площади и периметры объемных фигур

Видео:Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

МНОГОГРАННИКИ (объемные геометрические фигуры): определения, формулы

Многогранники (объемные геометрические фигуры) : определения, формулы периметра поверхности и площади. Виды: призма, параллелепипед ( в т.ч. прямоугольный параллелепипед , куб), пирамида ( в т.ч. усеченная пирамида).

Призма

• Призма — многогранник, у которого две грани – равные многоугольники (основания), лежащие в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы, имеющие общие стороны с этими многоугольниками.
• Многоугольник, лежащий в основании, определяет название призмы: треугольник — треугольная призма, четырёхугольник — четырёхугольная призма; пятиугольник — пятиугольная призма (пентапризма) и т. д.
• Прямая призма – призма, у которой боковые ребра перпендикулярны к плоскости основания (если нет – наклонная).
• Правильна призма – призма, в основании которой лежит правильный многоугольник.
• Высотапризмы – перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания. на плоскость другого.

Формулы для призмы :

Объем призмы: V = S_o∙h
Площадь поверхности: S = 2∙S_o + S_бок
Где: V – объем призмы, S_o – площадь основания, h – высота, S_бок – площади всех боковых граней.

Параллелепипед

Параллелепипед — это призма, основание которой — параллелограмм.

• Параллелепипед имеет шесть граней и все они параллелограммы.
• Противоположные грани попарно равны и параллельны.
• Параллелепипед имеет четыре диагонали.
• Все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
• Основанием параллелепипеда может быть любая грань.

• Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого 4 боковые грани прямоугольники.
• Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани — прямоугольники.
• Наклонный параллелепипед — это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям.
• Ромбоэдр — параллелепипед, грани которого являются равными ромбами.
• Куб — параллелепипед, грани которого являются квадратами. Все грани куба равны.

Формулы для параллелепипеда :

Объем параллелепипеда: V = S_o∙h
Площадь поверхности: S = 2∙S_o + S_бок
Где: V – объем параллелепипеда, S_o – площадь основания, h – высота, S_бок – площади всех боковых граней.

Формулы для прямоугольного параллелепипеда :

Объем прямоугольного параллелепипеда: V = a∙b∙c = S_o∙ c
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда:
S = 2·(S_a+S_b+S_c) или S= 2· (a·b+ b·c+ a·c)
Диагональ: d =√(a 2 +b 2 +c 2 )
Где: V – объем прямоугольного параллелепипеда, a – длина, b – ширина, с – высота, So – площадь основания, S_a,S_b,S_c – площади соответствующих сторон.

Формулы для куба :

Объем куба: V = a 3
Площадь поверхности куба: S = 6·a 2
Диагональ: d = a√3
Где: V – объем куба, a – длина грани куба.

Пирамида

• Пирамида — многогранник, одна из граней которого (основание) — произвольный многоугольник, а остальные грани (боковые) — треугольники, имеющие общую вершину.
• По числу углов основания различают пирамиды треугольные (тетраэдр), четырёхугольные и т. д.
• Вершина пирамиды – общая точка для всех треугольников.
• Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на ее основание.
• Правильная пирамида – пирамида, у которой основание – правильный многоугольник, высота опускается в центр основания. В правильной пирамиде все боковые ребра равны, все боковые грани – равнобедренные треугольники. Высота треугольника боковой грани правильной пирамиды называется – апофема правильной пирамиды.
• Правильная треугольная пирамида – это многогранник, у которого одна грань — основание пирамиды – правильный треугольник, а остальные – боковые грани – равные треугольники с общей вершиной. Высота опускается в центр основания из вершины.
• Правильный тетраэдр – это тетраэдр, у которого все грани – равносторонние треугольники.
• Правильная четырехугольная пирамида — это многогранник, у которого одна грань — основание пирамиды — квадрат, а остальные — боковые грани — равные треугольники с общей вершиной. Высота опускается в центр пересечения диагоналей квадрата основания из вершины.

Формулы для правильной пирамиды :

Объем правильной пирамиды: V = 1/3 · (S_o · h)
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: S_бок = ½ · P_о· a
Где: V – объем пирамиды, S_o – площадь основания пирамиды, S_бок – площадь боковой поверхности, P_о — периметр основания правильной пирамиды, h – высота пирамиды. a — апофема правильной пирамиды.

