площадь треугольника отсеченного средней линией

Видео:Площадь треугольника ABC равна 24, DE - средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь треуСкачать

Площадь треугольника ABC равна 24, DE - средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь треу

Please wait.

Видео:Задание 3 ЕГЭ по математике. Урок 41Скачать

Задание 3 ЕГЭ по математике. Урок 41

We are checking your browser. mathvox.ru

Видео:Средняя линия треугольникаСкачать

Средняя линия треугольника

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

Видео:площадь треугольника abc равна de средняя линияСкачать

площадь треугольника abc равна de средняя линия

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6db4775eac551672 • Your IP : 85.95.188.35 • Performance & security by Cloudflare

Видео:Площадь треугольника, отмеченного средней линией #геометрияегэ #математикапрофильСкачать

Площадь треугольника, отмеченного средней линией #геометрияегэ #математикапрофиль

Средняя линия треугольника и его площадь

Выясним, как связаны средняя линия треугольника и его площадь.

площадь треугольника отсеченного средней линиейI. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этой стороне:

площадь треугольника отсеченного средней линией

Поскольку средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, равна половине третьей стороны:

площадь треугольника отсеченного средней линией

то можно найти площадь треугольника через его среднюю линию:

площадь треугольника отсеченного средней линией

Площадь треугольника равна произведению средней линии и высоты, перпендикулярной этой средней линии.

II.Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от него подобный треугольник.

площадь треугольника отсеченного средней линиейЕсли MN- средняя линия треугольника ABC и MN параллельна AC, то треугольники ABC и MBN подобны.

площадь треугольника отсеченного средней линией

площадь треугольника отсеченного средней линией

Так как площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответствующих сторон, то

площадь треугольника отсеченного средней линией

площадь треугольника отсеченного средней линией

Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого равна четверти площади исходного треугольника.

Например, если площадь треугольника ABC равна 40 см², то средняя линия MN, параллельная стороне AC, делит его площадь на части:

площадь треугольника отсеченного средней линией

Площадь трапеции AMNC составляет три четверти площади треугольника ABC

площадь треугольника отсеченного средней линией

или может быть найденакак разность площадей треугольников ABC и MBC.

Видео:Площадь треугольника ABC равна 36. DE – средняя линия, параллельная стороне AB.Скачать

Площадь треугольника ABC равна 36. DE – средняя линия, параллельная стороне AB.

Средняя линия треугольника — свойства, признаки и формулы

Одним из важных понятий, с помощью которого легко решается целый класс задач по геометрии, является средняя линия треугольника.

Разберём данное понятие, рассмотрим свойства, и научимся правильно решать задачи на эту тему.

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

Определение и признаки средней линии треугольника

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется его средней линией.

площадь треугольника отсеченного средней линией

Отрезок, у которого один из концов совпадает с серединой одной из сторон, другой находится на второй стороне, проведённый параллельно третьей стороне, является средней линией треугольника.

Доказательство следует из теоремы Фалеса.

площадь треугольника отсеченного средней линией

Видео:Средняя линия. Теорема о средней линии треугольникаСкачать

Средняя линия. Теорема о средней линии треугольника

Теорема о средней линии треугольника

Средняя линия треугольника параллельна основанию (третьей стороне) и равна её половине.

Существует три вида доказательств этого положения. Каждое из них базируется на одной из ключевых позиций планиметрии.

Пусть дан треугольник ABC, M – середина стороны AB, N – середина BC.

По определению, MN – средняя линия ΔABC.

площадь треугольника отсеченного средней линией

Необходимо доказать, что MN II AC, MN = ½AC.

Доказательства

Пусть прямая MK II AC. Тогда по теореме Фалеса MK пересекает сторону BC в её середине. В этом случае отрезок MN лежит на прямой MK.

Следовательно, MN II AC.

площадь треугольника отсеченного средней линией

Тогда NP – средняя линия по теореме Фалеса, то есть AP = PC.

Так как AMNP – параллелограмм по определению, то AP = MN. Из этого и предыдущего утверждения следует, что длина MN равна ½AC.

Рассматриваются треугольники MBN и ABC. В них угол B является общим,

площадь треугольника отсеченного средней линией

По второму признаку подобия треугольников ΔMBN ∼ ΔABC. Следовательно, углы BMN и BAC равны.

Поскольку эти углы являются соответственными, то прямые MN и AC параллельны.

Формула MN = ½AC следует из условий

площадь треугольника отсеченного средней линией

поскольку пропорциональность двух пар сторон влечёт соответствующее отношение для третьей пары сторон.

