площадь трапеции равна произведению средней

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1) Вокруг любого треугольника можно описать окружность.

2) Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм — квадрат.

3) Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Вокруг любого треугольника можно описать окружность» — верно, по свойству треугольника.

2) «Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм — квадрат» — верно; из всех параллелограммов только в квадрате диагонали равны и перпендикулярны одновременно.

3) «Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту» — верно, по свойству трапеции.

Формула площади трапеции

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами. Площадь трапеции S равна произведению полусуммы ее оснований (a, b) на высоту (h)

Площадь трапеции через основания и высоту

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований a и b на высоту h

Площадь трапеции через высоту и среднюю линию

Площадь трапеции через четыре стороны

Площадь трапеции через диагонали и угол между ними

Если (d_), (d_) – диагонали трапеции, а ( angle alpha ) – угол между ними , то площадь трапеции можно вычислить по формуле

[ S = frac d_ cdot d_ cdot sin (alpha) ]

Площадь трапеции через основания и два угла

• Параллельные стороны называются основаниями трапеции.
• Две другие стороны называются боковыми сторонами.
• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
• Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.
• Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой (или равнобедренной)
• Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.
• Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
• Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.
• У равнобокой трапеции углы при основании равны.
• У равнобокой трапеции диагонали равны.
• Если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность.
• Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.
• В трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и продолжения боковых сторон находятся на одной прямой.

Площадь трапеции

Что такое трапеция

Трапеция — это плоская фигура, ее изучают в курсе геометрии 8 класса.

Трапеция — четырехугольник, две стороны которого параллельны, и две другие стороны не параллельны.

Основаниями называются параллельные стороны трапеции. Непараллельные — боковые стороны.

Частный случай трапеции — равнобедренная трапеция, боковые стороны которой равны. Трапеция с углами по 90 градусов, прилежащими к одной боковой стороне, называется прямоугольной.

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон и параллельный основаниям.

ABCD — трапеция, EF — ее средняя линия, BC||EF||AD, BE=CF, AE=DF.

Формулы площади трапеции

Чтобы найти площадь трапеции можно использовать несколько формул. Выбор зависит от данных условия.

Площадь трапеции равна произведению половины суммы ее оснований на высоту.

Рассмотрим трапецию ABCD, AD||BC, BF — высота. S A B C D = A A + B C 2 B F . Если A D = a , B C = b , B F = h , формула для нахождения площади трапеции будет выглядеть как S = a + b 2 · h .

Площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту.

Для данной трапеции S A B C D = M N · B F , а формула выглядит так: S=h·m, где h — высота, m — средняя линия.

Площадь трапеции равна половине произведения ее диагоналей на синус угла между ними.

S A B C D = ½ A C · B D · s i n ∠ C O D или S A B C D = ½ A C · B D · s i n ∠ B O C , так как sin ∠ C O D = sin ∠ B O C . Формула для нахождения площади трапеции через диагонали: S = ½ d 1 · d 2 · s i n φ .

У трапеции, диагонали которой перпендикулярны, S = ½ d 1 · d 2 , так как sin 90º=1.

Площадь трапеции равна произведению половины ее периметра на радиус вписанной окружности. Если суммы противолежащих сторон трапеции равны, то в трапецию можно вписать окружность. Полупериметр трапеции равен половине суммы ее четырех сторон или сумме ее оснований. Зная основания трапеции и радиус вписанной окружности, можно посчитать ее площадь: S = a + b r , где a и b — основания, r — радиус вписанной окружности. Радиус вписанной в трапецию окружности равен половине высоты трапеции h, поэтому из формулы S = a + b r можно получить S = a + b 2 · h .

Формула площади равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной трапеции можно рассчитать по тем же формулам. Некоторые из них имеют упрощенный вид.

1. Если известны основания a и b и высота трапеции h, то площадь рассчитывают как и в общем случае: S = a + b 2 · h .
2. S=h·m, где h — высота, m — средняя линия.
3. Площадь равнобедренной трапеции равна половине произведения её диагоналей d 1 и d 2 на синус угла между ними. У равнобедренной трапеции d 1 = d 2 ⇒ S = ½ d 2 · s i n φ (половине произведения квадрата ее диагонали на синус угла между диагоналями).

Площадь равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями

• Так как sin 90º=1, то S = ½ d 2 · s i n φ = ½ d 2 .
• Площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой перпендикулярны, равна квадрату ее высоты: S = h 2 .
• Если в трапецию можно вписать окружность, то применяется общая формула S = a + b r .

Формула площади криволинейной трапеции

Криволинейная трапеция — это плоская фигура, ограниченная графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке [а;b] функции y=f(х), прямыми х=а, x=b и осью абсцисс.

Отрезок [a;b] называют основанием криволинейной трапеции. Отрезки, ограничивающие криволинейную трапецию слева и справа, могут вырождаться в точку. Верхняя граница криволинейной трапеции может быть задана разными формулами на разных частях отрезка.

Формула Ньютона-Лейбница

Нахождение площади криволинейной трапеции рассматривают в 11 классе как пример применения интеграла.

Площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции y=f(x) на интервале [a;b] записывают в виде определенного интеграла: S = ∫ a b f ( x ) d x .

По формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл равен: ∫ a b f ( x ) d x = F ( x ) | a b = F ( a ) − F ( b ) .

Пояснение на примерах

Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 4 и 7 см, а высота — 4 см.

Чтобы узнать площадь трапеции, используем формулу S = a + b 2 · h : S = 1 / 2 · ( 4 + 7 ) · 4 = 22 ( с м 2 ) .

Найдите площадь фигуры под кривой на заданном интервале: f(x)=x3+3, x∈[−1;1].