площадь треугольника конспект кратко

Видео:Как найти площадь треугольника? #треугольник #математика #егэ #shorts #подготовкакегэ #огэ #площадьСкачать

Площадь треугольника конспект кратко

Треугольники: равные, равнобедренные. Первый, второй и третий признаки равенства треугольников. Перпендикуляр, высота, медиана, биссектриса, основание, вершина, боковая сторона. Свойства и признаки равнобедренного треугольника. Серединный перпендикуляр, геометрическое место точек, первая замечательная точка. Подробные доказательства теорем.

Наглядная геометрия 7 класс. Опорный конспект № 2 «Треугольники».

Треугольник — одна из самых замечательных и самых важных фигур в геометрии. Все знают, как он выглядит. Но что же такое треугольник? Допустим, что треугольник — это замкнутая ломаная из трех звеньев. Можно представить себе треугольник, сделанный из проволоки. Но известно, что у него есть площадь. Поэтому треугольник — это трехзвенная замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, которую она ограничивает. Представьте себе треугольник, сделанный из фанеры или вырезанный из картона.

Очень важным моментом при решении геометрических задач является нахождение равных треугольников. Очевидно, что если у двух треугольников все стороны и углы окажутся соответственно равными, то и треугольники будут равны. На практике равные треугольники определяют, прикладывая их друг к другу. Если треугольники совпадут при наложении, значит, они равны. Этот способ и позволяет дать определение равных треугольников.

Но вот, допустим, у каждого из двух треугольников есть две стороны, которые равны 5 см и 6 см, и какой-то из углов равен 50°. Можно ли утверждать, что треугольники равны? Оказывается, нет. На рисунке вы видите два треугольника с указанными размерами. Они не равны.

При каких же минимальных условиях треугольники будут равны? Существуют по крайней мере три признака равенства треугольников, когда по равенству некоторых сторон и углов можно абсолютно точно сказать, что они равны. Например, если бы угол 50° был образован сторонами длиной 5 см и 6 см, то треугольники были бы равны между собой.

Опорный конспект «Треугольники»

Треугольник — это трехзвенная замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, которую она ограничивает. Сумма длин всех трех сторон треугольника называется периметром. Треугольники называются равными, если совпадают при наложении. Если равные треугольники наложить так, что они совпадут, то окажется, что в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов лежат равные стороны.

Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Действительно, если наложить треугольники друг на друга равными углами, то совпадут и равные стороны. Значит, совпадут и оставшиеся две вершины.

Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если наложить треугольники друг на друга равными сторонами, то совпадут углы, прилежащие к этим сторонам. Значит, совпадут и третьи вершины.

Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную прямую, называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, проходящей через данную точку, с концами в данной точке и в точке пересечения с данной прямой. Точка пересечения называется основанием перпендикуляра.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или ее продолжение.

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, заключенный между вершиной и точкой пересечения биссектрисы угла и стороны треугольника.

Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Равные стороны называются боковыми сторонами, третья сторона — основанием, вершина напротив этой стороны — вершиной равнобедренного треугольника. Причем названия «основание», «боковые стороны» и «вершина» равнобедренного треугольника сохраняются, как бы треугольник ни был расположен.

Свойства равнобедренного треугольника. 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. 2. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины к основанию, является высотой и медианой.

Признак равнобедренного треугольника (по двум углам). Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Есть еще три признака равнобедренного треугольника. Треугольник является равнобедренным, если:

• высота треугольника является и медианой;
• высота треугольника является и биссектрисой;
• медиана треугольника является и биссектрисой (доказывается продлением медианы на ее длину).

Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину.

Свойство точек серединного перпендикуляра. Любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка. Если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Геометрическое место точек (ГМТ) — это множество всех точек плоскости, обладающих общим свойством. Например, все точки серединного перпендикуляра равноудалены от концов отрезка, и все точки плоскости, равноудаленные от концов отрезка, лежат на серединном перпендикуляре.

Первая замечательная точка. Все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке — центре описанной окружности.

Видео:9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать

Конспект урока по математике на тему «Площадь треугольника» (8 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Тема и номер урока в теме

Площадь треугольника, №1

Геометрия 7-9: Учеб. Для общеобразов. учреждений / Л.С. Атанасян,

В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев Э.Г. и др. – 14-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 384 с.

Цель урока : вывести формулу площади прямоугольного и произвольного треугольника; научиться применять ее для решения практических и теоретических задач.

