.).

Точка S называется вершиной, а многоугольник ABCDE — основанием этой пирамиды. Таким образом, пирамида с вершиной S и основанием ABCDE — это объединение всех отрезков [SM], где М ∈ ABCDE.

Треугольники SAB, SBC, SCD, SDE, SEA называются боковыми гранями пирамиды, общие стороны боковых граней SA, SB, SC, SD, SE — боковыми ребрами.

Пирамиды называются треугольными, четырехугольными, п-угольными в зависимости от числа сторон основания. На рис. даны изображения треугольной, четырехугольной и шестиугольной пирамид.

Плоскость, проходящая через вершину пирамиды и диагональ основания, называется диагональной, а полученное сечение — диагональным. На рис. 186 одно из диагональных сечений шестиугольной пирамиды заштриховано.

Отрезок перпендикуляра, проведенного через вершину пирамиды к плоскости ее основания, называется высотой пирамиды (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).

Пирамида называется правильной, если основание пирамиды—правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется в его центр.

Все боковые грани правильной пирамиды — конгруэнтные равнобедренные треугольники. У правильной пирамиды все боковые ребра конгруэнтны.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой пирамиды. Все апофемы правильной пирамиды конгруэнтны.

Если обозначить сторону основания через а, а апофему через h, то площадь одной боковой грани пирамиды равна 1 /₂ ah .

Сумма площадей всех боковых граней пирамиды называется площадью боковой поверхности пирамиды и обозначается через S_бок.

Так как боковая поверхность правильной пирамиды состоит из n конгруэнтных граней, то

где Р — периметр основания пирамиды. Следовательно,

т. е. площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Площадь полной поверхности пирамиды вычисляется по формуле

Объем пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания S_ocн. на высоту Н:

Вывод этой и некоторых других формул будет дан в одной из последующих глав.

Построим теперь пирамиду другим способом. Пусть дан многогранный угол, например, пятигранный, с вершиной S (рис.).

Проведем плоскость р так, чтобы она пересекала все ребра данного многогранного угла в разных точках А, В, С, D, Е (рис.). Тогда пирамиду SABCDE можно рассматривать как пересечение многогранного угла и полупространства с границей р, в котором лежит вершина S.

Очевидно, что число всех граней пирамиды может быть произвольным, но не меньшим четырех. При пересечении трехгранного угла плоскостью получается треугольная пирамида, у которой четыре грани. Любую треугольную пирамиду иногда называют тетраэдром, что означает четырехгранник.

Усеченную пирамиду можно получить, если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной плоскости основания.

На рис. дано изображение четырехугольной усеченной пирамиды.

Усеченные пирамиды также называются треугольными, четырехугольными, n-угольными в зависимости от числа сторон основания. Из построения усеченной пирамиды следует, что она имеет два основания: верхнее и нижнее. Основания усеченной пирамиды — два многоугольника, стороны которых попарно параллельны. Боковые грани усеченной пирамиды — трапеции.

Высотой усеченной пирамиды называется отрезок перпендикуляра, проведенного из любой точки верхнего основания к плоскости нижнего.

Правильной усеченной пирамидой называется часть правильной пирамиды, заключенная между основанием и плоскостью сечения, параллельной основанию. Высота боковой грани правильной усеченной пирамиды (трапеции) называется апофемой.

Можно доказать, что у правильной усеченной пирамиды боковые ребра конгруэнтны, все боковые грани конгруэнтны, все апофемы конгруэнтны.

Если в правильной усеченной n-угольной пирамиде через а и b_n обозначить длины сторон верхнего и нижнего оснований, а через h — длину апофемы, то площадь каждой боковой грани пирамиды равна

Сумма площадей всех боковых граней пирамиды называется площадью ее боковой поверхности и обозначается S_бок. . Очевидно, что для правильной усеченной n-угольной пирамиды

Так как па = Р и nb_n = Р₁ — периметры оснований усеченной пирамиды, то

т. е. площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна половине произведения суммы периметров ее оснований на апофему.

Видео:Стереометрия "с нуля" Урок 12 -3 Сечения в пирамиде и доказательстваСкачать

Сечение, параллельное основанию пирамиды

1) боковые ребра и высота разделятся на пропорциональные части;

2) в сечении получится многоугольник, подобный основанию;

3) площади сечения и основания относятся, как квадраты их расстояний от вершины.

Теорему достаточно доказать для треугольной пирамиды.

