площадь усеченной правильной пирамиды равна (6 видео)

Содержание

Геометрические фигуры. Усеченная пирамида.
Свойства усеченной пирамиды.
Формулы для усеченной пирамиды.
Сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию.
Калькулятор онлайн расчета площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды трапеции с отображением формулы и подробным решением.
Площадь боковой поверхности и объем усеченной пирамиды: формулы и пример решения типовой задачи
Пирамида в геометрии
Что это за фигура — усеченная пирамида?
Формула объема усеченной пирамиды
Как определить площадь боковой поверхности?
Задача на вычисление объема и площади фигуры
💡 Видео

Видео:КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПИРАМИДЫ?Скачать

Геометрические фигуры. Усеченная пирамида.

Усеченной пирамидой является многогранник, заключенный меж основанием пирамиды и секущей плоскостью, которая параллельна ее основанию.

Или другими словами: усеченная пирамида — это такой многогранник, который образован пирамидой и ее сечением, параллельным основанию.

Сечение, которое параллельно основанию пирамиды делит пирамиду на 2 части. Часть пирамиды меж ее основанием и сечением — это усеченная пирамида.

Это сечение для усеченной пирамиды оказывается 1-ним из оснований этой пирамиды.

Расстояние меж основаниями усеченной пирамиды является высотой усеченной пирамиды.

Усеченная пирамида будет правильной, когда пирамида, из которой она была получена, тоже была правильной.

Высота трапеции боковой грани правильной усеченной пирамиды является апофемой правильной усеченной пирамиды.

Видео:Усеченная пирамида. 11 класс.Скачать

Свойства усеченной пирамиды.

1. Каждая боковая грань правильной усеченной пирамиды является равнобокими трапециями одной величины.

2. Основания усеченной пирамиды являются подобными многоугольниками.

3. Боковые ребра правильной усеченной пирамиды имеют равную величину и один наклонен по отношению к основанию пирамиды.

4. Боковые грани усеченной пирамиды являются трапециями.

5. Двугранные углы при боковых ребрах правильной усеченной пирамиды имеют равную величину.

Видео:10 класс, 33 урок, Правильная пирамидаСкачать

Формулы для усеченной пирамиды.

Для произвольной пирамиды:

Объем усеченной пирамиды равен 1/3 произведения высоты h (OS) на сумму площадей верхнего основания S₁ (abcde), нижнего основания усеченной пирамиды S₂ (ABCDE) и средней пропорциональной между ними.

h — высота усеченной пирамиды.

Площадь боковой поверхности равняется сумме площадей боковых граней усеченной пирамиды.

Для правильной усеченной пирамиды:

Правильная усеченная пирамида — многогранник, который образован правильной пирамидой и ее сечением, которое параллельно основанию.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна ½ произведения суммы периметров ее оснований и апофемы.

φ — двугранный угол у основания пирамиды.

CH является высотой усеченной пирамиды, P₁ и P₂ — периметрами оснований, S₁ и S₂ — площадями оснований, S_бок — площадью боковой поверхности, S_полн — площадью полной поверхности:

Видео:Геометрия 10 класс. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамидыСкачать

Сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию.

Сечение пирамиды плоскостью, которое параллельно ее основанию (перпендикулярной высоте) разделяет высоту и боковые ребра пирамиды на пропорциональные отрезки.

Сечение пирамиды плоскостью, которое параллельно ее основанию (перпендикулярной высоте) – это многоугольник, который подобен основанию пирамиды, при этом коэффициент подобия этих многоугольников соответствует отношению их расстояний от вершины пирамиды.

Площади сечений, которые параллельны основанию пирамиды, относятся как квадраты их расстояний от вершины пирамиды.

Видео:Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 16, а боковые рёбра равны 10. РЕШЕНИЕ!Скачать

Калькулятор онлайн расчета площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды трапеции с отображением формулы и подробным решением.

Калькулятора онлайн рассчитывает площадь боковой и полной поверхности правильной усеченной пирамиды и выводит формулы с подробным решением.

