площадь в координатах p v (7 видео)

Содержание

Как определить работу газа по графику
Условие задачи:
Решение задачи:
Ответ: 400 Дж.
Задание 27 ЕГЭ по физике
Механика — квантовая физика. Качественная задача
Построение графиков термодинамических процессов
💥 Видео

Видео:Площадь фигуры через двойной интеграл в полярных координатахСкачать

Как определить работу газа по графику

Внутренняя энергия газа может изменяться в результате совершения газом работы и сообщения ему теплоты. Поэтому принято говорить о двух формах передачи энергии от одних тел к другим: о теплоте и работе.

Работа газа при произвольном процессе рассчитывается как площадь криволинейной трапеции под графиком p(V). На рис. 6.1 показана произвольная зависимость давления газа p от его объема V (объем газа в начальном состоянии V ₁; объем газа в конечном состоянии V ₂). Площадь заштрихованной фигуры совпадает с работой, совершенной газом.

Если зависимость p(V) представляет собой прямую линию, то работа численно равна площади прямолинейной трапеции.

В Международной системе единиц работа, совершаемая газом, измеряется в джоулях (1 Дж).

Работа газа при изобарном процессе (p = const) может быть вычислена по одной из формул:

A = p∆V, или A = νR∆T,

где p — давление газа; ΔV — изменение объема газа при переходе из начального в конечное состояние, ΔV = V ₂ − V ₁; V ₁ — объем газа в начальном состоянии; V ₂ — объем газа в конечном состоянии; ν — количество вещества (газа); R — универсальная газовая постоянная, R ≈ 8,31 Дж/(моль ⋅ К); ΔT — соответствующее изменение температуры газа, ΔT = T ₂ − T ₁; T ₁ — абсолютная температура начального состояния; T ₂ — абсолютная температура конечного состояния.

Работа газа при изохорном процессе (V = const) не совершается:

Работа газа при круговом (циклическом) процессе рассчитывается как площадь фигуры, ограниченной графиком функции p(V). На рис. 6.2 показан график произвольного кругового процесса; цифрами обозначены: 1 — исходное состояние идеального газа (оно совпадает с конечным); 2, 3 — промежуточные состояния газа.

Площадь заштрихованной фигуры совпадает с работой, совершенной газом при циклическом процессе.

Работа, совершаемая газом за цикл, может быть:

· положительной (прямой цикл);

· отрицательной (обратный цикл).

Пример 3. График циклического процесса, происходящего с некоторой массой идеального газа, в координатах p(V) имеет вид прямых, соединяющих точки (0,0250 м 3 ; 75,0 кПа), (0,0750 м 3 ; 125 кПа), (0,0750 м 3 ; 75,0 кПа). Определить абсолютную величину работы, совершаемой газом за цикл.

Решение. На рисунке изображен график циклического процесса в указанных термодинамических координатах p(V).

Величина искомой работы равна площади треугольника, ограниченного прямыми, соединяющими указанные точки:

A=12(125−75,0)⋅103⋅(0,0750−0,0250)=1,25⋅103 Дж=1,25 кДж.

Газ за цикл совершает работу 1,25 кДж.

Пример 4. Газ, состоящий из смеси 2,0 г водорода и 4,2 г гелия, при изобарном нагревании совершил работу 46 кДж. Во сколько раз увеличился объем газа, если его начальная температура была равна 300 К? Молярные массы водорода и гелия равны 2,0 и 4,0 г/моль соответственно.

Решение. Запишем формулу для расчета работы смеси газов при изобарном процессе:

где p — давление смеси газов (постоянная величина), p = const; V ₁ — объем смеси газов в начальном состоянии; V ₂ — объем смеси газов в конечном состоянии.

Давление смеси газов определяется законом Дальтона:

где p ₁ — парциальное давление водорода; p ₂ — парциальное давление гелия.

