площадь трапеции решение задач (8 видео)

Содержание

Решение задач по теме: «Площадь трапеции». материал по алгебре (8 класс)
Скачать:
Предварительный просмотр:
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Урок по теме «Площадь трапеции. Решение задач»
Просмотр содержимого документа «конспект»
Площадь трапеции
Спецприемы репетитора по математике.
Задачи на площадь трапеции:
🎥 Видео

Видео:Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать

Решение задач по теме: «Площадь трапеции».
материал по алгебре (8 класс)

Задачи пригодятся для отработки материала по теме, сдесь же имеются задачи для домашней работы.

Видео:Площадь трапеции. Решение задач.Скачать

Скачать:

Вложение	Размер
ploshchad_trapetsii.docx	28.98 КБ

Видео:КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать

Предварительный просмотр:

В трапеции основания равны 6 см и 10 см, а высота равна полусумме длин оснований. Найдите площадь трапеции.
В прямоугольной трапеции основания равны 6 см и 10см, меньшая боковая сторона- 5 см. Чему равна площадь трапеции?
В равнобедренной трапеции ABCM большее основание AM=20 см, высота BH отсекает от AM отрезок AH=6 см, ∠ BAM=45°. Найдите площадь трапеции.
В трапеции ABCM одно из оснований в 3 раза меньше другого, а высота составляет 75% большего основания, площадь трапеции равна 72 см². Найдите основания и высоту трапеции.
В трапеции ABCD BC и AD-основания, BC÷AD=4÷5. Площадь треугольника ACD=35 см². Найдите площадь трапеции.

Найдите площадь трапеции ABCD, если основания AD и BC равны соответственно 12 см и 8 см, боковая сторона AB=6 см, ∠ A=30°.
В треугольнике ABC стороны AB и BC равны соответственно 14 см и 18 см. Сторона AB продолжена за точку A на отрезок AM=AB. Сторона BC продолжена за точку C на отрезок KC, равный половине BC. Найдите площадь треугольника MBK, если площадь треугольника ABC равна 126 см².

В трапеции основания равны 6 см и 10 см, а высота равна полусумме длин оснований. Найдите площадь трапеции.
В прямоугольной трапеции основания равны 6 см и 10см, меньшая боковая сторона- 5 см. Чему равна площадь трапеции?
В равнобедренной трапеции ABCM большее основание AM=20 см, высота BH отсекает от AM отрезок AH=6 см, ∠ BAM=45°. Найдите площадь трапеции.
В трапеции ABCM одно из оснований в 3 раза меньше другого, а высота составляет 75% большего основания, площадь трапеции равна 72 см². Найдите основания и высоту трапеции.
В трапеции ABCD BC и AD-основания, BC÷AD=4÷5. Площадь треугольника ACD=35 см². Найдите площадь трапеции.

Найдите площадь трапеции ABCD, если основания AD и BC равны соответственно 12 см и 8 см, боковая сторона AB=6 см, ∠ A=30°.
В треугольнике ABC стороны AB и BC равны соответственно 14 см и 18 см. Сторона AB продолжена за точку A на отрезок AM=AB. Сторона BC продолжена за точку C на отрезок KC, равный половине BC. Найдите площадь треугольника MBK, если площадь треугольника ABC равна 126 см².

Видео:ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 классСкачать

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Конспект и презентация к уроку геометрии в 8 классе по теме «Решение задач по теме «Площадь»».

Тема: «Площади” в курсе геометрии 8-го класса включает изучение вопросов: площадь треугольника, площадь параллелограмма, площадь трапеции, теорема Пифагора. Основная цель темы: создать условия для .

Решение задач по теме «Площади фигур».

Решение экзаменационных задач модуля Геометрии по теме «Площади фигур». Учащиеся совершают восхождение на гору Олимп.

Решение задач по теме «Площади фигур».

Конспект урока «Решение задач по теме «Площадь прямоугольника»», 5 класс

Конспект урока был представлен на муниципальный конкурс «Современный урок – как основа эффективного и качественного образования школьников». По итогам конкурса было присуждено 2 место в номинаци.

Презентация к уроку «Решение задач по теме Площадь прямоугольника»

Данная презентация обеспечивает реализацию принципа наглядности на уроке.

Занятие элективного курса по математике 9 класса подготовки к ГИА. Модуль «Геометрия». Решение задач по теме «Площадь параллелограмма, треугольника, трапеции»

Материал содержит план-конспект занятия по теме:»Площадь параллелограмма, треугольника, трапеции», презентации, тесты.

Технологическая карта урока по теме «Решение задач по теме «Площадь»» , 8класс

Цель урока: обобщить и систематизировать материала о площадях фигур, учить решать задачи с практическим применением на заданную тему, воспитывать культуру поведения при групповой и индивидуальной раб.