Формулы для правильной треугольной пирамиды :

Объем правильной треугольной пирамиды: V = h·a 2 / (4/√3)
Где: a — сторона правильного треугольника – основания правильной треугольной пирамиды, h — высота правильной треугольной пирамиды

Формулы для правильной четырехугольной пирамиды :

Объем правильной четырехугольной пирамиды: V = 1/3 · h · a 2
Где: a — сторона квадрата – основания правильной четырехугольной пирамиды, h — высота правильной четырехугольной пирамиды.

Формулы для тетраэдра :

Объем тетраэдра: V = (√2 / 12) · a 3
Где: V – объем тетраэдра, a – длина ребра тетраэдра.

Усеченная пирамида

• Усеченная пирамида – часть пирамиды между ее основанием и сечением (сечение параллельно основанию пирамиды и делит ее на две части).
• Основание пирамиды и сечение – два основания усеченной прамиды.
• Высота усеченной пирамиды – расстояние между основаниями усеченной пирамиды.
• Правильная усеченная пирамида – пирамида, которая получена из правильной пирамиды. Все боковые грани правильной усеченной пирамиды — это равные равнобокие трапеции. Высота трапеции боковой грани правильной усеченной пирамиды называется — апофема правильной усеченной пирамиды.

Формулы для усеченной пирамиды :

Объем усеченной пирамиды равен разности двух полных пирамид.
Объем правильной усеченной пирамиды:
V = 1/3 · h · (S_осн1 + S_осн2 + √(S_осн1S_осн2))
Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды:
S_бок = ½ (P_осн1 + P_осн2) · a
Где: S_осн1, S_осн2 – площади верхнего и нижнего основания усеченной пирамиды, h – высота усеченной пирамиды, P_осн1, P_осн2 — периметры верхнего и нижнего оснований правильной усеченной пирамиды, a — апофема правильной усеченной пирамиды.

Видео:Как находить площадь любой фигуры? Геометрия | МатематикаСкачать

Площади и периметры объемных фигур

Объем куба равен кубу длины его грани.

Формула объема куба

Видео:Как найти площадь фигуры?Скачать

Объем призмы

Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.

Формула объема призмы

Видео:Площадь фигурыСкачать

Объем параллелепипеда

Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Формула объема параллелепипеда

Видео:Как различать периметр и площадь?Скачать

Объем прямоугольного параллелепипеда

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

Видео:Сможете ли вы посчитать периметр каждой из этих двух фигур?Скачать

Объем пирамиды

Объем пирамиды равен трети от произведения площади ее основания на высоту.

Формула объема пирамиды

Видео:Как найти периметр данной фигуры? Решение за одну минуту!Скачать

Объем правильного тетраэдра

Формула объема правильного тетраэдра

3 √ 212

Видео:№ 5.6. Периметр и площадь квадрата (дополнение)Скачать

Объем цилиндра

Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.

Формулы объема цилиндра
V =

Видео:Ребенок путает периметр и площадь фигуры. Как объяснить?Скачать

Объем конуса

Объем конуса равен трети от произведению площади его основания на высоту.

Формулы объема конуса

V =	1	Видео:Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?Скачать Объем шара Объем шара равен четырем третим от его радиуса в кубе помноженого на число пи. Формула объема шара 3
	3

где

Видео:Что такое площадь. Как найти площадь прямоугольника?Скачать

Площадь куба

Площадь поверхности куба равна квадрату длины его грани умноженному на шесть.

Формула площади куба

Видео:Площади ВСЕХ фигур за 15 МИНУТ !!!Скачать

Площадь прямоугольного параллелепипеда

Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда

Видео:Миникурс по геометрии. Куб, призма, цилиндр и конусСкачать

Площадь цилиндра

Площадь боковой поверхности круглого цилиндра равна произведению периметра его основания на высоту.

Формула для вычисления площади боковой поверхности цилиндра

Площадь полной поверхности круглого цилиндра равна сумме площади боковой поверхности цилиндра и удвоенной площади основания.