Давления указанных газов в смеси определяются следующими выражениями:

· парциальное давление водорода

где m ₁ — масса водорода; M ₁ — молярная масса водорода; T ₁ — температура смеси газов в начальном состоянии; V ₁ — объем смеси газов в начальном состоянии; R — универсальная газовая постоянная, R = 8,31 Дж/(моль ⋅ К);

· парциальное давление гелия

где m ₂ — масса гелия; M ₂ — молярная масса гелия.

Подстановка закона Дальтона и явного вида выражений для парциальных давлений водорода и гелия в формулу для работы, совершаемой смесью указанных газов, дает

Преобразование данного уравнения к виду

позволяет выразить искомое отношение объемов

Следовательно, при совершении указанной работы объем смеси увеличился в 10 раз.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: При сдаче лабораторной работы, студент делает вид, что все знает; преподаватель делает вид, что верит ему. 9364 – | 7304 – или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Видео:Вычисление площадей плоских фигур в декартовых координатах (часть 1).Скачать

Условие задачи:

(V_1=2) л, (V_2=3) л, (p_1=400) кПа. Найти работу газа, совершенную в процессе 1-2-3 (схема к задаче приведена справа).

Задача №5.3.22 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

(V_1=2) л, (V_2=3) л, (p_1=400) кПа, (p_2=600) кПа, (A-?)

Видео:Расчет площади по координатамСкачать

Решение задачи:

Работа газа (A), совершенная в процессе 1-2-3, равна сумме работ газа в процессах 1-2 и 2-3.

Процесс 1-2 — изобарный, поэтому работу газа (A_ ) в этом процессе следует искать по такой формуле (численно работа равна площади фигуры под графиком процесса, на схеме к решению — заштриховано):

Процесс 2-3 — изохорный, работа газа (A_ ) в этом процессе равна нулю, так как газ не изменяет своего объема (площадь фигуры под графиком этого процесса в координатах p-V также равна нулю).

В итоге формула (1) примет такой вид:

Переведём объемы газа (V_1) и (V_2) в систему СИ:

Видео:Площади 14 1Скачать

Ответ: 400 Дж.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Какую работу совершает газ при переходе из состояния 1 в состояние 3? (Ответ дайте в кДж.)

На диаграмме p—V работе, совершаемой газом при переходе из начального состояния в конечное, соответствует площадь под линией, изображающей процесс перехода.

Для процесса 1—2—3 эта площадь показана на рисунке штриховкой. Таким образом, при переходе из состояния 1 в состояние 3 газ совершает работу

Какую работу совершает газ при переходе из состояния 1 в состояние 3? (Ответ дайте в кДж.)

На диаграмме p—V работе, совершаемой газом при переходе из начального состояния в конечное, соответствует площадь под линией, изображающей процесс перехода. Для процесса 1—2—3 эта площадь показана на рисунке штриховкой. Таким образом, при переходе из состояния 1 в состояние 3 газ совершает работу

Поясните,почему умножение идет 2х10^5 ,когда газ совершает работу от 1 до 2, вроде должно быть 1х10^5,а по ответу получается от 0 до 2.

На участке 1-2 вообще не совершается работа, так как объем газа на этом этапе не изменяется. Вся работа совершается на участке 2-3. Общее правило следующее, если процесс изображен на диаграмме , то работа равна площади под графиком со знаком плюс, если объем увеличивается, и со знаком минус, если уменьшается. Для тепловой машины, работающей по циклу, полезная работа равна площади ограниченной этим циклом, это укладывается в ранее озвученное правило. Когда мы идем по «верхней» части цикла, работа идет в +, потом возвращаемся по «нижней» в исходную точку, работа теперь идет в -, в результате остается только кусок внутри.

Алексей, вот Вы сказали, что «на участке 1-2 вообще не совершается работа, так как объем газа на этом этапе не изменяется.»

а на участке 2-3 ведь не меняется давление.Так почему работа там совершается? Разве не A=pV ?