Рассматривается сумма векторов

площадь треугольника отсеченного средней линией

Поскольку в результате образуется замкнутая ломаная, то

площадь треугольника отсеченного средней линией

Отсюда следует, что

площадь треугольника отсеченного средней линией

площадь треугольника отсеченного средней линией

площадь треугольника отсеченного средней линией

площадь треугольника отсеченного средней линией

Из последнего равенства следуют условия теоремы.

Видео:МАТЕМАТИКА | Средняя линия треугольникаСкачать

МАТЕМАТИКА | Средняя линия треугольника

Следствия из теоремы с доказательствами

Следствие №1

Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, с коэффициентом подобия ½ и площадью, составляющий ¼ площади заданного треугольника.

площадь треугольника отсеченного средней линией

По определению стороны AB и BC делятся пополам, поэтому

площадь треугольника отсеченного средней линией

площадь треугольника отсеченного средней линией

Из третьего признака подобия вытекает рассматриваемое свойство.

Поскольку площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, то получается вторая часть свойства, то есть площадь маленького треугольника относится к площади большого как

площадь треугольника отсеченного средней линией

Следствие №2

площадь треугольника отсеченного средней линией

Поскольку MN – средняя линия, то MN II AC, поэтому ∠BMN = ∠BAP, ∠BNM = ∠BCA как соответственные при MN II AC и секущей AB или BC соответственно.

Поскольку MP – средняя линия, то MP II BC, поэтому ∠MPA = ∠BCA как соответственные при MP II BC и секущей AC.

Таким образом: ∠BNM = ∠BCA = ∠MPA.

Так как MN – средняя линия, то сторона MN = ½AC, поэтому MN = AP.

Следовательно, ΔAMP = ΔMBN по второму признаку равенства треугольников.

Равенство остальных пар треугольников доказывается аналогично.

По основному свойству ΔMBN ∼ ΔABC с коэффициентом подобия ½. Так как все полученные маленькие треугольники равны между собой, то каждый из них, следовательно, подобен большому с тем же коэффициентом.

Видео:Найди длину средней линии | Подготовка к ОГЭСкачать

Найди длину средней линии | Подготовка к ОГЭ

Свойства средней линии треугольника

Теорема и следствия из неё составляют основные свойства средней линии треугольника.

площадь треугольника отсеченного средней линией

Согласно второму утверждению, вид большого треугольника такой же, как и у маленьких. То есть для равностороннего и равнобедренного треугольников средние линии отсекают равносторонние и равнобедренные треугольники.

Высоты тупоугольного треугольника, проведённые к тупому углу из вершин острых, располагаются вне треугольника. Поэтому часто рассматривают не саму среднюю линию, а её продолжение. Учитывая подобие получаемых фигур, можно утверждать, что точкой пересечения с продолжением средней линии высота делится на две равные части.

Биссектриса угла треугольника точкой пересечения со средней линией также делится пополам.

Видео:Задание 5 | Математика ЕГЭ 2021 | Стереометрия | Онлайн курс по математикеСкачать

Задание 5 | Математика ЕГЭ 2021 | Стереометрия |  Онлайн курс по математике

Средняя линия прямоугольного треугольника

Для прямоугольного треугольника две средние линии перпендикулярны катетам, а третья равна медиане, проведённой к гипотенузе.

площадь треугольника отсеченного средней линией

Остроугольный разносторонний треугольник не имеет средних линий, обладающих подобными характеристиками.

Видео:Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.Скачать

Средняя линия треугольника и трапеции. 8 класс.

Пример решения задачи

площадь треугольника отсеченного средней линией

Доказать, что середины сторон произвольного выпуклого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Проводя диагональ четырёхугольника, получают разбиение на два треугольника, в каждом из которых построена средняя линия, параллельная по основной теореме диагонали, как основанию.

Так как две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой, то противолежащие стороны образованного средними линиями четырёхугольника параллельны.

Аналогично доказывается параллельность двух других сторон нового четырёхугольника. По определению четырёхугольник, полученный соединением середин сторон заданного четырёхугольника, является параллелограммом.

📸 Видео

В треугольнике ABC DE – средняя линия ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 12 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

В треугольнике ABC DE – средняя линия ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 12 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Площади треугольникаСкачать

Площади треугольника

Теорема о средней линии треугольникаСкачать

Теорема о средней линии треугольника

Стереометрия, номер 18.1Скачать

Стереометрия, номер 18.1

Найдите площадь треугольника на рисунке ★ Два способа решенияСкачать

Найдите площадь треугольника на рисунке ★ Два способа решения

👉 ФОРМУЛА ГЕРОНА. Площадь треугольника #shortsСкачать

👉 ФОРМУЛА ГЕРОНА. Площадь треугольника #shorts

ОГЭ Задание 18 Средняя линия треугольникаСкачать

ОГЭ Задание 18 Средняя линия треугольника

64. Средняя линия треугольникаСкачать

64. Средняя линия треугольника
Поделиться или сохранить к себе: