площадь в сферических координатах (4 видео)

Содержание

Сферические координаты (сферическая система координат)
Переход от сферических координат к декартовым (прямоугольным)
Содержание
2. Связь между дифференциалами в декартовой и криволинейной системах координат
Список литературы
Гауссовой кривизной поверхности в данной точке называется величина
Дивергенция вектора имеет вид
Примеры применения цилиндрических и сферических координат
Примеры применения цилиндрических и сферических координат
Далее:
💥 Видео

Видео:Глаза гипножабы и площадь фигур в полярной системе координатСкачать

Сферические координаты (сферическая система координат)

Для введения сферической системы координат в пространстве выбирается плоскость ( основная плоскость ) и на ней задается полярная система координат с полюсом ( начало сферической системы координат ) и полярной осью . Через точку перпендикулярно основной плоскости проведем ось ( ось аппликат ) и выберем ее направление так, чтобы возрастание полярного угла со стороны положительного направления оси происходило против часовой стрелки (рис.2.36,а).

В сферической системе координат положение точки , не лежащей на оси аппликат, характеризуется расстоянием до начала координат, полярным углом точки — ортогональной проекции точки на основную плоскость, и углом между вектором и положительным направлением оси аппликат. Таким образом, сферические координаты точки — это упорядоченная тройка чисел – радиус , долгота и широта . У точек, принадлежащих оси аппликат, не определена долгота, их положение задается радиусом и широтой для положительной части оси и для отрицательной ее части. Начало координат задается нулевым значением радиуса . Иногда вместо угла широтой называют угол , принимающий значения .

Со сферической системой координат можно связать прямоугольную систему координат (рис.2.36,б), у которой начало и базисные векторы совпадают с началом сферической системы координат и единичными векторами на полярной оси и оси аппликат соответственно, а базисный вектор выбирается так, чтобы тройка была правой (при этом базис оказывается стандартным).

Наоборот, если в пространстве задана правая прямоугольная система координат, то, приняв положительную полуось абсцисс за полярную ось, получим сферическую систему координат ( связанную с данной прямоугольной ).

Видео:Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатахСкачать

Переход от сферических координат к декартовым (прямоугольным)

Получим формулы, связывающие между собой прямоугольные координаты точки и её сферические координаты . По рис.2.36,б получаем

Эти формулы перехода позволяют найти прямоугольные координаты по известным сферическим координатам. Обратный переход выполняется по формулам

Формулы (2.22) определяют долготу с точностью до слагаемых , где . При из них следует, что . Главное значение долготы находится по формулам (см. рис.2.29).

Пример 2.13. В сферической системе координат :

а) построить координатные поверхности ;

б) найти сферические координаты точки , если известны её прямоугольные координаты ;

в) найти прямоугольные координаты точки , если известны её сферические координаты: .

Решение. а) Координатной поверхностью , т.е. геометрическим местом точек при фиксированном значении радиуса , является сфера с центром в начале координат (рис.2.37). Этим объясняется название сферической системы координат. Координатной поверхностью , т.е. геометрическим местом точек при фиксированном значении долготы , является полуплоскость, ограниченная осью аппликат (на рис.2.37 изображена полуплоскость ). Координатной поверхностью , т.е. геометрическим местом точек при фиксированном значении широты , является конус, ось которого совпадает с осью аппликат, а вершина — с началом координат. При получаем основную плоскость. На рис.2.37 изображены конус и основная плоскость .

б) Найдем сферические координаты точки . По формулам (2.22), учитывая рис.2.29 (см. пример 2.12), получаем

Видео:§56 Сферическая система координатСкачать

Содержание

2. Связь между дифференциалами в декартовой и криволинейной системах координат

Список литературы

Введение

Наблюдая длительный период развития математики, можно заметить, что диалектически происходит периодическая смена двух основных взглядов на восприятие и описание закономерностей окружающей действительности. В одни эпохи идет алгебраизация с ее формализацией и логическим структурированием языка, торжествуют аксиоматические подходы, иногда в ущерб наглядности и даже возможным приложениям. В другие эпохи главенствует геометризация с ее стремлением к интуитивной наглядности, визуализации, к «картинкам», иногда в ущерб даже формальной строгости доказательств. Психологи утверждают, что и индивидуумы делятся на «левополушарных» и «правополушарных», одни из них тяготеют к счету, к абстракции, другие — к наглядности, к геометрии, к моделям.

Сейчас, как нам кажется, имеется тенденция к очередной геометризации, модельности и, следовательно, к воспитанию навыков образного мышления. Мы обращали уже внимание в наших методических указаниях [5] на то, что эта задача становится особенно актуальной в связи с возрастающим количеством нелинейных задач,возникающих в современной физике и технике, решения которых приводят к сложным визуализациям результатов численных расчетов и экспериментов. Мыслительные процессы человека, такие как инженерное проектирование, научно-теоретическое изучение явлений и их связей, оперируют образами, визуальными формами.