Формула для вычисления площади полной поверхности цилиндра

Видео:урок 158 Площадь комбинированных фигур. Математика 4 классСкачать

Периметр, площадь и объём

Видео:Как найти площадь и периметр прямоугольника?Скачать

Периметр геометрической фигуры

Периметр геометрической фигуры — это сумма всех её сторон. Чтобы вычислить периметр, нужно измерить каждую сторону и сложить результаты измерений.

Вычислим периметр следующей фигуры:

Это прямоугольник. Детальнее мы поговорим об этой фигуре позже. Сейчас просто вычислим периметр этого прямоугольника. Длина его равна 9 см, а ширина 4 см.

У прямоугольника противоположные стороны равны. Это видно на рисунке. Если длина равна 9 см, а ширина равна 4 см, то противоположные стороны будут равны 9 см и 4 см соответственно:

Найдём периметр. Для этого сложим все стороны. Складывать их можно в любом порядке, поскольку от перестановки мест слагаемых сумма не меняется. Периметр часто обозначается заглавной латинской буквой P (англ. perimeters ). Тогда получим:

P = 9 см + 4 см + 9 см + 4 см = 26 см.

Поскольку у прямоугольника противоположные стороны равны, нахождение периметра записывают короче — складывают длину и ширину, и умножают её на 2, что будет означать «повторить длину и ширину два раза»

P = 2 × (9 + 4) = 18 + 8 = 26 см.

Квадрат это тот же прямоугольник, но у которого все стороны равны. Например, найдём периметр квадрата со стороной 5 см. Фразу «со стороной 5 см» нужно понимать как «длина каждой стороны квадрата равна 5 см»

Чтобы вычислить периметр, сложим все стороны:

P = 5 см + 5 см + 5 см + 5 см = 20 см

Но поскольку все стороны равны, вычисление периметра можно записать в виде произведения. Сторона квадрата равна 5 см, и таких сторон 4. Тогда эту сторону, равную 5 см нужно повторить 4 раза

P = 5 см × 4 = 20 см

Видео:Что такое периметр. Как найти периметр многоугольника?Скачать

Площадь геометрической фигуры

Площадь геометрической фигуры — это число, которое характеризует размер данной фигуры.

Следует уточнить, что речь в данном случае идёт о площади на плоскости. Плоскостью в геометрии называют любую плоскую поверхность, например: лист бумаги, земельный участок, поверхность стола.

Площадь измеряется в квадратных единицах. Под квадратными единицами подразумевают квадраты, стороны которых равны единице. Например, 1 квадратный сантиметр, 1 квадратный метр или 1 квадратный километр.

Измерить площадь какой-нибудь фигуры означает выяснить сколько квадратных единиц содержится в данной фигуре.

Например, площадь следующего прямоугольника равна трём квадратным сантиметрам:

Это потому что в данном прямоугольнике содержится три квадрата, каждый из которых имеет сторону, равную одному сантиметру:

Справа представлен квадрат со стороной 1 см (он в данном случае является квадратной единицей). Если посмотреть сколько раз этот квадрат входит в прямоугольник, представленный слева, то обнаружим, что он входит в него три раза.

Следующий прямоугольник имеет площадь, равную шести квадратным сантиметрам:

Это потому что в данном прямоугольнике содержится шесть квадратов, каждый из которых имеет сторону, равную одному сантиметру:

Допустим, потребовалось измерить площадь следующей комнаты:

Определимся в каких квадратах будем измерять площадь. В данном случае площадь удобно измерить в квадратных метрах:

Итак, наша задача состоит в том, чтобы определить сколько таких квадратов со стороной 1 м содержится в исходной комнате. Заполним этим квадратом всю комнату:

Видим, что квадратный метр содержится в комнате 12 раз. Значит, площадь комнаты составляет 12 квадратных метров.

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Площадь прямоугольника

В предыдущем примере мы вычислили площадь комнаты, последовательно проверив сколько раз в ней содержится квадрат, сторона которого равна одному метру. Площадь составила 12 квадратных метров.

Комната представляла собой прямоугольник. Площадь прямоугольника можно вычислить перемножив его длину и ширину.

