площадь всей поверхности треугольной пирамиды

Видео:Найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамидыСкачать

Нахождение площади правильной пирамиды: формулы

В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности различных видов правильных пирамид: треугольной, четырехугольной и шестиугольной.

Правильная пирамида – это пирамида, вершина которой проецируется в центр основания, являющегося правильным многоугольником.

Видео:КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПИРАМИДЫ?Скачать

Формула площади правильной пирамиды

1. Общая формула

Площадь (S) полной поверхности пирамиды равняется сумме площади ее боковой поверхности и основания.

Боковой гранью правильной пирамиды является равнобедренный треугольник.

Площадь треугольника вычисляется по формулам:

1. Через длину основания (a) и высоту (h):

2. Через основание (a) и боковую сторону (b):

Формула площади основания правильной пирамиды зависит от вида многогранника. Далее мы рассмотрим самые популярные варианты.

2. Площадь правильной треугольной пирамиды

Основание: равносторонний треугольник.

Видео:Правильная треугольная пирамида.Скачать

Треугольная пирамида и формулы для определения ее площади

Пирамида — геометрическая пространственная фигура, характеристики которой изучают в старших классах школы в курсе стереометрии. В данной статье рассмотрим треугольную пирамиду, ее виды, а также формулы для расчета площади ее поверхности.

Видео:Площадь поверхности пирамиды | Геометрия 11 классСкачать

О какой пирамиде пойдет речь?

Треугольная пирамида представляет собой фигуру, которую можно получить, если соединить все вершины произвольного треугольника с одной единственной точкой, не лежащей в плоскости этого треугольника. Согласно этому определению рассматриваемая пирамида должна состоять из исходного треугольника, который называется основанием фигуры, и трех боковых треугольников, которые имеют по одной общей стороне с основанием и соединены друг с другом в точке. Последняя называется вершиной пирамиды.

Вам будет интересно: Защита проекта: образец. Темы для защиты проекта. Требования к проектной работе

Рисунок выше демонстрирует произвольную треугольную пирамиду.

Рассматриваемая фигура может быть наклонной или прямой. В последнем случае перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на ее основание, должен его пересекать в геометрическом центре. Геометрическим центром любого треугольника является точка пересечения его медиан. Геометрический центр совпадает с центром масс фигуры в физике.

Если в основании прямой пирамиды будет лежать правильный (равносторонний) треугольник, то она называется правильной треугольной. В правильной пирамиде все боковые стороны равны друг другу и представляют собой равносторонние треугольники.

Если высота правильной пирамиды такова, что ее боковые треугольники становятся равносторонними, то она называется тетраэдром. В тетраэдре все четыре грани равны друг другу, поэтому каждая из них может полагаться основанием.

Видео:Площадь боковой поверхности треугольной пирамиды. #shortsСкачать

Элементы пирамиды

К этим элементам относятся грани или стороны фигуры, ее ребра, вершины, высота и апофемы.

Как было показано, все стороны треугольной пирамиды являются треугольниками. Их число равно 4 (3 боковых и один в основании).

Вершины — это точки пересечения трех треугольных сторон. Не сложно догадаться, что для рассматриваемой пирамиды их 4 (3 принадлежат основанию и 1 — вершина пирамиды).

Ребра можно определить, как линии пересечения двух треугольных сторон, или как линии, которые соединяют каждые две вершины. Количество ребер соответствует удвоенному числу вершин основания, то есть для треугольной пирамиды оно равно 6 (3 ребра принадлежат основанию и 3 ребра образованы боковыми гранями).

Высота, как выше было отмечено, является длиной перпендикуляра, проведенного из вершины пирамиды к ее основанию. Если из этой вершины провести высоты к каждой из сторон треугольного основания, то они будут называться апотемами (или апофемами). Таким образом, пирамида треугольная имеет одну высоту и три апофемы. Последние равны друг другу для правильной пирамиды.