Обучение методам образного мышления является большой и серьезной задачей. В данном пособии делается очередной шаг в этом направлении. Учебников и монографий по геометрии много, и неисчислимо много всевозможных методических пособий по тем или иным частным вопросам. Чем же предлагаемые вниманию читателя методические указания отличаются от остальных?

Один из соавторов из личных пристрастий время от времени вкрапляет в читаемый им на физическом факультете курс математического анализа элементы дифференциальной геометрии; другой соавтор в свое время, будучи студентом, активно воспринял эти «вкрапления»; третий, которому удалось продвинуть недавно некоторые трудные вопросы нелинейной физики, поставил второму задачу о большом изгибе мембраны, которую они решали, опираясь на аппарат дифференциальной геометрии, а результат этой работы вышел, по сути, за рамки классической теории. Сама работа получила медаль Российской академии наук на конкурсе научных работ студентов вузов за 1998 год.

Таким образом, дифференциальная геометрия является типичным рабочим инструментом в некоторых актуальных областях современной нелинейной физики и механики. Мы надеемся, что это пособие будет помогать в работе физикам и механикам, как инженерам, так и теоретикам.

Эта работа подготовлена аспирантом (К.Г. Охоткиным) и преподавателями (В.А. Степаненко и Ю.В. Захаровым) и является одним из результатов сотрудничества в рамках Межвузовского инженерно-физического отделения.

Мы благодарны всем, помогавшим изданию работы.

1. Определение поверхности

Любой однозначной функции двух переменных w = f ( x , y ) можно поставить во взаимнооднозначное соответствие поверхность (ее график), погруженную в обычное евклидово пространство R 3 , с декартовыми координатами x , y , w . Соответственно в цилиндрических координатах r , φ , w поверхность будет описываться функцией w = f(r, φ) (рис. 1). Такой способ задания поверхности называют явным.

Рис. 1. График поверхности в декартовых координатах

На поверхности можно вводить криволинейную сетку поверхностных координат. Например, l_x , l_y – поверхностные криволинейные координаты, которые получаются в результате сечения поверхности семейством вертикальных плоскостей wox и woy ( рис. 1 ) . Соответственно в цилиндрических координатах можно ввести криволинейные координаты l _r , l _φ , где l _r – криволинейный радиус, получаемый с помощью сечения поверхности плоскостью wor , а l_φ = r φ – дуга окружности. Задаваемые таким образом на поверхности криволинейные координаты являются в общем случае косоугольными (углы между координатными линиями на поверхности не всегда прямые, как в случае ортогональных координат).

2. Связь между дифференциалами в декартовой и криволинейной системах координат

Введем угол наклона касательной θ_x к кривой, получаемой сечением поверхности w = f(x, y) вертикальной плоскостью wo x , в текущей точке x (рис. 2). Аналогично вводятся углы θ _y и θ _r для цилиндрической системы координат.

Рис. 2. Сечение wo x поверхности w = f ( x , y )

Напишем основные выражения, связывающие дифференциалы в декартовой системе координат dx, dy и в криволинейной системе координат dl_x, dl_y. Имеем в сечениях wo x (рис. 2)

, , (1)

, , ; (2)

для сечений wo y : , , .

Соответствующие формулы верныив цилиндрических координатах для сечения wo r . Можно также сказать, что формулы (2) задают неявно связь между декартовыми переменными и криволинейными длинами на поверхности, в общем случае x ( l_x , l_y ), y ( l_x , l_y ), z ( l_x , l_y , θ_x , θ_y ).

3. Элемент поверхности. Замена переменных

А. Изменение при переходе из одной системы координат (x, y) в другую (u, v) элемента площади dS₀ в двумерном случае

Рассмотрим малый элемент площади dS₀ в плоскости (x, y) (рис. 3).

Его дифференциал в произвольном направлении l

Площадь малого элемента dS₀ построим как модуль векторного произведения двух векторов:

где J – определитель матрицы якобиана перехода. Т.е. dS ₀ = dxdy = Jdudv . В современной дифференциальной геометрии переход осуществляется введением дифференциальной формы ω = dS₀ = dx ^ dy = J du ^ dv, где ^ — внешнее произведение. (См., например, [1], [2] ). Приведем пример для полярной системы координат:

Б. Замена системы координат для элементарной площадки на поверхности

Необходимость выражения дифференциала площади элемента поверхности в различных криволинейных координатах возникает, прежде всего, в процессе вычисления поверхностных интегралов, при переходе к двойному интегралу. Введем обозначения: dS – поверхностный элемент площади (рис. 4), dS ₀ – площадь элемента, лежащего в плоскости xoy , или проекция на эту плоскость dS, т.е. dS₀ = d S cosγ , где , – вектор нормали. Криволинейные ортогональные координаты на поверхности — u , v . Поверхность задана явно, w = f(x, y). Радиус-вектор текущей точки — имеет компоненты:

Это задание поверхности в параметрической форме. Построим математическую модель площади с помощью векторного произведения дифференциалов радиус-вектора, аналогично пункту А:

. (3)

Выражение называется детерминантом первой квадратичной формы, см. следующий пункт, (6). В частном случае, когда в качестве криволинейных координат выбираются собственно декартовые координаты, имеем

Пример : элемент площади в цилиндрических координатах и при осевой симметрии,

когда w = f ( r ) и d / d φ = 0, имеет вид:

. (4)

4. Исследование поверхности с помощью аппарата квадратичных форм

А. Первая квадратичная форма I

В каждой точке поверхности можно ввести квадратичную форму

, (5)

где (ξ, η) – криволинейные поверхностные координаты.