Чтобы вычислить площадь прямоугольника, нужно перемножить его длину и ширину.

Вернёмся к предыдущему примеру. Допустим, мы измерили длину комнаты рулеткой и оказалось, что длина составила 4 метра:

Теперь измерим ширину. Пусть она составила 3 метра:

Умножим длину (4 м) на ширину (3 м).

Как и в прошлый раз получаем двенадцать квадратных метров. Это объясняется тем, что измерив длину, мы тем самым узнаём сколько раз можно уложить в эту длину квадрат со стороной, равной одному метру. Уложим четыре квадрата в эту длину:

Затем мы определяем сколько раз можно повторить эту длину с уложенными квадратами. Это мы узнаём, измерив ширину прямоугольника:

Видео:Лайфхак! Площади всех фигур #огэ #математика #shortsСкачать

Площадь квадрата

Квадрат это тот же прямоугольник, но у которого все стороны равны. Например, на следующем рисунке представлен квадрат со стороной 3 см. Фраза «квадрат со стороной 3 см» означает, что все стороны равны 3 см

Площадь квадрата вычисляется таким же образом, как и площадь прямоугольника — длину умножают на ширину.

Вычислим площадь квадрата со стороной 3 см. Умножим длину 3 см на ширину 3 см

В данном случае требовалось узнать сколько квадратов со стороной 1 см содержится в исходном квадрате. В исходном квадрате содержится девять квадратов со стороной 1 см. Действительно, так оно и есть. Квадрат со стороной 1 см, входит в исходный квадрат девять раз:

Умножив длину на ширину, мы получили выражение 3 × 3 , а это есть произведение двух одинаковых множителей, каждый из которых равен 3. Иными словами выражение 3 × 3 представляет собой вторую степень числа 3. А значит процесс вычисления площади квадрата можно записать в виде степени 3 2 .

Поэтому вторую степень числа называют квадратом числа. При вычислении второй степени числа a , человек тем самым находит площадь квадрата со стороной a . Операцию возведения числа во вторую степень по другому называют возведением в квадрат.

Видео:Нахождение периметра и площади.Скачать

Обозначения

Площадь обозначается заглавной латинской буквой S (англ. Square — квадрат). Тогда площадь квадрата со стороной a см будет вычисляться по следующему правилу

где a — длина стороны квадрата. Вторая степень указывает на то, что происходит перемножение двух одинаковых сомножителей, а именно длины и ширины. Ранее было сказано, что у квадрата все стороны равны, а значит равны длина и ширина квадрата, выраженные через букву a .

Если задача состоит в том, чтобы определить сколько квадратов стороной 1 см содержится в исходном квадрате, то в качестве единиц измерения площади нужно указывать см 2 . Это обозначение заменяет словосочетание «квадратный сантиметр» .

Например, вычислим площадь квадрат со стороной 2 см.

Значит, квадрат со стороной 2 см, имеет площадь, равную четырём квадратным сантиметрам:

Если задача состоит в том, чтобы определить сколько квадратов со стороной 1 м содержится в исходном квадрате, то в качестве единиц измерения нужно указывать м 2 . Это обозначение заменяет словосочетание «квадратный метр» .

Вычислим площадь квадрата со стороной 3 метра

Значит, квадрат со стороной 3 м, имеет площадь равную девяти квадратным метрам:

Аналогичные обозначения используются при вычислении площади прямоугольника. Но длина и ширина прямоугольника могут быть разными, поэтому они обозначаются через разные буквы, например a и b . Тогда площадь прямоугольника, длиной a и шириной b вычисляется по следующему правилу:

Как и в случае с квадратом, единицами измерения площади прямоугольника могут быть см 2 , м 2 , км 2 . Эти обозначения заменяют словосочетания «квадратный сантиметр», «квадратный метр», «квадратный километр» соответственно.

Например, вычислим площадь прямоугольника, длиной 6 см и шириной 3 см

Значит, прямоугольник длиной 6 см и шириной 3 см имеет площадь, равную восемнадцати квадратным сантиметрам:

В качестве единицы измерения допускается использовать словосочетание «квадратных единиц» . Например, запись S = 3 кв.ед означает, что площадь квадрата или прямоугольника равна трём квадратам, каждый из которых имеет единичную сторону ( 1 см, 1 м или 1 км ).

