площадь трапеции зная среднюю линию

Как найти площадь трапеции по известным диагоналям и средней линии?

Дано: ABCD, AD∥BC,

MN — средняя линия трапеции,

1) Проведём через вершину C прямую, параллельную диагонали BD. На пересечении этой прямой с прямой, содержащей основание AD, отметим точку F.

Имеем: CF∥BD (по построению),

BC∥DF(так как лежат на основаниях трапеции), следовательно, четырёхугольник BCFD — параллелограмм (по определению).

Рассмотрим треугольник ACF.

Таким образом, задача сводится к нахождению площади треугольника ACF.

В треугольнике ACF известны все стороны: AC=d₁, CF=d₂, AF=2m.

Остаётся найти площадь треугольника по формуле Герона.

Разумеется, запоминать эту формулу не нужно. Для нахождения площади трапеции через среднюю линию и диагонали достаточно провести аналогичные рассуждения.

Найти площадь трапеции, диагонали которой равны 15 и 13, а средняя линия равна 7.

Проводя аналогичные приведённым выше рассуждения, находим полупериметр и площадь треугольника ACF, площадь которого равна искомой площади трапеции:

Площадь трапеции

Онлайн калькулятор

Через длины оснований и высоту

Чему равна площадь трапеции, если:

основание a =
основание b =
высота h =

Чему равна площадь трапеции если известны основания a и b, а также высота h?

Формула

Пример

Если у трапеции основание a = 3 см, основание b = 6 см, а высота h = 4 см, то её площадь:

S = ½ ⋅ (3 + 6) ⋅ 4 = 36 / 2 = 18 см²

Через среднюю линию и высоту

Чему равна площадь трапеции, если:

средняя линия m =
высота h =

Чему равна площадь трапеции если известны средняя линия m и высота h?

Формула

Пример

Если у трапеции средняя линия m = 6 см, а высота h = 4 см, то её площадь:

Через длины сторон и оснований

Чему равна площадь трапеции, если:

основание a =
основание b =
сторона c = сторона d =

Чему равна площадь трапеции если известны основания a и b, а также стороны c и d?

Формула

Пример

Если у трапеции основание a = 2 см, основание b = 6 см, сторона c = 4 см, а сторона d = 7 см, то её площадь:

Через диагонали и угол между ними

Чему равна площадь трапеции, если:

Чему равна площадь трапеции если известны диагонали d₁ и d₂ и угол между ними α?

Формула

Пример

Если у трапеции одна диагональ d₁ = 5 см, другая диагональ d₂ = 7 см, а угол между ними ∠α = 30°, то её площадь:

S = ½ ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ sin (30) = 17.5 ⋅ 0.5= 8.75 см²

Площадь равнобедренной трапеции

Через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании

Чему равна площадь трапеции, если:

средняя линия m =
сторона c =
угол α =

Чему равна площадь равнобедренной трапеции если средняя линия m, боковая сторона с, a угол при основании α?

Формула

Пример

Если у равнобедренной трапеции средняя линия m = 6 см, сторона c = 4 см, а угол при основании ∠α = 30°, то её площадь:

S = 6 ⋅ 4 ⋅ sin (30) = 24 ⋅ 0.5 = 12 см²

Через радиус вписанной окружности

Чему равна площадь трапеции, если:

радиус r =
угол α =

Чему равна площадь равнобедренной трапеции если радиус вписанной окружности r, a угол при основании α?

Формула

Пример

Если у равнобедренной трапеции радиус вписанной окружности r = 5 см, а угол при основании ∠α = 30°, то её площадь:

S = 4 ⋅ 5² / sin (30) = 100 / 0.5 = 200 см²

Площадь трапеции через высоту и среднюю линию

Формула площади через среднюю линию и высоту

Длина средней линия трапеции равна половине суммы ее оснований, что является частным случаем нахождения площади через основания и высоту. Поэтому для нахождения площади трапеции через высоту и среднюю линию необходимо воспользоваться формулой:

где m – средняя линия, h – высота.