Общеприняты следующие обозначения для коэффициентов формы:

Поясним геометрический смысл первой формы. Пусть – радиус-вектор. Его дифференциал

, (7)

, (8)

где dl – элемент дуги поверхности в произвольном направлении l. Таким образом, первая квадратичная форма определяет квадрат dl. Определим коэффициенты формы, подставив (7) в (8):

, (9)

Если χ — угол между касательными векторами (между координатными линиями на поверхности в текущей точке), то . Для ортогональных координат на поверхности χ = π/2, a₁₂ = 0.

Введем обозначение для детерминанта квадратичной формы

. (10 )

Рассмотрим рис. 5. В текущей точке M построим касательные векторы и . Плоскость L, проведенная через них, является касательной плоскостью к поверхности в точке М. Линия, перпендикулярная к плоскости и проведенная через точку М, является нормалью в текущей точке к поверхности. Ее направление определяется векторным произведением касательных векторов. Единичный вектор нормали находим из следующего выражения:

. (11 )

Рис. 5. Координатные векторы в точке М

Таким образом, первая квадратичная форма описывает поверхность в первом приближении, когда малый участок поверхности заменяется на участок касательной плоскости. Первая квадратичная форма определяет углы между линиями и длины дуг на поверхности, а также площади любых участков поверхности (см. (3) ). Малый элемент площади поверхности

, (12 )

где — криволинейные дифференциалы на поверхности, получаемые по формулам типа (1), (2) .

Б. Вторая квадратичная форма II

Вторая квадратичная форма описывает поверхность во втором приближении. Она показывает, как отклоняется поверхность от касательной плоскости, и полностью определяет кривизну поверхности.

. (13 )

Коэффициенты формы определяются следующими выражениями:

, (14 )

В. Исследование кривизны поверхности

Для двумерного случая скалярной кривизной кривой, лежащей в плоскости, называется величина

, (15 )

взятая в текущей точке кривой.

Здесь все векторы лежат в одной плоскости. В литературе часто встречаются определения кривизны (15) с разными знаками, которые можно трактовать различно, в зависимости от конкретной задачи. Общий физический смысл: кривизна кривой линии пропорциональна моменту сил, изгибающих ее.

Для пространственного случая нормальной кривизной линии l , получаемой нормальным сечением поверхности, называется величина

, (16 )

взятая в текущей точке линии. Если вертикальное и нормальное сечения совпадают, то совпадают и величины кривизн (15) и (16). Кривизна κ в произвольном наклонном сечении определяется из (16) по теореме Менье: , где γ – угол между этим наклонным и нормальным сечениями.

Выберем в качестве параметра, определяющего положение точки на кривой, длину дуги. Тогда криволинейные координаты точки будут функциями длины дуги l: ξ(l), η(l). Выражение (7) перейдет в

. (17 )

Векторы и перпендикулярны нормали , (см. рис. 5 ). Имеем из (16)

. (18 )

Найдем из (18) нормальные кривизны координатных линий:

1) η = Const, dη = 0, ;

2) ξ = Const, dξ = 0, . (19 )

Параметр b₁₂/ w определяет кручение поверхности. Проследим за изменением κ_n при повороте сечения вокруг нормали к поверхности. Для гладких поверхностей кривизна будет плавно периодически изменяться от минимального до максимального значения. Найдем их. Перепишем выражение (18) в виде

Раскрывая скобки и перегруппировывая члены выражения, имеем

Получили квадратичную форму

Необходимым и достаточным условием существования нетривиального решения по теореме Крамера является равенство нулю определителя этой матрицы. Имеем квадратное уравнение для кривизны

Отсюда находим два экстремальных значения κ_n, которые называются главными кривизнами поверхности в данной точке. Соответствующие им направления (для отношения dξ:dη) называются главными. Главные направления взаимно перпендикулярны.

Проведем линии на поверхности таким образом, чтобы в каждой точке касательные к ним шли вдоль главных направлений. Такие кривые называются линиями кривизны; их удобно выбирать в качестве координатных кривых. Если поверхностная координатная сеть (ξ, η) совпадает с линиями кривизны поверхности, то главные кривизны совпадают с (19) . Если коэффициент первой формы a₁₂ = 0, то это сеть ортогональных криволинейных координат (для них c = p /2); если b₁₂ = 0, то сеть называется сопряженной.

По свойству решений квадратного уравнения имеем для произведения и полусуммы главных кривизн выражения

, .

