площади многоугольников на координатной сетке

Видео:Как найти периметр данной фигуры? Решение за одну минуту!Скачать

Площади многоугольников на координатной сетке

Многоугольники на координатной сетке — это самые простые задачи B5. Существует сразу несколько методов решения таких задачи, в том числе универсальный, описанный ниже. Для начала определимся с терминологией:

— фигура на плоскости, ограниченная замкнутой ломаной.

Большинство многоугольников, встречающихся в ЕГЭ, являются выпуклыми, т.е. не имеют внутренних углов размером больше 180°, а все вершины многоугольника лежат в узлах координатной сетки. Кроме того, ломаная, ограничивающая многоугольник, не имеет самопересечений. Все это значительно упрощает задачу.

Для решения всех задач этого типа достаточно выполнить четыре простых шага:

1. Описать вокруг многоугольника прямоугольник, стороны которого параллельны осям координат (линиям сетки). При этом желательно, чтобы на каждой стороне прямоугольника присутствовала хотя бы одна вершина исходной фигуры;
2. Разбить внутреннее пространство прямоугольника, не занятое исходной фигурой, на квадраты и треугольники. Лучше, если все линии разбиения будут параллельны осям координат;
3. Найти площадь каждого элемента разбиения. Сложив эти площади, получим площадь всего разбиения;
4. Наконец, из площади прямоугольника вычесть площадь разбиения — это и будет площадью исходной фигуры.

Несмотря на большое количество элементов разбиения, вычисление его площади — достаточно тривиальная задача.

Проиллюстрируем каждый шаг решения:

Последним шагом найдем площадь исходной фигуры: площадь описанного прямоугольника. Осталось вычислить площадь большого прямоугольника и элементов разбиения. Эти несложные расчеты предлагается выполнить читателю в качестве упражнения.

Задача. Найти площадь треугольника ABC , изображенного на рисунке:

Обозначение треугольника можно опустить, поскольку оно нам не потребуется. Приведем первые три шага:

Итак, площадь описанного прямоугольника. Найдем площадь элементов разбиения:

Наконец, найдем площадь треугольника:

Задача. Найти площадь треугольника ABC , изображенного на рисунке:

Снова выполняем первые три шага. Заметим, что угол ABC — тупой, поэтому в разбиении присутствует квадрат. Имеем:

Очевидно, площадь описанного прямоугольника. Найдем площадь элементов разбиения:

Видео:Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shortsСкачать

Задачи на координатной сетке

Видео:Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Задачи на координатной сетке

Площадь фигур на координатной сетке или плоскости можно решить несколькими способами:

1. Достроить фигуру до прямоугольника или квадрата.

2. Найти площадь прямоугольника.

3. Найти площади всех дополнительных фигур (чаще всего это прямоугольные треугольники или трапеции).

4. Из площади прямоугольника вычесть все площади дополнительных фигур.

Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого имеют координаты $(0;5), (4;7), (7;0), (11;2)$.

1. Достроим параллелограмм до прямоугольника

2. Найдем длину и ширину прямоугольника:

Чтобы найти длину стороны, параллельную какой либо оси, надо из большей координаты отнять меньшую координату.

Длина стороны $EF= 11$, стороны $FK= 7$. Подставим в формулу площади данные и сделаем вычисления: $S_= 11·7=77$.

3. Найдем площади дополнительных (ненужных) фигур:

4. Из площади прямоугольника вычтем все площади дополнительных фигур и таким образом получим площадь искомого параллелограмма.

• Второй способ

1. Если линии фигуры идут ровно по клеточкам и можно посчитать длины сторон, высот и т.д., то считаем клеточки и определяем величины.

2. Подставляем известные значения в формулу площади.

• Третий способ.

Площадь искомой фигуры можно найти по формуле Пика:

$S=/+В-1$, где $Г$ — количество узлов на границе фигуры (на сторонах и вершинах);

$В$ — количество узлов внутри фигуры.

Узел – это уголок клетки или пересечение линий

Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки $1 см × 1$ см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Отметим красными точками узлы на границе фигуры (Г), а желтыми – узлы внутри фигуры (В).

Подставим данные в формулу Пика: $S=/+6-1=3.5+6-1=8.5$

Площади некоторых фигур

Площадь треугольника:

1. $S=/$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $а$
2. Для прямоугольного треугольника $S=/$, где $а$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.
3. Для равностороннего треугольника $S=<a^√3>/$, где $а$ — длина стороны.

Площади четырехугольников:

1. Прямоугольник $S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.
2. Ромб $S=/$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба
3. Трапеция $S=/$, где $а$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции.
4. Квадрат $S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.
5. Параллелограмм $S=a·h_a$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $а$.

Площадь круга:

$S=π·R^2$, где $π=3.14, R$ — радиус окружности.

Площадь сектора:

$S=<S_n°>/=/$, где $n°$ — это градусная мера центрального угла, отсекающего заданный сектор.

Площадь кольца:

В прямоугольнике и квадрате центр описанной окружности лежит в точке пересечения диагоналей, а радиус описанной окружности равен половине диагонали.