Видео:Как найти площадь пирамиды. Мастер-класс. Точка Гравитации.Скачать

Основание пирамиды и его площадь

Поскольку основание для рассматриваемой фигуры в общем случае представляет собой треугольник, то для расчета его площади достаточно найти его высоту ho и длину стороны основания a, на которую она опущена. Формула для площади So основания имеет вид:

Если треугольник основания является равносторонним, тогда площадь основания треугольной пирамиды вычисляется по такой формуле:

То есть площадь So однозначно определяется длиной стороны a треугольного основания.

Видео:Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 16, а боковые рёбра равны 10. РЕШЕНИЕ!Скачать

Боковая и общая площадь фигуры

Прежде чем рассматривать площадь треугольной пирамиды, полезно привести ее развертку. Она изображена на рисунке ниже.

Площадь этой развертки, образованной четырьмя треугольниками, является общей площадью пирамиды. Один из треугольников соответствует основанию, формула для рассматриваемой величины которого была записана выше. Три боковых треугольных грани в сумме образуют боковую площадь фигуры. Поэтому для определения этой величины достаточно к каждому из них применить записанную выше формулу для произвольного треугольника, а затем, сложить три полученных результата.

Если пирамида является правильной, то расчет площади боковой поверхности облегчается, поскольку все грани боковые представляют собой одинаковые равносторонние треугольники. Обозначим hb длину апотемы, тогда площадь боковой поверхности Sb можно определить так:

Эта формула следует из общего выражения для площади треугольника. Цифра 3 появилась в числители из-за того, что пирамида имеет три боковых грани.

Апотему hb в правильной пирамиде можно вычислить, если известна высота фигуры h. Применяя теорему Пифагора, получаем:

Очевидно, что общая площадь S поверхности фигуры равна сумме ее площадей боковой поверхности и основания:

Для правильной пирамиды, подставляя все известные величины, получаем формулу:

S = √3/4*a2 + 3/2*a*√(h2 + a2/12)

Площадь пирамиды треугольной зависит только от длины стороны ее основания и от высоты.

Видео:10 класс, 33 урок, Правильная пирамидаСкачать

Пример задачи

Известно, что боковое ребро треугольной пирамиды равно 7 см, а сторона основания составляет 5 см. Необходимо найти площадь поверхности фигуры, если известно, что пирамида является правильной.

Воспользуемся равенством общего вида:

Площадь So равна:

So = √3/4*a2 = √3/4*52 ≈ 10,825 см2.

Для определения площади боковой поверхности, необходимо найти апотему. Не сложно показать, что через длину бокового ребра ab она определяется по формуле:

hb = √(ab2 — a2/4) = √(7 2 — 52/4) ≈ 6,538 см.

Тогда площадь Sb равна:

Sb = 3/2*a*hb = 3/2*5*6,538 = 49,035 см2.

Общая площадь пирамиды составляет:

S = So + Sb = 10,825 + 49,035 = 59,86 см2.

Заметим, что при решении задачи мы не использовали в расчетах значение высоты пирамиды.

Видео:Задача 24. Объём пирамиды | Стереометрия #25 | ИнфоурокСкачать

Формула площади правильной треугольной пирамиды и пример решения задачи

Пирамида является совершенной геометрической фигурой, форму которой можно встретить в некоторых предметах из нашей жизни, например, в магических амулетах. В данной статье рассмотрим, как найти площадь правильной треугольной пирамиды и приведем соответствующую формулу.

Видео:Площадь полной поверхности правильной пирамидыСкачать

Треугольная пирамида или тетраэдр

В геометрии пирамидой называют такой геометрический объект, который состоит из n треугольников и одного n-угольника. Все треугольники пересекаются в точке, которая называется вершиной фигуры, а n-угольник является ее основанием. Не сложно догадаться, что название пирамиды определяется числом сторон n-угольника.

В соответствии с темой данной статьи, мы рассмотрим треугольную пирамиду. Ее n-угольным основанием является также треугольник. Поэтому такая пирамида состоит из 4 треугольных граней, каждую из которых можно рассматривать в качестве основания. У треугольной пирамиды 4 равноправных вершины и 6 ребер. Поскольку число сторон фигуры равно 4, то ее также называют тетраэдром. Для наглядности приведем изображение треугольной пирамиды:

На рисунке показан вид сверху на фигуру.