Гауссовой кривизной поверхности в данной точке называется величина

. (20 )

Средней кривизной поверхности в данной точке называется величина

. (21)

5. Метрический тензор

Пусть дана обычная (лабораторная) система координат x ( x 1 , x 2 , …, x n ). Сделаем переход в произвольную криволинейную (не обязательно ортогональную) систему координат y (y 1 , y 2 , …, y n ). Радиус-вектор и матрица Якоби будет задаваться следующим образом (здесь пишем верхние индексы – используем контравариантные координаты):

, . (22)

В этой матрице столбцы являются компонентами касательных векторов к координатным линиям y 1 , y 2 , …, y n . Если их нормировать, то получим набор базисных векторов в пространстве x .

Метрический тензор в базисе имеет вид

. (2 3)

Символы Кристоффеля (коэффициенты связности)

Введем тензорные обозначения касательных векторов и их производных:

, .

Векторы производных разложим по базисным векторам:

, (24 )

где коэффициенты разложения — некоторые функции координат, вид которых зависит от выбора системы координат; в декартовой системе все . Отсюда видно, что величины не образуют тензора, так как тензор, равный нулю в одной системе координат, равен нулю и во всякой другой. В данной метрике символы Кристоффеля вычисляются по формулам

, (2 5)

доказательство которых приведем ниже.

Найдем, как преобразуется производная от произвольной вектор-функции ∂A i / ∂y j при переходе от декартовых к криволинейным координатам. Для того чтобы получить дифференциал вектора, необходимо, чтобы оба вектора находились в одной точке пространства. Но в криволинейных координатах разность компонент векторов после параллельного переноса их в одну точку не совпадает с их разностью до переноса (т.е. с дифференциалом dA i ). Изменение компонент вектора при бесконечно малом параллельном переносе зависит линейно от самих компонент. Таким образом, запишем точные производные в криволинейных координатах, так называемые ковариантные производные (которые являются тензорами)

, , , (26 )

соответственно от контравариантного и ковариантного векторов и тензора. В декартовой метрике они, очевидно, совпадают с обычными производными.

Линия пространства y i = y i ( t ) называется геодезической, если ее вектор скорости A i = dy i / dt параллелен вдоль нее самой, т.е. его ковариантная производная равна нулю.

Уравнение геодезических линий

Если все символы Кристоффеля равны нулю, то решениями этого уравнения являются обычные прямые. Таким образом, геодезические линии являются аналогом прямых для случая произвольной кривизны пространства.

Тензор кривизны Римана

Если дважды ковариантно продифференцировать вектор A i , то результат зависит, вообще говоря, от порядка дифференцирования, в противоположность от обычных производных. Запишем эту разность

где — тензор 4-го ранга:

, (27 )

, где . (2 8)

Этот тензор называется тензором кривизны Римана данной метрики. Свойства тензора для симметричных связностей:

, .

Из тензора Римана можно путем упрощения построить тензор второго ранга — тензор Риччи, являющийся следом тензора Римана

. ( 29)

Свернув метрикой тензор Риччи, получим инвариант — след тензора Риччи

, (3 0)

называемый скалярной кривизной данного пространства. Гауссова кривизна, определенная в (19), связана со скалярной следующим образом: 2 K = R .

Тензором кручения пространства называется выражение

. (3 1)

Если связность является симметричной, то тензор кручения равен нулю. Поясним геометрический смысл тензора кручения на рис. 6. Рассмотрим поверхность S . В точке А к S построим касательную плоскость p . Выберем произвольный бесконечно малый квадрат ABCD на плоскости p с вершиной в А. Из точки А по поверхности S выпустим геодезическую в направлении вектора AB . Пройдя по ней расстояние, соответствующее параметру, равному длине AB , попадем в точку B ‘ . Аналогично из А по S выпустим геодезическую в направлении AD , попадем в D ‘ . Совершим параллельный перенос вектора AD в точку B ‘ вдоль геодезической AB ‘ и выпустим геодезическую из B ‘ вдоль перенесенного вектора, попадем в точку С’. Аналогично вектор AB перенесем параллельно вдоль AD ‘ и вдоль перенесенного вектора из D ‘ выпустим геодезическую, попадем в C » . Если кручение нулевое, то C ‘ = C », и геодезический квадрат с точностью до малых более высокого порядка замкнется, в противном случае нет.

Скалярным произведением двух произвольных векторов

в метрике g_ij будет следующая билинейная форма:

Для частного случая евклидова пространства метрический тензор — единичная матрица, и скалярное произведение принимает обычный вид

Если взять скалярное произведение двух одинаковых векторов, то получим положительно определенную квадратичную форму

следовательно, det g > 0.

Видео:Площади 12Скачать

Дивергенция вектора имеет вид

Градиент функции f имеет вид

Оператор Лапласа в произвольных криволинейных координатах:

В ортогональных криволинейных координатах матрица метрического тензора имеет диагональный вид

где положительные функции H_i — коэффициенты Ламе системы координат и . Они соответствуют корням из коэффициентов первой квадратичной формы a ₁₁ и a ₂₂ в теории поверхностей.