Видео:Площади фигурСкачать

Перевод единиц измерения площади

Единицы измерения площади можно переводить из одной единицы измерения в другую. Рассмотрим несколько примеров:

Пример 1. Выразить 1 квадратный метр в квадратных сантиметрах.

1 квадратный метр это квадрат со стороной 1 м. То есть все четыре стороны имеют длину, равную одному метру.

Но 1 м = 100 см . Тогда все четыре стороны тоже имеют длину, равную 100 см

Вычислим новую площадь этого квадрата. Умножим длину 100 см на ширину 100 см или возведём в квадрат число 100

S = 100 2 = 10 000 см 2

Получается, что на один квадратный метр приходится десять тысяч квадратных сантиметров.

1 м 2 = 10 000 см 2

Это позволяет в будущем умножить любое количество квадратных метров на 10 000 и получить площадь, выраженную в квадратных сантиметрах.

Чтобы перевести квадратные метры в квадратные сантиметры, нужно количество квадратных метров умножить на 10 000.

А чтобы перевести квадратные сантиметры в квадратные метры, нужно наоборот количество квадратных сантиметров разделить на 10 000 .

Например, переведём 100 000 см 2 в квадратные метры. Рассуждать в этом случае можно так: « если 10 000 см 2 это один квадратный метр, то сколько раз 100 000 см 2 будут содержать по 10 000 см 2 »

100 000 см 2 : 10 000 см 2 = 10 м 2

Другие единицы измерения можно переводить таким же образом. Например, переведём 2 км 2 в квадратные метры.

Один квадратный километр это квадрат со стороной 1 км . То есть все четыре стороны имеют длину, равную одному километру. Но 1 км = 1000 м . Значит, все четыре стороны квадрата также равны 1000 м . Найдём новую площадь квадрата, выраженную в квадратных метрах. Для этого умножим длину 1000 м на ширину 1000 м или возведём в квадрат число 1000

S = 1000 2 = 1 000 000 м 2

Получается, что на один квадратный километр приходится один миллион квадратных метров:

1 км 2 = 1 000 000 м 2

Это позволяет в будущем умножить любое количество квадратных километров на 1 000 000 и получить площадь, выраженную в квадратных метрах.

Чтобы перевести квадратные километры в квадратные метры, нужно количество квадратных километров умножить на 1 000 000.

Итак, вернёмся к нашей задаче. Требовалось перевести 2 км 2 в квадратные метры. Умножим 2 км 2 на 1 000 000

2 км 2 × 1 000 000 = 2 000 000 м 2

А чтобы перевести квадратные метры в квадратные километры, нужно наоборот количество квадратных метров разделить на 1 000 000 .

Например, переведём 3 500 000 м 2 в квадратные километры. Рассуждать в этом случае можно так: « если 1 000 000 м 2 это один квадратный километр, то сколько раз 3 500 000 м 2 будут содержать по 1 000 000 м 2 »

3 500 000 м 2 : 1 000 000 м 2 = 3,5 км 2

Пример 2. Выразить 7 м 2 в квадратных сантиметрах.

Умножим 7 м 2 на 10 000

7 м 2 = 7 м 2 × 10 000 = 70 000 см 2

Пример 3. Выразить 5 м 2 13 см 2 в квадратных сантиметрах.

5 м 2 13 см 2 = 5 м 2 × 10 000 + 13 см 2 = 50 013 см 2

Пример 4. Выразить 550 000 см 2 в квадратных метрах.

Узнаем сколько раз 550 000 см 2 содержит по 10 000 см 2 . Для этого разделим 550 000 см 2 на 10 000 см 2

550 000 см 2 : 10 000 см 2 = 55 м 2

Пример 5. Выразить 7 км 2 в квадратных метрах.

Умножим 7 км 2 на 1 000 000

7 км 2 × 1 000 000 = 7 000 000 м 2

Пример 6. Выразить 8 500 000 м 2 в квадратных километрах.