Видео:Площадь трапеции. Решение задач.Скачать

Урок по теме «Площадь трапеции. Решение задач»

Просмотр содержимого документа
«конспект»

План – конспект урока по геометрии с использованием ЭОР по теме: «Площадь трапеции. Решение задач»

Учебник: Погорелов А.В. Геометрия: Учебник для 7 – 9 кл. общеобразовательных учреждений/ А.В. Погорелов. – М.: Просвещение.

Уровень образования школьников: базовый

Автор: Зубарева Таисия Ивановна, учитель первой категории

Тип урока: комбинированный

Цель урока (слайд 2):

Развитие у учащихся пространственного воображения и логического мышления путем изучения площади трапеции и применения этих знаний при решении задач вычислительного и конструктивного характера.

Обучающая: отрабатывать применение данной формулы при решении задач, совершенствовать навыки решения задач;

Развивающая: развитие познавательной активности, творческих способностей, мышления, умения анализировать и обобщать, переносить знания из одной ситуации в другую;

Воспитательная: воспитание чувства ответственности каждого учащегося, интереса к предмету с привлечением мультимедийных возможностей компьютера и элементов занимательности;

Методическая: показать применение методов дифференцированной работы при решении задач.

Оборудование: мультимедийный проектор, компьютер, экран, чертежные принадлежности, презентация, выполненная в редакторе Microsoft Power Point, ноутбуки.

Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная, самостоятельная в режиме самоконтроля и взаимоконтроля.

Организационный момент – 2 мин

Актуализация опорных знаний и проверка домашнего задания – 5 мин

Решение задач – 19 мин

Проверка усвоения (тест на ноутбуках) – 13 мин

Подведение итогов – 2 мин

Домашнее задание – 3 мин

Рефлексия – 1 мин

Проверка готовности рабочего места к уроку (приветствие, проверка готовности к уроку, рабочих тетрадей, письменных принадлежностей).

Актуализация опорных знаний.

Фронтальный опрос (слайды 3-4):

Дать определение трапеции.

Какие виды трапеции вы знаете?

Назовите формулы для вычисления площади трапеции?

Дайте словесное описание формулы нахождения площади трапеции.

Запишите формулу для нахождения площади трапеции.

Проверка домашнего задания (выборочно)

Индивидуальная работа по карточкам:

Доказать, что площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту

Доказать, что площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту

Карточка 3 (для наиболее подготовленных учащихся).

Доказать, что площадь трапеции равна половине произведения её диагоналей

Решение задач. (слайды 6-10)

Решить устно (слайд 11)

Найдите площадь трапеции АВСD c основаниями АВ и CD, если: АВ=12 см, СD =8 см, высота BH =5 см.

Найдите площадь трапеции АВСD c основаниями АВ и CD, если: АВ=14 см, СD =12 см, высота BH =7 см.

ОГЭ. Решение задач (работа у доски)- слайд 12-14

Видео:8 класс, 15 урок, Площадь трапецииСкачать

Площадь трапеции

Существует множество способов найти площадь трапеции. Обычно репетитор по математике владеет несколькими приемами ее вычисления, остановимся на них подробнее:
1) , где AD и BC основания, а BH-высота трапеции. Доказательство: проведем диагональ BD и выразим площади треугольников ABD и CDB через полупроизведение их оснований на высоту:

, где DP – внешняя высота в

Сложим почленно эти равенства и учитывая, что высоты BH и DP равны, получим:

Вынесем за скобку

Что и требовалось доказать.

Следствие из формулы площади трапеции:
Так как полусумма оснований равна MN — средней линии трапеции, то

2) Применение общей формулы площади четырехугольника.
Площадь четырехугольника равна половине произведения диагоналей, умноженной на синус угла между ними
Для доказательства достаточно разбить трапецию на 4 треугольника, выразить площадь каждого через «половину произведения диагоналей на синус угла между ними» (в качестве угла берется , сложить получившиеся выражения, вынести за скобку и раскладываю эту скобку на множители методом группировки получить ее равенство выражению . Отсюда

3) Метод сдвига диагонали
Это мое название. В школьных учебниках репетитор по математике не встретит такого заголовка. Описание приема можно найти только в дополнительных учебных пособиях в качестве примера решения какой-нибудь задачи. Отмечу, что большинство интересных и полезных фактов планиметрии репетиторы по математике открывают ученикам в процессе выполнения практической работы. Это крайне неоптимально, ибо школьнику нужно выделять их в отдельные теоремы и называть «громкими именами». Одно из таких – «сдвиг диагонали». О чем идет речь? Проведем через вершину B прямую параллельную к АС до пересечения с нижним основанием в точке E. В таком случае четырехугольник EBCA будет параллелограммом (по определению) и поэтому BC=EA и EB=AC. Нам сейчас важно первое равенство. Имеем:

Заметим, что треугольник BED, площадь которого равна площади трапеции, имеет еще несколько замечательных свойств:
1) Его площадь равна площади трапеции
2) Его равнобедренность происходит одновременно с равнобедренность самой трапеции
3) Верхний его угол при вершине B равен углу между диагоналями трапеции (что очень часто используется в задачах)
4) Его медиана BK равна расстоянию QS между серединами оснований трапеции. С применением этого свойства я недавно столкнулся при подготовке ученика на мехмат МГУ по учебнику Ткачука, вариант 1973 года (задача приводится внизу страницы).