Оператор Лапласа в евклидовом пространстве R 3 , в декартовых координатах.

Здесь n = 3, x 1 = x , x 2 = y , x 3 = z . Лапласиан принимает вид

. (33 )

Оператор Лапласа в евклидовом пространстве R 3 , в сферических координатах:

x 1 = r sin θ cos φ , x 2 = r sin θ cos φ , x 3 = r cos θ , (здесь n = 3, y 1 = r , y 2 = θ , y 3 = φ ).

Ортонормированный базис e_r, e _q , e _j , . Лапласиан принимает вид

Оператор Лапласа в евклидовом пространстве R 3 , в цилиндрических координатах:

x 1 = r cos φ, x 2 = r sinφ, x 3 = z. ( здесь n = 3, y 1 = r, y 2 = φ, y 3 = z). Лапласиан принимает вид

. ( 34)

6. Метрический тензор в теории поверхностей

А. Метрика поверхности

Рассмотрим поверхность w = w ( x , y ) в евклидовом пространстве R 3 . Применим для исследования этой поверхности приведенный выше тензорный аппарат дифференциальной геометрии. Будем задавать поверхность в параметрическом виде как геометрическое место точек, описываемых радиус-вектором, проведенным из начала координат (так же, как и при рассмотрении первой квадратичной формы поверхности):

поверхностные криволинейные координаты

Введем тензорные обозначения для производных радиус-вектора поверхности по криволинейным координатам:

; .

Получим метрический тензор поверхности так же, как и в (23) :

, ( 35)

его компоненты образуют матрицу, совпадающую с матрицей первой квадратичной формы поверхности

т.е. g_ij = a_ij , и в тензорных обозначениях первая квадратичная форма примет следующий вид:

Ковариантные компоненты метрического тензора находим, обращая матрицу

. (3 6)

С помощью метрического тензора выполняют операции поднятия и опускания индексов, например, для нахождения ковариантных компонент векторов:

Б. Единичный орт нормали в текущей точке поверхности (см. (11)

В. Элементарный элемент площади на поверхности

Угол между касательными векторами , .

Элемент площади (см. (12)

. (37 )

Г. Вторая квадратичная форма записывается в тензорных обозначениях как

II = b_ij dy i dy j , ее коэффициенты вычисляются по формулам

. (3 8)

Они подчинены двум уравнениям Петерсона-Кодацци

, i, j, k = 1, 2.

Д. Криволинейный оператор Лапласа записывается так же, как и в (32):

( 39)

Е. Локальный базис и символы Кристоффеля поверхности

В текущей точке y 1 , y 2 поверхности касательные векторы r ₁ , r ₂ и орт нормали n образуют сопутствующий локальный базис (триэдр) в R 3 , причем

. (40)

Разложим вектор второй производной в локальном базисе

, (4 1)

и найдем неизвестные коэффициенты разложения и . Для этого умножим скалярно обе части уравнения (41) сначала на вектор нормали n :

Так как касательные векторы и орт нормали перпендикулярны, то имеем

Этот коэффициент действительно совпадает с коэффициентами второй квадратичной формы (38) . Умножим теперь обе части уравнения на касательный вектор :

Выразим коэффициенты явно, для этого умножим обе части уравнения на ковариантный метрический тензор

. (4 2)

Скалярное произведение, стоящее в левой части уравнения, можно выразить через компоненты метрики. Продифференцируем метрику по координате и проведем циклические перестановки индексов:

Сложим последние два уравнения и вычтем первое:

окончательно имеем известное выражение

(43)

для коэффициентов, которые называются символами Кристоффеля 2 рода. Таким образом, мы получили два уравнения (42) и (43) для нахождения коэффициентов Кристоффеля и уравнение (41) для проверки. Тензор кривизны Римана поверхности определяется так же, как и в (27) .

Рассмотрим заданную явно поверхность w = w ( x , y ) в декартовых координатах:

Имеем радиус-вектор точки поверхности

Первые и вторые производные радиус-вектора

, , , , .

Метрика (матрица первой квадратичной формы) по определению (35)

Единичный вектор нормали имеет вид

Малый элемент площади поверхности, с использованием соотношений (2)

Криволинейный оператор Лапласа в общем косоугольном случае

, (44 )

в частном случае поверхности, на которой возникли ортогональные криволинейные координаты (), имеем

Матрица второй квадратичной формы

Главные кривизны найдем по формулам (19) :

, . (4 5)

Для осесимметричной поверхности логично перейти в полярные координаты. Если здесь сделать формальную замену переменных (49) , то получим формулы для кривизн в полярных координатах (50) .

В выражениях (45) корень, стоящий в знаменателе, является модулем вектора нормали к поверхности в текущей точке. Если для этой поверхности нормальное сечение совпадает с вертикальным, то кривизны (45) перейдут в

, . (4 6)

В частном случае малых прогибов поверхности (углов наклона касательной) в выражениях (46) можно пренебречь квадратом производной по сравнению с единицей и получить выражения для малых кривизн (геометрически линейный случай):

, . ( 47)

Символы Кристоффеля можно найти по формуле (43) или по формуле (42) :

По формулам (27) вычислим компоненты тензора кривизны Римана

, .

