Решение:
Пусть ABCD — искомая трапеция.
Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту, то есть S = ½⋅(a+b)⋅h, где a,b — основания трапеции, h — высота трапеции.
В нашем случае: AD, BC — основания трапеции, BH — высота трапеции.
Найдем основание AD, оно равно разности координат по х:
AD = 10 — 1 = 9
Аналогичным образом найдем основание BC:
BC = 6 — 3 = 3
Найдем высоту BH:
В конечном счете получаем:
S = ½⋅(AD + BC)⋅BH
S = ½⋅(9 + 3)⋅6
S = ½⋅12⋅6
S = 6⋅6
Нахождение площади трапеции по координатам
Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (3;2), (5;2), (9;6), (6;6).
Решение задачи
В данном уроке представлен пример решения задачи В5 на вычисление площади трапеции, которым с успехом можно воспользоваться в качестве подготовки к ЕГЭ по математике.
Для успешного решения задачи необходимо знать, что площадь трапеции определяется как произведение полусуммы оснований на высоту: S=(a+b)*h/2, где 
и – основания трапеции, а — высота. Согласно определению, трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — нет. Параллельные стороны называются основаниями, они отмечается для наглядности красным цветом. По рисунку определяются значения оснований заданной трапеции и . В ходе решения также утверждается, что высота трапеции — это отрезок, перпендикулярный ее основаниям . На рисунке выполняется построение высоты зеленым цветом, а затем вычисляется ее длина как разность между крайними отмеченными точками на оси . В результате, подставив все найденные значения в формулу определения площади трапеции, определяется искомый ответ.
Следует напомнить, что Трапеция (от древнегреческого τραπέζιον — «столик» от τράπεζα — «стол») — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны. Две параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами. Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Диагонали трапеции делят ее на 4 треугольника. Два из них, прилежащие к основаниям, подобны. Два других, прилежащие к боковым сторонам, имеют одинаковую площадь. Интересно, что в русском языке от слова трапеция происходит слово «трапеза».
Площадь трапеции
Площадь трапеции, формулы расчета, определение,
способы найти площадь, нахождение площади
через величины и примеры площади трапеции.
Все формулы расчета площади трапеции
через основания и угол, периметр, радиус,
синус и две стороны, диагональ,
высоту, среднюю линию.
Площадь трапеции, можно измерить, в единицах
измерения в квадрате: мм 2 , см 2 , м 2 и км 2 и так далее.
Площадь трапеции через окружность вписанную можно
найти, зная радиус окружности вписанной в трапецию
и некоторые другие величины.
Формулы площади трапеции
Площадь любых трапеций
Ⅰ. Площадь трапеции через основания и высоту:
[ S = frac cdot h ]
a,b — основания трапеции;
h — высота трапеции;
Ⅱ. Площадь трапеции через высоту и среднюю линию:
[ S = mh ]
m — средняя линия трапеции;
h — высота трапеции;
Ⅲ. Площадь трапеции через диагонали и угол между ними:
[ S =fracd_1d_2 cdot sin alpha ]
( d_1, d_2 ) - диагонали трапеции;
sin α — синус угла альфа в трапеции;
Ⅳ. Площадь трапеции через периметр, высоту и боковые стороны:
[ S = frach ]
P — периметр трапеции;
c,d — боковые стороны трапеции;
h — высота трапеции;
Ⅴ. Площадь трапеции через основания и боковые стороны:
[ S = frac cdot sqrt<c^2-(frac)^2> ]
a,b — основания трапеции;
с,d — боковые стороны трапеции;
Ⅵ. Площадь трапеции через основания и углы:
a,b — основания трапеции;
α — угол при основании a в трапеции;
β — угол при основании b в трапеции;
sin α — синус угла альфа в трапеции;
sin β — синус угла бетта в трапеции;
Площадь равнобедренной трапеции
Ⅰ. Площадь трапеции через синус угла, среднюю линию и боковую сторону:
[ S = ld cdot sin α ]
l — средняя линия равнобедренной трапеции;
d — боковая сторона равнобедренной трапеции;
α — угол альфа при боковой стороне d равнобедренной трапеции;
sin α — синус угла альфа в равнобедренной трапеции;
Ⅱ. Площадь трапеции через диагонали и синус угла:
[ S = frac cdot sin α ]
d — диагональ равнобедренной трапеции;
α — угол между двумя диагоналями в равнобедренной трапеции;
sin α — синус угла альфа в равнобедренной трапеции;
Ⅲ. Площадь трапеции через радиус вписанной окружности и основания:
r — радиус вписанной окружности равнобедренной трапеции;
a, b — основания равнобедренной трапеции;
Ⅳ. Площадь трапеции через основания:
a, b — основания равнобедренной трапеции;
Ⅴ. Площадь трапеции через основания и среднюю линию:
l — средняя линия равнобедренной трапеции;
a, b — основания равнобедренной трапеции;
Ⅵ. Площадь трапеции через синус угла и стороны:
[ S = c cdot sin α cdot (a-c cdot cos α) ]
a — нижнее основание равнобедренной трапеции;
с — боковая сторона равнобедренной трапеции;
sin α — синус угла альфа в равнобедренной трапеции;
cos α — косинус угла альфа в равнобедренной трапеции;
Ⅶ. Площадь трапеции через угол и радиус вписанной окружности:
r — радиус вписанной окружности равнобедренной трапеции;
sin α — синус угла альфа в равнобедренной трапеции;
Определения трапеции
Трапеция — это четырехугольник, у которого две
стороны параллельны а две другие нет.
Зная углы трапеции, можно определить, к какому виду
она относится. Всего различают три вида трапеций:
- Обычная / стандартная трапеция: четыре угла и четыре стороны не равны.
- Равнобедренная / равнобочная / равнобоковая трапеция:
два угла при основании равны, две боковые стороны равны. - Прямоугольная / прямаятрапеция: один из углов прямой.
Площадь равнобедренной, прямоугольной трапеции,
можно найти через формулы площади обычной трапеции.
Формул, с помощью которых, можно найти площадь трапеции
через описанную окружность около трапеции, не существует.
Элементы трапеции
Любая трапеция является четырехугольником,
поэтому у трапеции 4 угла и 4 стороны.
Основание трапеции — это сторона, противолежащая
сторона которой параллельна.
Боковая сторона трапеции — это сторона, противолежащая
сторона которой не параллельна.
Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий
середины боковых сторон трапеции.
Диагональ трапеции — это отрезок, соединяющий две
вершины, которые лежат в разных концах трапеции.
Высота трапеции — это отрезок, соединяющий меньшее основание с большим,
образуя при этом два угла по 90 градусов на большей стороне.
Основания у трапеции не могут быть никогда равны.
Боковые стороны могут быть равны только,
если трапеция — равнобедренная.
Площадь трапеции — это площадь геометрической фигуры,
у которой четыре стороны и четыре угла, причем только
две стороны параллельны а остальные нет.