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы и радиус равен половине гипотенузы.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

1. Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
2. Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
3. Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
4. Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

В прямоугольном треугольнике $АВС$ для острого угла $В$:

Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

$cos BOA= — cos BOC$;

$ctg BOA= — ctg BOC$.

Углы в окружности.

1. Угол, образованный двумя радиусами, называется центральным. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

2. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами, называется вписанным. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается

Найдите величину угла MPK. Ответ дайте в градусах.

Угол $МРК$ равен половине градусной меры дуги $МК$, так как он вписанный. Чтобы отыскать градусную меру дуги, посмотрим, на сколько таких дуг мы можем разделить всю окружность, потом $360°$ разделим на полученное количество.

Дуга $МК$ отсекается хордой, занимающей две клетки. Разделим такими хордами всю окружность, получилось $8$ дуг.

$360:8=45°$, составляет градусная мера дуги $МК$.

Прямые на координатной плоскости

Координаты середины отрезка равны среднему арифметическому координат его концов.

Найдите абсциссу середины отрезка, соединяющего точки $В(2;8)$ и $A(6;4)$.

Пусть точка $М$ – середина отрезка $ВА$. Чтобы найти абсциссу данной точки, надо найти среднее арифметическое абсцисс концов отрезка:

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки на плоскости имеет вид $y=kx+b$, где $k$ и $b$ – это коэффициенты.

Уравнение можно задать с помощью формулы:

Точки пересечения прямой с осями координат:

Если прямая пересекает ось Ох, то в уравнении прямой координата $у = 0$, а если прямая пересекает ось Оу, то уравнении прямой координата $х = 0$.

Две прямые на координатной плоскости будут параллельны, если в уравнениях прямых будут равны коэффициенты k.

Если уравнение первой прямой: $y=k_x+b_1$;

Уравнение второй прямой: $y= k_x+b_2$, то при параллельности прямых, $k_1=k_2$.

Видео:Лайфхак! Площади всех фигур #огэ #математика #shortsСкачать

КДМ. Площадь многоугольника: разбиение фигуры на части и «метод узлов» по формуле Пика.

Видео:Математика 4 класс (Урок№14 - Измерение площади фигуры с помощью палетки.)Скачать

Площадь фигуры (многоугольника)

Площадь фигуры (многоугольника)

Метод узлов —
формула Пика

Видео:Урок 2.2. Работа с координатной плоскостью. Вычисление площадей многоугольников.Скачать

В задании требуется всегда одно и то же: найти площадь фигуры, которая задана точками на координатной плоскости или на координатной сетке

В задании требуется всегда одно и то же: найти площадь фигуры, которая задана точками на координатной плоскости или на координатной сетке.
В зависимости от фигуры, все задачи делятся на два типа:
Площадь многоугольника;
Площадь круга.
Независимо от типа, надо помнить важнейшее правило, вытекающее из свойств площади: если фигуру разрезать на несколько частей, то сумма площадей этих частей равна площади всей фигуры.
Рассмотрим площадь многоугольника.

Видео:Самый простой способ нахождения площадиСкачать

Решить задачу № 1* Найдите площадь четырехугольника

Решить задачу № 1*

Найдите площадь четырехугольника ABCD и выразите ее в квадратных сантиметрах.

Найдите площадь в см2
прямоугольника AEFK
Найдите площадь в см2
прямоугольных
треугольников AEB, CFD,
ADK
Найдите площадь четырехугольника ABCD

Видео:Как посчитать площадь многоугольника за 15 секунд в уме? Формула для ленивыхСкачать

Решить задачу № 1* Найдите площадь четырехугольника

Решить задачу № 1*

Найдите площадь четырехугольника ABCD и выразите ее в квадратных сантиметрах.

Найдите площадь
прямоугольника AEFK в см2
Найдите площадь прямоугольных треугольников AEB, CFD, ADK в см2
Найдите площадь четырехугольника ABCD

Видео:9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороныСкачать

Решить задачу № 1* Найдите площадь четырехугольника

Решить задачу № 1*

Найдите площадь четырехугольника ABCD и выразите ее в квадратных сантиметрах.

SAEFK=AK*AE=6*4=24 (см2)
SAEB=SAEBM :2=2*4:2=4 (см2)
SCFD=SNCFD :2=2*1:2=1 (см2)
SADK=SAPDK :2=6*2:2=6 (см2)

SABCD = SAEFK – (SAEB + SCFD + SADK) = 24 – (4 + 1 + 6) = 13 (см2)

Ответ: SABCD = 13 см2

Видео:Площадь прямоугольного треугольника. Как найти площадь прямоугольного треугольника?Скачать

Эту формулу редко кто изучает в школе…

Эту формулу редко кто изучает в школе…
О ней, вряд ли, вспомнят в колледже или даже в университете.
Но те, кто ее знают, всегда решат задачу правильно.
Никаких дополнительных построений и треугольников — все намного проще.
Запоминайте и пользуйтесь
замечательной формулой!
Метод узлов

А я знаю, как решить такую задачу намного проще и быстрее!
Есть отличная формула.