Так как параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью по параллельным прямым, то (АВ) || (А₁В₁), (BС) ||( В₁C₁), (AС) || (A₁С₁) (рис.).

Параллельные прямые рассекают стороны угла на пропорциональные части, и поэтому

Соответственные углы треугольников ABC и A₁B₁C₁ конгруэнтны, как углы с параллельными и одинаково направленными сторонами. Поэтому

Площади подобных треугольников относятся, как квадраты соответствующих сторон:

Теорема. Если две пирамиды с равными высотами рассечены на одинаковом расстоянии от вершины плоскостями, параллельными основаниям, то площади сечений пропорциональны площадям оснований.

Пусть (черт. 84) В и В₁— площади оснований двух пирамид, H — высота каждой из них, b и b₁ — площади сечений плоскостями, параллельными основаниям и удалёнными от вершин на одно и то же расстояние h.

Согласно предыдущей теореме мы будем иметь:

Следствие. Если В = В₁, то и b = b₁ , т. е. если у двух пирамид с равными высотами основания равновелики, то равновелики и сечения, равноотстоящие от вершины.

Видео:10 класс, 14 урок, Задачи на построение сеченийСкачать

Практикум по теме «Вычисление площадей сечений многогранников»

Разделы: Математика

Научится решать задачи по геометрии значительно сложнее, чем по алгебре. Помимо знаний и техники владения материалом, здесь требуется некоторое геометрическое видение. По данным статистической обработки результатов вступительных экзаменов в различные вузы геометрические задачи вызывают трудности не только у слабых, но и у более подготовленных учащихся. Как правило, это задачи, при решении которых нужно применить небольшое число геометрических фактов из школьного курса в измененной ситуации, а вычисления не содержат длинных выкладок. Решая, такую задачу, ученик должен в первую очередь проанализировать предложенную в задаче конфигурацию и увидеть те ее свойства, которые необходимы при решении. Выходом из создавшегося положения может служить рассмотрение некоторых вопросов, которые довольно часто встречаются в заданиях экзаменов и которые у многих вызывают затруднения в рамках элективного курса для учащихся 10-11-х класса “Практикум решения задач повышенной сложности по стереометрии”. Основная цель такого курса – познакомить учащихся с некоторыми методами и приемами решения геометрических задач и сформировать умение применять полученные знания в “измененных” ситуациях, “нетипичных” задачах. Освоение курса предполагает дальнейшее развитие и формирование учебной, информационной, коммуникативной, ценностно-смысловой компетенций. Модульное построение курса обеспечивает системность и практическую направленность знаний и умений учеников, дает возможность учащимся, пропустившим по каким-либо причинам часть курса, спокойно подключиться к работе во втором или третьем модуле. Для наиболее успешного усвоения данного материала используются различные формы работы с учащимися: лекционно-семинарские занятия, групповые, индивидуальные формы работы, выполнение исследовательских и творческих работ. Продвижение, рост ученика фиксироваться через выполнение проверочных, тестовых работ. Для текущего контроля на каждом занятии учащимся рекомендуется серия заданий, часть которых выполняется в классе, а часть – дома самостоятельно и затем проверяется учителем. После изучения каждого модуля учащимися выполняется мини зачёт по теории и практике, либо в виде письменной работы, либо в виде собеседования. Изучение данного курса заканчивается проведением итоговой контрольной работой.

Основной тип занятий — практикум. Основной формой их проведения являются практические и лабораторные работы, на которых учащиеся самостоятельно упражняются в практическом применении усвоенных теоретических знаний и умений. Средством управления учебной деятельностью учащихся при проведении практикума служит инструкция, которая по определенным правилам последовательно устанавливает действия ученика.

Остановлюсь на одном из уроков-практикумов данного курса:

«Вычисление площадей сечений многогранников (пирамида)»

Прячет с помощью пирамид

горизонтальность свою земля.

Цели и задачи урока: Знакомство учащихся с многовариантными геометрическими задачами, которые являются традиционно сложными для абитуриентов. Способствовать формированию и развитию у учащихся пространственных представлений; закрепить навыки решения задач на вычисление площадей сечений многогранников. Формировать умения анализировать, устанавливать связь между элементами содержания ранее изученного материала, способность к самоанализу, рефлексии. Содействовать развитию интереса к оперированию геометрическими понятиями и образами, личностной активности учащихся; создать условия для творческой самореализации личности.

Оборудование: персональные компьютеры, раздаточный материал в виде готовых чертежей с задачами, листы для отчета о проделанной работе, модели куба и пирамиды. Презентации (обращайтесь к автору) учителя к уроку и учащихся для проверки домашнего задания.