Не, не так. Давайте разбираться.

Будем выводить формулу, по которой можно посчитать работу совершенную газом. Когда газ работает? Когда он что-то перемешает. Для этого должен как-то меняться его объем. Например, газ расширяется и толкает поршень вверх, а с ним и какой-то груз, вот Вам и работа. То есть без изменения объема нет работы.

Чтобы вывести формулу, рассмотрим модельную задачу. Рассмотрим цилиндрический сосуд с газом. Пусть сосуд закрыт подвижным поршнем площади . Давление газа равно . Определим, какую работу совершит газ, когда поршень сдвинется на малое расстояние . Так как это работа на малом перемещении, то назовем ее элементарной работой и обозначим через . Работа газа равна произведению силы, с которой он давит на поршень, на перемещение поршня (газ давит нормально, поэтому косинуса не возникает): . Но сила, с которой газ давит на поршень связана с давлением газа соотношением: . Если перемещение поршня мало, то можно считать, что давление газа не изменяется сильно и что оно остается постоянным. Тогда: . Но — это как раз изменение объема газа . Окончательно имеем: .

Получив эту формулу, можно забыть о том, как она выводилась (про сосуд и поршень), она оказывается верной для любого малого изменения объема.

Теперь, чтобы найти работу на конечном изменении объема нужно просуммировать работы по малым изменения, в математике это делается при помощи интеграла: Если внимательно приглядеться, то тут можно как раз увидеть площадь под линией процесса на диаграмме . Вот почему говорят, что для поиска работы надо искать площадь под графиком на этой диаграмме.

Для частных случаев формула приобретает вид:

1) при изобарном процессе давление выносится за знак интеграла и получаем:

2) при изохорном объем не изменяется, поэтому пределы интегрирования совпадают, интеграл равен нулю, работа равна нулю.

3) при изотермическом процессе, давление уже изменяется с объемом, поэтому надо добавить в рассмотрение уравнение Клапейрона-Менделеева: . Следовательно, . А значит работа при изотермическом процессе равна:

Видео:Глаза гипножабы и площадь фигур в полярной системе координатСкачать

Задание 27 ЕГЭ по физике

Механика — квантовая физика. Качественная задача

Задание № 27 – это качественная задача. Как правило, в любой качественной задаче рассматривается один или несколько процессов. Решение такой задачи представляет собой доказательство, в котором присутствует несколько логических шагов. И каждый из этих шагов должен быть обоснован известным законом, закономерностью или правилом.

1. Опираясь на законы физики, найдите показание идеального вольтметра в схеме, представленной на рисунке, до замыкания ключа К и опишите изменения его показаний после замыкания ключа К. Первоначально конденсатор не заряжен.

Вольтметр подключен к конденсатору параллельно, поэтому его показания равны напряжению на пластинах конденсатора. До замыкания ключа показания вольтметра равны нулю, так как

После замыкания ключа конденсатор начнет накапливать электрический заряд. При этом ток будет протекать только через резистор сопротивлением R.

Ток через конденсатор не идет, так как пластины конденсатора разделены слоем диэлектрика.

Протекающий в цепи ток можно определить на основе закона Ома для полной цепи Напряжение на резисторе и напряжение на конденсаторе равны, так как они соединены параллельно. Значение напряжения на резисторе можно рассчитать по закону Ома для участка цепи по формуле Таким образом, напряжение на конденсаторе и показания вольтметра будут равны:

В итоге, после замыкания ключа показания вольтметра будут увеличиваться от нуля до максимального значения, равного которое не будет меняться со временем.

Секрет решения. При решении качественной задачи необходимо составить логическую цепочку, показывающую последовательность происходящих физических процессов. Каждый шаг этой цепочки должен быть обоснован физическим законом, закономерностью, правилом или формулой. В приведенном решении выделены следующие шаги: что было в начальный момент времени, что происходило после замыкания ключа. Использованы законы Ома для полной цепи, для участка цепи, при помощи которых выведены формулы для расчета напряжения на резисторе. Приведены закономерности параллельного соединения проводников, позволяющие приравнять Подобного плана описания решения качественной задачи необходимо придерживаться для получения максимального балла по заданию № 27.