Узнаем сколько раз 8 500 000 м 2 содержит по 1 000 000 м 2 . Для этого разделим 8 500 000 м 2 на 1 000 000 м 2

8 500 000 м 2 × 1 000 000 м 2 = 8,5 км 2

Единицы измерения площади земельных участков

Площади небольших земельных участков удобно измерять в квадратных метрах.

Площади более крупных земельных участков измеряются в арах и гектарах.

Ар (сокращённо: a) — это площадь равная ста квадратным метрам ( 100 м 2 ). В виду частого распространения такой площади ( 100 м 2 ) она стала использоваться, как отдельная единица измерения.

Например, если сказано что площадь какого-нибудь поля составляет 3 а, то нужно понимать, что это три квадрата площадью 100 м 2 каждый, то есть:

3 а = 100 м 2 × 3 = 300 м 2

В народе ар часто называют соткой, поскольку ар равен квадрату, площадью 100 м 2 . Примеры:

1 сотка = 100 м 2

2 сотки = 200 м 2

10 соток = 1000 м 2

Гектар (сокращенно: га) — это площадь, равная 10 000 м 2 . Например, если сказано что площадь какого-нибудь леса составляет 20 гектаров, то нужно понимать, что это двадцать квадратов площадью 10 000 м 2 каждый, то есть:

20 га = 10 000 м 2 × 20 = 200 000 м 2

Прямоугольный параллелепипед и куб

Прямоугольный параллелепипед — это геометрическая фигура, состоящая из грáней, рёбер и вершин. На рисунке показан прямоугольный параллелепипед:

Желтым цветом показаны грáни параллелепипеда, чёрным цветом — рёбра, красным — вершины.

Прямоугольный параллелепипед обладает длиной, шириной и высотой. На рисунке показано где длина, ширина и высота:

Параллелепипед, у которого длина, ширина и высота равны между собой, называется кубом. На рисунке показан куб:

Объём геометрической фигуры

Объём геометрической фигуры — это число, которое характеризует вместимость данной фигуры.

Объём измеряется в кубических единицах. Под кубическими единицами подразумевают кубы длиной 1, шириной 1 и высотой 1. Например, 1 кубический сантиметр или 1 кубический метр.

Измерить объём какой-нибудь фигуры означает выяснить сколько кубических единиц вмещается в данную фигуру.

Например, объём следующего прямоугольного параллелепипеда равен двенадцати кубическим сантиметрам:

Это потому что в данный параллелепипед вмещается двенадцать кубов длиной 1 см, шириной 1 см и высотой 1 см:

Объём обозначается заглавной латинской буквой V. Одна из единиц измерения объема это кубический сантиметр (см 3 ). Тогда объём V рассмотренного нами параллелепипеда равен 12 см 3

V = 12 см 3

Объём любого параллелепипеда вычисляют следующим образом: перемножают его длину, ширину и высоту .

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.

V = abc

где, a — длина, b — ширина, c — высота

Так, в предыдущем примере мы визуально определили, что объём параллелепипеда равен 12 см 3 . Но можно измерить длину, ширину и высоту данного параллелепипеда и перемножить результаты измерений. Мы получим тот же результат

Объём куба вычисляется таким же образом, как и объём прямоугольного параллелепипеда — перемножают длину, ширину и высоту.

Например, вычислим объём куба, длина которого 3 см. У куба длина, ширина и высота равны между собой. Если длина равна 3 см, то равны этим же трём сантиметрам ширина и высота куба:

Перемножаем длину, ширину, высоту и получаем объём, равный двадцати семи кубическим сантиметрам:

V = 3 × 3 × 3 = 27 см³

Действительно, в исходный куб вмещается 27 кубиков длиной 1 см

При вычислении объёма данного куба мы перемножили длину, ширину и высоту. Получилось произведение 3 × 3 × 3. Это есть произведение трёх сомножителей, каждый из которых равен 3. Иными словами, произведение 3 × 3 × 3 является третьей степенью числа 3 и может быть записано в виде 3 3 .

V = 3 3 = 27 см 3

Поэтому третью степень числа называют кубом числа. При вычислении третьей степени числа a , человек тем самым находит объём куба, длиной a . Операцию возведения числа в третью степень по другому называют возведением в куб.

Таким образом, объём куба вычисляется по следующему правилу:

Где a — длина куба.