Ход урока

Организационный момент (2мин).

После проверки готовности класса к уроку, учитель сообщает тему, цели и задачи практикума и отмечает, что урок проходит с использованием компьютерной презентации, выполненной в Power Point. Учитель проводит инструктирование учащихся по технике безопасности при работе в компьютерном классе.

1. Актуализация опорных знаний и умений учащихся. Тестирование с самопроверкой (6 мин).

Для диагностики и коррекции основных понятий и формул, необходимых на уроке учитель предлагает учащимся ответить на вопросы теста. С условиями заданий теста учащиеся знакомятся с помощью слайдов презентации. Оценивает ответы учащихся компьютер. Максимальная оценка 3 балла – за три правильных ответа. На каждом слайде необходимо нажать кнопку с номером ответа. Неверно выбранный ответ откроет слайд решение задачи или напомнит теоретический материал.

1.Треугольник DKB – сечение в пирамиде ABCD, две соседние боковые грани которой перпендикулярны основанию, . Вычислите площадь сечения DBK, если , AB=5см, BK=4см.

1) таких значений нет; 2) 3) 4)

2.Площади сечения параллельного основанию пирамиды и площадь основания относятся как:

1) ; 2) 3) 4) где, расстояние от вершины пирамиды до плоскости сечения, до плоскости основания пирамиды.

3. Вычислите площадь сечения правильной четырехугольной пирамиды со стороной 4 см, проходящей через точки A,T,D, если точка T середина ребра BS. Диагонали полученного сечения пересекаются в точке O и.

1) таких значений нет; 2) 3) 4)

Мотивация учебной деятельности учащихся (3мин).

Учитель в беседе с учащимися отмечает, что отличительной чертой успешного человека является умение прогнозировать, т.е. строить верные предположения о будущем результате. Это умение можно приобрести при решении нестандартных задач. Это многовариантные задачи, у которых формулировка не допускает точного установления взаимного расположения объектов условия или требования. Решить такую задачу значит рассмотреть все возможные варианты расположения объектов. Далее учитель с помощью слайда презентации выясняет у учащихся ответ на вопрос задачи.

В правильной четырехугольной призме надо вычислить площадь сечения, проходящего через середины смежных ребер основания под углом ? к нему. Какой объект условия приводит к вариативности задачи?

2. Проверка домашнего задания (5 мин).

На прошлом уроке учащиеся класса были разбиты на три группы, каждая их них получила задание: решить многовариантную задачу, рассмотрев один из трех случаев расположения основания равнобедренного треугольника в кубе:

Через вершину B₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁проведена плоскость, пересекающая ребра ВС и АВ и образующая с гранью ABCD угол ?, причем в сечении получен равнобедренный треугольник. Найти площадь сечения, если ребро куба равно a.

Готовясь к уроку, учащиеся каждой группы повторяли теоретический материал по соответствующей теме, подготовили презентацию с решениями трех случаев расположения основания равнобедренного треугольника. Анимация слайдов сложна, но она позволяет проследить все этапы построения сечения в каждом из трех случаев. В ходе проверки учащиеся отмечают, что решения II и III случая аналогичны.

3. Решение многовариантной задачи (12мин).

Учитель предлагает вниманию учащихся задачу:

Основанием пирамиды SABCD служит прямоугольник ABCD, диагональ BD которого составляет со стороной BC угол ?. Все боковые ребра пирамиды имеют длину l, а величина угла ASC равна 2?. Пирамида пересечена плоскостью, равноудаленной от всех ее вершин. Определите площадь сечения пирамиды этой плоскостью.

Демонстрация слайда презентации помогает учащимся заметить, что если плоскость пересекает отрезок в его середине, то концы отрезка равноудалены от этой плоскости. Следовательно, секущая плоскость пирамиды, о которой говорится в условии задачи, пересекает ребра пирамиды в их серединах.

Далее в ходе обсуждения условия задачи, устанавливаем, что возможны три принципиально различных положения секущей плоскости. Каждая из трех группы рассматривает один из трех случаев расположения секущей плоскости, выбирает того, кто будет оформлять решение задачи на доске. Представители групп выходят к доске с текстами задач, готовят чертёж, записывают кратко условие задачи и приступают к её решению, получив право свободного перемещения по кабинету для консультации с членами группы, каждый член группы тоже может подойти к доске и помочь товарищу. Учитель при необходимости даёт консультацию работающим у доски ученикам.