2. 1 моль разреженного гелия участвует в циклическом процессе 1–2–3–4–1, график которого изображён на рисунке в координатах V–T, где V – объём газа, Т – абсолютная температура. Постройте график цикла в координатах p–V, где р – давление газа, V – объём газа. Опираясь на законы молекулярной физики и термодинамики, объясните построение графика. Определите, во сколько раз работа газа в процессе 2–3 больше модуля работы внешних сил в процессе 4–1.

Проведем анализ каждого процесса, представленного на графике.

1-2: V=const (изохорный процесс), температура возрастает в 3 раза, соответственно, на основании закона Шарля давление также возрастает в 3 раза.

2-3: p=const (изобарный процесс), температура возрастает в 3 раза, соответственно, на основании закона Гей-Люссака объем также возрастает в 3 раза.

3-4: V=const (изохорный процесс), температура уменьшается в 3 раза, соответственно, на основании закона Шарля давление также уменьшается в 3 раза.

4-1: p=const (изобарный процесс), температура уменьшается в 2 раза, соответственно, на основании закона Гей-Люссака объем также уменьшается в 2 раза.

На основании этих рассуждений построим график зависимости в координатах p-V.

В координатах p-V работу газа можно определить, как площадь под графиком. Рассчитаем площади соответствующих прямоугольников.

Работа газа на участке 2-3 положительная, так как газ расширяется, т.е. увеличивает свой объем.

Рассчитаем работу газа на участке 4-1.

Работа газа на участке 4-1 отрицательная, так как газ сжимается, т.е. уменьшает свой объем. Работа внешних сил равна работе газа, взятой с противоположным знаком.

Модуль работы внешних сил будет определяться, как

Таким образом, искомое отношение

Секрет решения. В подобных задачах самое главное – построение графика в новых координатах. Здесь надо обратить внимание на несколько важных моментов:

Если график по условию представляет собой замкнутый цикл, то этот же график в других координатах также должен быть замкнутым.
Линии графика, проходящие в своем продолжении (пунктирно) через ноль в координатах р-Т или V-Т, являются изохорами или изобарами.
Не всегда понятно, где надо выбирать точку 1. Поэтому начинать построение графика надо на черновике, и после первых двух процессов, станет понятным положение точки 1. При необходимости ее можно переместить влево-вправо, вверх-вниз.

Теоретической основой решения является умение применять первый закон термодинамики к различным изопроцессам. Здесь важна первоначальная формулировка закона и последующие рассуждения о равенстве нулю «Зубрежка» не нужна, требуется понимание:

при Т = const, внутренняя энергия газа не изменяется;

V = const, газ не совершает работы (работа внешних сил также равна нулю);

Q = 0, при адиабатном процессе, когда нет теплообмена с окружающей средой.

Первый закон термодинамике имеет неизменную формулировку только при изобарном процессе или

Кроме того, будем придерживаться следующих обозначений:

— работа газа, А – работа внешних сил. Для того, чтобы не было разночтения по этим обозначениям, их надо прописать при решении задачи.

3. На тонкую собирающую линзу от удалённого источника падает пучок параллельных лучей (см. рисунок). Как изменится положение изображения источника, создаваемого линзой, если между линзой и её фокусом поставить плоскопараллельную стеклянную пластинку с показателем преломления n (на рисунке положение пластинки отмечено пунктиром)?

Ответ поясните, указав, какие физические закономерности Вы использовали. Сделайте рисунок, поясняющий ход лучей до и после установки плоскопараллельной стеклянной пластинки.

