площадь трапеции равна половине основания

Укажите номера верных утверждений.

1) Площадь трапеции равна половине высоты, умноженной на разность оснований.

2) Через любые две точки можно провести прямую.

3) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной прямой.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Площадь трапеции равна половине высоты, умноженной на разность оснований.» — неверно, площадь трапеции равна половине высоты, умноженной на сумму оснований.

2) «Через любые две точки можно провести прямую.» — верно, это аксиома геометрии.

3) «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной прямой.» — верно, это теорема планиметрии.

Аналоги к заданию № 311763: 311915 311959 Все

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Трапеция – это геометрическая фигура; четырехугольник, имеющий 2 параллельные и 2 непараллельные стороны.

Формулы вычисления площади

По длине оснований и высоте

Площадь трапеции (S) равняется половине суммы ее оснований, умноженной на высоту, проведенную к ним.

Через длины всех сторон (Формула Герона)

Для вычисления площади трапеции необходимо знать длины всех ее сторон:

p – полупериметр трапеции, считается по формуле:

Через диагонали и угол между ними

Площадь трапеции равна половине произведения диагоналей и синуса угла между ними. Вычисляется по одной из двух формул ниже:

Примеры задач

Задание 1
Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 4 и 7 см, а высота – 4 см.

Решение:
Используем первую формулу, рассмотренную выше: S = 1 /₂ * (4 см + 7 см) * 4 см = 22 см 2 .

Задание 2
Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 6 и 12 см, а боковые стороны – 8 и 10 см.

Решение:
Т.к. нам известны длины всех сторон, применим формулу Герона:
S = (6+12) / |6-12| * √ (18-6)(18-12)(18-6-8)(18-6-10) = 18 / 6 * √ 576 = 72 см 2 .

Площадь трапеции

Что такое трапеция

Трапеция — это плоская фигура, ее изучают в курсе геометрии 8 класса.

Трапеция — четырехугольник, две стороны которого параллельны, и две другие стороны не параллельны.

Основаниями называются параллельные стороны трапеции. Непараллельные — боковые стороны.

Частный случай трапеции — равнобедренная трапеция, боковые стороны которой равны. Трапеция с углами по 90 градусов, прилежащими к одной боковой стороне, называется прямоугольной.

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон и параллельный основаниям.

ABCD — трапеция, EF — ее средняя линия, BC||EF||AD, BE=CF, AE=DF.

Формулы площади трапеции

Чтобы найти площадь трапеции можно использовать несколько формул. Выбор зависит от данных условия.

Площадь трапеции равна произведению половины суммы ее оснований на высоту.

Рассмотрим трапецию ABCD, AD||BC, BF — высота. S A B C D = A A + B C 2 B F . Если A D = a , B C = b , B F = h , формула для нахождения площади трапеции будет выглядеть как S = a + b 2 · h .

Площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту.

Для данной трапеции S A B C D = M N · B F , а формула выглядит так: S=h·m, где h — высота, m — средняя линия.

Площадь трапеции равна половине произведения ее диагоналей на синус угла между ними.

S A B C D = ½ A C · B D · s i n ∠ C O D или S A B C D = ½ A C · B D · s i n ∠ B O C , так как sin ∠ C O D = sin ∠ B O C . Формула для нахождения площади трапеции через диагонали: S = ½ d 1 · d 2 · s i n φ .

У трапеции, диагонали которой перпендикулярны, S = ½ d 1 · d 2 , так как sin 90º=1.

Площадь трапеции равна произведению половины ее периметра на радиус вписанной окружности. Если суммы противолежащих сторон трапеции равны, то в трапецию можно вписать окружность. Полупериметр трапеции равен половине суммы ее четырех сторон или сумме ее оснований. Зная основания трапеции и радиус вписанной окружности, можно посчитать ее площадь: S = a + b r , где a и b — основания, r — радиус вписанной окружности. Радиус вписанной в трапецию окружности равен половине высоты трапеции h, поэтому из формулы S = a + b r можно получить S = a + b 2 · h .

Формула площади равнобедренной трапеции

Площадь равнобедренной трапеции можно рассчитать по тем же формулам. Некоторые из них имеют упрощенный вид.

1. Если известны основания a и b и высота трапеции h, то площадь рассчитывают как и в общем случае: S = a + b 2 · h .
2. S=h·m, где h — высота, m — средняя линия.
3. Площадь равнобедренной трапеции равна половине произведения её диагоналей d 1 и d 2 на синус угла между ними. У равнобедренной трапеции d 1 = d 2 ⇒ S = ½ d 2 · s i n φ (половине произведения квадрата ее диагонали на синус угла между диагоналями).

Площадь равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями

• Так как sin 90º=1, то S = ½ d 2 · s i n φ = ½ d 2 .
• Площадь равнобедренной трапеции, диагонали которой перпендикулярны, равна квадрату ее высоты: S = h 2 .
• Если в трапецию можно вписать окружность, то применяется общая формула S = a + b r .

Формула площади криволинейной трапеции

Криволинейная трапеция — это плоская фигура, ограниченная графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке [а;b] функции y=f(х), прямыми х=а, x=b и осью абсцисс.

Отрезок [a;b] называют основанием криволинейной трапеции. Отрезки, ограничивающие криволинейную трапецию слева и справа, могут вырождаться в точку. Верхняя граница криволинейной трапеции может быть задана разными формулами на разных частях отрезка.

Формула Ньютона-Лейбница

Нахождение площади криволинейной трапеции рассматривают в 11 классе как пример применения интеграла.

Площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции y=f(x) на интервале [a;b] записывают в виде определенного интеграла: S = ∫ a b f ( x ) d x .

По формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл равен: ∫ a b f ( x ) d x = F ( x ) | a b = F ( a ) − F ( b ) .

Пояснение на примерах

Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 4 и 7 см, а высота — 4 см.

Чтобы узнать площадь трапеции, используем формулу S = a + b 2 · h : S = 1 / 2 · ( 4 + 7 ) · 4 = 22 ( с м 2 ) .

Найдите площадь фигуры под кривой на заданном интервале: f(x)=x3+3, x∈[−1;1].