Кубический дециметр. Кубический метр

Не все объекты нашего мира удобно измерять в кубических сантиметрах. Например, объём комнаты или дома удобнее измерять в кубических метрах ( м 3 ). А объём бака, аквариума или холодильника удобнее измерять в кубических дециметрах ( дм 3 ).

Другое название одного кубического дециметра – один литр.

1 дм 3 = 1 литр

Перевод единиц измерения объёма

Единицы измерения объёма можно переводить из одной единицы измерения в другую. Рассмотрим несколько примеров:

Пример 1. Выразить 1 кубический метр в кубических сантиметрах.

Один кубический метр это куб со стороной 1 м. Длина, ширина и высота этого куба равны одному метру.

Но 1 м = 100 см . Значит, длина, ширина и высота тоже равны 100 см

Вычислим новый объём куба, выраженный в кубических сантиметрах. Для этого перемножим его длину, ширину и высоту. Либо возведём число 100 в куб:

V = 100 3 = 1 000 000 см 3

Получается, что на один кубический метр приходится один миллион кубических сантиметров:

1 м 3 = 1 000 000 см 3

Это позволяет в будущем умножить любое количество кубических метров на 1 000 000 и получить объём, выраженный в кубических сантиметрах.

Чтобы перевести кубические метры в кубические сантиметры, нужно количество кубических метров умножить на 1 000 000.

А чтобы перевести кубические сантиметры в кубические метры, нужно наоборот количество кубических сантиметров разделить на 1 000 000 .

Например, переведём 300 000 000 см 3 в кубические метры. Рассуждать в этом случае можно так: « если 1 000 000 см 3 это один кубический метр, то сколько раз 300 000 000 см 3 будут содержать по 1 000 000 см 3 »

300 000 000 см 3 : 1 000 000 см 3 = 300 м 3

Пример 2. Выразить 3 м 3 в кубических сантиметрах.

Умножим 3 м 3 на 1 000 000

3 м 3 × 1 000 000 = 3 000 000 см 3

Пример 3. Выразить 60 000 000 см 3 в кубических метрах.

Узнаем сколько раз 60 000 000 см 3 содержит по 1 000 000 см 3 . Для этого разделим 60 000 000 см 3 на 1 000 000 см 3

60 000 000 см 3 : 1 000 000 см 3 = 60 м 3

Вместимость бака, банки или канистры измеряют в литрах. Литр это тоже единица измерения объема. Один литр равен одному кубическому дециметру.

1 литр = 1 дм 3

Например, если вместимость банки составляет 1 литр, это значит что объём этой банки составляет 1 дм 3 . При решении некоторых задач может быть полезным умение переводить литры в кубические дециметры и наоборот. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Перевести 5 литров в кубические дециметры.

Чтобы перевести 5 литров в кубические дециметры, достаточно умножить 5 на 1

Пример 2. Перевести 6000 литров в кубические метры.

Шесть тысяч литров это шесть тысяч кубических дециметров:

6000 л × 1 = 6000 дм 3

Теперь переведём эти 6000 дм 3 в кубические метры.

Длина, ширина и высота одного кубического метра равны 10 дм

Если вычислить объём этого куба в дециметрах, то получим 1 000 дм 3

V = 10 3 = 1000 дм 3

Получается, что одна тысяча кубических дециметров соответствует одному кубическому метру. А чтобы определить сколько кубических метров соответствуют шести тысячамл кубических дециметров, нужно узнать сколько раз 6 000 дм 3 содержит по 1 000 дм 3

6 000 дм 3 : 1 000 дм 3 = 6 м 3

Значит, 6000 л = 6 м 3 .

Таблица квадратов

В жизни часто приходиться находить площади различных квадратов. Для этого каждый раз требуется возводить исходное число во вторую степень.

Квадраты первых 99 натуральных чисел уже вычислены и занесены в специальную таблицу, называемую таблицей квадратов.

Первая строка данной таблицы (цифры от 0 до 9) это единицы исходного числа, а первый столбец (цифры от 1 до 9) это десятки исходного числа.