1. Вначале изображением источника была точка в задней фокальной плоскости линзы, расположенная ниже главной оптической оси, так как все параллельные лучи линза собирает в одной точке фокальной плоскости. Положение этой точки определяется углом падения лучей на линзу (построение на рис. 1).

2. Плоскопараллельная пластинка не нарушает параллельности лучей, а только смещает падающие лучи параллельно вверх (рис. 2).

3. Так как угол падения лучей на линзу не изменился, то и положение изображения не изменится (построение на рис. 2).

Секрет решения. В этой теме надо научиться строить изображения, получаемые при помощи тонкой линзы. Для этого надо знать ход основных лучей через линзу. Кроме хода стандартных лучей, надо уметь строить преломление произвольного луча, падающего на собирающую или рассеивающую линзу (см. рис.)

Для этого необходимо провести побочную оптическую ось, параллельную падающему лучу. Потом найти точку пересечения этой побочной оптической оси с фокальной плоскостью и затем построить дальнейший ход луча.

Для собирающей линзы фокальную плоскость надо проводить через фокус, расположенный за линзой, для рассеивающей – через фокус, находящийся перед линзой.

Эту задачу можно подкрепить формулой тонкой линзы:

Если световые лучи падают из бесконечности то величина стремится к нулю. Тогда следовательно, Это означает, что изображение предмета будет находиться на фокусном расстоянии от линзы.

Видео:Вычисление площадей плоских фигур в декартовых координатах (часть 3).Скачать

Построение графиков термодинамических процессов

Разделы: Физика

Как известно, простейшие термодинамические системы описываются тремя параметрами: давлением P, объемом V и температурой T. Так как они связаны уравнением Менделеева-Клапейрона, то число независимых параметров уменьшается до двух и равновесные процессы, происходящие с системой, можно изображать графически в плоскостях PV, PT или VT.

Часто по ходу решения задачи необходимо перейти от графиков в одних осях к графикам в других. Подобные переходы являются прекрасными упражнениями, позволяющими глубже понять происходящие в системе процессы.

Если график задан в масштабированных осях с конкретными цифрами, то переход к другим осям не представляет никаких трудностей, так как из уравнения Менделеева-Клапейрона можно найти недостающие координаты для характерных точек графика, после чего легко построить график в любых осях.

Если же численных данных нет, то можно стоить графики из качественных соображений, основываясь на физике процессов. При этом получающиеся графики не вполне согласованы друг с другом: по имеющимся двум графикам со значениями P_i, V_i, T_i для характерных точек невозможно построить правильный третий график, так как получающиеся при этом линии не будут линиями изопроцессов.

Мною разработан геометрический алгоритм построения согласованных графиков, основанный на связи между параметрами системы, вытекающей из уравнения Менделеева-Клапейрона, и графическим изображением изопроцессов. Почти всегда изопроцессы изображаются прямыми линиями, кроме изотермы в осях PV. Поэтому необходимо правильно изображать гиперболу, а вернее, находить точки, принадлежащие одной гиперболе. Я обнаружил, что это легко сделать с помощью линейки.

II. Построение гиперболы с помощью линейки.

Все точки гиперболы первого порядка обладают следующим свойством: площадь любого прямоугольника, одна вершина которого принадлежит гиперболе, вторая – началу координат, а остальные – координатным осям, постоянна. Отсюда следует, что если строить такие равновеликие прямоугольники, то соответствующие вершины будут принадлежать одной гиперболе.

Пусть имеется точка A(x₁, y₁) (рис.1). Нужно найти координату x₂ точки B(x₂, y₂), для которой известна координата y₂ и которая принадлежит той же гиперболе, что и точка A. По условию равновеликости площадей,

Последнее равенство похоже на соотношение сторон в подобных треугольниках: треугольник OA’A» подобен треугольнику OB’B». Отсюда видно, как найти точку B. Надо провести две прямые, параллельные оси абсцисс, через точки с ординатами y₁ и y₂, затем опустить перпендикуляр из точки A на ось абсцисс, а затем провести прямую через точку O и точку A’ — пересечение перпендикуляра и прямой с ординатой y₂. Перпендикуляр из точки B’ (пересечение прямой OA’ и прямой с ординатой y₁) на ось абсцисс и дает координату x₂. Находя подобным образом ряд точек, можем по ним построить гиперболу.

