площадь треугольника равна половине произведения

Площадь плоской фигуры — аддитивная числовая характеристика фигуры, полностью принадлежащей

одной плоскости. Если фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, то площадь

будет равна числу этих квадратов.

Треугольник образуется соединением отрезками трех точек, не лежащих на одной прямой. Точки

называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами.

Воспользуйтесь нашим калькулятором для расчета площади треугольника.

Для расчета площади других фигур воспользуйтесь этим калькулятором: площади фигур.

Ниже приведены основные формулы, по которым можно найти площадь треугольника:

1. Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину

проведенной к этой стороне высоты.

2. Формула площади треугольника по трем сторонам. Формула Герона.

3. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними.

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон, умноженного на синус угла между

4. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности.

5. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности. Площадь

треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

a, b, c — длины сторон треугольника,

где S — площадь треугольника,

h — высота треугольника,

γ — угол между сторонами a и b,

Площадь треугольника равна половине произведения

Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к основанию.

Следствие. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Следствие. Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

Теорема. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Площадь треугольника равна половине произведения его периметра Р на радиус r вписанной в него окружности:

Площадь треугольника равна произведению длин его сторон, деленному на учетверенный радиус R описанной около него окружности:

Формула Герона: если a, b, c — длины сторон треугольника, а p — его полупериметр, то площадь треугольника:

Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных

Зависит от того, какой треугольник.

Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.

Если треугольник прямоугольный

То есть один из его углов равен 90 градусам.

Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.

Если он равнобедренный

То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.

Если он равносторонний

То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:

1. Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
2. Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
3. Поделите все на 4.

Если известна сторона и высота

Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.

Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.

Если известны две стороны и градус угла между ними

Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:

Если известны длины трех сторон

1. Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
2. Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
3. Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
4. Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
5. Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
6. Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
7. Найдите квадратный корень.

Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.

Если известны три стороны и радиус описанной окружности

Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.

Если известны три стороны и радиус вписанной окружности

Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.

Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.

Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.