Например, найдём квадрат числа 24 по данной таблице. Число 24 состоит из цифр 2 и 4. Точнее, число 24 состоит из двух десятков и четырёх единиц.

Итак, выбираем цифру 2 в первом столбце таблицы (столбце десятков), а цифру 4 выбираем в первой строке (строке единиц). Затем, двигаясь вправо от цифры 2 и вниз от цифры 4, найдём точку пересечения. В результате окажемся на позиции, где располагается число 576. Значит, квадрат числа 24 есть число 576

24 2 = 576

Таблица кубов

Как и в ситуации с квадратами, кубы первых 99 натуральных чисел уже вычислены и занесены в таблицу, называемую таблицей кубов.

Куб числа по таблице определяется таким же образом, как и квадрат числа. Например, найдём куб числа 35. Это число состоит из цифр 3 и 5. Выбираем цифру 3 в первом столбце таблицы (столбце десятков), а цифру 5 выбираем в первой строке (строке единиц). Двигаясь вправо от цифры 3 и вниз от цифры 5, найдём точку пересечения. В результате окажемся на позиции, где располагается число 42875. Значит, куб числа 35 есть число 42875.

35 3 = 42875

Задания для самостоятельного решения

Решение

a = 6, b = 2
P = 2(6 + 2) = 12 + 4 = 16 см

Ответ: периметр прямоугольника равен 16 см.

Решение

Ответ: площадь равна 12 см 2 .

Решение

Ответ: ширина прямоугольника составляет 2 см.

Решение

S = a 2
a = 8
S = 8 2 = 64 см 2
Ответ: площадь квадрата со стороной 8 см равна 64 см 2

Решение

Ответ: объем прямоугольного параллелепипеда, длина которого 6 см, ширина 4 см, высота 3 см равен 72 см 3

Решение

Ответ: высота прямоугольного параллелепипеда равна 4 см.

Решение

Число 4 отражает площадь, засеянную пшеницей. А число 5 отражает площадь, засеянную льном.
Сказано что площади, засеянные пшеницей и льном пропорциональны этим числам.

Проще говоря, во сколько раз изменяются числа 4 или 5, во сколько же раз изменится и площадь, которая засеяна пшеницей или льном. Льном засеяно 15 га. То есть число 5, которое отражает площадь, засеянную льном, изменилось в 3 раза.

Тогда число 4, которое отражает площадь засеянную пшеницей, нужно увеличить в три раза

Ответ: пшеницей засеяно 12 га.

Решение

a = 42 м
b = м
c = 42 × 0,1 = 4,2 м

Определим объем зернохранилища:

V = abc = 42 × 30 × 4,2 = 5292 м 3

Определите сколько тонн зерна вмещает зернохранилище:

5292 × 740 = 3916080 кг

Переведём килограммы в тонны:

Ответ: зернохранилище вмещает 3916,08 тонн зерна.

Решение

Определим сколько литров в минуту вливается через вторую трубу:

25 л/мин × 0,75 = 18,75 л/мин

Определим сколько литров в минуту вливается в бассейн через обе трубы:

25 л/мин + 18,75 л/мин = 43,75 л/мин

Определим сколько литров воды будет залито в бассейн за 13 ч 32 мин

43,75 × 13 ч 32 мин = 43,75 × 812 мин = 35 525 л

1 л = 1 дм 3

35 525 л = 35 525 дм 3

Переведём кубические дециметры в кубические метры. Это позволит вычислит объем бассейна:

35 525 дм 3 : 1000 дм 3 = 35,525 м 3

Зная объём бассейна можно вычислить высоту бассейна. Подставим в буквенное уравнение V=abc имеющиеся у нас значения. Тогда получим:

Ответ: высота (глубина) бассейна составляет 1,75 м.

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

9 thoughts on “Периметр, площадь и объём”

Ура. Вы снова в деле. Всегда будем рады новым урокам.

Благодарю. Все четко, последовательно, без воды. Пожалуйста не останавливайтесь! Желаю успехов в ваших проектах.

Продовжуйте працювати! Спасибі, що ви випукаєте нові уроки. Чекаю на нові уроки із захопленням.

Продовжуйте працювати! Спасибі, що ви випукаєте нові уроки, я чекаю на них із захопленням.