Можно поступить еще проще. Если провести через точку A две прямые (рис.2), параллельные координатным осям, то любая прямая, проходящая через начало координат, отсекает на них координаты точек гиперболы (на 1-й — абсциссы, а на 2-й – ординаты). Если эти прямые проходят в первой четверти, то получается одна ветвь гиперболы, а если во второй – то вторая ветвь гиперболы. В более общем случае прямые 1 и 2 проводятся параллельно абсциссам, а секущие прямые – через центр двух гипербол.

III. Алгоритм построения графиков.

Так как мы рассматриваем в основном графики, соответствующие последовательным изопроцессам, то нам достаточно находить недостающие координаты точек перехода от одного изопроцесса к другому. Если же мы имеем дело не с изопроцессами, то тем более надо уметь находить координаты любой точки.

Введем на осях P, V, T масштаб, то есть выберем произвольные отрезки OP₀, OV₀, OT₀, которые будем считать единичными отрезками. Желательно выбирать их одинаковыми, так как в противном случае при возвращении к исходному графику через два построенных в других осях мы получим искажение. Преобразуем уравнение Менделеева-Клапейрона

Таким образом, мы просто изменили масштаб на оси T.

Рассмотрим процесс нахождения недостающих координат в случаях, когда заданы графики в осях PV, PT или VT. Для каждого случая мы рассмотрим две точки. У первой ордината больше выбранной единицы (точка A), у второй – меньше (т. A’ )

Оси PV (рис. 3а), PT (рис. 3б) и VT (рис. 3в).

Пусть имеются точки A и A’ в плоскости PV. Необходимо найти для них координаты T’. Из уравнения (2) следует, что значение T’ геометрически равно значению объема при P = P₀ = 1. Поэтому надо провести изотермы через A и A’ до пересечения с прямой P = P₀. Тогда абсциссы этих точек дадут геометрические значения T’_A и T’_A’ . Для точки A построение описано выше.

Для точки A’ построение ведется в обратном порядке по сравнению с A, так как P_A’ P₀. Проводим прямые, параллельные осям, через точку A’. Проводим линию через начало координат и пересечение вертикали из точки A’ с линией P = P₀. Через точку пересечения этой линии с горизонталью из точки A’ проводим вертикаль, пересечение которой с осью 0V даёт значение V_B’ , геометрически равное T_A’ в выбранном нами масштабе.

Из уравнения (2) следует, что V = T’/P. При P = P₀ = 1 получаем, что геометрически V = T’. Проведем через A и A’ изохоры. Тогда абсциссы точек пересечения их с прямой P = P₀ дадут нам геометрическое значение объема.

Из уравнения (2) следует, что P = T’/V. Поэтому, построение в осях VT проводится аналогично, только теперь надо проводить изобары через точки A и A’ и пересечение искать с прямой V = V₀.

Как видно, для нахождения недостающей координаты надо через интересующую нас точку провести линию того изопроцесса, чей неизменный параметр отсутствует на осях графика, до пересечения с прямой P = P₀ или V = V₀. Тогда вторая координата точки пересечения даст нам геометрическое значение искомой координаты.

Выбор P₀, V₀ и T₀ влияет на величину получающихся графиков. Из рис. 3а видно, что если P_A > P₀, то геометрическое значение T_A больше геометрического значения V_A, то есть графики в осях PT и VT получатся более растянутыми. Если P_A P₀ (V_A > V₀), то геометрическое значение V_A (P_A) получится меньше геометрического значения T_A, то есть график в осях PV получается сжатым по оси V (P). Если же P_A 26.11.2003