Использование онлайн калькулятора позволяет рассчитать площадь боковой S_side и полной S_full поверхности правильной треугольной пирамиды: боковая поверхность правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

расчет площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды

Исходные данные:		Решение:
Апофема пирамиды (опущенный перпендикуляр из ребра верхнего основания на ребро нижнего основания)	L =
Периметр верхнего основания пирамиды	p =
Периметр нижнего основания пирамиды	P =

II. Для справки:

1. Пирамида — это многогранник, у которого одна грань — основание пирамиды — произвольный многоугольник, а остальные — боковые грани — треугольники с общей вершиной, называемой вершиной пирамиды. Перпендикуляр опущенный из вершины пирамиды на ее основание, называется высотой пирамиды. Пирамида называется треугольной, четырехугольной, и т.д., если основанием пирамиды является треугольник, четырехугольник и т.д. Треугольная пирамида есть четырехгранник — тетраэдр. Четырехугольная — пятигранник и т.д.

2. Усеченная пирамида — часть пирамиды между ее основанием и этим сечением. Сечение параллельное основанию пирамиды делит пирамиду на две части. Это сечение для усеченной пирамиды является одним из её оснований. Расстояние между основаниями усеченной пирамиды называется высотой усеченной пирамиды. Усеченная пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена, была правильной. Все боковые грани правильной усеченной пирамиды — это равные равнобокие трапеции. Высота трапеции боковой грани правильной усеченной пирамиды называется — апофема правильной усеченной пирамиды.

3. Правильная усеченная пирамида — это многогранник, у которого одна грань — основание пирамиды — правильный многоугольник, а остальные — боковые грани — равные треугольники с общей вершиной. Высота опускается в центр основания из вершины.

4. Площадь геометрической фигуры — численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.

5. Площадь поверхности — аддитивная числовая характеристика поверхности.

Видео:Усеченная пирамидаСкачать

Площадь боковой поверхности и объем усеченной пирамиды: формулы и пример решения типовой задачи

При изучении свойств фигур в трехмерном пространстве в рамках стереометрии часто приходится решать задачи на определение объема и площади поверхности. В данной статье покажем, как для усеченной пирамиды объем и площадь боковой поверхности вычислить, используя известные формулы.

Видео:Правильная пирамида № 258Скачать

Пирамида в геометрии

В геометрии обычной пирамидой называют фигуру в пространстве, которая построена на некотором плоском n-угольнике. Все вершины его соединены с одной точкой, расположенной вне плоскости многоугольника. Для примера приведем фото, где изображена пятиугольная пирамида.

Вам будет интересно: Вывод формулы площади конуса. Пример решения задачи

Эта фигура образована гранями, вершинами и ребрами. Пятиугольная грань называется основанием. Остальные треугольные грани образуют боковую поверхность. Точка пересечения всех треугольников — это главная вершина пирамиды. Если из нее опустить перпендикуляр на основание, то возможны два варианта положения точки пересечения:

в геометрическом центре, тогда пирамида называется прямой;
не в геометрическом центре, тогда фигура будет наклонной.

Далее будем рассматривать только прямые фигуры с правильным n-угольным основанием.

Видео:10 класс, 34 урок, Усеченная пирамидаСкачать

Что это за фигура — усеченная пирамида?

Чтобы определить объем усеченной пирамиды, необходимо четко понимать, о какой фигуре конкретно идет речь. Внесем ясность в этот вопрос.

Предположим, что мы взяли секущую плоскость, которая параллельна основанию обычной пирамиды, и отсекли с помощью нее часть боковой поверхности. Если эту операцию проделать с изображенной выше пятиугольной пирамидой, то получится такая фигура, как на рисунке ниже.

Из фото видно, что эта пирамида имеет уже два основания, причем верхнее является подобным нижнему, но по размерам оно меньше. Боковая поверхность представлена уже не треугольниками, а трапециями. Они являются равнобедренными, а их число соответствует количеству сторон основания. Усеченная фигура не имеет главной вершины, как обычная пирамида, а ее высота определяется расстоянием между параллельными основаниями.