— обучающие: на основе ранее изученных формул площади прямоугольника и параллелограмма вывести формулы площадей треугольника; совершенствовать навыки решения задач на применение формул вычисления площадей многоугольников.

— развивающие: развивать познавательный интерес, ассоциативное мышление, умение анализировать ситуацию; развивать исследовательскую культуру обучающихся; содействовать развитию умения использовать научные методы познания: наблюдение – гипотеза – доказательство; развивать умение находить в различных источниках необходимую информацию и представлять ее в понятной форме.

— воспитательные: воспитывать общекультурную и коммуникативную компетентность.

Тип урока: урок-исследование, изучение нового материала.

Формы работы учащихся: индивидуальная, работа в парах, фронтальная.

Оборудование: 4 чертежных треугольника для работы у доски, проектор, интерактивная доска, раздаточный материал: листы с заданиями для закрепления изученного материала, самостоятельной работы и домашней работы.

Здравствуйте, ребята, уважаемые гости.

Сегодня у нас необычный урок. Мы попытаемся объединить теорию с практикой. И вы убедитесь, что геометрия не «сухая» наука, а знания, полученные на уроках геометрии, пригодятся в повседневной жизни.

Актуализация опорных знаний

Повторим основные понятия, для этого решим кроссворд. (слайд 1)

Четырехугольник, которого две стороны параллельны, а две другие – нет. (трапеция)

Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – … (прямоугольник)

В каком четырехугольнике диагонали перпендикулярны? (ромб)

Если в четырехугольнике противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — … (параллелограмм)

Какая геометрическая фигура обладает свойствами прямоугольника и ромба? (квадрат)

Какая геометрическая фигура получится в результате следующего построения: отметим какие-нибудь три точки, не лежащие на одной прямой, и соединим их отрезками? (треугольник)

Что называется площадью?

Нам известны формулы площадей некоторых фигур, давайте вспомним их. Задание. (слайд 2) Найти соответствие: соединить стрелочками название многоугольника, формулу площади с изображением фигуры (прямоугольник, квадрат, параллелограмм, ромб).

На доске изображены многоугольники. (слайд 3)

Задание. Найти площади изображенных многоугольников.

Чтобы узнать площадь, надо – что измерить? (Стороны)

Площади каких из этих многоугольников вы можете узнать сейчас? (Всех, 1,2,6 или 1,2,3,4 и т.д.)

Как можно найти площади фигур 1, 2? (Измерив длины их сторон, по формуле площадей прямоугольника и квадрата)

А площадь фигур 3 и 4? (Используя 2 свойство площадей: разбить на несколько простых фигур)

Площадь фигуры 6? (Измерив высоту и сторону, по формуле площади параллелограмма)

Чтобы узнать площадь фигуры 5 мы тоже могли бы воспользоваться свойством площадей, т.е. разбить фигуру на более простые фигуры, площади которых мы можем измерять. А можно ли данную фигуру разбить на прямоугольники? на квадраты? (Нет)

На какие фигуры можно разбить любой многоугольник? (Треугольники)

Если бы мы смогли найти способ измерения площади треугольника, то мы бы нашли способ измерения площади любого многоугольник.

Итак, кто может сформулировать тему нашего урока? (Площадь треугольника)

Открываем тетради, записываем дату и тему урока. (Учитель записывает на доске)

Какие виды треугольников «по углам» вы знаете? (Остроугольный, тупоугольный, прямоугольный)

А каковы задачи нашего урока? (Вывести формулу для вычисления площади треугольника и научиться применять ее на практике)

На слайде 4 высветить задачи урока.

Чтобы дать ответы на эти вопросы, проведем небольшое исследование.

Любое исследование начинается с обобщения уже имеющихся знаний. Давайте вспомним, что мы знаем о треугольниках. (Несколько фактов ребята предлагают сами, затем учитель задает наводящие вопросы)

Вспомним, что называется высотой треугольника (высота — это перпендикуляр, проведенный…).

На доске изображены треугольники:

В каждом треугольнике необходимо опустить высоту из вершины А на прямую, содержащую сторону ВС. (Вызвать 4 учеников к доске)

Сторона ВС треугольника АВС называется основанием.

Вспомним, по какой формуле вычисляется площадь прямоугольника (необходим ответ, в котором прозвучали бы «смежные стороны») , параллелограмма.

У вас на партах план исследования. Работаете в парах.