I случай:

Точки M,N,P,Q- середины ребер AS, BS, CS, DS.Решение:

Так как боковые ребра пирамиды равны, то ее вершина проектируется в центр описанной окружности основания, в данном случае в точку пересечения диагоналей прямоугольника. Из ,

Четырехугольник гомотетичен прямоугольнику c коэффициентом гомотетии и центром Следовательно,

Решения II и III случая аналогичны, в чем учащиеся убеждаются, сравнивая записи на доске.

II случай:

Точки M,N,P,Q середины ребер AB, BS, CS, DC

Точки M,N,P,Q середины ребер AB, BS, CS, DC.Очевидно – трапеция, причем точка принадлежит Показываем, что

Проведем точка пересечения прямых Так как

то

Очевидно тогда

4. Самостоятельная работа в группах по решению задач с использованием готовых чертежей и последующей проверкой или самопроверкой (10 мин).

Учащиеся каждой группы получают тексты задач по вариантам в печатном виде и на слайдах презентации. Учитель контролирует работу групп, определяет степень усвоения изученного материала. Через определенное время краткое решение задач можно проверить, используя слайды презентации.

Задание для I группы

Задача №1. Дано: правильная четырехугольная пирамида, трапеция, — точка пересечения диагоналей трапеции.,. Найдите .Задача № 2.

Дано: правильная четырехугольная пирамида, . Найдите Задание для II группы

Задача №1. Дано: правильная четырехугольная пирамида, трапеция, N- точка пересечения диагоналей трапеции.. Найдите .Задача № 2. (первая обратная)

Дано: правильная четырехугольная пирамида,

Видео:Как правильно построить сечение пирамиды плоскостью.Скачать

Пирамида в геометрии — элементы, формулы, свойства с примерами

Вы уже знакомы с пирамидой, т. е. многогранником, одна грань которого является многоугольником, а остальные грани-треугольники имеют общую вершину.

Треугольные грани пирамиды, имеющие общую вершину, называют боковыми гранями, а эту общую вершину — вершиной пирамиды. Ребра боковых граней, сходящиеся в вершине пирамиды, называют боковыми ребрами пирамиды. Многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды, называют основанием пирамиды (рис. 107).

Пирамиды разделяют на треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т. д. в зависимости от количества сторон их оснований. Пирамида, изображенная на рисунке 107, — пятиугольная, а на рисунке 108, — восьмиугольная. Треугольную пирамиду называют еще тетраэдром. У тетраэдра все грани являются треугольниками (рис. 109).

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости ее основания, называется высотой пирамиды. На рисунке 108 показана высота

Плоскость, проходящая через два боковых ребра пирамиды, не принадлежащие одной грани, называется диагональной плоскостью, а сечение пирамиды диагональной плоскостью — диагональным сечением. На рисунке 111 показано диагональное сечение шестиугольной пирамиды.

Пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, а основание ее высоты совпадает с центром этого многоугольника, называется правильной пирамидой (рис. 112).

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой пирамиды.

Отметим, что в правильной пирамиде:

боковые ребра равны;
боковые грани равны;
апофемы, равны;
двугранные углы при основании равны;
двугранные углы при боковых ребрах равны;
каждая точка высоты равноудалена от вершин основания;
каждая точка высоты равноудалена от ребер основания;
каждая точка высоты равноудалена от боковых граней.

Отметим, что если в пирамиде равны все:

боковые ребра, то около ее основания можно описать окружность, и центр этой окружности совпадает с основанием высоты пирамиды (рис. 113);
двугранные углы при основании, то в это основание можно вписать окружность, и центр этой окружности совпадает с основанием высоты пирамиды (рис. 114).

Боковые грани составляют боковую поверхность пирамиды, а боковые грани вместе с основанием — полную поверхность пирамиды.

Вы знаете, что боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра ее основания и апофемы.

Теорема 1.

Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной основанию, то:

а) боковые ребра и высота разделяются на пропорциональные части;
б) в сечении получается многоугольник, подобный основанию;
в) площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний от вершины пирамиды.

Используя рисунок 115, докажите эту теорему самостоятельно.

Секущая плоскость, параллельная основанию пирамиды, разделяет ее на две части (рис. 116). Одна из этих частей также является пирамидой, а другая — многогранником, который называется усеченной пирамидой.