Спецприемы репетитора по математике.

Иногда я предлагаю задачи на весьма хитрый путь нахождении я площади трапеции. Я отношу его к спецприемам ибо на практике репетитор их использует крайне редко. Если вам нужна подготовка к ЕГЭ по математике только в части B, можно про них и не читать. Для остальных рассказываю дальше. Оказывается площадь трапеции в два раза больше площади треугольника с вершинами в концах одной боковой стороны и серединой другой, то есть треугольника ABS на рисунке:
Доказательство: проведем высоты SM и SN в треугольниках BCS и ADS и выразим сумму площадей этих треугольников:

Так как точка S – середина CD, то (докажите это сами).Найдем cумму площадей треугольников:

Так как эта сумма оказалась равной половине площади трапеции, то — вторая ее половина. Ч.т.д.

В копилку спецприемов репетитора я бы отнес форму вычисления площади равнобедренной трапеции по ее сторонам: где p – полупериметр трапеции. Доказательство я приводить не буду. Иначе ваш репетитор по математике останется без работы :). Приходите на занятия!

Задачи на площадь трапеции:

Замечание репетитора по математике: Нижеприведенный список не является методическим сопровождением к теме, это только небольшая подборка интересных задач на вышерассмотренные приемы.

1) Нижнее основание равнобедренной трапеции равно 13, а верхнее равно 5. Найдите площадь трапеции, если ее диагональ перпендикулярна боковой стороне.
2) Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 2см и 5см, а боковые стороны 2см и 3см.
3) В равнобокой трапеции большее основание равно 11, боковая сторона равна 5, а диагональ равна Найти площадь трапеции.
4) Диагональ равнобокой трапеции равна 5, а средняя линия равна 4. Найти площадь.
5) В равнобедренной трапеции основания равны 12 и 20, а диагонали взаимно перпендикулярны. Вычислить площадь трапеции
6) Диагональ равнобокой трапеции составляет с ее нижним основанием угол . Найти площадь трапеции, если ее высота равна 6см.
7) Площадь трапеции равна 20, а одна из ее боковых сторон равна 4 см. Найдите расстояние до нее от середины противоположной боковой стороны.
8) Диагональ равнобокой трапеции делит ее на треугольники с площадями 6 и 14. Найти высоту, если боковая сторона равна 4.
9) В трапеции диагонали равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований равен 2. Найти площадь трапеции (Мехмат МГУ, 1970г).

Я выбирал не самые сложные задачи (не стоит пугаться мехмата!) с расчетом на возможность их самостоятельного решения. Решайте на здоровье! Если вам нужна подготовка к ЕГЭ по математике, то без участия в этом процессе формулы площади трапеции могут возникнуть серьезные проблемы даже с задачей B6 и тем более с C4. Не запускайте тему и в случае каких-либо затруднений обращайтесь за помощью. Репетитор по математике всегда рад вам помочь.

Колпаков А.Н.
Репетитор по математике в Москве, подготовка к ЕГЭ в Строгино.

Спасибо Вам, Александр Николаевич! Вы мне очень помогли. Мой муж метролог, сейчас повышает квалификацию и мне пришлось помогать ему делать курсовик. Так вот формула вычисления площади равнобедренной трапеции по ее сторонам (а я уже многое забыла со школы) мне очень помогла, в интернете ничего подобного не нашла. Спасибо Вам большое.

Уважаемый Александр Николаевич!
Если Вам не трудно, помогите решить задачу №8 из предложеных Вами. Если я правильно поняла Вас, здесь нужно применить Ваш метод сдвига диагонали?
Буду очень признательна.
С уважением Водяева С В

Нет, диагональ трапеции трогать не нужно. Обозначьте буквой икс высоту трапеции и выразите с помощью площадей 6 и 14 ее основания. Затем проведите вторую высоту. От трапеции отсекутся два равных боковых треугольника. У каждого из них один из катетов — высота трапеции (то есть икс), а второй катет — полуразность оснований. Затем запишите теорему Пифагора для одного из боковых треугольников. Подставьте туда боковую строну 4, и полученные выражения для катетов. Ответом к задаче будет корень уравнения.