Видео:Целеуказание по карте по квадратам координатной сеткиСкачать

Существует замечательная формула, которая позволяет считать площадь многоугольника на координатной сетке почти без ошибок

Существует замечательная формула, которая позволяет считать площадь многоугольника на координатной сетке почти без ошибок.
Это даже не формула, а настоящая теорема.
На первый взгляд, она может показаться сложной.
Но достаточно решить пару задач — и вы поймете, насколько это крутая фишка.
Так что вперед!

Для начала введем новое определение:

Видео:6 класс Математика. 3.11. Площадь многоугольникаСкачать

Определение Узел координатной сетки — это любая точка, лежащая на пересечении вертикальных и горизонтальных линий этой сетки

Определение
Узел координатной сетки — это любая точка, лежащая на пересечении вертикальных и горизонтальных линий этой сетки.
Обозначение

Видео:Координатная прямая. Противоположные числа. 6 класс.Скачать

На первой картинке узлы вообще не обозначены

На первой картинке узлы вообще не обозначены.
На второй обозначены 4 узла.
Наконец, на третьей картинке обозначены все 16 узлов.
Какое отношение это имеет к задаче?
Дело в том, что вершины многоугольника в таких задачах всегда лежат в узлах сетки.
Как следствие, для них работает следующая теорема:

Теорема (формула Пика)
Рассмотрим многоугольник на координатной сетке, вершины которого лежат в узлах этой сетки.
Тогда площадь многоугольника равна:

где n — число узлов внутри данного многоугольника,
k — число узлов, которые лежат на его границе
(т.е. n — внутренние, а k – внешние или граничные узлы).

Видео:Урок 3 Площади фигурСкачать

Пример Рассмотрим обычный треугольник на координатной сетке и попробуем отметить внутренние и граничные (внешние) узлы

Пример
Рассмотрим обычный треугольник на координатной сетке и
попробуем отметить внутренние и граничные (внешние) узлы.

На I картинке дан обычный треугольник.

На II отмечены его внутренние узлы, число которых n = 10.

На III картинке отмечены узлы лежащие на границе, их всего k = 6.

Возможно, некоторым непонятно, как считать числа n и k.

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Начните с внутренних узлов. Тут все очевидно: закрашиваем треугольник карандашом и смотрим, сколько узлов попало под закраску

Начните с внутренних узлов.
Тут все очевидно: закрашиваем
треугольник карандашом и смотрим,
сколько узлов попало под закраску.

С граничными узлами чуть сложнее.
Граница многоугольника — замкнутая ломаная линия, которая пересекает координатную
сетку во многих точках.
Проще всего отметить
какую-нибудь «стартовую»
точку, а затем обойти остальные.

Граничными узлами будут
только те точки на ломаной, в которых
одновременно пересекаются 3-4 линии:
Собственно, ломаная;
Горизонтальная линия координатной сетки;
Вертикальная линия.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Граничный или внешний узел Нет внешнего узла – пересеклись 2 линии

Граничный или внешний узел

Нет внешнего узла
– пересеклись 2 линии

Внешний узел–
пересеклись
4 линии

Видео:Расчет площади по координатамСкачать

Формула Пика В 1899 г. австрийский математик

В 1899 г. австрийский математик Георг Пик открыл теорему для расчёта площади многоугольника, которую в его честь назвали «формула Пика».
В Германии эта теорема включена в школьные учебники. Когда вершины многоугольника расположены
в узлах квадратной сетки, можно воспользоваться формулой Пика.

где n — число узлов внутри данного многоугольника,
k — число узлов, которые лежат на его границе
(т.е. n — внутренние, а
k – внешние или граничные узлы).

Видео:Математика. Многоугольники: Площадь прямоугольника. Центр онлайн-обучения «Фоксфорд»Скачать

Георг Алекса́ндр Пик (нем. Georg

Георг Алекса́ндр Пик
(нем. Georg Alexander Pick; 10.08.1859-13.07.1942) —
австрийский математик, родился в еврейской семье.
Мать — Йозефа Шляйзингер (нем. Josefa Schleisinger),
отец — Адольф Йозеф Пик (нем. Adolf Josef Pick).
Георга, который был одарённым ребёнком, обучал
отец, возглавлявший частный институт.
В 16 лет Георг окончил школу и поступил в Венский университет.
В 20 лет получил право преподавать физику и математику.
В 21 год защитил докторскую диссертацию.
Доктор философии (PhD) по математике, хабилитированный (способный, пригодный; высшая академическая квалификация) доктор, профессор Немецкого университета в Праге, член-корреспондент Чешской академии наук и искусств.
В 1939-м, когда нацисты заняли Прагу, его исключили из академии.
13 июля 1942 года Пик был депортирован в созданный нацистами
в северной Чехии лагерь Терезиенштадт, где умер две недели спустя в возрасте 82 лет.

🔥 Видео

Ось симметрииСкачать

Очереди на подпись за Надеждина. Кот Твикс погиб. За «фейки» об армии будут конфисковывать имуществоСкачать