Параллельные грани усеченной пирамиды называются ее основаниями (рис. 117). Основания усеченной пирамиды — подобные многоугольники, стороны которых попарно параллельны, поэтому ее боковые грани являются трапециями.

Высотой усеченной пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного основания пирамиды к плоскости другого основания.

Усеченная пирамида называется правильной, если она является частью правильной пирамиды. Высота боковой грани правильной усеченной пирамиды называется апофемой усеченной пирамиды. На рисунке 118 показана четырехугольная правильная усеченная пирамида и одна из ее апофем.

Теорема 2.

Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров ее оснований и апофемы:

Доказательство:

Пусть есть правильная -угольная усеченная пирамида (рис. 119). Пусть и — соответственно периметры нижнего и верхнего оснований и — апофема пирамиды.

Боковая поверхность данной пирамиды состоит из равных трапеций. Пусть и — основания одной из этих трапеций, тогда ее площадь равна . Учитывая, что боковая поверхность пирамиды состоит из таких трапеций, получим, что

Теперь установим формулу для вычисления объема пирамиды.

Тела, имеющие равные объемы, называются равновеликими.

Теорема 3.

Треугольные пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами равновелики.

Доказательство:

Пусть есть две треугольные пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами (рис. 120). Разделим высоты одной и другой пирамид на долей и через точки деления проведем плоскости, параллельные основаниям. Этим самым пирамиды разделяются на частей. Для каждой части первой пирамиды построим наибольшие по объему призмы, целиком содержащиеся в пирамиде, а для каждой части другой пирамиды — наименьшие по объему призмы, целиком содержащие эту часть.

Пусть и — объемы первой и второй пирамид, a и — суммарные объемы призм, построенных для этих пирамид. При счете от оснований пирамид призма в -й части первой пирамиды равновелика призме для -й части второй пирамиды, так как у этих призм равновелики основания и равные высоты. Поэтому объем больше объема на объем первой призмы, у которой основанием является основание второй пирамиды, а высота равна , где — высота пирамиды (см. рис. 120), т.е. , или , где — площадь основания пирамиды. Теперь учтем, что , a . Поэтому , или . При увеличении значения переменной значение выражения стремится к нулю, а это означает, что , или

Такие же рассуждения можно провести, если первую и вторую пирамиды поменять ролями. В результате получим неравенство

Из неравенств (1) и (2) следует, что .

Теорема 4.

Объем пирамиды равен третьей доле произведения площади ее основания и высоты:

Доказательство:

Пусть есть треугольная пирамида (рис. 121). Достроим ее до призмы с основанием (рис. 122). Отделим от призмы данную пирамиду, получится четырехугольная пирамида (рис. 122 и 123). Диагональная плоскость разделяет ее на две пирамиды и , у которых одна и та же высота, проведенная из вершины , и равные основания и . Поэтому, в соответствии с теоремой 3, пирамиды и равновелики. Сравним пирамиду с данной пирамидой . У них равные основания и и высоты, проведенные из вершин и , поэтому эти пирамиды также равновелики. Получается, что все три пирамиды , и равновелики. Поскольку объем призмы равен произведению площади основания и высоты призмы , которая равна высоте пирамиды , то объем пирамиды , т. е. третьей части призмы , равен третьей доле этого объема, т. е. .

Пусть теперь есть произвольная пирамида (рис. 124). Через диагонали основания , выходящие из одной вершины , проведем диагональные сечения, они разделят данную пирамиду на треугольные пирамиды . Поскольку все они имеют общую высоту , то

Пример:

Найдем объем усеченной пирамиды, нижнее и верхнее основания которой имеют площади и , а высота равна (рис. 125).

Для этого достроим данную усеченную пирамиду до полной. Пусть высота дополнительной пирамиды равна . Искомый объем можно найти как разность объемов полной и дополнительной пирамид:

Чтобы найти высоту , используем установленное в теореме 1 утверждение о том, что площади сечений пирамиды относятся как квадраты их расстояний от вершины:

Решим это уравнение, учитывая, что и — положительные числа:

Таким образом, объем усеченной пирамиды равен третьей доле произведения высоты пирамиды и суммы площадей и оснований пирамиды и их среднего геометрического .

Рекомендую подробно изучить предметы:

Геометрия
Аналитическая геометрия
Начертательная геометрия

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

Конус в геометрии
Сфера в геометрии
Шар в геометрии
Правильные многогранники в геометрии
Возникновение геометрии
Призма в геометрии
Цилиндр в геометрии
Стереометрия — формулы, определение и вычисление

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.