Уважаемый Александр Николаевич! Сын готовился к ГИА и не смог решить задачу, которая опубликована у Вас последней (№9). Натолкните на путь истинный, если можно, у нашего преподавателя математики пока тоже нет решения. Заранее спасибо.

Через вершину верхнего основания трапеции проведите параллельно диагонали отрезок до его пересечения с основанием. Образуется треугольник, две стороны которого будут равны диагоналям трапеции. Длина медианы, проведенной к третьей стороне данного треугольника, равна длине отрезка, соединяющего середины оснований (это не сложно доказать). Площадь треугольника, очевидно, равна площади трапеции (в моем справочнике этот факт назван теоремой о сдвиге диагонали трапеции).

Извините,Александр я не понимаю почему в 3-ем доказательстве площади трапеции площадь треугольника EBD равна площади трапеции ABCD, прежде чем такое утверждать, надо доказать что треугольник EBD=ABCD-трапеции. Не могли бы вы подсказать как это доказать?!

Не очень понял, что именно Вам не ясно. На странице опубликовано достаточно добротное доказательство. Я специально писал так, чтобы в нем можно было разобраться без всякого репетитора по математике, то есть самостоятельно. Равенство площадей следует из равенства выражений, отвечающих за площади. Изучите материал повнимательнее.

Откуда вы знаете что площадь треугольника BED равна площади трапеции ABCD? Нам формулу площади трапеции вывести надо, а выводится формула площади треугольника BED. Нет, конечно, мы знаем чему равна площадь трапеции по формуле, ну надо же формулу как-то вывести, а вы пишите,что площадь треугольника BED равна площади трапеции. Откуда вы это знаете? Вы же не доказали это! Поэтому и непонятно!

В третьем пункте не выводится ни площадь треугольника, ни площадь трапеции. Доказывается только равенство этих площадей. Формула же площади трапеции выведена в самом начале страницы. Читайте внимательнее. Советую найти хорошего репетитора по математике, чтобы он объяснил Вам все доказательства в отдельности, ибо в комментариях к странице не совсем удобно вести полноценную разъяснительную работу. Обучение математике — живой процесс!

Спасибо большое, помогла последняя формула, которую не доказывали. Буду и дальше к ГИА по математике (теперь уже к ЕГЭ) готовиться вместе с вашим сайтом.

Спасибо большое за такие подробные доказательства!

Диагональ равнобокой трапеции равна 5, а средняя линия равна 4. Найти площадь. Не могу решить. Подскажите какой формулой тут воспользоваться.

Базовой прямой формулы нет. Сделайте так: через любую вершину верхнего основания проведите прямую, параллельную одной из диагоналей до пересечения с нижним основанием. Образуется треугольник с площадью, равной площади трапеции. Легко найти все его стороны, а затем и площадь. Удачи!

Спасибо, очень пригодилось.

И как же выйти на площадь трапеции в 9 задаче? Подскажите, пожалуйста. Не могу сообразить. Заранее огромное спасибо репетитору по математике за помощь.

Воспользуйтесь методом «сдвига диагонали». Получится треугольник со сторонами, которые равны диагоналям трапеции и медианой, равной длине отрезка, соединяющего середины ее оснований. Правда последнее необходимо будет доказать. По двум сторонам и медиане найти площадь полученного треугольника несложно.

спасибо.Еще раз обращаюсь за помощью-заело с задачей:
Плот проплывает путь из А в В за 6 часов,а моторная лодка из В в А за 2 часа.За какое время моторная лодка преодолеет такое же расстояние в стоячей воде?Подскажите,пожалуйста,направление решения.Заранее признательна.

Александр, подскажите пожалуйста как во втором доказательстве площади трапеции мы можем выразить площадь 4-х треугольников? Ведь нам известны только две диагонали трапеции и угол между ними

Там вроде все внятно изложено. Выражать площади треугольников нужно через кусочки диагоналей. После всех преобразований они сложатся в полные диагонали.

Можно ли найти площадь неправильного четырёхугольника, если известны длины всех его сторон в отдельности (периметр)?

Нет, конструкция будет «плавающей». В случае правильного четырехугольника легко привести показательный пример — ромб. С неправильным ситуация аналогичная.

Уважаемый Александр Николаевич! Есть похожая на Вашу 6 задачу: Диагональ равнобокой трапеции составляет с ее нижним основанием угол 60. Найти площадь трапеции, если большее основание равно 6 см.
Натолкните, пожалуйста, на путь истинный.

Здравствуйте! Воспользуйтесь теоремой о сдвиге диагонали. Получится равносторонний треугольник (равнобедренный с углом 60 градусов), имеющий сторону 6 см. Его площадь равна площади трапеции.