Остальные компоненты равны нулю. Найдем тензор Риччи по формуле (29)

Скалярная кривизна по формуле (30)

где К — гауссова кривизна, см. формулу (20) .

Рассмотрим осесимметричную поверхность, заданную явно функцией w(r), в цилиндрических координатах. Для этого случая пропадает зависимость от полярного угла φ, и все , поэтому частные производные по полярному радиусу совпадают с полными производными.

Координаты y 1 = ξ = r, y 2 = η = φ. Используя формулы замены переменных, запишем радиус-вектор

Выпишем производные от радиус-вектора по координатам

, , , , .

Компоненты метрического тензора (коэффициенты первой квадратичной формы) найдем по формулам (35) или (9):

, , .

Отсюда видно, что мы получили на поверхности сетку ортогональных криволинейных координат. Оператор Лапласа

. ( 48)

Для случая пологих поверхностей, когда можно пренебречь квадратом производной по сравнению с единицей, оператор (48) совпадает с обычным оператором Лапласа в полярных координатах (см., например, (34) . Выражение (48) можно получить из (44) прямой заменой декартовых координат на полярные для осесимметричного случая. Приведем эти формулы перехода

, , , , . ( 49)

Коэффициенты второй квадратичной формы

Главные кривизны поверхности найдем по формулам (19) :

, . (5 0)

Здесь , т.е. использована замена переменных w ( r ) на θ ( r ), вида (2) . Выражения (50) можно получить заменой переменных (49) непосредственно из приведенных выше кривизн (45) в декартовой системе координат.

Кручение поверхности отсутствует в осесимметричном случае, так как диагональный коэффициент второй квадратичной формы b ₁₂ = 0. Из (50) видны свойства главных кривизн:

, . ( 51)

, , , .

Отличные от нуля компоненты тензора Римана

, .

Скалярную кривизну поверхности найдем, дважды свернув тензор Римана

Вычислим для примера главные кривизны псевдосферы — поверхности, образованной вращением трактрисы относительно оси Ow (трактриса является эвольвентой цепной линии ). Используя формулы (50) , найдем кривизны

, .

Гауссова кривизна постоянна и отрицательна на всей поверхности. Выполняя интегрирование

получим длину дуги вдоль радиуса на поверхности псевдосферы.

Список литератур ы

1. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т . Современная геометрия. – М.: Наука, 1985.

2. Новиков С.П., Фоменко А.Т . Элементы дифференциальной геометрии и топологии. – М.: Наука, 1987.

3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. — М.: Наука, 1988.

4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. — М.: Наука, 1987.

5. Поверхности функций комплексного переменного: Метод. указания, ч. 5 / Краснояр. гос. ун-т; Сост. Ю.В. Захаров, К.Г. Охоткин, Л.С. Титов. Красноярск, 1996.

6. Победря Б.Е . Лекции по тензорному анализу. — М.: Изд-во МГУ, 1986.

Видео:Объем через тройной интеграл в сферической системе координатСкачать

Примеры применения цилиндрических и сферических координат

Услуги проектирования
Тройной интеграл
Примеры применения цилиндрических и сферических координат

Видео:Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.Скачать

Примеры применения цилиндрических и сферических координат

Как и в случае перехода к полярным координатам в двойном интеграле, дать однозначный рецепт того, когда следует применять цилиндрические или сферические координаты, нельзя, это дело опыта. Можно попробовать применить цилиндрические координаты, если подынтегральная функция и/или уравнения поверхностей, ограничивающих объём $mathbf < textit > $, зависят от комбинации $mathbf < textit > ^ +mathbf < textit > ^ =mathbf < textit > ^ $; сферические — если эти уравнения зависят от $mathbf < textit > ^ +mathbf < textit > ^ +mathbf < textit > ^ =mathbf < textit > ^ $. Рассмотрим ряд примеров.

Найти объём $mathbf < textit > $ общей части двух шаров, ограниченных сферами

Решение:

Пересечение сфер находится на уровне $2Rz=R^2Rightarrow z=R/2$ и представляет собой круг радиуса $Rfrac $. Объём $mathbf < textit > $ограничен сверху поверхностью $z=sqrt $, снизу — поверхностью $z=R-sqrt $. Вычисления в декартовых координатах дают $V=iiintlimits_V =iiintlimits_V =intlimits_ < -Rfrac > ^ < Rfrac > < dxintlimits_ < -sqrt < frac R^2-x^2 > > ^ < sqrt < frac R^2-x^2 > > < dyintlimits_ < R-sqrt > ^ < sqrt > > > $ — достаточно громоздкие выкладки.