Выполняя задания в соответствии с этим планом, все промежуточные действия и конечные выводы вы записываете в тетради.

Конечная цель : формула площади прямоугольного треугольника.

1. Изобразить прямоугольник АВСD. Провести диагональ АС.

2. Сравнить треугольники АВС и ACD. Сравнить их площади.

3. На основе полученного вывода, 2 свойства площадей и формулы для площади прямоугольника получить формулу площади прямоугольного треугольника.

Конечная цель : выявить зависимость между высотой, основанием и площадью остроугольного треугольника.

1. Изобразить произвольный остроугольный треугольник.

2. Опустить высоту.

3. Используя вывод I этапа, получить формулу площади треугольника, в которой будут присутствовать высота и основание треугольника.

Конечная цель : проверить, является ли полученная формула верной для тупоугольного треугольника, т.е. в том случае, когда высота треугольника не принадлежит его внутренней области.

Ход исследования составить самостоятельно.

Вызывать 1 ученика к доске: записать полученный результат. (слайд 5)

Итак, для того, чтобы узнать площадь треугольника, надо знать его высоту и основание.

Задание. Найдите площади фигур, изображенных на рисунке (слайд 6), применив полученные на уроке знания (площадь клетки считать равной 1ед 2 ) :

№ 4 №5, 6 (сначала сами, затем вместе)

На это задание отводится 5 мин. (Проверка с помощью интерактивной доски, слайд 6 по щелчку)

Ребята, задачи, которые вы сейчас решали, были взяты из экзаменационных материалов 11 класса.

А где треугольники встречаются в жизни? Об этом нам расскажет Карпович Марина.

Чаще всего с геометрией человек встречается в строительстве: например, треугольники можно увидеть в загадочных и величественных пирамидах в Египте. Или в цветочной композиции. (слайд 7,8)

Измерение площадей — одна из самых ранних задач, поставленных жизнью. Египтяне еще 4000 лет назад умели определять площади. Узкая полоса земли между Нилом и пустыней была плодородна. С каждой единицы площади люди платили налог. Ежегодно эта полоса земли затоплялась Нилом. После спада воды надо было восстанавливать границы. Эта необходимость и заставляла заниматься египтян геометрией, как наукой об измерении земли. (слайд 9)

По этой причине 1 из чудес света находится в Египте — пирамида Хеопса, ее основания составляет 9 футбольных полей. А знаменитые небоскребы в Чикаго имели площадь, равную 57 футбольным полям. (слайд 10)

Русский инженер-изобретатель, строитель, архитектор Шухов Владимир Григорьевич (1853-1939) изобрёл нефтепровод, крекинг, стальные сетчатые перекрытия зданий и оболочки (хай-тек), ажурные башни, гиперболоидные конструкции. (слайд 11)

По идее Шухова была сооружена оригинальная по конструкции и методу монтажа многоярусная радиобашня на Шаболовке.

По его планам строились мосты Средне-Сибирской железной дороги. В период промышленного подъема в начале 20 в. Шухов проектировал доменные, мартеновские и прокатные цехи металлургических заводов.

В годы первой мировой войны Шухов изобрел конструкции нескольких серий плавучих мин, ворота для сухих доков (батопорты), конструкции платформ под тяжелые артиллерийские орудия.

Идеи Шухова в наше время: мосты, крыша ГУМа в Москве, высотная башня в Токио, Эйфелева башня в Париже. Поэтому в строительстве без знания геометрии не обойтись.

Гимнастика для глаз – 2 мин. (на доске) пустой слайд!

Часто знает и дошкольник,

Что такое треугольник.

А уж вам-то, как не знать!

Но совсем другое дело —

Очень быстро и умело

Его площадь подсчитать.

А сейчас проверим, как вы поняли тему урока.

Работа по готовому чертежу, в тетрадь записать краткое решение, на листочек выписать только ответы.

Задание. Найти площадь треугольника. Взаимопроверка. (Слайд 13)

Задача о малярах. Маляры должны покрасить фронтон дома в форме треугольника с высотой 5 м и основанием 7 м. Сколько банок краски им понадобится, если на 1 банке написано «площадь 8 м 2 »? (слайд 14)

Ученики решают задачу самостоятельно. Ответ 2 банки.

Обязательно выполнить задание 1, 2; на дополнительную оценку — 3.

Учебник: п. 52 прочитать доказательство теоремы о площади треугольника, выполнить номера 468,471,473 (б).