В общем случае, если рассматриваемая фигура образована n-угольными основаниями, она имеет n+2 грани, или стороны, 2*n вершин и 3*n ребер. То есть усеченная пирамида является многогранником.

Видео:🙂 Площадь поверхности правильной пирамидыСкачать

Формула объема усеченной пирамиды

Напомним, что объем обычной пирамиды равен 1/3 произведения ее высоты и площади основания. Для усеченной пирамиды эта формула не подходит, поскольку она имеет два основания. А ее объем будет всегда меньше, чем аналогичная величина для обычной фигуры, из которой она получена.

Не вдаваясь в математические подробности получения выражения, приведем конечную формулу для объема усеченной пирамиды . Она записывается в следующем виде:

V = 1/3*h*(S1 + S2 + √(S1*S2))

Здесь S1 и S2 — площади нижнего и верхнего оснований соответственно, h — высота фигуры. Записанное выражение является справедливым не только для прямой правильной усеченной пирамиды, но и для любой фигуры данного класса. Причем независимо от вида многоугольников основания. Единственным условием, ограничивающим применение выражения для V, является необходимость параллельности друг другу оснований пирамиды.

Несколько важных выводов можно сделать, изучая свойства этой формулы. Так, если площадь верхнего основания равна нулю, тогда мы приходим к формуле для V обычной пирамиды. Если же площади оснований равны друг другу, то получаем формулу для объема призмы.

Видео:№269. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 4 дм и 2 дм, а боковое реброСкачать

Как определить площадь боковой поверхности?

Знание характеристик усеченной пирамиды предполагает не только умение рассчитывать ее объем, но и знать, как определять площадь боковой поверхности.

Пирамида усеченная состоит из двух типов граней:

равнобедренные трапеции;
многоугольные основания.

Если в основаниях находится правильный многоугольник, то расчет его площади не представляет больших трудностей. Для этого нужно знать лишь длину стороны a и их количество n.

В случае с боковой поверхностью расчет ее площади предполагает определение этой величины для каждой из n трапеций. Если n-угольник является правильным, то формула для площади боковой поверхности принимает вид:

Здесь hb — высота трапеции, которая называется апотемой фигуры. Величины a1 и a2 — это длины сторон правильных n-угольных оснований.

Для каждой правильной n-угольной усеченной пирамиды можно однозначно определить апотему hb через параметры a1 и a2 и высоту h фигуры.

Видео:Математика, 12-й класс, Площадь поверхности усеченной пирамидыСкачать

Задача на вычисление объема и площади фигуры

Дана правильная треугольная усеченная пирамида. Известно, что ее высота h равна 10 см, а длины сторон оснований равны 5 см и 3 см. Чему равны объем усеченной пирамиды и площадь ее боковой поверхности?

Сначала вычислим величину V. Для этого следует найти площади равносторонних треугольников, находящихся в основаниях фигуры. Имеем:

S1 = √3/4*a12 = √3/4*52 = 10,825 см2;

S2 = √3/4*a22 = √3/4*32 = 3,897 см2

Подставляем данные в формулу для V, получаем искомый объем:

V = 1/3*10*(10,825 + 3,897 + √(10,825 *3,897 )) ≈ 70,72 см3

Чтобы определить боковую поверхность, следует знать длину апотемы hb. Рассматривая соответствующий прямоугольный треугольник внутри пирамиды, можно для него записать равенство:

hb = √((√3/6*(a1 — a2))2 + h2) ≈ 10,017 см

Значение апотемы и сторон треугольных оснований подставляем в выражение для Sb и получаем ответ:

Sb = hb*n*(a1+a2)/2 = 10,017*3*(5+3)/2 ≈ 120,2 см2

Таким образом, мы ответили на все вопросы задачи: V ≈ 70,72 см3, Sb ≈ 120,2 см2.