В цилиндрических координатах объём $mathbf < textit > $ ограничен сверху поверхностью $z=sqrt $, снизу — поверхностью $z=R-sqrt $, поэтому

В сферических координатах уравнение нижней сферы принимает вид $r=R$, верхней — $r^2=2Rrcos theta Rightarrow r=2Rcos theta $, их пересечение соответствует значению $cos theta =1/2Rightarrow theta =pi /3$. В интервале $0leqslant theta leqslant pi /3 quad mathbf < textit > $ меняется от $0$ до $mathbf < textit > $, в интервале $pi /3leqslant theta leqslant pi /2 quad mathbf < textit > $ меняется от $0$ до $2Rcos theta $, поэтому

В этом примере трудоёмкость вычислений в цилиндрических и сферических координатах примерно одинакова.

Решение:

Параболоид и конус пересекаются в плоскости $x=2-x^2Rightarrow x=1$ по кругу радиуса 1. Осью симметрии объёма $mathbf < textit > $ служит ось $mathbf < textit > $, поэтому цилиндрические координаты вводим формулами $x=x,quad y=rcos varphi ,quad z=rsin varphi ; quad I=iiintlimits_V =iiintlimits_V =intlimits_0^ < dvarphi intlimits_0^1 < rdrintlimits_r^ > > =$ $ =intlimits_0^ < dvarphi intlimits_0^1 < left. < frac >right|_r^ rdr > > +intlimits_0^ < (cos varphi +sin varphi )dvarphi intlimits_0^1 < left. x right|_r^ r^2dr > > =pi intlimits_0^1 < left( right)dr > =frac . $ Применение сферических координат в этом примере нецелесообразно .

Решение:

Здесь область интегрирования — шар радиуса 1/2, сдвинутый по оси $mathbf < textit > $ на 1/2 единицы, подынтегральная функция зависит от выражения $mathbf < textit > ^ +mathbf < textit > ^ +mathbf < textit > ^ $, поэтому применим сферические координаты. Уравнение сферы $x^2+y^2+z^2=zRightarrow r^2=rcos theta Rightarrow r=cos theta left( right)$ , поэтому $I=iiintlimits_V < sqrt dxdydz > =iiintlimits_V =intlimits_0^ < dvarphi intlimits_0^ intlimits_0^ > =frac intlimits_0^ < left. right|_0^ sin theta dtheta > = \ =frac intlimits_0^ =-frac left. right|_0^ =frac $.

Вычислить объём тела, ограниченного поверхностью $left( right)^ =a^3z,;a=const>0$

Решение:

Здесь тоже для того, чтобы понять, как устроено тело, и найти его объём, надо перейти к сферическим координатам < на это указывает комбинация $mathbf < textit > ^ +mathbf < textit > ^ +mathbf < textit > ^ =mathbf < textit > ^ )$. Уравнение поверхности $left( right)^ =a^3zRightarrow r^4=a^3rcos vartheta Rightarrow r=asqrt[3] ;left( right)$. По этому уравнению поверхность построить уже можно; отсутствие координаты $varphi $ в уравнении показывает, что это — тело вращения вокруг оси $mathbf < textit > $. Находим объём: $ V=iiintlimits_V =intlimits_0^ < dvarphi intlimits_0^ > theta dtheta intlimits_0^ < asqrt[3] > =frac intlimits_0^ < left. right|_0^ < asqrt[3] > sin theta dtheta = > $ $ =frac intlimits_0^ frac . $

Вычислить интеграл $iiintlimits_U < left( < + 2 + >right)dxdydz > ,$ где область (U) ограничена поверхностью ( + le 1) и плоскостями (z = 0,) (z = 1).

Решение:

Данный интеграл удобно вычислить в цилиндрических координатах. Проекция области интегрирования на плоскость (Oxy) представляет собой круг ( + le 1) или (0 le rho le 1).

Заметим, что подынтегральное выражение записывается в виде $ < left( < + 2 + >right) > = < < left( < + >right)^2 > > = < < left( < >right)^2 > = > $

Тогда интеграл будет равен $I = intlimits_0^ intlimits_0^1 < rho drho > intlimits_0^1 .$

Здесь во втором интеграле добавлен множитель (rho) якобиан преобразования декартовых координат в цилиндрические. Все три интеграла по каждой из переменной не зависят друг от друга.

Вычислить интеграл $iiintlimits_U < left( < + >right)dxdydz > ,$ где область (U) ограничена поверхностями ( + = 3z,) (z = 3)

Решение:

Область интегрирования изображена на рисунке

Для вычисления интеграла перейдем к цилиндрическим координатам: $ ;; ;; $ Дифференциал при этом равен $dxdydz = rho drho dvarphi dz;;left( < rho — text >right).$

Уравнение параболической поверхности принимает вид: $ varphi + varphi = 3z;;text ;; = 3z.$ Проекция области интегрирования (U) на плоскость (Oxy) представляет собой окружность ( + le 9) радиусом (rho = 3).

Координата (rho) изменяется в пределах от (0) до (3,) угол (varphi) от (0) до (2pi) и координата (z) от (largefrac < < > > normalsize) до (3.)