Видео:🙂 Площадь поверхности правильной пирамидыСкачать

Правильная пирамида с треугольным основанием и ее развертка

В общем случае треугольником в основании может быть фигура произвольной формы. Однако если этим треугольником является равносторонняя фигура, и перпендикуляр, опущенный из вершины на основание, пересекает треугольник в его центре, тогда речь ведут о правильной пирамиде.

Правильная треугольная пирамида состоит из равностороннего треугольника, сторону которого обозначим буквой a, и трех равнобедренных треугольников, которые друг другу равны. При определенном соотношении высоты фигуры h и длины a равнобедренные треугольники могут стать равносторонними, тогда все четыре грани пирамиды будут равны между собой.

Для определения площади рассматриваемой фигуры проще всего выполнить ее развертку на плоскость. Рисунок ниже показывает, что представляет собой эта развертка.

Здесь показаны четыре треугольника, из которых равносторонний является основанием пирамиды, а три равнобедренных фигуры составляют ее боковую поверхность. Сумма площадей всех треугольников образует площадь правильной треугольной пирамиды.

Видео:В правильной треугольной пирамиде SABC точка L — середина ребра BC, S — вершинаСкачать

Формула площади

Из курса планиметрии каждый школьник знает, как найти площадь треугольника. Для этого следует произвести такие вычисления:

Здесь a — основание треугольника, h_a — его высота (индекс a введен, чтобы отличать эту величину от высоты пирамиды h).

В случае равностороннего треугольника его высота равна:

Тогда формула основания площади правильной треугольной пирамиды приобретает вид:

То есть для определения площади основания достаточно знать только длину его стороны.

Чтобы определить площадь боковой поверхности S_b, введем понятие апофемы пирамиды. Апофемой называют высоту любого из боковых треугольников, которая опущена из вершины пирамиды на сторону основания. Все апофемы в правильной пирамиде равны друг другу. Обозначим их длины символом h_b. Поскольку рассматриваемая пирамида состоит из трех боковых сторон, то площадь S_b вычисляется по формуле:

Остается сделать последний шаг, чтобы записать формулу площади правильной треугольной пирамиды:

Заметим, что площадь поверхности рассматриваемой геометрической фигуры определяется однозначно, если знать два линейных ее параметра (a и h_b).

Видео:Найти объем правильной треугольной пирамидыСкачать

Решение задачи

Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 10 см. Высота же самой фигуры в два раза больше длины стороны основания. Чему равна площадь поверхности этой пирамиды?

Поскольку нам известно значение высоты основания и отношение между высотой фигуры с стороной равностороннего треугольника, то этой информации достаточно, чтобы ответить на вопрос задачи. В первую очередь определим сторону a и значение высота h, имеем:

a = 2 * h_a / √3 = 11,547 см;

В параграфе выше была приведена формула для S, однако ей воспользоваться на данном этапе задачи мы не можем, поскольку мы не знаем апофему h_b. Последнюю несложно вычислить, если увидеть, что она является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого будут высота h и 1/3 высоты основания. Учитывая сказанное, получаем:

Заметим, что значение h_b немного больше, чем высота h фигуры.

Мы нашли все параметры, которые стоят в формуле для S, теперь можно вычислить искомую площадь:

S = √3/4 * a 2 + 3/2 * a * h_b = √3/4 * 11,547 2 + 3/2 * 11,547 * 23,333 = 409,14 см 2 .

Формула для S записана в таком виде, что позволяет отдельно определить площадь основания и боковой поверхности.

🔥 Видео

Пирамида Площадь поверхностиСкачать

Задача Треугольная пирамидаСкачать

Площадь поверхности призмы. 11 класс.Скачать

№246. Высота треугольной пирамиды равна 40 см, а высота каждой боковой грани, проведеннаяСкачать

Нахождение площади поверхности треугольной призмы при помощи развёртки (видео 5)| Объём и ПлощадьСкачать

Найти площадь поверхности правильной четырехугольной пирамидыСкачать

Задача 17. Площаль боковой поверхности пирамиды | Стереометрия #18 | ИнфоурокСкачать