Практическое задание: из бумаги вырезать шестиугольник и найти его площадь.

Д
оказать, что всякая прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей параллелограмма, делит его на 2 равновеликие части.

В начале урока нами была поставлена цель, напомните её пожалуйста. (Формулируют)

Достигли ли мы поставленной цели? (Да)

У вас на партах разноцветные многоугольники. Выйти и прикрепить к доске по группам:

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Как найти площадь треугольника

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:11 класс, 47 урок, Формулы площади треугольникаСкачать

Основные понятия

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Если значения заданы в разных единицах измерения длины, мы не сможем узнать, какая площадь треугольника получится. Поэтому для правильного решения необходимо перевести все данные к одной единице измерения.

Популярные единицы измерения площади:

• квадратный миллиметр (мм 2 );
• квадратный сантиметр (см 2 );
• квадратный дециметр (дм 2 );
• квадратный метр (м 2 );
• квадратный километр (км 2 );
• гектар (га).

Видео:Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

Формула площади треугольника

Для решения задач применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Далее мы рассмотрим способы решения для всех типов треугольников, в том числе частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных фигур.

Быстро вычислить площадь треугольника поможет наш онлайн-калькулятор. Просто введите известные вам значения и получите ответ в метрах, сантиметрах или миллиметрах.

Научиться быстро щелкать задачки на нахождение площади треугольника помогут курсы по математике от Skysmart!

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№10 - Площадь треугольника.)Скачать

Общая формула

1. Площадь треугольника через основание и высоту

, где — основание, — высота.

2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними

, где , — стороны, — угол между ними.

3. Площадь треугольника через описанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус описанной окружности.

4. Площадь треугольника через вписанную окружность и стороны

, где , , — стороны, — радиус вписанной окружности.

Если учитывать, что — это способ поиска полупериметра, то формулу можно записать следующим образом:

5. Площадь треугольника по стороне и двум прилежащим углам

, где — сторона, и — прилежащие углы.

6. Формула Герона для вычисления площади треугольника

Сначала необходимо подсчитать разность полупериметра и каждой его стороны. Потом найти произведение полученных чисел, умножить результат на полупериметр и найти корень из полученного числа.

, где , , — стороны, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Видео:Площадь треугольника | Геометрия 7-9 класс #52 | ИнфоурокСкачать

Для прямоугольного треугольника

Площадь треугольника с углом 90° по двум сторонам

Площадь треугольника по гипотенузе и острому углу

, где — гипотенуза, — любой из прилегающих острых углов.

Гипотенузой принято называть сторону, которая лежит напротив прямого угла.

Площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу

, где — катет, — прилежащий угол.

Катетом принято называть одну из двух сторон, образующих прямой угол.

Площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанной окружности

, где — гипотенуза, — радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника по отрезкам, на которые делит вписанная окружность его гипотенузу

, где , — части гипотенузы.

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

, где , — катеты, — полупериметр, который можно найти по формуле:

Видео:8 класс, 14 урок, Площадь треугольникаСкачать

Для равнобедренного треугольника

Вычисление площади через основание и высоту

, где — основание, — высота, проведенная к основанию.

Поиск площади через боковые стороны и угол между ними

, где — боковая сторона, — угол между боковыми сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

, где — радиус описанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

, где — радиус вписанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через сторону

Площадь равностороннего треугольника через высоту

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№14 - Теорема о площади треугольника.)Скачать

Таблица формул нахождения площади треугольника

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу, использовать как закладку в тетрадке или учебнике и обращаться к ней по необходимости.

🔍 Видео

Геометрия 8. Урок 14 - Площадь треугольников. Формулы и задачи.Скачать

ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА теорияСкачать

Площадь по теореме Герона #математика #площадь #треугольник #герона #егэ #огэ #найтиплощадь #теоремаСкачать

КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА НА ЕГЭ? #shorts #егэ #огэ #профильныйегэ #треугольник #площадьСкачать

Самый простой способ найти площадь треугольника | СВ #shorts #shortsvideoСкачать

Как найти площадь треугольникаСкачать

Площадь треугольника. Формула площади. Геометрия 8 класс.Скачать

Как найти площадь треугольника? Формула 1 #shortsСкачать

Площадь треугольника.Скачать

ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА задачиСкачать

Площадь треугольника. Видеоурок по геометрии 8 классСкачать