Используя цилиндрические координаты, найти значение интеграла $ I = intlimits_ ^2 intlimits_ < — sqrt < 4 — > > ^ < sqrt < 4 — > > intlimits_0^ < 4 — — > < dz > $

Решение:

Область интегрирования (U) изображена на рисунке:

Ее проекция на плоскость (Oxy) представляет собой круг ( + = ):

Новые переменные в цилиндрических координатах будут изменяться в пределах $ ;; ;; < 0 le z le 4 — . > $

Вычислить интеграл, используя цилиндрические координаты: $iiintlimits_U < sqrt < + > dxdydz > .$ Область (U) ограничена параболоидом (z = 4 — — ,) цилиндром ( + = 4) и плоскостями (y = 0,) (z = 0)

Решение:

Изобразив схематически область интегрирования (U,) находим, что ее проекция на плоскость (Oxy) представляет собой полукруг радиусом (rho = 2).

Найти интеграл $iiintlimits_U ,$ где область (U) ограничена плоскостями (z = x + 1,) (z = 0) и цилиндрическими поверхностями ( + = 1,) ( + = 4)

Решение:

Вычислим данный интеграл в цилиндрических координатах. Из условия $0 le z le x + 1$ следует, что $0 le z le rho cos varphi + 1.$ Область интегрирования в плоскости (Oxy) представляет собой кольцо, ограниченное окружностями ( + = 1) и ( + = 4)

Следовательно, переменные (rho) и (varphi) изменяются в интервале $1 le rho le 2,;;0 le varphi le 2pi .$

Этот результат закономерен, поскольку область (U) симметрична относительно плоскости (Oxz,) а подынтегральная функция является четной.

Найти интеграл (iiintlimits_U < sqrt < + + > dxdydz > ,) где область интегрирования (U) шар, заданный уравнением ( < + + > = 25.)

Решение:

Поскольку область (U) представляет собой шар, и к тому же подынтегральное выражение является функцией, зависящей от $fleft( < + + >right),$ то перейдем к сферическим координатам.

Вычислить интеграл $iiintlimits_U < < e^ < < < left( < + + >right) > ^ < frac > > > > dxdydz > ,$ где область (U) представляет собой единичный шар ( < + + > le 1.)

Решение:

Центр данного шара расположен в начале координат. Следовательно, в сферических координатах область интегрирования (U) описывается неравенствами $ ;; ;; $

Как видно, тройной интеграл вырождается в произведение трех однократных интегралов, каждый из которых вычисляется независимо. В результате находим $ < I = intlimits_0^ intlimits_0^1 < < e^ < > > drho > intlimits_0^pi > = < left[ < left. varphi right|_0^ >right] cdot intlimits_0^1 < left( < < e^ < > > cdot frac d >right) > cdot left[ < left. < left( right) >right|_0^pi >right] > = < 2pi cdot frac left[ < left. < left( < < e^ < > > >right) >right|_ < = 0 > ^ < = 1 > >right] cdot left( right) > = < frac < > cdot left( right) cdot 2 > = < frac < > left( right). > $

Вычислить интеграл (iiintlimits_U ,) где область (U) представляет собой часть шара ( + + le ,) расположенную в первом октанте (x ge 0, y ge 0, z ge 0.)

Решение:

Найти тройной интеграл $iiintlimits_U < left( < frac < < > > < < > > + frac < < > > < < > > + frac < < > > < < > > >right)dxdydz > ,$ где область (U) ограничена эллипсоидом $ < frac < < > > < < > > + frac < < > > < < > > + frac < < > > < < > > > = 1.$

Решение:

Для вычисления интеграла перейдем к обобщенным сферическим координатам путем следующей замены переменных: $ ;; ;; $ Модуль якобиана данного преобразования равен (left| I right| = abc sin theta .) Поэтому для дифференциалов справедливо соотношение $dxdydz = abc sin theta drho dvarphi dtheta .$ В новых координатах интеграл принимает вид: $ < I = iiintlimits_U < left( < frac < < > > < < > > + frac < < > > < < > > + frac < < > > < < > > >right)dxdydz > > = < iiintlimits_ < left[ < frac < < < < left( right) > ^2 > > > < < > > + frac < < < < left( right) > ^2 > > > < < > > + frac < < < < left( right) > ^2 > > > < < > > >right]abc sin theta drho dvarphi dtheta > > = \ = < iiintlimits_ < left[ < < ^2 > varphi , < ^2 > theta + varphi , < ^2 > theta + < ^2 > theta >right]abc sin theta drho dvarphi dtheta > > = \ = < iiintlimits_ < left[ < < ^2 > theta underbrace < left( < < ^2 > varphi + varphi >right) > _1 + < ^2 > theta >right]abc sin theta drho dvarphi dtheta > > = \ = < iiintlimits_ < underbrace < left( < theta + < ^2 > theta >right) > _1abc sin theta drho dvarphi dtheta > > = < abciiintlimits_ < sin theta drho dvarphi dtheta > . > $

Вычислить интеграл $intlimits_0^1 intlimits_0^ < sqrt < 1 — > > intlimits_0^ < sqrt < 1 — — > > < < < left( < + + >right) > ^2 > dz > ,$ используя сферические координаты.